最新人教版高中数学必修4第一章任意角1

互动课堂疏导引导1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.终边落在y=-x 上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k ∈Z }.终边落在y=±x 上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k ∈Z }.活学巧用1.下列各命题正确的是( )A.终边相同的角一定相等B.第一象限角都是锐角C.锐角都是第一象限角D.小于90°的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除D.综上,应选C.答案：C2.(1)已知-990°＜α＜-630°,且α与120°角的终边相同,则α=___________.(2)在-720°到720°之间与-1 050°角终边相同的角是__________.解析：(1)∵α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,k ∈Z .又∵-990°＜α＜-630°,∴-990°＜k·360°+120°＜-630°,即-1 110°＜k·360°＜-750°.当k=-3时,α=(-3)·360°+120°=-960°.(2)与1 050°角终边相同的所有的角可表示为α=k·360°+(-1 050°),k ∈Z ,依题意得-720°＜k·360°-1 050°＜720°, 解得1211＜k ＜41211,∴k=1,2,3,4. 所求的角为1×360°-1 050°=-690°,2×360°-1 050°=-330°,3×360°-1 050°=30°,4×360°-1 050°=390°.答案：(1)-960° (2)-690°,-330°,30°,390°3.已知α是第一象限角,试确定2α是第几象限角. 解析：∵α是第一象限角, ∴2kπ＜α＜2kπ+2π(k ∈Z ),则kπ＜2α＜kπ+4π(k ∈Z ). 当k=2n 时,2nπ＜2α＜2nπ+4π, ∴2α为第一象限角. 当k=2n+1时,2nπ+π＜2α＜2nπ+45π, ∴2α为第三象限角. ∴2α为第一或第三象限角. 答案：第一象限或第三象限角.点评：已知α是第m 象限角(m=1,2,3,4),求na 角所在象限的问题,用“等分象限法”处理较好，先将各象限分成几等份，然后从x 轴正方向上方第一个区域开始，按逆时针方向依次标上1,2，3,4，1,2，3,4，…，周而复始，直至填完所有区域，出现数字m 的区域即为所求，例如：设α1、α2、α3、α4分别是第一、二、三、四象限角,则21α、22α、23α、24α分布如图1-1-4.图1-1-4。

第四章 三角函数
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考点目标定位
1.角的概念的推广.弧度制.
2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:
1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a
b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
的形式，再求其最值或周期等.。

定义 : 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．

例1.在0º～ 360º范围内，找出与下列各角
终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；
(2) 3410º
例2.写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中在－360º～720º间的角写出 来：
(1) 60º；
(2) －21º
课堂小结
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角具有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范 围内与已知角β 终边相同的角有且只有一个.
作业 ：
1、课本第5页练习:第2、3题 2、课本第9页习题1.1:第1、2、3题
顺时针旋转 30
0
30
0
（2）家中的钟表快了1小时5分钟，如何 校准？校准后分针旋转了多少度？
逆时针旋转 3900
390
0
两个形 状大小相同 的齿轮，互 相咬合。当 黄色齿轮按 逆时针方向 旋转整2周时 尝试分别写 出两个齿轮 此时旋转的 角度。
作终边
α
O 顶点
始边 A
（一）角的概念的推广
正角： 按逆时针方向旋转形成的角.
负角： 按顺时针方向旋转形成的角.
零角： 一条射线没有作任何旋转，称形成零角.
① 角有正负之分;
② 角可以任意大;
③ 还有零角。
问题回顾（请用任意角的概念回答）
（1）家中的钟表慢了5分钟，如何校准？ 校准后分针旋转了多少度？
0 0
0
(二)象限角
象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重 合,始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.