交通大学电气工程学院
非线性电路报告蔡氏电路的Matlab仿真研究
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蔡氏电路的Matlab仿真分析
摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究。
从理论分析和仿真两个角度分别研究蔡氏电路中的混沌现象。
蔡氏电路是一个典型的混沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。
在Matlab 的平台上编制相关系统
对蔡氏电路进行了仿真研究。
关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言
随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。
而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一，其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路。
在这个电路中观察到了混沌
吸引子。
蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路过计算机仿真和示波器观察到。
经过若干年的研究及目前对它的分析，无论是在理论方面、模拟方面还是实验方面均日臻完善。
在理论和实践不断取得进展时，
人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实。
1混沌概念及其相关特征
1.1混沌和吸引子的定义
混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。
（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。
（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分，轨道线具有遍历性和混合性。
遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。
混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。
若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。
吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。
系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。
奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。
奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。
它具有自相似性,同时具有分形结构。
奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。
奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
1.2混沌的基本特征
混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统部各变量之间的强非线性耦合。
因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。
二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。
混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。
2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
2.1蔡氏电路的构成
蔡氏电路是一个典型的混沌电路。
蔡氏电路实验电路图如图1所示。
电路中的电感L 和电容C 1、C 2并联构成一个振荡电路。
R 是一个有源非线性负电阻元件，电感L 和电容C 2组成一损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R 和电容C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
图1.蔡氏电路图
图2.有源非线性负电阻伏安特性曲线
蔡氏电路的状态方程式为：
C 1dUc 1/dt=G （Uc 2－Uc 1）－gUc 1
C 2dUc 2/dt=G(Uc 1－Uc 2)+i L
Ldi L /dt= －Uc 2
式中U C1,U C2分别为电容C 1,C 2上的电压；i l 为电感L 上的电流，G=1/R 0为电导；g 为R 的伏安特性函数。
当R 为线性电阻时，g 为常数，电路为一般振荡电路，此时把C 1和C 2两端的电压分别输入到示波器的x,y 轴，显示的图形是椭圆形；当R 为非线性负电阻时，其伏安特性如图2，此时把C 1 和C 2两端的电压分别输入到示波器的x,y 轴，调节G 的值就会观察到不同的混沌现象。
3蔡氏电路的Matlab 仿真分析
以下是蔡氏电路平衡点出的仿真。
为了进行计算机仿真分析，我们令
2
71L L α==，22100L CR β==
取2.00-=m ，4.01=m 。
设置的初值[0.1;0.1;0.1]，仿真时间为[0,200]。
蔡氏电路的仿真程序如下：
function simulation_chua
clc;
clear;
[t,y]=ode45(chua,[0,200],[0.1;0.1;0.1]);
figure;
plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3));
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
figure;
plot(t,y(:,1),'-');
xlabel('t');
ylabel('X');
title('Chua system ');
figure;
plot(t,y(:,2),'-');
xlabel('t');
ylabel('Y');
title('Chua system ');
figure;
plot(t,y(:,3),'-');
xlabel('t');
ylabel('Z');
title('Chua system ');
figure;
plot(y(:,1),y(:,3))
figure;
plot(y(:,1),y(:,2))
figure;
plot(y(:,2),y(:,3));
xlabel('il1'),ylabel('uc'),zlabel('1')
grid
function dy=chua(t,y)
ga=-0.2; gb=0.4; bp=1;
aa=7; bb=10;
a=0.5;
ia=gb*y(1)+a*(ga-gb)*(abs(y(1)+bp)-abs(y(1)-bp)); dy=[ aa*(y(2)-ia)
y(1)-y(2)+y(3)
-bb*y(2)];
仿真结果如下图：
4混沌电路的几种应用
基于混沌电路的特性，它在许多领域中有重要的应用。
但由于目前混沌学仍处于研究阶段，故其应用并不完善，出现的一些问题还有待解决。
1．通信中的应用：使强度更大的混沌信号和真实信号同步，由于混沌信号具有信号频谱宽、类似噪声、随机不可预测等特性，当真实信号被混沌信号所掩盖时，攻击者就很难从传输信号中分离出原始真实信号。
另外要求收发两端使用相同的混沌系统以及系统参数和状态初值，使系统同步并输出相同的混沌信号，以便正确地恢复信号[5]。
2．自动控制中的应用：考察非线性混沌系统的输出信号与输入信号的自反馈耦合，或者从系统外部强迫注入某一周期信号，或者直接将系统自身的输出信号取出一部分经过一定的时间延迟后再反馈到原混沌系统中去．作为控制信号，通过调节控制因子及控制信号的大小实现稳定控制。
3．传感应用：混沌具有初值敏感性, 当其结构参数稳定时,初始值与动力轨道在一定的时间是一一对应的, 而且对于微小的初值变化, 其运动轨迹就会出现指数分离。
若初值细微变化是由混沌系统中的传感元件随被测参数变化而引起的, 则轨迹之间的巨大差异就能直接反映被测参数的大小。
这种混沌型传感器具有很高的灵敏度和分辨率, 特别适用于微应变、微应力的测量；微量变化物参数的测量。
