思 考 题
1 为什么隔着山可以听到中波段的电台广播，而电视广播却很容易被高大建筑物挡住？ 答：只有当障碍物的大小比波长大得不多时，衍射现象才显著。对一座山来说，电视广播的波长很短，衍射很小；而中波段的电台广播波长较长，衍射现象比较显著。
2 用眼睛通过一单狭缝直接观察远处与缝平行的光源，看到的衍射图样是菲涅耳衍射图样还是夫琅和费衍射图样?为什么?
答：远处光源发出的光可认为是平行光，视网膜在眼睛(相当于凸透镜)的焦平面上，所以观察到的是平行光的衍射。由此可知，这时人眼看到的是夫琅和费衍射图样。
3 在单缝衍射图样中，离中央明纹越远的明纹亮度越小，试用半波带法说明。 答：在单缝衍射图样中，未相消的一个半波带决定着明纹的亮度。离中央明纹越远处，衍射角越大，单缝处波阵面分的半波带越多，未相消的一个半波带的面积越小，故离中央明纹越远的明纹亮度越小。
4 根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S ，则S 的前方某点P 的光强度决定于波阵面S 上所有面积元发出的子波各自传到P 点的( )
(A)振动振幅之和。 (B)光强之和。 (C)振动振幅之和的平方。 (D)振动的相干叠加。 答：衍射光强是所有子波相干叠加的结果。选(D)。
5波长为λ的单色平行光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹的位置对应的衍射角为30o，则缝宽的大小（ ）
(A ) a =0.5λ。 (B ) a =λ。 (C )a =2λ。 (D )a =3λ。 答：[ C ]
6波长为λ的单色光垂直入射到单缝上，若第一级明纹对应的衍射角为30?，则缝宽a 等于（ ）
(A ) a =λ 。 (B ) a =2λ。 (C ) a =2
3
λ。 (D ) a =3λ。 答：[ D ]
7在单缝夫琅和费衍射实验中波长为λ的单色光垂直入射到单缝上，对应于衍射角为30?的方向上，若单缝处波面可分成3个半波带，则缝宽度a 等于（ ）
(A) λ 。 (B) 1.5λ。 (C) 2λ。 (D) 3λ。
答：[ D ]
8在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射到宽度a=4λ的单缝上，对应于衍射角为30?的方向，单缝处波面可分成的半波带数目为（ ） (A )2个。 (B )4个。 (C )6个。 (D )8个。 答：[B]
9在单缝夫琅和费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应的单缝处波面可划分为（ ） (A )2个半波带。 (B )4个半波带。 (C)6个半波带。 (D)8个半波带。 答：[C ]
10 在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度a 稍稍变宽，同时使单缝沿y 轴正方向作微小位移，则屏幕E 上中央明条纹将( ) (A)变窄，同时向上移。 (B)变窄，同时向下移。 (C)变窄，不移动。
(D)变宽，同时向上移。 (E)变宽，不移动。
答：由中央明条纹宽度公式a
f x λ
2=
?可知，将单缝宽度a 稍稍变宽，中央明条纹将变窄。由于透镜未动，焦点位置不动，故位于焦点附近的中央明条纹位置也将不移动。故选(C)。 11 波长为5000?的单色光垂直入射到光栅常数为1.0?10-4cm 的平面衍射光栅上，第一级衍射主极大所对应的衍射角为（ ）
(A ) 60?。 (B ) 30?。 (C ) 45?。 (D ) 75?。
答： [B]
12 波长为5500?的单色光垂直入射到光栅常数为2.0?10-4cm 的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为（ ）
(A )2。 (B )3。 (C )4。 (D )5。
答：[B]
13一束白光垂直照射在一平面衍射光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，从中央向外方向颜色的排列顺序是（ ）
(A) 由红到紫。 (B) 由红到红。 (C) 由紫到紫。 (D) 由紫到红。
答：[D]
14用波长为λ的单色平行光垂直入射到一光栅上，其光栅常数d=3μm ，缝宽a=1μm ，则在单缝衍射的中央明纹宽度内主极大的个数是（ ）
(A)3个。 (B) 4个。 (C) 5个。 (D) 6个。
答：[C]
15 一衍射光栅对垂直入射的某一确定的波长，在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该( ) (A)换一个光栅常数较小的光栅。
(B)换一个光栅常数较大的光栅。 (C)将光栅向靠近屏幕的方向移动。 (D)将光栅向远离屏幕的方向移动。
答：光栅方程：d sin ?=kλ，取?=90?，能看到的最高级次：k max =λ
d
，对某一确定的波长，光栅常数越大，屏幕上出现的级次越高。故选(B)。
16 一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数(a+b )为下列哪种情况时(a 代表每条缝的宽度)，k =3，6，9等级次的主极大均不出现?（ ）
(A)a+b=2a 。 (B)a+b=3a 。
λ
y
o
思考题10图
(C)a+b=4a 。 (D)a+b=6a 。 答：由缺级公式：k a
b
a k '+=
，要k =3，6，9缺级，即要 k a
b
a k '+=
=k '3，所以a+b=3a ，选(B)。 17 在双缝衍射实验中，把两条缝的宽度a 略微加宽，而其它条件保持不变，则( ) (A)单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变少。 (B)单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变多。 (C)单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目不变。 (D)单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变少。
(E)单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变多。
答：由中央明条纹宽度公式a
f x λ
2=?可知，将单缝宽度a 稍稍变宽，其它条件保持不
变，中央明条纹将变窄。在单缝衍射的中央明纹宽度内
d sin ?=kλ a sin ?=λ k max =
a
d d 不变，a 变宽，在单缝衍射的中央明条纹宽度内干涉条纹数目将变少。故选(D)。
18 某元素的特征光谱中含有波长分别为λ1=450nm 和λ2=750nm 的光谱线。在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象，重叠处λ2的谱线的级数将是( )
(A)2,3,4,5…。 (B)2,5,8,11…。 (C)2,4,6,8…。 (D)3,6,9,12…。
答：重叠：d sin ?=k 1λ1=k 2λ2，即3k 1=5k 2，只有k 1=5，10，15，k 2=3，6，9。故选(D)。
习 题
14-1 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a =0.15mm 。缝后放一个焦距f=400mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0mm ，求入射光的波长。
解 第三级暗条纹：a sin ?=3λ 由于
??sin ≈=tg f
x
(因?很小)，第三级暗条纹坐标 a
f x λ
33=
故中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为
a
f x x λ
623=
=? 所以 f
x
a x 623?=
=λ=5000?
14-2 在夫琅和费单缝衍射实验中，如果缝宽a 与入射光波长λ的比值分别为(1)1，(2)10，(3)100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角，再讨论计算结果说明什么问题。
解：中央明纹边缘衍射角即第一级暗纹衍射角λθ±=sin a ，a
sin λ
θ±=。
（1）1=a
λ
,则ο901±=±=θθ,sin ，即中央明纹占据整个屏幕。 （2）10.=a
λ
，ο7.5,1.0sin ±=±=θθ
（3）
010.=a
λ
，ο57.0,1.0sin ±=±=θθ,中央明纹已经很难看到。
这表明，比值λ/a 变小的时候，衍射角也变小，中央明条纹变窄(其他明条纹也相应地靠近中央)，衍射效应越来越不明显。当λ/a →0时，将没有衍射现象，光线沿直线传播，这是几何光学的情况。
14-3 (1)在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，λ1=4000?，λ2=7600?。已知单缝宽度a =1.0×10-2cm ，透镜焦距f =50cm 。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。
(2)若用光栅常数d =1.0×10-3cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离。
解：（1）第一级衍射明纹中心位置λθ23=sin a ，θλ
θ≈=a
23sin ，
所以mm a f
f x 35110121040007600231050234
102
.)(=???-???===---λ?θ??。 （2）第一级主极大位置λθ=sin d ，
mm d
f
f x 1810
1104000760010
505
10
2
=??-?
?===---)(λ
?θ??
14-4在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ＝632.8nm 的单色光以与单缝平面的法线成200的角入射到缝宽为a=0.010mm 的单缝上，对应于衍射角土150的方向，如图所示。求：
(1)单缝处波阵面可分半波带的数目； (2)屏上是明条纹，还是暗条纹； (3)条纹的级次。
解：如图斜入射，入射线与单缝平面法线的夹角为ο20-=?，单缝边缘对应光线在到达单缝
前就产生了光程差。
（1）对于衍射角为θ的衍射方向，单缝处波阵面可分为半波带的数目为
2
sin a sin a N λ
θ
?+=
，
当ο15+=θ时，
63.22
10
8.632)
15sin(10010.0)20sin(10010.02
sin a sin a N 9
3315=???+-??=
+=
---+οοολ
θ
?
当ο15-=θ时，
0.192
10
8.632)
15sin(10010.0)20sin(10010.02
sin a sin a N 9
3315=?-??+-??=
+=
----οοολ
θ
?，
即：衍射角ο15+=θ时，透过单缝的波阵面可分半波带的数目为2.63；衍射角ο15-=θ时，透过单缝的波阵面可分半波带的数目为19.0。
(2)当ο15+=θ时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为2．63，衍射光在屏上会聚抵消了两个半波带的光能，还剩下o ．63个半波带的光能。故衍射角ο15+=θ。对应为明暗纹的过渡区。
当ο15-=θ时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为19．0，是奇数个半波带。故衍射角ο15-=θ，对应为明条纹。
(3)当ο15+=θ时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为2．63，即3215<<+οN ，写
成（明纹条件）暗纹条件）112N (1215+?<
对应为正一级暗纹到
正一级明纹的过渡区，为正一级明纹的一部分。
当ο15-=θ时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为19，满足
（明纹条件）192N 15+?=-ο，故对应为负9级明纹，不过因k 值较大，所以条纹光强较
弱。
14-5 波长范围在450~650nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦平面处，屏上第二级光谱在屏上所占范围的宽度为35.1cm ，求透镜的焦距f 。
解 光栅常数=?=
-5
10
51
d 2?10-6m d sin ?1=2λ1，λ1=450nm d sin ?2=2λ2，λ1=650nm
o 1
1
174262sin .d ==-λ? o 21254402sin .d
==-λ
?
第二级光谱的宽度
x 2-x 1=f (tg ?2- tg ?2)
透镜的焦距
1
21
2tg tg ??--=
x x f =100cm
14-6 设某种波长λ1的光与波长λ2=486.1nm 的光均为平行光，它们同时垂直人射到光栅上，若λ1光的第三级光谱线(即第三级亮条纹)与λ2光的第四级光谱线恰好重合在离中央亮纹距离为5mm 处，设透镜焦距为0.50m 。求：(1)光栅常数； (2) λ1的值
解：根据光栅方程λθk d =sin ，
2143sin d λλθ==∴，
nm 164810148634
34921..=??=
=-λλ。
θ?tan f x =Θ
θθsin 01.05
.0105tan 3
≈=?=∴-，m d 49109410101014864--?=??=
... 14-7 用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种准单色成分
的光谱。已知红谱线波长λR 在0.63μm~0.76μm 范围内，蓝谱线波长λB 在0.43μm~0.49μm 范围内。当光垂直入射时，发现在22.46°角度处，红蓝两谱线同时出现。求：
(1) 在22.46?角度处，同时出现的红兰两谱线的级次和波长； (2) 如果还有的话，在什么角度下还会出现这种复合谱线?
解 m 33.3mm 300
1
μ==
d (1) d sin 22.46?=1.38μm =k λ
对红光： k =2， λR =0.69μm 对兰光： k =3， λB =0.46μm (2) d sin ?=k R λR = k B λB
对红光(0.63?0.76μm)：
?=90?，最大级次k R =d /0.63μm=4.8， 取k R =4 对兰光(0.43?0.49μm)：
?=90?, 最大级次k B =d /0.43μm=7.2, 取k B =7
显然，红光的第4级和兰光的第6级还会重合。 由 d sin ?=4λR 求得重合的角度为
?=d
r
λ4arcsin
=55.9? 14-8 试证：双缝夫琅和费衍射图样中，中央包络线内的干涉条纹为)12
(-a
d
条。式
中，d 是缝间距，a 是缝宽。
解：考虑缺级条件后单缝衍射中央明纹内衍射角满足 a
sin a
λ
θλ
<
<-
对双缝干涉，有λθk sin d =，d
k sin λθ=
在单缝的中央明纹包络线内双缝干涉的最高级次为a d k a
λλλ
<<
-，a
d k a d <<-， 所以总共出现的干涉极大的个数为1a
d
2
1)1a d (2-=+-。
14-9 一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为a =2×10-3cm ，在光栅后放一焦距f =1m 的凸透镜，现以λ=6000?的单色平行光垂直照射光栅，求：
(1) 单缝衍射的中央明条纹宽度为多少?
(2) 在中央明条纹宽度内，有几个光栅衍射主极大?
解 (1) 中央明条纹宽度
a
f x λ
2=
?=0.06m (2) cm 105200
1
3-?==
d 由 d sin ? =k λ
a sin ? =λ
在中央明条纹宽度内的最高级次：a
d
k =
=2.5 所以在中央明条纹宽度内有k =0，±1，±2，共5个衍射主极大。
14-10用每毫米内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱(λ=589.3nm)，设透镜焦距为f=1.00m 。问：
(1)光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱?
(2)光线以入射角300入射时，最多能看到第几级光谱?
(3)若用白光(400~760nm)垂直照射光栅，最多能看到几级完整光谱?最多能看到几级不重叠光谱? 求第一级光谱的线宽度。
解：该光栅的光栅常数为m 1000.2m 500
101d 63
--?=?=。
（1）因为光是垂直入射，最高级次衍射角应满足 d 90sin d k sin d k =<=ολθ，
即39.310
3.5891000.2d
k 9
6=??=
<
--λ
，取k=3，最多看到第3级光谱。
（2）当光斜入射，光到达光栅时，相邻两缝衍射光产生的光程差为?sin d ，故最高级次的衍射角应满足)sin 90(sin d k )sin (sin d k ?λ?θ+<=+ο，
所以09.510
3.5895.11000.2)
30sin 1(d k 9
6=???=
+<
--λ
ο，取k=5，所以最多看到第5级。
（3）若白光照射光栅，对所看到最高级次的完整光谱，应以长波长的光出现为准。 故d 90sin d k sin d 2k =<=ολθ， 即63.210
7601000.2d
k 9
62
=??=
<
--λ，取k=2，最多看到第2级完整光谱。
对所看到的最高级次不重叠光谱，即要求高级次短波的衍射角大于低一级次长波的衍射角11k 2k )1k (sin d k sin d λθλθ+=≤=+，即12)1k (k λλ+≤，
所以11.110
40010
76010400k 9
9
9
1
21=?-??=
-=
---λλλ，取k=1,不重叠光谱的最高级次为1。
求第一级光谱的线宽度，
对于nm 4001=λ，有11sin d λθ=， 20.01000.210400d
sin 6
91
1=??=
=
--λθ，得ο54.111=θ。
nm 4001=λ第一级谱线的线坐标为m 204.054.11tan 00.1tan f x 11=?==οθ。
对于nm 7602=λ，有22sin d λθ=，38.01000.210760d
sin 6
92
2=??=
=
--λθ，得ο33222.=θ。
nm 7602=λ第一级谱线的线坐标为m 411.033.22tan 00.1tan f x 22=?==οθ。
故第一级光谱的线宽度为m 207.0m 204.0m 411.0x x x 12=-=-=?
14-11 在地面上空160km 处绕地飞行的卫星，具有焦距2.4m 的透镜，它对地面物体的分辨本领是0.36m 。试问，如果只考虑衍射效应，该透镜的有效直径应为多大?设光波波长λ=550 nm 。
解：由最小分辨角的定义，D
22
.1λ
θ=,所以m 30.01016036
.01055022.122.1D 3
9=???==
-θ
λ
。
14-12 用晶格常数等于3．029×10-10 m 的方解石来分析x 射线的光谱，发现入射光与晶面的夹角为43020’和40042’时，各有一条主极大的谱线。求这两谱线的波长。
解：主极大即散射最强的条纹，由布拉格公式，取k=1,得
当'20431ο=θ时，m 10147.4sin d 21011-?==θλ 当'42401ο=θ时，m 10928.3sin d 21022-?==θλ