高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法

高中数学思想方法引言高中数学是学生学习的一门基础学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要工具。

高中数学的学习过程不仅仅是对知识点的灌输，更重要的是培养学生的数学思想和方法。

在高中数学的学习过程中，学生需要掌握一些数学思想方法，这些方法能够帮助学生提高解题的效率和准确性，培养逻辑思维能力，提升数学素养。

本文将介绍一些常用的高中数学思想方法，包括归纳法、假设法、逆向思维、模型构建等。

归纳法归纳法是一种从已知事实出发，寻找规律、推导结论的思维方法。

在高中数学中，归纳法常用于解决数列、函数等问题。

具体步骤如下：1.观察已知的一组数据或事实，寻找其中的共同点和规律；2.根据已知的规律，推断未知数据的特点；3.使用已经找到的规律验证推断的正确性；4.根据已经验证的规律，进一步推导结论。

归纳法的优点在于能够从已知事实中总结经验，发现隐藏的规律，通过简单的推理，得出复杂的结论。

假设法假设法是一种先假设一个条件，然后根据这个条件推导结论的思维方法。

在高中数学中，假设法常用于解决反证法或者证明问题。

具体步骤如下：1.假设一个条件或者结论，然后根据这个假设进行推导；2.判断这个假设的逻辑是否成立，即推导的过程是否正确；3.如果假设的条件导致结论成立，则说明原命题或问题得证；4.如果假设的条件导致结论不成立，则说明原命题或问题不成立，可能需要调整假设。

假设法的优点在于能够从已知条件出发，通过推导与验证，找出问题的根本原因或结论的成因。

逆向思维逆向思维是一种从结果出发，逆向寻找问题解决方法的思维方法。

在高中数学中，逆向思维常用于解决逆向推理、逆向思考等问题。

具体步骤如下：1.确定问题的结果或结论；2.逆向思考，分析导致这个结果或结论的条件；3.根据逆向思考的结果，寻找解决问题的方法。

逆向思维的优点在于能够从目标出发，找出问题的根本原因或解决方法，帮助学生加深对问题的理解和把握。

模型构建模型构建是一种将实际问题抽象成数学模型，然后利用数学方法进行求解的思维方法。

数学学习的八种思维方法数学学习的八种思维方法_数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。

还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。

下面是小编为大家整理的数学学习的八种思维方法，希望能帮助到大家!数学学习的八种思维方法1.代数思想这是基本的数学思想之一，小学阶段的设未知数x，初中阶段的一系列的用字母代表数，这都是代数思想，也是代数这门学科最基础的根!2.数形结合是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。

初高中阶段有很多题都涉及到数形结合，比如说解题通过作几何图形标上数据，借助于函数图象等等都是数形给的体现。

3.转化思想在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想，它是数学基本思想方法之一。

4.对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。

5.假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。

假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

6.比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。

在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

7.符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。

高考数学思想方法前言 (2)第一章高中数学解题基本方法 (3)一、配方法………………………………… (3)二、换元法………………………………… (7)三、待定系数法…………………………………14四、定义法………………………………… (19)五、数学归纳法…………………………………23六、参数法………………………………… (28)七、反证法………………………………… (32)八、消去法………………………………………九、分析与综合法………………………………十、特殊与一般法………………………………十一、类比与归纳法…………………………十二、观察与实验法…………………………第二章高中数学常用的数学思想 (35)一、数形结合思想…………………………… (35)二、分类讨论思想…………………………… (41)三、函数与方程思想……………………………47四、转化（化归）思想 (54)第三章高考热点问题和解题策略 (59)一、应用问题…………………………… (59)二、探索性问题…………………………… (65)三、选择题解答策略……………………………71四、填空题解答策略……………………………77附录………………………………………………………一、高考数学试卷分析…………………………二、两套高考模拟试卷…………………………三、参考答案……………………………………前言美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光.高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等.数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用.数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”.为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷.在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识.第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b ＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x ＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等.Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a5+a3a7=25,则 a3＋a5＝_______.2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.A. 14<k<1 B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1,则sinα＋cosα的值为______.A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____.A. （－∞, 54] B. [54,+∞)C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上,则实数a＝_____.【简解】1小题：利用等比数列性质am p-am p+＝am2,将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求.答案是：5.2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2,解r2>0即可,选B.3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解.选C.4小题：配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.5小题：答案3－11.Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____. A. 23 B. 14 C. 5 D. 6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩,而欲求对角线长x y z 222++,将其配凑成两已知式的组合形式可得.【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩. 长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式. 例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q,若(p q )2+(q p)2≤7成立,求实数k 的取值范围.【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q,由韦达定理得：p ＋q ＝－k,pq ＝2 , (pq )2+(qp )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7,解得k ≤－10或k ≥10.又∵p 、q 为方程x 2＋kx ＋2=0的两实根,∴△＝k 2－8≥0即k ≥22或k ≤－22 综合起来,k 的取值范围是：－10≤k ≤－22或者22≤k ≤10.【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p ＋q 、pq 后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p ＋q 与pq 的组合式.假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视.例3.设非零复数a 、b 满足a 2＋ab ＋b 2=0,求(a ab +)1998＋(b a b +)1998. 【分析】 对已知式可以联想：变形为(ab )2＋(a b )＋1＝0,则a b ＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a ＋b)2＝ab .则代入所求式即得.【解】由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a b)2＋(a b )＋1＝0 , 设ω＝a b ,则ω2＋ω＋1＝0,可知ω为1的立方虚根,所以：1ω＝b a ,ω3＝ω3＝1. 又由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a ＋b)2＝ab ,所以 (a a b +)1998＋(b a b+)1998＝(a ab 2)999＋(b ab 2)999＝(a b )999＋(b a )999＝ω999＋ω999＝2 . 【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开.【另解】由a 2＋ab ＋b 2＝0变形得：(a b)2＋(a b )＋1＝0 ,解出b a ＝-±132i 后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式(a b )999＋(b a )999后,完成后面的运算.此方法用于只是未-±132i联想到ω时进行解题.假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a 2＋ab ＋b 2＝0解出：a ＝-±132ib,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算. Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____.A. 8B. ()a b-22C.a b222+D.最小值不存在2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根,则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____.A. －494B. 8C. 18D.不存在3.已知x、y∈R+,且满足x＋3y－1＝0,则函数t＝2x＋8y有_____.A.最大值22B.最大值22C.最小值22 B.最小值224.椭圆x2－2ax＋3y2＋a2－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上,则a＝_____.A. 2B. －6C. －2或－6 D. 2或65.化简：218-sin＋228+cos的结果是_____.A. 2sin4B. 2sin4－4cos4C. －2sin4D. 4cos4－2sin46. 设F1和F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°,则△F1PF2的面积是_________.7. 若x>－1,则f(x)＝x2＋2x＋11x+的最小值为___________.8. 已知2〈β<α〈34π,cos(α-β)＝12 13,sin(α+β)＝－35,求sin2α的值.(92年高考题)9. 设二次函数f(x)＝Ax2＋Bx＋C,给定m、n（m<n）,且满足A2[(m+n)2+m2n2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B2＋C2＝0 .①解不等式f(x)>0；②是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ？若不存在,说出理由；若存在,指出t的取值范围.10. 设s>1,t>1,m∈R,x＝logs t＋logts,y＝logs 4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s),①将y表示为x的函数y＝f(x),并求出f(x)的定义域；②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求m的取值范围.二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4x＋2x－2≥0,先变形为设2x＝t（t>0）,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝x＋1-x的值域时,易发现x∈[0,1],设x＝sin2],问题变成了熟悉的求三角函数α,α∈[0,π2值域.为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时,则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.均值换元,如遇到x＋y＝S形式时,设x＝S2－t等等.＋t,y＝S2我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,π2].Ⅰ、再现性题组：1.y ＝sinx ·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________.2.设f(x 2＋1)＝log a (4－x 4) （a>1）,则f(x)的值域是_______________.3.已知数列{a n }中,a 1＝－1,a n +1·a n ＝a n +1－a n ,则数列通项a n ＝___________.4.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0,则x ＋y 的取值范围是___________.5.方程1313++-xx＝3的解是_______________.6.不等式log 2(2x －1) ·log 2(2x +1－2)〈2的解集是_______________.【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2],则y ＝t 22＋t －12,对称轴t ＝－1,当t ＝2,y max ＝12＋2；2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1),则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4],所以值域为(－∞,log a 4]；3小题：已知变形为11a n +－1a n＝－1,设b n＝1a n,则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n,所以a n ＝－1n；4小题：设x ＋y ＝k,则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1；5小题：设3x ＝y,则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝13,所以x ＝－1；6小题：设log 2(2x －1)＝y,则y(y ＋1)<2,解得－2<y<1,所以x ∈(log 254,log 23).Ⅱ、示范性题组：例 1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ,设S ＝x 2＋y 2,求1S max＋1S min的值.（93年全国高中数学联赛题）【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin2α＝1,于是进行三角换元,设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值.【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝10852-sin α；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103 ∴1S max ＋1S min ＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S 最大值和最小值,还可由sin2α＝810S S-的有界性而求,即解不等式：|810S S|≤1.这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.【另解】 由S ＝x 2＋y 2,设x 2＝S 2＋t,y 2＝S 2－t,t ∈[－S 2,S 2], 则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S ±5S t 224－=5,移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 .∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路,设x 2＝S 2＋t 、y 2＝S 2－t,减少了元的个数,问题且容易求解.另外,还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法.和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x 、y 时,可以设x ＝a ＋b,y ＝a －b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式.本题设x ＝a ＋b,y ＝a －b,代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ,求得a 2∈[0,53],所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103],再求1S max ＋1S min的值.例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B,1cos A ＋1cos C＝－2cos B ,求cosA C-2的值.（96年全国理）【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得A CB +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元,则设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩,再代入可求cos α即cos A C -2.【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B,可得A CB +=⎧⎨⎩12060°＝°, 由A ＋C ＝120°,设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩,代入已知等式得：1cos A ＋1cos C＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22,解得：cos α＝22, 即：cosA C -2＝22. 【另解】由A ＋C ＝2B,得A ＋C ＝120°,B ＝60°.所以1cos A ＋1cos C＝－2cos B＝－22,设1cos A ＝－2＋m,1cos C ＝－2－m , 所以cosA ＝12-+m ,cosC ＝12--m,两式分别相加、相减得： cosA ＋cosC ＝2cosA C +2cosA C -2＝cosA C -2＝2222m -,cosA －cosC ＝－2sinA C +2sinA C -2＝－3sinA C -2＝222mm -, 即：sin A C-2＝－2322m m ()-,＝－2222m -,代入sin 2A C -2＋cos 2A C -2＝1整理得：3m 4－16m－12＝0,解出m 2＝6,代入cos A C -2＝2222m -＝22. 【注】 本题两种解法由“A ＋C ＝120°”、“1cos A ＋1cos C＝－22”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出：由A ＋C ＝2B,得A ＋C ＝120°,B ＝60°.所以1cos A＋1cos C＝－2cos B ＝－22,即cosA ＋cosC ＝－22cosAcosC,和积互化得：2cos A C +2cos A C -2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C),即cos A C-2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos 2A C -2－1),整理得：42cos 2A C-2＋2cos A C -2－32＝0,解得：cos A C-2＝22例3. 设a>0,求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx ·cosx －2a 2的最大值和最小值. 【解】 设sinx ＋cosx ＝t,则t ∈[-2,2],由(sinx ＋cosx)2＝1＋2sinx ·cosx 得：sinx ·cosx ＝t 212-∴ f(x)＝g(t)＝－12(t －2a)2＋12（a>0）,t ∈[-2,2]t ＝-2时,取最小值：－2a 2－22a －12当2a ≥2时,t ＝2,取最大值：－2a 2＋22a －12；当0<2a ≤2时,t ＝2a,取最大值：12.∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－12,最大值为122222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪aa a a.【注】此题属于局部换元法,设sinx＋cosx＝t后,抓住sinx＋cosx与sinx·cosx 的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应,否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究.例 4. 设对所于有实数x,不等式x2log241()aa+＋2x log221aa+＋log2()aa+1422>0恒成立,求a的取值范围.（87年全国理）【分析】不等式中log241 ()aa+、log221aa+、log2()aa+1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法.【解】 设log 221a a +＝t,则log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221a a +＝3－t,log 2()a a +1422＝2log 2a a +12＝－2t, 代入后原不等式简化为（3－t ）x 2＋2tx －2t>0,它对一切实数x 恒成立,所以：3048302->=+-<⎧⎨⎩t t t t ∆(),解得t t t <<>⎧⎨⎩306或∴ t<0即log 221a a +<0 0<21a a +<1,解得0<a<1. 【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用.为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +1422三项之间的联系.在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”.另外,本题还要求对数运算十分熟练.一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点.例 5. 已知sin θx ＝cos θy ,且cos 22θx ＋sin 22θy ＝10322()x y + (②式),求x y 的值.【解】 设sin θx ＝cos θy ＝k,则sin θ＝kx,cos θ＝ky,且sin 2θ＋cos 2θ＝k 2(x 2+y 2)＝1,代入②式得： k y x 222＋k x y 222＝10322()x y +＝1032k 即：y x 22＋x y 22＝103设x y 22＝t,则t ＋1t ＝103 , 解得：t ＝3或13∴x y ＝±3或±33 【另解】 由x y ＝sin cos θθ＝tg θ,将等式②两边同时除以cos 22θx ,再表示成含tg θ的式子：1＋tg 4θ＝()()11031122+⨯+tg tg θθ＝103tg 2θ,设tg 2θ＝t,则3t 2—10t ＋3＝0,∴t ＝3或13, 解得x y ＝±3或±33. 【注】 第一种解法由sin θx ＝cos θy 而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为xy ＝sin cos θθ,不难发现进行结果为tg θ,再进行换元和变形.两种解法要求代数变形比较熟练.在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低.例6. 实数x 、y 满足()x -192＋()y +1162＝1,若x ＋y －k>0恒成立,求k 的范围.【分析】由已知条件()x -192＋()y +1162＝1,可以发现它与a 2＋b 2＝1有相似之处,于是实施三角换元. 【解】由()x -192＋()y +1162＝1,设x -13＝cos θ,y +14＝sin θ, 即：x y =+=-+⎧⎨⎩1314cos sin θθ 代入不等式x ＋y －k>0得：3cos θ＋4sin θ－k>0,即k<3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ+ψ)所以k<-5时不等式恒成立.【注】本题进行三角换元,将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围.一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”.本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系,不等式ax ＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x ＋y －k>0的区域.即当直线x ＋y －k ＝0在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭＋圆相切时,方程组16191144022()()x y x y k -++=+-=⎧⎨⎩有相等的一组实数解,消元后由△＝0可求得k ＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立.Ⅲ、巩固性题组：1. 已知f(x 3)＝lgx (x>0),则f(4)的值为_____.A. 2lg2B. 13lg2 C. 23lg2 D. 23lg4 2. 函数y ＝(x ＋1)4＋2的单调增区间是______.A. [-2,+∞)B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)C. (-∞,-1]3. 设等差数列{a n }的公差d ＝12,且S 100＝145,则a 1＋a 3＋a 5＋……＋a 99的值为_____.A. 85B. 72.5C. 60D. 52.54. 已知x 2＋4y 2＝4x,则x ＋y 的范围是_________________.5. 已知a ≥0,b ≥0,a ＋b ＝1,则a +12＋b +12的范围是____________.6. 不等式x >ax ＋32的解集是(4,b),则a ＝________,b ＝_______.7. 函数y ＝2x ＋x +1的值域是________________.8. 在等比数列{a n}中,a 1＋a 2＋…＋a 10＝2,a 11＋a 12＋…＋a 30＝12,求a 31＋a 32＋…＋a 60.9. 实数m 在什么范围内取值,对任意实数x,不等式sin 2x ＋2mcosx ＋4m －1<0恒成立. 10. 已知矩形ABCD,顶点C(4,4),A 点在曲线x 2＋y 2＝2 (x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 始终平行x 轴、y 轴,的最小面积.三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值,都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等. 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解. y D C A B O x使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程.Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m,f(x)的反函数f 1(x)＝nx－5,那么m、n的值依次为_____.A. 52 , －2 B. －52, 2 C.5 2 , 2 D. －52,－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2,13),则a＋b的值是_____.A. 10B. －10C. 14D. －143. 在(1－x 3)（1＋x ）10的展开式中,x 5的系数是_____.A. －297B.－252C. 297D. 2074. 函数y ＝a －bcos3x (b<0)的最大值为32,最小值为－12,则y ＝－4asin3bx 的最小正周期是_____.5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________.6. 与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________.【简解】1小题：由f(x)＝x 2＋m 求出f 1(x)＝2x －2m,比较系数易求,选C ； 2小题：由不等式解集(－12,13),可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根,代入两根,列出关于系数a 、b 的方程组,易求得a ＋b,选D ；3小题：分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成,相加后得x 5的系数,选D ；4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值,再代入求得答案23π；5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0,点A(1,-4)代入求得C ＝10,即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：设双曲线方程x 2－y 24＝λ,点(2,2)代入求得λ＝3,即得方程x 23－y 212＝1.Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7,最小值为－1,求此函数式.【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】 函数式变形为： (y －m)x 2－43x ＋(y －n)＝0, x ∈R, 由已知得y －m ≠0 ∴△＝(－43)2－4(y －m)(y －n)≥0 即： y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7),则－1、7是方程y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)＝0的两根, 代入两根得：1120497120+++-=-++-=⎧⎨⎩()()m n mn m n mn 解得：m n ==⎧⎨⎩51或m n ==⎧⎨⎩15 ∴ y ＝5431122x x x +++或者y ＝x x x 224351+++此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即y 2－6y －7≤0,然后与不等式①比较系数而得：m n mn +=-=-⎧⎨⎩6127,解出m 、n 而求得函数式y.【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m 、n.两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m 、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y 视为参数,函数式化成含参数y 的关于x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y 的不等式,解出y 的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例 2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5,求椭圆的方程.【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a 、b 、c 之值,问题就全部解决了.设a 、b 、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a －c 的值后列出第二个方程. 【解】 设椭圆长轴2a 、短轴2b 、焦距2c,则|BF ’|＝a ∴a b c a a b a c 2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()解得：a b ==⎧⎨⎪⎩⎪105∴ 所求椭圆方程是：x 210＋y 25＝1 也可有垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后,由其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’,再进行如下列式： b c a c a b c =-=-=+⎧⎨⎪⎩⎪105222,更容易求出a 、b的值.【注】 圆锥曲线中,参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定,是待定系数法的生动体现；如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式.在曲线的平移中,几何数据（a 、b 、c 、e ）不变,本题就利用了这一特征,列出关于a －c 的等式. 一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.y B’B例 3. 是否存在常数a 、b 、c,使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论. （89年全国高考题）【分析】是否存在,不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n 都成立,取特殊值n ＝1、2、3列出关于a 、b 、c 的方程组,解方程组求出a 、b 、c 的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立.【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立,令：n ＝1,得4＝16(a ＋b ＋c)；n ＝2,得22＝12(4a ＋2b ＋c)；n ＝3,得70＝9a ＋3b ＋c.整理得：a b c a b c a b C ++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370,解得a b c ===⎧⎨⎪⎩⎪31110,于是对n ＝1、2、3,等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(3n 2＋11n ＋10)成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立：假设对n ＝k 时等式成立,即1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10)； 当n ＝k ＋1时,1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)2＝()()k k ++1212（3k 2＋5k ＋12k ＋24）＝()()k k ++1212[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10],也就是说,等式对n ＝k ＋1也成立.综上所述,当a ＝8、b ＝11、c ＝10时,题设的等式对一切自然数n 都成立.【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列13＋23＋…＋n 3、12＋22＋…＋n 2求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解：由n(n ＋1)2＝n 3＋2n 2＋n 得S n ＝1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝(13＋23＋…＋n 3)＋2(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n)＝n n 2214()+＋2×n n n ()()++1216＋n n ()+12＝n n ()+112(3n 2＋11n ＋10),综上所述,当a ＝8、b ＝11、c ＝10时,题设的等式对一切自然数n 都成立.例 4. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm 的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少？【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30－2x)cm,底边宽为(14－2x)cm,高为xcm.∴ 盒子容积 V ＝(30－2x)(14－2x)x ＝4(15－x)(7－x)x ,显然:15－x>0,7－x>0,x>0.设V ＝4ab (15a －ax)(7b －bx)x(a>0,b>0）要使用均值不等式,则--+=-=-=⎧⎨⎩a b a ax b bx x 10157 解得：a ＝14, b ＝34, x ＝3 .从而V ＝643(154－x4)(214－34x)x ≤643(1542143+)3＝643×27＝576. 所以当x ＝3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm 3.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V ＝4ab (15a －ax)(7－x)bx 或 4ab (15－x)(7a －ax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝log a x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则a的取值范围是_____.A. 2>a>12且a≠1 B. 0<a<12或1<a<2C. 1<a<2D. a>2或0<a<122.方程x2＋px＋q＝0与x2＋qx＋p＝0只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____.A. 1B. －1C. p＋qD. 无法确定3.如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－π8对称,那么a＝_____.A. 2B. －2C. 1D. －14.满足C n0＋1·C n1＋2·C n2＋…＋n·Cnn<500的最大正整数是_____.A. 4B. 5C. 6D.75.无穷等比数列{a n}的前n项和为S n＝a－12n, 则所有项的和等于_____.A. －12 B. 1 C. 12D.与a有关6.(1＋kx)9＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b9x9,若b0＋b1＋b2＋…＋b9＝－1,则k＝______.7.经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点,且过点(3,-2)的直线方程为_____________.。

高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法一、数形结合思想应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：(1)集合的运算及韦恩图;(2)函数及其图象;(3)数列通项及求和公式的`函数特征及函数图象;(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合.二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏.如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类;按字母的取值范围分类;按事件的可能情况分类;按图形的位置特征分类等.分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.三、函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：(1)深刻理解函数f(x)的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换)，熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.(2)密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.四、转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中.转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。

高中数学思想方法高中数学思想方法高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的.分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法2近年来，高考命题方向很明显地朝着对知识网络交汇点、数学思想方法及对数学能力的考查发展，考生在复习的过程中，应对所学知识进行及时的梳理，这里既包含对基础知识的整理，也包括对数学思想方法的总结。

高中数学常见数学思想应用举例河北涉县第一中学（056400）张建军随着新课标的不断深入，数学思想在中学数学教学中的体现和功能引起了广大师生的普遍关注。

本文试从高中数学中常见的六种数学思想应用举例入手，阐述数学思想的重要性，希望引起师生对数学思想的高度重视。

1.函数思想：函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线，函数思想，系最重要的，最基础的数学思想方法之一，是进一步学习数学的重要基础，与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切。

我们这里所说的函数思想，是指运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

【应用举例】：建造一个容积为8立方米深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元。

分析：粗看此题，感觉无从下手，没有思想，无突破口，但如果我们心中有函数这一思想， 构造出变量之间的函数关系式，问题得到解决。

解：设池底的长为x 米，则宽为4x米,总造价为y 元 那么: y =848022)80x x++⨯（ =81602x+)480x+（ 当且仅当82=x x即x=2时，y min=1760(元) ∴最低造价为1760元。

2.方程思想：方程思想是最基本，也是最重要的数学思想方法之一。

它从对问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，通过解方程或方程组使问题获解。

【应用举例】：已知二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为 (-1,2),且图像过点（0,-1），求这个函数的解析式。

分析：见到本题，多数同学都能说出用待定系数法，殊不知待定系数法体现的数学思想就是方程思想，本题中找到三个独立的条件，列出三个方程组成方程组，问题得到解决。

解：根据题意，列方程得：2112424c b aac b a ⎧⎪=-⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=⎪⎩3 61a b c =-⎧⎪⇒=-⎨⎪=-⎩ 所以：解析式为2361y x x =---.3.整体思想：解数学问题时，人们习惯于化整为零，各个击破，有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过对整体结构的调节和转化使问题获解。

高中数学思想和数学方法在高中数学学习中，学生不仅学习了各种数学方法，还学习到了解决问题的思想方法。

这些数学思想和数学方法，对日后的学习和生活将产生深远的影响。

在本文中，我们将探讨高中数学思想和数学方法的重要性及其应用。

1.抽象思维与逻辑思维在高中数学学习中，学生开始接触到了抽象的数学概念和思想。

通过数学题目和思考，学生可以逐渐发展出一种抽象思维能力，用数学语言去描述和推理事物，从而使得学习更加深入和有意义。

同时，高中数学的学习也要求学生经常思考和证明，这对于逻辑思维能力的培养具有极大的推动作用。

在数学证明过程中，需要学生严密的推理和逻辑性的思考，让学生对推理和证明的重要性有了更深刻的认识。

2.教授自学方法高中数学的教学方式以自学为主，注重学生的自学能力的培养。

通过自学，学生可以自主掌握知识和技能，提高自己的学习效率与能力。

高中数学的教师会教授学生一些自学方法，如书写笔记、做题方法以及思考方法等等。

这些方法可以帮助学生提高学习效率，使学习变得更加高效而有目的。

3.数学建模数学建模，是数学学习的核心内容之一。

数学建模是通过把现实问题抽象成数学问题来解决实际问题。

数学建模不仅需要学生灵活运用各种数学知识和方法，还需要学生具有深入的思考和创新性。

通过数学建模，学生可以在实际问题中运用数学方法来进行分析和解决，从而强化数学的实际应用价值。

同时，数学建模也可以更加深入地理解数学，使学习更加有意义。

4.数学软件与工具随着技术的不断发展，数学软件和工具的使用正在逐渐改变我们对数学的认识和观念。

数学软件和工具对数学学习的价值在于它们能够帮助学生更好地理解和运用数学知识和方法。

比如，使用数学软件可以通过图像来呈现数学知识和方法，使抽象的数学概念变得更加具体可见；使用数学工具可以使解题更加简单和高效，节省时间和精力。

总而言之，高中数学不仅仅是各种数学方法的集合，也包含着各种数学思想和方法。

学习数学不仅可以提高数学素养，还能够培养学生严密的逻辑思维和抽象思维能力等重要的思考方式。

数学学科的六种思想是什么
1、转化思想：是一种重要的数学思想方法，所谓转化思想，就是把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，具体地说，就是说把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”，最终获得解原题的一种手段或方法，如在进行分式的加减运算时常将异分母分式转化同分母分式来加减，将分式除法运算转化为分式乘法运算；解分式方程时常将分式方程转化为整式方程来解决。

2、建模思想：就是运用数学知识解决实际问题。

首先要经过观察、分析、把实际问题转化为数学问题，在列分式方程解应用题时，应先从实际问题中找出等量关系，即建立数学模型，然后根据数学模型来列分式方程，从而达到解决实际问题的目的。

3、分类讨论的思想：具体地说，就是把包含多种可能情况的问题，按某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的步的，分类的一般原则是：标准统一、不重不漏。

4、方程思想：就是把所要解决的问题通过设未知数列方程（组）的方法使问题得以解决或更容易解决。

5、数形结合思想：就是把图形与数量关系有机地结合起来，使数学问题更直观，更容易解决。

6、从一般到特殊的思想：先探索平行四边形，再探索矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形，先一般后特殊，在共性中寻找特性，是探索知识的主要方法。