高中数学1.1.1任意角教案(2)新人教A版必修4
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任意角
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”
的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。
生：略
师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
S={β|β=α+k×3600，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。
二、例题选讲
例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）600；（2）-210；（3）363014，
解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是
600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200.
（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是-210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990
说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是
363014，+（-2）×3600=-356046，363014，+（-1）×3600=3014，363014，+0×3600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2．写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。
解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }
（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }
同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }
提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？
师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }={β|β=900+2k×1800，k∈Z } (1)
S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z }
={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z } (2)
师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。
因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式
可统一写成900+n ×1800（n ∈Z ），故终边在y 轴上的角的集合为
S= S 1∪S 2 ={β|β=900+2k ×1800，k ∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k ∈Z }
={β|β=900+n ×1800，n ∈Z }
处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x 轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
（思考后）答：{β|β=k ×1800，k ∈Z },{β|β=k ×900，k ∈Z }
进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
答：{β|β=450+n ×1800，n ∈Z }
推广：{β|β=α+k ×1800，k ∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）
处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。
例1 若α是第二象限角，则α2，2α，3α
分别是第几象限的角？
师：α是第二象限角，如何表示？
解：（1）∵α是第二象限角，∴900+k ×3600<α<1800+k ×3600（k ∈Z ）
∴ 1800+k ×7200<2α<3600+k ×7200
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y ．轴的非正半轴上．．．．．．．。
（2）∵)(90180245180Z k k k ∈+⋅<<+⋅ α
，
处理：先将k 取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律： 当)(2Z n n k ∈=时，)(903602
45360Z k n n ∈+⋅<<+⋅ α，2α是第一象限的角； 当)(12Z n n k ∈+=时，)(2703602225360Z k n n ∈+⋅<<
+⋅ α，2α是第三象限的角。
∴2α
是第一或第三象限的角。
说明：配以图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。
（3α
是第一或第二或第四象限的角）
进一步求α-是第几象限的角（α-是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。
三、例题小结
1． 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；
2． 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k 取不同的值讨论型如
θ=a+k ×1200（k ∈Z ）所表示的角所在的象限。
四、课堂练习
练习2 若α的终边在第一、三象限的角平分线上，则α2的终边在y 轴的非负半轴上. 练习3 若α的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与3α
角的终边相同的
角。
（200，1400，2600
）
（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。
（{α| 1200+k ×3600≤α≤2500+k ×3600，k ∈Z}；是）
探究活动
经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？
五、作业
A 组:
1．与
终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．
2．在0o ~360o 范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265 （2）－1000o （3）－843o 10’ （4）3900
o。
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