勾股定理经典提高题

勾股定理知识概要1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222a b c+=．2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形3、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明平方关系的问题.4、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.5、勾股找规律常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)……例题精讲【例1】如图，证明勾股定理．【巩固练习】美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法。

如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．【例2】填空题:在△ABC中,∠C为直角.(1)若BC =2, AC=3则AB = ；若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .(2)若BC∶AB =3∶5且AB =20则AC= .(3)若∠A=60°且AC=2cm则AB= cm，BC= cm.【巩固练习】1、Rt△ABC中，C∠是直角，（1）已知6BC=，8AC=，求AB之长；（2）已知25AB=，14BC=，求AC之长；板块一勾股定理aaaabbbb（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．【例 3】已知60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长．【巩固练习】已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.CBAD【例 5】如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，ABMP ⊥于P ． 求证：222BC AP BP += ．【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．【巩固练习】1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．P MBCAA B CDC BA DC ABS 1S 22、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是 A ．13 B ．26 C ．47 D ．943、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S +2S +3S +4S =____【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °如果a ∶b ∶c =1∶1∶2,那么∠A= °,∠B= °∠C= °【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）15a =，8b =，17c =； （2）13a =，14b =，15c =； （3）7a =，24b =，25c =【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ， 试判断△ABC 的形状【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．【例 11】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点即3CE ＝EB求证：AF ⊥FE ．【例 12】如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.板块二 勾股定理逆定理S 1 1S 2S 3S 4231C BA【巩固练习】1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°3.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.4.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。

勾股定理提升训练1一．选择题（共16小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．9，7，12B．2，3，4C．1，2，D．5，11，12 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90度，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'，若△A'BC，△AB'C的面积分别是8和3，则△ABC'的面积是（）A．33B．43C．53D．53．如图，在直角三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，点E为AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD＝（）A．3B．4C．5D．64．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，2B．7，24，25C．D．1，，5．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2D．S2＝（S1+S3）6．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（）A．20B．10C．10D．287．在△ABC中，AB＝BC＝2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△P AB为直角三角形时，AP的长为（）A．1，，7B．1，，C．1，D．1，3，8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB ＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16B．32C．160D．12810．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（）A．3B．C．D．11．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形12．如果a，b，c是直角三角形的三边长，那么2a，2b，2c为边长的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定13．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③14．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，则CD的长为（）A．4B．12﹣4C．12﹣6D．615．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB ⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24平方米B．36平方米C．48平方米D．72平方米16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝16，AD⊥BC，垂足为D，∠ACB 的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．B．4C．D．6二．填空题（共3小题）17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C 的面积和是9，则正方形D的边长______．18．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为______．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．三．解答题（共7小题）20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AC边上的个动点，点D从点A出发，沿边AC向C运动，当运动到点C时停止，设点D运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度的．（1）当t＝2时，求CD的长；（2）求当t为何值时，线段BD最短？21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．22．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．23．如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BC＝12，CD＝x，x＞0，AB⊥AD．（1）求BD的长；（2）当x为何值时△BDC为直角三角形？（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．24．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．25．如图所示，每个小正方形的边长为1cm（1）求四边形ABCD的面积；（2）四边形ABCD中有直角吗？若有，请说明理由．26．小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理．设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2＝c2．勾股定理提升训练1参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：A、∵72+92≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项不符合题意；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵12+（）2＝22，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项符合题意；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：C．2．解：如图，设等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'的面积分别是S3，S2，S1，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2+b2＝a2，∴c2+b2＝a2．又∵S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，∴S1+S2＝S3，∵S3＝8，S2＝3，∴S1＝S3﹣S2＝8﹣3＝5，故选：D．3．解：∵点E为AC的中点，DE⊥AC于E，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠DCB＝∠B，∴CD＝BD，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CD＝AB＝5，故选：C．4．解：A、∵12+（）2＝22，∴以1、、2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵72+242＝252，∴以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵（）2+（）2≠（）2，∴以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵12+（）2＝2，∴以1、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．6．解：如图，∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2＝AD2，∴52﹣BD2＝72﹣（8﹣BD）2，解得：BD＝，∴AD＝＝，∴△ABC的面积＝10，故选：C．7．解：如图1，当∠APB＝90°时，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝2，∴AP＝AB•sin60°＝2×＝；如图2，当∠ABP＝90°时，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝＝＝，在直角三角形ABP中，AP＝＝；如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝1，故选：C．8．解：∵AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC的距离为，∴AP＝CP＝，∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC的距离为，∴当点P与点D重合时，P到AC的距离为，∴这样的点P有3个，故选：D．9．解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．10．解：∵AC＝＝，△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×2×1﹣×3×1＝，∴则AC边上的高＝＝；故选：C．11．解：∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．故选：C．12．解：∵a，b，c是直角三角形的三边长，设c为斜边，∴a2+b2＝c2，又∵（2a）2+（2b）2＝4（a2+b2），（2c）2＝4c2，∴（2a）2+（2b）2＝（2c）2，即2a，2b，2c为边长的三角形是直角三角形，故选：A．13．解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．14．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12．∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12CM＝BM＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM÷tan60°＝4，∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．故选：B．15．解：则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝AB•BC+AC•DC＝（3×4+5×12）＝36米2．故选：B．16．解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝16，∠B＝45°，∴BA＝DA＝8，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，AD＝8，∴CD＝，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝30°，∴DE＝CD•tan30°＝，∴AE＝AD﹣DE＝8﹣＝，故选：C．二．填空题（共3小题）17．解：根据勾股定理的几何意义得：S D＝S A+S B+S C＝9，可知，D的边长为＝3．故答案为：3．18．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．19．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：BC＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题）20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，当t＝2时，AD＝2，∴CD＝8；（2）当BD⊥AC时，BD最短，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ADB，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴t＝，∴当t为时，线段BD最短．21．解：（1）如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝5．（2）∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝8﹣＝．22．（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．23．解：（1）如图，∵AB＝4，AD＝3，AB⊥AD．∴BD＝＝＝5，即BD的长度是5；（2）在直角△BCD中，BD＝5，BC＝12．①当CD为斜边时，由勾股定理知：CD＝＝＝13．②当CD、BD为直角边时，由勾股定理知：BC＝，即12＝，则CD＝．综上所述，CD的长度是13或．即x为13或时△BDC为直角三角形；（3）①当CD为斜边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•BC＝+×5×12＝36．②当CD、BD为直角边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•CD＝+×5×＝6+．综上所述，四边形ABCD的面积是36或6+．24．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD＝，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．25．解：（1）如图，∵四边形ABCD的面积＝S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD＝5×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×2﹣×（1+5）×1＝14；（2）四边形ABCD中有直角．理由：连结BD，BC＝2，CD＝，CD＝5，∵CD2＝BC2+CD2，∴∠C＝90°，∴四边形ABCD中有直角．26．解：∵AE＝a，DE＝b，AD＝c，∴S正方形EFGH＝EH2＝（a+b）2，S正方形EFGH＝4S△AED+S正方形ABCD＝4×+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．。

勾股定理能力提高训练题一.勾股定理中方程思想的运用例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）二.勾股定理中分类讨论思想的运用例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

三.勾股定理中类比思想的运用例题3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明四.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．五.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？练习题1、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C ，的对边长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L. （1）（2）、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么S/L= （用含m 的式子表示） （3）、请说明你写的猜想的推理过程。

2、在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=3.在Rt △ABC 外部拼接一个合适的三角形， 使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。

要求画出图形并计算出边长。

一、选择题1．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC=9，BC=12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( )A．245B．365C．12 D．152．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．121 B．110 C．100 D．903．如果直角三角形的三条边为3、4、a，则a的取值可以有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）A37B13C3713D37137 5．若△ABC中，AB=AC=25BC=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．16 D56．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,67．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt△ABC沿BD进行翻折，使点A 刚好落在BC上，则CD的长为（）A ．10B ．5C ．4D ．38．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）A ．9B ．210C ．326+D ．129．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6 10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ）A ．5B ．4C ．7D ．4或5二、填空题11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．13．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___ 15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°19．如图，在△ABC中，AB=AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．20．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝5，AC＝2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_____．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛÷⎝（2）已知a、b、c满足2|2332(30)0a b c-+-=．判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．24．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.25．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．26．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ． （2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．27．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ． （1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．28．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()4a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．29．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQ⊥AC、∠ACB=90°即可得出EQ∥BC，进而可得出AE EQAB BC，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解.【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，∴15AB =，∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD=∠EAD ，在△ACD 和△AED 中，90CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ）， ∴AE=AC=9．∵EQ ⊥AC ，∠ACB=90°， ∴EQ ∥BC ，AE EQAB BC ∴=， ∴91512EQ =， 653EQ ∴=. 故选B.【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C 的对称点E ，及通过点E 找到点P 、Q 的位置是解题的关键．2．B解析：B 【分析】延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形．90CBF ∠=︒，90ABC OBF ∴∠+∠=︒，又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，OBF ACB ∴∠=∠，在OBF ∆和ACB ∆中，BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，AC OB =∴，同理：ACB PGC ∆≅∆，PC AB ∴=，OA AP ∴=，所以，矩形AOLP 是正方形，边长347AO AB AC =+=+=，所以，3710KL =+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边.【详解】解：当a 是直角三角形的斜边时,22345a =+= ；当a 为直角三角形的直角边时,22437a -=故选C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．4．C解析：C【分析】如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．【详解】当如图1所示时，AB=2，BC=3，∴AC=2223=13+；当如图2所示时，AB=1，BC=6，∴AC=221+6=37；故选C．【点睛】本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．5．B解析：B【分析】作AD⊥BC，则D为BC的中点，即BD=DC=2，根据勾股定理可以求得AD，则根据S=12×BC×AD可以求得△ABC的面积．【详解】解：作AD⊥BC，则D为BC的中点，则BD=DC=2，∵AB=2522AB BD-，∴△ABC的面积为S=12×BC×AD=12×4×4=8，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，三角形面积的计算，本题中正确的运用勾股定理求AD是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；故选：C .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.7．B解析：B【分析】根据“在Rt △ABC 中”和“沿BD 进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC=2286+=10，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD ，∴A′C=10-6=4．设CD=x ，则A′D=8-x ，根据勾股定理可得x 2-（8-x ）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案为：B ．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．8．B解析：B【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB ＝22(24)2210++=．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．9．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=，1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．【详解】当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：5=；当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．∴斜边长为4或5．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．二、填空题11．210或213或32【分析】在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．【详解】∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==，∴25AB =， 情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即45AE =，1455DE = ∴22855CE AC AE =-= ∴22213CD CE DE =+=情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即45BE =145DE =∴22255CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴45BE =355CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形∴152BF DF AB === ∴955DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-=-= ∴2232CD CE E D ''=+=故答案为：1021332【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 12．48【分析】用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．13．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．14．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．【详解】解：如下图所示，若A=S P =4．B=S Q =9，C=S K ，根据勾股定理，可得A+B=C ，∴C=13．若A=S P =4．C=S Q =9，B=S K ，根据勾股定理，可得A+B=C ，∴B=9-4=5．∴S K 为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．15．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC≌△AEC（SAS），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF⊥AB，∴EF=BF，设EF=BF=x．∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=102-x2，∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．16．3．【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×3=3，即BM+MN的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．17．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．18．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.19．6【解析】∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，则CQ=BP+PQ 的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.20 【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四边形CEDF 是矩形，连接CD ，则CD=EF ，当CD⊥AB 时，CD 最短，即EF=CD=5.点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．三、解答题21．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a＝23，b＝32，c＝30，∵23+32＞30，23+30＞32，23+30＞32，∴以a、b、c为边能组成三角形，∵a＝23，b＝32，c＝30，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为边能构成直角三角形，直角边是a和b，则此三角形的面积是123322⨯⨯＝36.【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）43或63【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC外侧与点B和点C组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC时；②当CD=CB=BD时；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时．【详解】（1）∵∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∴AB=AC=AD．∴四边形ABCD是邻和四边形；（2）如图，格点D、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等． 分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=， ∴S △ADC =1423432⨯⨯=，S △ABC =12AB×BC =23， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63；②当CD =CB =BD =23时，如图所示：∴△BDC 为等边三角形，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =160302⨯︒=︒， ∴132BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=-=， ∴S △BDC =1233332⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，∴DF=12S △ADB =122⨯=，∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =；③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．∴邻和四边形ABCD 的面积是或【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．23．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH EF ，CH ＝CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，∴AB ＝AC ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ACE ＝∠AEC ，∵∠AED ＝20°，∴∠ABE ＝∠AED ＝20°，∴∠BAE ＝140°，且∠BAC ＝90°∴∠CAE ＝50°，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°，∴∠DEC ＝∠AEC ﹣∠AED ＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由如下：∵∠AED ＝∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝180°﹣2α，∴∠CAE ＝∠BAE ﹣∠BAC ＝90°﹣2α，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝45°+α，∴∠AEC ﹣∠AED ＝45°；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，∵∠AEC ﹣∠AED ＝45°，∴∠FEH ＝45°，∵AH ⊥BE ，∴∠FHE ＝∠FEH ＝45°，∴EF ＝FH ，且∠EFH ＝90°，∴EH 2EF ，∵∠FHE ＝45°，CG ⊥FH ，∴∠GCH ＝∠FHE ＝45°，∴GC ＝GH ，∴CH 2CG ，∵∠BAC ＝∠CGA ＝90°，∴∠BAF +∠CAG ＝90°，∠CAG +∠ACG ＝90°，∴∠BAF ＝∠ACG ，且AB ＝AC ，∠AFB ＝∠AGC ，∴△AFB ≌△CGA （AAS ）∴AF ＝CG ，∴CH 2AF ，∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2， 2AF ）2+2EF ）2＝2AE 2，∴EH 2+CH 2＝2AE 2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.24．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+= ∴22CD =222222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90° ∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD ∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.25．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD ==-=∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.26．（1）△AEF 是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F 到BC 的距离为3﹣．【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ABC 是等边三角形，得出AC ＝AB ，再证明△BAE ≌△DAF ，得出AE ＝AF ，即可得出结论；（2）连接AC ，同（1）得：△ABC 是等边三角形，得出∠BAC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，再证明△BAE ≌△CAF ，即可得出结论；（3）同（1）得：△ABC 和△ACD 是等边三角形，得出AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°，证明△BAE ≌△CAF ，得出BE ＝CF ，AE ＝AF ，证出△AEF 是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB ＝45°，得出∠CEF ＝∠AEF ﹣∠AEB ＝15°，作FH ⊥BC 于H ，在△CEF 内部作∠EFG ＝∠CEF ＝15°，则GE ＝GF ，∠FGH ＝30°，由直角三角形的性质得出FG ＝2FH ，GH ＝FH ，CF ＝2CH ，FH ＝CH ，设CH ＝x ，则BE ＝CF ＝2x ，FH ＝x ，GE ＝GF ＝2FH ＝2x ，GH ＝FH ＝3x ，得出EH ＝4+x ＝2x +3x ，解得：x ＝﹣1，求出FH ＝x ＝3﹣即可． 【详解】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∵点E是线段CB的中点，∴AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）证明：连接AC，如图2所示：同（1）得：△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACF＝60°＝∠B，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF；（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝120°＝∠ACF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠AEB＝45°，∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：则GE＝GF，∠FGH＝30°，∴FG＝2FH，GH＝FH，∵∠FCH＝∠ACF﹣∠ACB＝60°，∴∠CFH＝30°，∴CF ＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，∵BC＝AB＝4，∴CE＝BC+BE＝4+2x，∴EH ＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，∴FH＝x＝3﹣，即点F到BC的距离为3﹣．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．27．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝3【解析】【分析】（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形，∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH ＝30°，∴CG ＝2GH ，∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ，∴2GH ＝DG+GB ．（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝GCH ＝30°， ∴tan30°＝GH CH， ∴GH ＝4，∵BG ＝6，∴BH ＝2，在Rt △BCH 中，BC=∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝2•S △BCD ＝×（2＝． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28．（1）（2）（）m 2【分析】（1）由已知△ABC 的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC 的面积为S＝故答案是：；（2）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD＝26∴BE＝AB﹣AE＝26+42﹣26＝42DE＝2222(46)(26)62AD AE-=-=∴BD＝2222BE DE(42)(62)226+=+=∴S△BCD＝1(57226)(57226)(22675)(22657)510 4+++-+-+-=∵S△ABD＝11(2642)6212324 22AB DE⋅=⨯+⨯=+∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝12324510++答：该块草地的面积为（12324510++）m2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.29．【体验】（1），5；（2）②；③；【探索】为锐角三角形；道理见解析；【应用】．【解析】【分析】本题从各个角度证明了勾股定理，运用图形与证明结合，依次证明即可,具体见详解.【详解】体验：（1）如上图，。

中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.14C.7D.7或252.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝( )A.4B.233C.433D.335.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( )①a＝7，b＝24，C＝25；②a＝1.5，b＝2，c＝7.5；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝2，c＝ 3.A.1个B.2个C.3个D.4个6.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是( )A.30B.40C.50D.607.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动( )A.40cmB.80cmC.90cmD.150cm8.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 59.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP＋BP＋CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.810.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒.二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.13.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)14.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .15.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN 的长为____________．16.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .三、作图题17.在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；(1)画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上(即小正方形的顶点)，且AB＝22；(2)以(1)中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)△ABC的周长为，面积为．四、解答题18.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.20.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？21.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)22.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。

勾股定理提高训练一、简答题1、如图，矩形ABCD的长AB=4cm．宽BC=3cm，P、Q以1cm/s的速度分别从A、B出发，沿AB、BC方向前进，经多少秒后P、Q之间的距离为 2cm？2、如图，直线表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到的距离分别为AC＝30km,BD=40km，A、B两个村庄之间的距离为50km.有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水。

如果他在上午八点出发，以每小时30km的平均速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达B村？3、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)4、如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD 的长为__________．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？5、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm？6、如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC边上的点F处， BC=15cm，AB=9cm 求（1）FC的长，（2）EF的长.9、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，现将直角边AC折叠到AB边上，点C落在AB边上的E点，折痕为AD．若AC=6，BC=8．求△ADB的面积．10、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？11、已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．12、如图7,四边形ABCD中,.试判断的形状,并说明理由.13、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．14、已知a、b、c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状。

完整版)勾股定理培优专项练习勾股定理练（根据对称求最小值）基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：由于AE=1，所以DE=√3.连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。

由正弦定理得：EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(60°-x)由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在直线AD上找一点N，使得MN+EB最小。

连接AC，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=30°，BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1，所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此，EN+BN的最小值为3+√3，此时x=30°。

2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。

由正弦定理得：EN/sinx = BN/sin(45°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(45°-x)由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在对角线AC上找一点N，使得MN+EB最小。

连接BD，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=45°，BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

一. 勾股定理的构造（添加辅助线：即构造基本图形）1. 如图，已知：，，于P . 求证：.2. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积.二. 用勾股定理求最短问题1. 如图，一圆柱体的底面周长为16cm ，高ＡＢ为6cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．2. 如图，铁路上A ，B 两点相距40km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=20km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，为了降低建设成本, 要使得C ，D 两村到E 站的路程之和最小，这个最小和的路程之和是多少?A B CD3. 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？二. 折叠类问题1. 如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。

2. 已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求△ABE 的面积.(提示:通过勾股定理列方程求解)3. 如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。

C 'F EO D C B A4. 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

提高题专题复习勾股定理练习题及答案一、选择题1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．102．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．103．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm4．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ） A ．2 B ．13C ．5 D ．6 5．在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，则AC =（ ） A ．6 B ．12 C ．62D ．36．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ︒∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．22B．4 C．3 D．108．长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．17B．5C．2D．710．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A．5B7C．57D．3或4二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝13S矩形ABCD，则点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.15．如图，已知△DBC是等腰直角三角形，BE与CD交于点O，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.16．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.17．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.18．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．23．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．24．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．25．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.26．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.27．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段EF长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.2．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为3AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D＝32a，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，∴AP5=a+3a+a＝4+23，解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．3．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．4．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．5．D解析：D【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=6，由勾股定理得，=故选：D．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．6．B解析：B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．7．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ∆≅∆，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ∆中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，则=AF FC ．AD BC ∵∥，FAO BCO ∴∠=∠．在FOA ∆与BOC ∆中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FOA BOC ASA ∴∆≅∆，3AF BC ∴==，3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．在FDC ∆中，90D ︒∠=，222CD DF FC ∴+=，22213CD ∴+=，22CD∴=．故选A．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．8．B解析：B【解析】试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，故选B．考点：勾股定理的逆定理点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．9．A解析：A【解析】试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，{BAD CBEAB BCADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得25+9=34，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得342=217.故选A．考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：2243+＝5，当斜边为4时，则第三边为：2243-＝7，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．103． 【解析】 试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=103， 所以S 2=x+4y=103． 考点：勾股定理的证明．12．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．13．2【分析】根据S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值．【详解】 设△PAD 中AD 边上的高是h ．∵S △PAD ＝13S 矩形ABCD ， ∴12 AD •h ＝13AD •AB ， ∴h ＝23AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8， DE 22228882AE AD ++=即PA +PD 的最小值为2 ．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．14．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以BE=()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键. 15．10【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC =∴DC DB ===∵OD =∴OC DC OD =-=∴OB =设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+∴17OE =∴EC ==∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90°∴12FG EC ==∴BE BO OE =+=∴12GO GE OE BE OE =-=-=∴OF =【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.16【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， AD ==∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 17．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 1871【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.19．5【分析】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度．【详解】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ．∵P（1，2），G（7．﹣2），∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，∵PA∥GM，∴∠PAN＝∠GMN，∵∠ANP＝∠MNG，∴△ANP≌△MNG（AAS），∴AN＝MN＝3，PN＝NG，∵∠PAH＝45°，∴PH＝AH＝2，∴HN＝1，∴2222215PN PH NH=+=+=∴PG＝2PN＝5．故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．20．2【分析】根据三角形等面积法求出32ACBC=，在Rt△ACD中根据勾股定理得出AC2=14BC2+36，依据这两个式子求出AC、BC的值.【详解】∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴12AC•BE＝12BC•AD，∵AD＝6，BE＝4，∴ACBC＝32，∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：222∴2224+x=(8-x)，解得：x=3，故CE的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．23．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，3∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+3）2∴DE2=（EB+12AD）2+（32AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．24．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，112． （2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.25．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 6092AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．26．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析 【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .②解：∵正方形ABCD 2，∴对角线AC =2.将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2， 则△BAE ≌△BCP ，∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--， 化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.27．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用28．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，∵CD ＝BC ，∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接BD ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，∵22EC 26210+=∴CM ＝EM ＝25【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．29．（1）46（2）（123+24+510）m2【分析】（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+-＝46故答案是：46；（2）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD＝6∴BE＝AB﹣AE＝62﹣6＝2DE2222(46)(26)62AD AE-=-=∴BD2222BE DE(42)(62)226+=+=∴S△BCD 1(57226)(57226)(22675)(22657)510 4+++-+-+-=∵S△ABD＝11642)6212324 22AB DE⋅=⨯⨯=∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝12324510+答：该块草地的面积为（12324510+m2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.。

勾股定理提升训练一、方法总结：用面积证明勾股定理二、典型例题：例1、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结 DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在CD 的同侧，若AB=2，则BE= ．例2、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)． 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ， 较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为( )A ．13B ．19C ．25D ．169例3、如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ， 已知∠ABC ＝45°， ∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数．例4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB=c ，CD=h ．求证：（1）222111h b a =+；(2) h c b a +<+ ；(3) 以b a +、h 、h c +为边的三角形，是直角三角形．三、课堂练习：1. 如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 .2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 .3.如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB∶CE＝_________．4. 如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．5. 直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）A 、22d S d ++B 、2d S d --C 、222d S d ++D 、22d S d ++6. 在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.7.如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.8. 如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值.9. 如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。