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高中立体几何大量习题集与答案解析

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A BCDEFGHI J立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行；④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。

其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．22B ．21C ．43D ．43 3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为（ ）A ．23B ．32C ．6D ．64. 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个6. 正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积（ ） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关C ．与E 、F 、Q 位置都有关D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（ ） A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，98. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有（ ） A ．S 1S 2 B ．S 1S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（ ） A ．b =（2－1）a B ．b =（2+1）a C ．b =222a-D ．b =222a+ 11. 已知向量a =(2，4，x)，b =(2，y ，2)，若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是 ( ) 12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( ) π B. 18π π D. 6π13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ) A ．34000cm 3 B ．38000cmC ．32000cmD ．34000cm14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ).1500 CC正视图侧视图俯视图15.一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )16. 正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是( ) A ．6 B ．10C ．12D ．不确定17. 已知三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC ＝1，OA ＝x ，OB ＝y ，若x+y=4，则已知三棱锥O －ABC 体积的最大值是 ( ) B.13 C.23D.318. 如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③④ C ．③④ D ．②④19. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( )A.S 2SB.πS 2SC.S 4SD.πS 4S BADCAB CDA 1B 1C 1D 1P Q RN M ① ② ③ ④A B CD•••EF G20. 已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB=2，CD=1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ( )A ．300B ．450C ．600D ．75021. 已知向量(1,1,0)a =r ，(1,0,2)b =-r ，且k a b +r r 与2a b -r r 互相垂直，则k 值是 ( )A ．1B ．51 C ．53 D ．5722. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )个 个 个 个23. 三棱锥A-BCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是( )A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形24. 在正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ） /平面PDF⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ） ：3 ：2 ： 3 ： 3 —126. 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）A. 3 2B. 3 6C. 3 4D. 3327. 一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1， 6 ,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） π π π π28. 在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 、Q 是对角线A 1C 上的点，PQ=a2 ,则三棱锥P —BDQ 的体积为（ ） A.318a 3 B.324a 3 C.336a 3 D.不确定29. 若三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P 到平面ABC 的距离为（ ）A. 6 6B. 6 3C. 3 6D. 3 330. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）ABCDA 1B 1C 1D 1αA 1A.3 +2 6 3 +2 6 3 + 2 6 3 D.4 3 +2 6331. PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A.12 B. 2 2 C. 3 3 D. 6332. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，任作平面α与对角线AC 1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( ) 为定值，l 不为定值 不为定值，l 为定值 与l 均为定值与l 均不为定值二、填空题33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______． 34. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：（ ）①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）35. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为 .36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有_____对37. 如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的 38. 多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6, 39. CC 1=3.则这个多面体的体积为 .主视图左视图A 1BC C 1D 1A 1B C 1A 1ABC 140. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等D 是A 1C 1的 中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为_______ ．41. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝CC 1，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是_________． 42. 已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 ___________ ．43. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则三角形的面积S= 12 r (a+b+c ) ,根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V=______________．44. 四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）．AC BC 1B 1A 1 P三、解答题45. 在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与CB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.46. 如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。

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高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。

求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。

∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=21AM 且E 为MD 的中点。

设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 43且ME=21MD=43 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=163+41=167∴cos ∠CNE=3243432167)43()43(222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+NECN CE NE CN ,又∵∠CNE ∈(0, 2π)∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为32.注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。

最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 31==EC BE FD AF 。

求异面直线AB 及CD 所成的角。

解析：在BD 上取一点G ，使得31=GD BG ，连结EG 、FG在ΔBCD 中，GDBG EC BE =，故EG//CD ，并且41==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且43==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠FGE=215327532222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。

立体几何大题练习题集答案解析

立体几何大题练习题集答案解析

立体几何大题专练1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MNP ABC -,E F ,AC BC //EF PAB PAC ⊥ABC PA PC =90ABC ∠=︒PEF ⊥PBCEF Q E F AC BC //EF AB ∴ ……………………2分 又⊄EF 平面PAB ，⊆AB 平面PAB ，∴ EF ∥平面PAB . ……………………5分（2）PA PC =Q ，E 为AC 的中点，PE AC ∴⊥ ……………………6分 又Q 平面PAC ⊥平面ABCPE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分PAC EBF又因为F 为BC 的中点，//EF AB ∴090,BC EF ABC ⊥∠=∴Q ……………………10分EF PE E =Q IBC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ⊂Q 面PBC∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（1）求证：BC 1PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥PAD MN 平面//CD MN ⊥图，正方形ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面； （2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．（1）证明：取AD 的中点N,连结FN,MN,则MN ∥ED ，FN ∥CD∴平面FMN ∥平面ECD. ∵ MF 在平面FMN 内,∴ FM ∥平面ECD ......5分 （2）连接EN, ∵AE=ED ，N 为AD 的中点，NMPDCBA∴ EN⊥AD.又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=12a,NP=24a.∴tan∠EPN=2. ......10分7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大.19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为r则有662xr-=,即32xr-=.∴2324)32(22xxxxrxSππππ-=-==圆柱侧.......5分（2）由（1）知当3)32(24=--=ππx时，这个二次函数有最大值为π6所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为26cmπ......10分8．（10分）如图，在三棱锥P ABC-中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o.（1）证明：AB⊥PC；（2）若4PC=，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P ABC-体积.解：（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。

高中立体几何典型题及解析

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高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。

求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。

∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=21AM 且E 为MD 的中点。

设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 43且ME=21MD=43 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=163+41=167∴cos ∠CNE=3243432167)43()43(222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+NECN CE NE CN ,又∵∠CNE ∈(0, 2π)∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为32.注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。

最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。

求异面直线AB 及CD 所成的角。

解析：在BD 上取一点G ，使得，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，，故EG//CD ，并且， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠FGE=215327532222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。

另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。

高三精选立体几何大题30题(含详细解答)

高三精选立体几何大题30题(含详细解答)

A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。

（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。

（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。