构造法在解题中的应用-数学
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构造法在解题中的应用内容摘要构造这种方法它的实质是先去分析要解决的问题它的内在在结构上有什么样的特征和性质，或者说有什么样的规律，用上自己至今为止学过的所有数学知识，构造一个与要解决的问题有密切关系的数学模型，这样呢就把原来的问题转化为比较容易求出答案的新问题，通过这种模型问题就会转化，很快得到答案。
在面对比较复杂，具有一定难度的题目时，使用构造法可以帮助我们攻克难题，使问题简单化，本文将重点描述在解题中怎样巧妙使用构造法。
具体的说，本文将主要来写以下几个问题：构造不等式、构造数列、构造辅助函数、构造级数等。
【关键词】构造法不等式数列函数级数The application of construction method inproblem solvingAbstractConstruct the essence of this method it is to analyze the problem to be solvedfirst what were some of its inherent in the structure characteristics and properties of,or what kind of rule, using his so far learned all of the mathematical knowledge,construct a have close relationship with the problem of the mathematical model of it isto convert the original problem into is easier to find out the answer of new problems,and through this model will transform, get the answer soon.In the face of more complex, with a certain degree of difficulty, the use ofconstruction method can help us overcome the problem, make the problem simple,this paper will focus on how to use construction method in solving the problem.Specifically, this paper will mainly write the following problems: constructing inequality,constructing sequence, constructing function, constructing series, etc【Key words】construction method inequation sequence function series一、引言我们知道数学思想其实就是对数学内容的一种概括总结，一种提炼升华，理解数学思想是我们学好数学的一个重要步骤，也是我们学习数学的必经之路。
我们从学习数学开始就在不断地接触数学思想，像一些类似于数形结合的思想、类比思想、转化思想等等我们早都已经烂熟于心，除此之外，我们经常会用到的却也往往被忽略的一种数学思想就是构造思想，构造思想对于解决一类题目具有良好的辅助作用，我们在学习的过程当中，不仅仅要学习定理、学习方法、学会证明、学会应用，也要重视对数学思想的深入理解，它会使我们提高自身的数学素养，使我们对数学的理解、数学知识的应用等各个方面都有一个大幅度的提升。
（一）构造思想构造思想，其实质就是我们在解决问题的过程当中，构造出一个新的、有利于问题解决的事物，它可以是图形、不等式、多项式、辅助函数、级数、数列等等，这种构造的强大之处在于它往往会把复杂的问题简单化，有了这种新的构造，可以将原来的数学问题进行一个形式上的转化，变为一个一目了然的新问题，并且处理起来更加轻松。
这种借助于构造出的新的事物的性质进行解题的思想就是构造思想。
（二）构造思想的功能构造思想最突出的优点就是他可以把复杂的问题简单化，把一个我们原来无从下手的问题通过简单的构造进行解决，对于一个比较难的题目我们甚至可以一眼就能够看出结果，这也是构造法的神奇之处。
构造法在数学问题的应用当中是十分灵活的，在解决问题的过程当中，对于不同的问题我们的构造的方法也往往不同，而对于同样的一个问题，我们也可以有不同的构造方法。
面对题目怎样去找到最适合、最简单的构造方法，这需要我们在大量的练习大量的实践中不断积累。
本文将主要以例题的形式分别从构造数列、构造不等式、构造级数、构造辅助函数等四个方面直观的展现构造思想在解决复杂数学问题时的简便之处。
二、构造不等式对于一些比较难证明或者求解的极限问题，可以通过构造不等式，利用构造出的不等式的性质，将题目中需要求证的问题转化为易于解决的问题，之前十分棘手的问题解决起来可能就会是眨眼间的事情。
例1、证明：limn→∞(11+n2+22+n2+⋯+nn+n2)=12证明：构造不等式：z n≤x n≤y n，其中：x n=11+n2+22+n2+⋯+nn+n2y n=11+n2+21+n2+⋯+n1+n2z n=1n+n2+2n+n2+⋯+nn+n2因为limn→∞y n=limn→∞z n=12，所以根据极限的迫敛性题目得证。
三、构造数列在解等式（或不等式）问题时，可以构造一个适当的数列去辅助解题。
与自然数n 有关的题目一般来说比较复杂，解决起来难度较大，甚至会感觉无从下是，这时我们可以对题目进行一些简单的分析，从题目出发，从而找到一个可以帮助我们的数列，将问题转化为一个数列方面的问题，运用数列的一些知识解答有时会更加方便，复杂的不等式就会变得更加简单。
例1、对于一切大于1的自然数n ，证明：(1+13)(1+15)⋯(1+12n −1)>√2n +12证明：构造数列：a n =√2n+1+13)(1+15)⋯(1+12n−1)， 于是，要证明(1+13)(1+15)⋯(1+12n−1)>√2n+12即证明a n >1， a n+1a n =√2n +1√2n +3(2n +22n +1)=2(n +1)√4n 2+8n +3>2(n +1)√4n 2+8n +4=1 则可以得到，a n+1>a n ，即数列{a n }是递增的，又由于a 1=3√3>1，于是a n >a 1>1，则题目所求证的不等式成立，即(1+13)(1+15)⋯(1+12n−1)>√2n+12。
例2、求证：1−12+13−14+⋯+12n −1−12n =1n +1+1n +2+⋯+1n +n 证明：构造数列a n =(1−12+13−14+⋯+12n −1−12n )−(1n +1+1n +2+⋯+1n +n)(n =1,2,3,⋯) 只需证a n =0， a n+1−a n =12n +1−12n +2+1n +1−12n +1−12n +2=0 所以{a n }是常数列，又因为a n =(1−12)−12=0，所以a n =0，原式成立，证毕。
总结:一些带有n 的不等式或者等式的证明问题，我们如果直接解答比较困难的话，可以尝试去构造一个数列，分析构造出的数列的单调性，结合单调性去解答。
四、构造函数构造辅助函数的方法是构造法当中应用比较广泛的一种方法，其过程主要是从原题目中所求证或者求解的问题出发，对它进行移项、变形、转换或者积分等过程，从而构造出一个新的函数。
函数是数学当中一个十分重要的同时应用也十分广泛的概念，是我们学习数学进而学好数学必须认真掌握的一部分内容。
我们在解题的过程中，通过构造辅助函数，把原来的问题进行一个简单的变形，从而达到帮助我们解题的目的，会使一个一开始在我们眼里没有思路的问题变得一目了然。
我们使用构造辅助函数进行简化题目的前提是我们对于函数的概念、性质等都十分熟悉，能够灵活的运用构造的新的函数的性质。
辅助函数的构造并不唯一，所以怎样构造出有利于我们的辅助函数是一个难点。
我们可以对题目进行一些简单的分析，进而构造出最简单、最适合的辅助函数。
构造辅助函数进行解题是一种很巧妙的方法，同时对于有些题目来说，辅助函数并不容易找到，这需要我们通过长时间的做题去慢慢积累。
（一）构造函数证明不等式1.构造辅助函数证明伯努利不等式（1）伯努利不等式：在x>−1时：(i) r≥1:(1+x)r≥1+rx；(ii)r∈(0,1):(1+x)r≤1+rx；证明：（i）构造函数，r≥1时令g(x)=(1+x)r−1−rx则：g′(x)=r(1+rx)r−1−r=r[(1+x)r−1−1]，代入0：得到g′(0)=0，从而对于任意的x∈(−1,0): g′(x)<0 ;x∈(0,+∞): g′(x)>0；g′(x)在区间(−1,0)上是单调递减的，在(0,+∞)上单调递增，可得：g(x)≥g(0)=0，即g(x)≥0；于是：r≥1:(1+x)r≥1+rx；（ii）r∈(0,1)时，同理，可以构造函数，令g(x)=(1+x)r−1−rx则：g′(x)=r(1+rx)r−1−r=r[(1+x)r−1−1]代入0，g′(0)=0，那么对于任意的x∈(−1,0): g′(x)>0 ; x∈(0,+∞): g′(x)<0；g′(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，于是，可以解得g(x)≤g(0)=0，即g(x)≤0；证得：r≥1:(1+x)r≤1+rx；（2）伯努利不等式的推广：二项式展开为：(x+y)n=∑(nk)x k y n−knk=0=x n+C n1x n−1y+⋯+C n n−1xy n−1+C n n y n当x=1,y=ℎ时，代入上式，可得：(1+ℎ)n=C n0+C n1ℎ+⋯+C n n−1ℎn−1+C n nℎn即，可以推出：(1+ℎ)n≥1+nℎ(1+ℎ)n≥n(n−1)2ℎ2 n≥2(1+ℎ)n≥n(n−1)(n−2)3!ℎ3 n≥3⋮(1+ℎ)n ≥C n k ℎk由二项式展开，可以看出，伯努利不等式也是成立的。
2.构造辅助函数证明施瓦茨不等式施瓦茨不等式是一个在多个领域都有重要应用的不等式，同时它也是数学当中最重要的不等式之一，对于施瓦茨不等式的证明方法有许多种，然而通过构造出一个辅助函数，然后证明施瓦茨不等式的方法仅仅是其中的一种。
（1）施瓦茨不等式：设f (x )，g (x ) 在[a,b]上可积，则(∫f(x)g(x)dx b a )2≤∫f 2b a(x)dx ∫g 2b a (x)dx特别的：g (x )=1时，(∫f(x)dx b a )2≤(b −a)∫f 2b a (x)dx 证明：(i)若∫f 2b a (x)dx 与∫g 2b a (x)dx 有一个不为零，不妨设前者大于零，此时构造函数：[tf (x )−g(x)]2，显然∫[tf (x )−g(x)]2ba dx ≥0，展开就有t 2∫f 2b a (x )dx −2t ∫f (x )g (x )dx +∫g 2b a (x )dx b a ≥0，∀t ∈ℛ将上述看成是关于t 的一个一元二次的不等式，我们可以得到判别式△≤0，即(∫f(x)g(x)dx b a)2≤∫f 2b a (x)dx ∫g 2b a (x)dx(ii)若∫f 2b a (x )dx =∫g 2b a (x )dx =0，此时根据平均值不等式有：(∫f(x)g(x)dx b a )2≤(∫|f (x )g (x )|dx b a)2≤(12∫[f 2(x )+g 2(x )]dx b a )2dx =0 综合(i)，(ii)可以证得：(∫f(x)g(x)dx b a )2≤∫f 2b a (x)dx ∫g 2b a (x)dx补充：当f (x )，g (x )两者都是连续函数的时候，我们知道施瓦茨不等式在函数f (x )与g (x )线性相关（即存在不全为零的实数a,b 使得af (x )+bg (x )=0）时等号是成立的。
