[数学][高中数学解题思维与思想]

课程篇随着高中数学知识点的难度不断增加，很多学生在恒成立问题的解题方法上都了解得不够透彻，其中恒成立问题所涉及的数学知识范围也比较广，例如：一次函数、二次函数。

因为高中数学知识涉及的内容和范围非常大，所以在恒成立问题解决方面所涉及的思路也非常多，这让很多学生遇到恒成立问题相关题型非常难解，从而影响了数学整体成绩。

一、掌握高中数学恒成立问题的解题方法和思路的意义在数学学习中恒成立的问题主要出现在函数知识点中，即在已知的条件下，无论在题型中变量如何变化，其结果和命题都能够成立，这就是恒成立。

恒成立问题在数学学习中主要考查的就是学生抽象思维能力、对问题的推理能力以及对相应数形结合思想的应用等，所以恒成立问题能够最大限度地提高学生的综合学习能力。

学生在数学学习的过程中主要是依靠学生的逻辑思维解答相应的题目，这就是数学与高中其他科目不同的地方，所以学生若是想要提高数学的成绩，就需要寻找有效的解题方式和思路，并在解答的过程中灵活运用相应的公式，这样就能解决恒成立的相关问题。

二、高中数学恒成立问题的解题方法和思路1.一次函数的恒成立下面将利用案例来解释一次函数的恒成立问题：问题：一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4，在函数中对任意值x∈［-1，1］，f（x）>0恒成立，就其实数n的取值范围。

解题分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的图象中可以得知，若对x∈［-1，1］，f（x）>0恒成立，则f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n>103，由此可以解得实数n的取值范围是［103，+∞］。

本次解题的主要思想就是利用一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4的图象，这样在不等式中，就可以直接化解为一元一次不等式组的问题，从而也为学生提供了更加便捷的思路，让整个考题更加简单，思路更加清晰。

2.二次函数的恒成立在高中数学教学过程中，二次函数的知识点是非常重要的，在数学考试中也占有非常大的比例，所以教师在进行二次函数的恒成立解析过程中，需要更加细致地进行讲解。

《高中数学解题思维与思想》导读数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。

三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。

四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。

什么”转变，从而培养他们的思维能力。

《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。

一、高中数学解题思维策略第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。

根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。

观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。

要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。

例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n .这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。

（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。

稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。

因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。

高中数学36个解题思维模板发布时间：2021-02-19T10:54:46.203Z 来源：《基础教育课程》2020年12月作者：孙其华[导读] 高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。

但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。

如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。

以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。

山东省一线教师孙其华高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。

但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。

如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。

以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。

1.考查函数奇偶性+单调性+对称性+周期性的三角函数图像模板（考查奇函数，可利用正弦函数图像，作为一种特殊情景；同样，偶函数可利用余弦函数图像。

）2.函数图象解题“三步走”模板（第一步奇偶性，第二步代点，第三步求导、取极限、看趋势。

）3.偶函数图像+比较大小模板（看图像开口方向，如果开口向上，横坐标绝对值大的对应的函数值大，开口向下则相反。

）4.三角函数奇偶性模板（如果y=Asin(ωx+φ)是奇函数根据奇变偶不变原则，φ=kπ；如果是偶函数，φ=1/2kπ；对于余弦函数，则相反。

）5.三角函数计算题模板（两角互补，正弦相等，余弦相反，正切相反；两角互余，正弦等于余弦，正切等于余切；降幂会升角，降角则升幂；正弦+余弦，只要角一致，指数一样，则辅助角公式如果化简后指数呈现二倍关系，则转化成一元二次函数求最值问题。

）6.三角函数图像性质整体分析模板（对于正弦型函数问题，一定不要研究正弦函数图像本身，而应该整体代换，去繁就简，转化成正弦函数图像问题。

对于余弦型函数，也是一样。

）7.线性规划问题步骤模板（首先画可行域，其次目标函数化为斜截式形式，然后去移动、定点。

高中数学八种思维方法是什么如何做到高中数学的八种思维分别是：转化思维、逆向思维、规律思维、创新思维、类比思维、对应思维、形象思维、系统思维。

高中数学的八种思维方法一、解答数学题的转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过转变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简洁、更清楚。

二、逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的好像已成定论的事物或观点反过来思索的一种思维方式。

敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向进展，从问题的相反面深化地进行探究，树立新思想，创立新形象。

三、规律思维，是人们在熟悉过程中借助于概念、推断、推理等思维形式对事物进行观看、比较、分析、综合、抽象、概括、推断、推理的思维过程。

规律思维，在解决规律推理问题时使用广泛。

四、创新思维是指以新奇独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思索问题，提得出与众不同的解决方案。

可分为差异性、探究式、优化式及否定性四种。

五、类比思维是指依据事物之间某些相像性质，将生疏的、不熟识的问题与熟识问题或其他事物进行比较，发觉学问的共性，找到其本质，从而解决问题的思维方法。

六、对应思维是在数量关系之间(包括量差、量倍、量率)建立一种直接联系的思维方法。

比较常见的是一般对应(如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系)和量率对应。

七、形象思维，主要是指人们在熟悉世界的过程中，对事物表象进行取舍时形成的，是指用直观形象的表象，解决问题的思维方法。

想象是形象思维的高级形式也是其一种基本方法。

八、系统思维也叫整体思维，系统思维法是指在解题时对详细题目所涉及到的学问点有一个系统的熟悉，即拿到题目先分析、推断属于什么学问点，然后回忆这类问题分为哪几种类型，以及对应的解决方法。

怎么培育数学思维方法一：要形成特定的数学思维。

数学不同于语文、英语等语言性学科，它对思维力量要求较大。

学习高中数学有什么好的方法1掌握好公式定理（如果这步不做，想学好数学就是在做白日梦，想一想没有武器的士兵如何去打战。

）不管学数学的目的是为考试，还是兴趣，都要掌握公式定理这个必备的武器，这样才能在题目的战场上施展拳脚。

学习数学时，对于公式定理一般要经历三个过程：○1认识；○2理解；○3应用○1认识：能认出,识别公式定理○2理解：能明白公式定理的内容及其推导方法，适用范围○3应用：懂得在题目中如何应用公式定理来解题，应用什么公式定理来解题所谓掌握是指是指达到应用水平，2按时完成作业（要按时认真完成学校定的配套，这是基本功，想一想没有训练的士兵如何上得了战场）适当的训练是培养考试能力必不可少的的途径（考试能力是指思维能力，做题技巧，得分技巧，做题速度，答题规范等）但切忌不要搞题海战术，因为这只对简单的题有效，稍微改变一下条件就可能蒙了。

（题海战术是指不停的做题，做大量的题，而不进行必要的总结思考，对错题只做修改而不查找原因）而且人的生命是有限的，没有无限的时间做题，只有总结规律才是王道（规律即答题的固定步骤，解题的方法等，这可避免想题时没有方向）3养成独立思考的习惯不懂时一定要先自己思考一下，实在不行时再问同学或老师，不能一遇到不懂的就立即问同学老师，这样会使大脑得不到锻炼，对他人产生依赖，成绩就会不升反降。

（不懂也不能放弃，如果不懂就放弃的话就永远学不好数学）4要总结自己的强项和弱项，及时查漏补缺(即知道考试时什么题目自己能做得又快又准，什么题目自己做的出来但较慢，什么题目自己做不出来，并进行有针对性的练习，这样考试才不会太紧张）中学数学的基本知识分三类：①是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、数列等；②是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；③是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何，函数等根据这三类来分类自己的强弱项。

形成一套属于自己的学习流程（学习流程即知道上课前，上课时，上课后该干什么，在学校，在家里该干什么）5合理安排考试时的时间考试时合理安排好答题时间，不要因一道小题而没做大题，也不要害怕答大题，往往大题的第一问都较容易，有时根据条件推出一些简单的结论也能得分（你可能不知道这些结论有什么用）掌握几个考试时放松的技巧，防止怯场平时可自己模拟考试场景练习一下6要肯脚踏实地的去努力不要因为一些同学学数学看起来很轻松就认为他们有秘籍或他们是天才，不用努力。

高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。

分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。

应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。

如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。

高考数学：数学解题七大基本思想方法为您准备“高考数学：数学解题七大基本思想方法”，欢迎阅读参考，更多有关内容请密切关注本网站高考栏目。

高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。

第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

从感性到理性、从具体到抽象————谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量,有限与无限的对立统一的关系。

借助有限与无限思想,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确。

在初等微积分的学习中应抓住基本概念,突出内在的联系,贯穿基本思想方法。

具体说来,以数列极限为基础,突出微分、积分及其内在联系。

极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养,贯穿了微积分的全部内容。

从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看,已开始摆脱具体事物的形式,进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段,开始向更高级的思维——辩证思维形式发展。

其本质问题是对无限的认识,让学生从感性材料中去感受和体验。

提炼和概括,逐步上升到理性认识,感受抽象思维的过程和辩证思维的体现。

《新课标》倡导数学课程“强调本质,注意适度形式化”。

高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质,由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语,这些词语都比较抽象。

因此在极限的概念教学过程中,我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限。

内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁,尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上,可以使解法简化,并能使问题的研究更为深入全面。

以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时,更多的是对不等式的研究,从某种意义上来说,不等式的证明方法多种多样,没有较为统一的方法,初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决,或运用已有的基本不等式来证明,往往需要恒等变形,而运用微积分的知识和方法,如函数单调性、极值判定法,可以简化不等式的证明过程,降低技巧性。

例题已知函数1()ln 1x f x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时,3()2()3x f x x >+； （Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立,求k 的最大值． 分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式,复合函数的求导法则,考查导数的几何意义,导数的正负和函数单调性的关系。

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。

主元法所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”,将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题,其本质是函数与方程思想的应用． 有些看似复杂的问题,如果选取适当的字母作为主元,往往可以起到化难为易的作用。

下面举例说明：例1.一次函数的保号性对任意m ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零,求x 的取值范围． 分析：此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于x 的二次函数进行讨论,后续步骤比较繁琐；但是若变换一个角度,以m 为变量,使g(m)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 则问题转化为求一次函数（或常数函数）g(m)的值在[-1,1]内恒为正时,参数x 应满足的条件——“换位”思考优势明显.解析：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4, 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上,g (m )的值恒大于零,所以22(1)(2)(1)440(1)(2)1440g x x x g x x x ⎧-=--+-+>⎪⎨=-⋅+-+>⎪⎩解得x <1或x >3. 故当x <1或x >3时,对任意的m ∈[－1,1],函数f (x )的值恒大于零． 总结：一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数. 例2. 二次函数有解问题如图,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。

(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小）,其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它？说明理由。

高中数学解题的思维策略总结及分享老师在对学生进行教学过程中，需要对学生数学思维进行培养，而解题思维作为重要的数学思维，自然也是教师关注重点，本文将以北师大版教材为例，对高中数学解题思维策略进行总结，期望能够与业界同仁进行分享。

标签：严密性思维；数学解题思维；高中数学；定势思维一、注重对学生发散性思维的培养北师大版教材是经过精神编制的，其中的教学内容安排以及难度安排较为合理，能够对学生发散性思维培养形成良好辅助，所以老师要对该教材展开深度研究，要按照教学大纲以及高中生数学培养标准，对学生解题思维能力培养方案进行制定，以便对学生展开系统、详细的知识点讲解，确保学生知识点盲点能够被扫清，以达到对学生数学知识学习效率进行强化的目的。

同时因为一道题目中，会有多种解题方式，所以在对学生进行解题思维培养时，也会达到良好效果。

以北师大版必修五3.2《解不等式》一课的教学为例。

在进行本课教学时，筆者利用数学题“一题多解”的特点，利用1<|x3-1|<6这一题，对学生展开了发散性思维的培养。

首先，笔者按照学生综合情况对其展开了科学分组，并要求学生以小组为单位，对本题解题方式进行研究。

其次老师要邀请学生上台对小组研究结果进行展示，并请其他小组学生对其进行评价，确保学生可以通过这种方式，相互启发、相互辅助，进而不断学生发散性思维的发展。

最后要对学生发言进行总结，要对学生所得到的问题解题思路利弊进行客观分析，并要注意对学生自尊的保护，要在保证不损害学生学习积极性的前提下，对学生思路进行适当点拨，进而使学生可以在老师的辅助下，准确得到相应的解题结果。

二、改变学生定势思维模式从心理学层面而言，个体在开展某项活动之前，事先做好准备的心理状态便是“定势”。

而高中生在进行数学问题解答过程中，很有可能会受到定势影响的影响，可能会因为长期思维模式与解题模式的左右，而出现一种无意识的解题习惯，会对学生解题思维养成形成直接阻碍。

高中数学思想和解法教案
学科：数学
年级：高中
课时：1课时
教学目标：了解高中数学的思想和解法，掌握其中的重要概念和方法。

教学重点：数学的思想和解法
教学难点：抽象思维和逻辑推理
教学准备：教材《高中数学》、教学投影仪
教学步骤：
1.导入：通过一道简单的数学问题引入本课的学习内容，激发学生对数学思想和解法的兴趣。

2.讲解：向学生介绍高中数学的核心思想和解法，包括抽象思维、逻辑推理、数学建模等内容，让学生了解数学的本质和意义。

3.示范：通过几个例题演示高中数学的解题方法和思维过程，让学生了解如何运用所学知识解决实际问题。

4.练习：让学生进行一定数量的练习题，巩固所学知识，培养解题能力和思维逻辑。

5.总结：对学生进行总结，强调数学思想和解法在数学学习中的重要性，鼓励学生多动脑思考，勇于挑战问题。

6.作业：布置相关练习题作为课后作业，加深学生对数学思想和解法的理解和掌握。

教学反思：通过本课的教学，希望学生能够认识到数学的思想和解法是数学学习的核心，能够灵活运用所学知识解决各种问题。

同时，也希望能够引导学生养成良好的思维习惯和解题技能，为将来的学习和生活打下坚实的数学基础。

高中数学基本数学思想1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化,即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的,这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此,化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证2.逻辑划分思想(即分类与整合思想):是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有:按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是: 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑,而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想):就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.4. 数形结合思想:将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系,使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本数学思想.5. 整体思想:处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论,信息论,系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中,为了便于掌握和运用整体思想,可将这一思想概括为:记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?),想着目标(向着目标步步推理,必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系,抓变化,或化归;或数形转换,寻求解答.一般来说,整体范围看得越大,解法可能越好.在整体思想指导下,解题技巧只需记住已知,想着目标, 步步正确推理就够了.中学数学中还有一些数学思想,如：集合的思想;补集思想;归纳与递推思想;对称思想;逆反思想;类比思想;参变数思想有限与无限的思想；特殊与一般的思想。

高中数学常用的数学思想一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。

”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、再现性题组：1.设命题甲：0<x<5；命题乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略引言“数学是思维的体操”“数学教学是数学（思维)活动的教学。

”学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合,因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。

作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。

高中数学思维中的重要向题它可以包括：高中数学思维的基本形式高中数学思维的一般方法高中数学中的重要思维模式高中数学解题常用的数学思维策略高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究;高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等）研究;高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性高中数学思维的基本形式从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a 同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式. 3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。

二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。

3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。

4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。

5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感.6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。

高中数学难题解题思路的“大道至简”高中数学难题的解题思路可以概括为“化繁为简，灵活运用”。

熟练掌握数学思想：例如，函数思想是解决“数学型”问题中的一种思维策略。

通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

此外，函数方程的思想，归纳演绎的思想、数形结合、符合化思想、整体思想(不仅仅在物理中使用).......。

例如，遇到一个函数同构比大小的证明问题，优先观察题目给出的特点，先尝试同构，而不是惯性思维直接做差进行比较。

数学语言的语义训练：对于数学高考题目的难点就在于分析和转化，分析要求大家读懂题目，不是简单的认识字，而是要联系学过的知识，清楚有多少种解答的方法。

转化也是非常考验解题能力，怎样转化（高考数学题核心转化一般在4步以内），通常在难题解答时，也就是说换种说法，马上就有了解题思路，这也是日常训练中对于数学的语义做重点训练的原因。

注意特殊与普通意义的联系：一些命题在普遍意义上成立时，在个别情况下一定也成立。

根据这个标准，可以确定选、填题中的正确答案。

注意：特殊、极限的情况同样适用于探求主观题的解题思路，很有效（先假设后证明）。

例如，x属于实数，那么特殊值肯定符合，在抽象函数中体现的尤为明显。

用极限计算法则思考题目：对要求的未知量，先设想一个与它有关的变量，确认变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，构造函数或数列，并利用极限计算法则得出结果，或者利用图形的极限位置计算出结果。

善用分类讨论法解题：解数学题时，通常到某一个步骤时，不能用统一的方法和公式继续下去，因为被研究的对象包含了多种可能。

此时，用分类讨论法来考虑多种可能性，全面地解决问题。

例如，含参问题解决的优先方法是分离参数，在分类讨论。

注意：分类讨论高考有轮换考的趋势，例如今年考了，隔年考的概率很大。

逆向思维：从问题的反面或侧面思考可能会有意想不到的收获。

以待求量作为已知量进行缺步解答，对于一些疑难问题，如果无法一次性解决，可以将其划分为一个个子问题或一系列的步骤，逐个解决。

高中数学思维分享教案
教学目标：
1. 学习掌握数学问题的解题思维，培养良好的数学思维能力。

2. 培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力。

3. 提高学生的数学学习兴趣，激发学生对数学的热爱和探索欲望。

教学内容：
1. 数学问题解题思维
2. 数学问题解题方法
3. 数学问题解题策略
教学步骤：
1. 导入：向学生展示一个有趣的数学问题，引起学生兴趣。

2. 学习：介绍数学问题的解题思维，包括分析问题、理清关系、找出规律等。

3. 实践：给学生提供多个数学问题，让学生尝试解题，并引导他们探索解题方法和策略。

4. 总结：让学生分享他们的解题过程和思路，让他们互相学习和交流。

5. 拓展：鼓励学生进一步思考和探索数学问题，并提供更复杂的问题供学生挑战。

教学手段：
1. 教师讲解
2. 学生讨论
3. 小组合作
4. 游戏互动
教学评价：
1. 观察学生在解题过程中的思维活动和表现，包括分析问题的能力、寻找解题方法的能力和运用策略的能力。

2. 收集学生解题作品，评价学生在解题过程中的思路和策略。

3. 鼓励学生相互评价，帮助彼此提高解题能力。

教学反思：
1. 总结学生在解题过程中的常见错误和困难，为下一次教学提供参考。

2. 总结教学方法和手段的有效性，不断改进教学策略，提高教学效果。

备注：本教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据实际情况做相应调整。