平行四边形证明

判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、两组对边分别平行如图1,已知△ ABC是等边三角形，D、E分别在边BC AC上，且CD=CE连结DE并延长至点F，使EF=AE连结AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；⑵ 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由,解：（1）选证△ BDE^A FEC证明：•••△ ABC是等边三角形，••• BC=ACZ ACD=60v CD=CE二BD=AEA EDC是等边三角形••• DE二EC/ CDEH DEC=60•••/ BDE/ FEC=120又v EF=AE 二BD二FE 二△ BDE^A FEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ ABC △ EDC △ AEF都是等边三角形v/ CDE/ABC/ EFA=60 ••• AB// DE BD// AF v四边形ABDF是平行四边形点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、一组对边平行且相等例2已知：如图2,在正方形ABCD中, G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG连结BG并延长交DE于F⑴求证：△ BCG^^DCE(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到△ DAE，判断四边形E‘ BGD是什么特殊四边形并说明理由。

分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有AB// DC又通过旋转CE=AE已知CE=CG所以E A=CG这样就有BE =GD可证E BGD是平行四边形。

解：( 1)v ABCD是正方形，•••/ BCDM DCE=90 又T CG=C，△ BCG^ DCE(2)v^ DCE绕D顺时针旋转90°得到△ DAE，••• CE=AE，T CE=CG 二CG=AE，•••四边形ABCD是正方形••• BE // DG AB=CD••• AB- AE 二CDCG,即卩BE =DG•••四边形DE BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边△ ABD等边△ ACE等边△ BCF求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

平行四边形的性质有很多种证明方式，下面列举了四种常见的证明方式：
1. 同底异边平行四边形性质证明：
性质：若平行四边形的一对对边分别平行，则该平行四边形是平行四边形。

证明：利用平行线的性质，通过对应角相等或同位角相等的方式证明。

2. 同位角平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的同位角相等。

证明：利用平行线的同位角性质，通过角对应或同位角相等的方式证明。

3. 对角线分割平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对角线互相等分，即平行四边形的一条对角线把它分成两个全等的三角形。

证明：利用三角形的全等条件，通过SAS、ASA等证明两个三角形全等。

4. 边角对应平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对应边成比例，对应角相等。

证明：利用对应角相等和平行线的性质，通过相似三角形的性质证明对应边成比例。

这些证明方式可以根据具体的平行四边形问题选择合适的方法。

在证明中，要善于利用平行线的性质和三角形的性质，灵活应用各种角关系和边关系。

证明为平行四边形的条件
1. 两组对边分别平行，那它不就是平行四边形嘛！就像咱家里的窗户框，上下边平行，左右边也平行，这就是典型的平行四边形呀！
2. 两组对边分别相等也能证明呀！你想想，桌子的桌面，相对的两边一样长，不就是平行四边形的特征嘛！
3. 一组对边平行且相等，这还能不是平行四边形？好比走在路上，一边是直的路，另一边和它一样长且也平行，这不就是嘛！
4. 对角线互相平分也能说明哦！像小区的两个路灯，它们之间的连线把区域分成相等的部分，这就是平行四边形呀！
5. 两组对角分别相等也得算呀！那玩的飞盘，它的对角角度一样，不就是平行四边形的表现嘛！
6. 有一组对边平行，一组对角相等，这肯定是平行四边形啦！就像那书本打开，一边平行，对角相等，可不就是嘛！
7. 四条边都相等，那还能不是平行四边形？那正方形的手帕，四条边一样长，它也是特殊的平行四边形呀！
8. 相邻的两个角互补，这也是条件之一呢！就像那钟的表面，相邻角加起来 180 度，这就是平行四边形的特点呀！
9. 一组对边平行，另一组对边相等，这也能说明呀！那梯子不就是这样，一边平行，另一边相等，不就是嘛！
10. 对角线相等的四边形，可不一定是平行四边形哦！这得记住了，可别搞混啦！
我的观点结论就是：记住这些条件，判断平行四边形就容易多啦！。

证明平行四边形的判定方法
平行四边形是由四个平行边组成的四边形，它是有趣的图形之一，也是几何学中的一
个基本形状。

判定一个四边形是否为平行四边形，最简单的方法是用性质法。

性质法的要点是：一
个四边形的边平行，则该四边形四条边的夹角相等。

即，要判断一个四边形是否为平行四
边形时，首先要测量四边形的各个夹角的大小，然后比较它们是否都相等。

另一种判定平行四边形的方法是量角法。

量角法要求，要把四边形的对角线构成一个
均四边形，而平行四边形的对角线可以构成一个均四边形，而其他四边形的对角线构成的
不是一个均四边形。

有时也可以利用已知的值，如边角的大小，来判断一个四边形是否为平行四边形。

例如，如果一个四边形的边长为5，5，5，5，可知该四边形每条边的夹角都为90度，同时，四条边互相平行。

总之，要判定一个四边形是否为平行四边形，有多种方法，其中性质法、量角法和特
定值方法可以帮助我们便捷的判定这个概念。

平行四边形的证明
平行四边形是由四条相互平行的线段组成的一种多边形，它的特性使它在几何中变得非常重要。

下面将对其进行证明。

根据定义，平行四边形是由四条相互平行的线段组成的，因此我们必须证明四个线段都是平行的。

要做到这一点，首先我们需要确定的是，四边形的每个顶点之间的距离都是相等的。

例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB=BC=CD=DA。

接下来，我们要证明的是，四边形的每个边都是平行的。

为了做到这一点，首先我们需要证明的是，四边形的每个内角都是相等的。

例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么∠A=∠B=∠C=∠D。

现在，我们来证明四条线段是平行的。

这可以通过反证法来证明。

即，假设AB不是平行的，那么AB和CD之间存在一个内角，记作θ。

根据上面的结论，
∠A=∠B=∠C=∠D，因此θ=∠A=∠B。

但是，根据三角形的外角定理，∠A+∠B+θ=180°，因此θ=180°-2*∠A。

由于∠A=∠B，所以θ=180°-2*∠A=180°-2*∠B，这和之前的结论θ=∠A=∠B矛盾，因此AB不可能不平行。

同样，我们可以用同样的方法证明BC、CD和DA都是平行的。

因此，我们已经证明了ABCD是一个平行四边形。

总之，平行四边形的证明包括以下几个步骤：首先证明四边形的每个顶点之间的距离都是相等的；然后证明四边形的每个内角都是相等的；最后利用反证法证明四条线段是平行的。

平行四边形的性质与证明平行四边形是一种常见的四边形，具有一些特殊的性质和规律。

在本文中，我们将探讨平行四边形的性质，并给予相应的证明。

1. 对角线的性质平行四边形的两条对角线互相平分，并且交点处的四个角相等。

证明：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

首先证明对角线AC平分了边BD。

由平行四边形的定义可知AB∥CD、BC∥AD，结合平行线的性质，我们得到∠ABC=∠CDA，∠CAB=∠DCA。

又因为三角形ABC与三角形CDA有一个对应角相等，一个对应边共边相等（AB=CD），故两个三角形全等（∠ABC=∠CDA，∠CAB=∠DCA，AB=CD）。

根据全等三角形的性质，我们可以得到∠ACB=∠CAD。

同理可以证明对角线BD也平分边AC。

其次证明四个角相等。

我们已经证明了对角线AC和BD平分了边，那么我们可以得到∠AOC=∠BOC和∠BOD=∠AOD。

再结合平行四边形的定义，我们知道∠AOC+∠BOD=180°，∠BOC+∠AOD=180°。

将两个方程相加得到：∠AOC+∠BOD+∠BOC+∠AOD=360°。

根据角的性质，我们得知∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°。

因此，平行四边形的两条对角线互相平分，并且交点处的四个角相等。

综上，平行四边形的两条对角线互相平分，并且交点处的四个角相等。

2. 边的性质平行四边形的对边是平行且相等的。

证明：设平行四边形ABCD的边AB∥CD和BC∥AD。

首先证明对边AB和CD平行。

根据平行线的性质，我们知道同旁内角相等，则有∠ABC=∠CDA。

而我们已经证明了对角线AC平分边BD，即∠ACB=90°，则∠ABC+∠ACB=∠CDA+∠ACB=180°。

由此可得∠CDA=90°，即AB∥CD。

同理可以证明对边BC和AD平行。

其次证明对边AB和CD相等。

由于平行四边形的对角线AC和BD平分了边，我们可以得到AB=CD和BC=AD。

平行四边形常用的证明方法一利用平行四边形的相关定理证明1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题：已知在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，又∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600，∴∠A+∠B=∠C+∠D=1800，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC,又∵∠BAE=∠DCF, ∴△BAE≌△DCF, ∴AE=CF,BE=DF, ∵AD=BC, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，在□ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．求证：四边形AFCE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，∴∠ADE=∠CBF,∴AE=AD,CF=CB,∴∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∵∠ADC=∠ABC，∴∠EAD=∠BCF，∴∠EAD+∠BAD=∠BCF+∠DCB，即∠EAF=∠ECF，∵∠EAD=∠BCF，∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∴∠EAD=∠ADE=∠CBF=∠FCB，∴∠E=∠F，∴四边形AFCE是平行四边形（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题：如图，□AECF的对角线交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵四边形AECF是平行四边形，∴AO=CO，∠FCA=∠CAE，∵∠DOC=∠AOB，∴△AOB≌△COD，∴DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD．求证：四边形AMCN是平行四形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD，∴AM∥CN，AM ＝CN，∴四边形AMCN是平行四形2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形例题：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，∵A、D、C在一条直线上，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC=900，∴四边形ADCE是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形例题：如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形证明：∵BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，∴∠PBE=∠ABE=0.5∠ABP，∠ABD=∠DBC= 0.5∠ABC，∵∠ABP+∠ABC=900，∴∠ABE+∠ABD=∠PBE+∠DBC=0.5×1800，∴∠EBD=900，∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB=900，∠ADB=900，∴∠EBD=∠AEB=∠ADB=900，∴四边形AEBD是矩形,(3)对角线相等的平行四边形是矩形例题：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形证明：∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴AO=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形3.(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形例题：如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点。

证平行四边形全等方法作为数学教授，我将为大家讲解证明平行四边形全等的方法。

平行四边形全等是指两个平行四边形的每一对对应边相等，并且对应角相等。

这里我们将介绍三种证明平行四边形全等的方法：SAS、SSS和ASA。

我们来讲解SAS方法。

SAS方法即知两边及夹角相等时，证明两个三角形全等。

首先我们假设有两个平行四边形ABCD和EFGH，其中AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。

我们要证明这两个平行四边形全等。

我们可以画出对角线AC和EG，这样我们就得到了两个三角形ABC和EFG。

根据题意，我们可以得出三个已知条件：AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。

这样，我们就可以使用SAS方法证明它们全等。

因为∠A=∠E，所以这两个三角形的第二个已知条件是AC=EG。

根据SAS法则，当三角形的两边及夹角分别相等时，两个三角形就全等。

1.画图要准确在证明平行四边形全等的过程中，我们通常会用到画图来辅助证明。

画图的质量会直接影响证明的正确性和清晰度。

我们要尽可能地画得准确，并将图形大小和比例控制好。

2.理解证明方法的原理虽然SAS、SSS和ASA法则看起来很简单，但理解证明方法的原理是非常重要的。

只有当我们理解了证明方法的原理，才能正确地运用它们。

我们要仔细研读课本材料和老师的讲解，保证自己对证明方法有深入的理解。

3.掌握其他定理的使用在证明平行四边形全等的过程中，我们还会用到其他的定理和公式。

我们可能会用到勾股定理、余弦定理、正弦定理和中线定理等。

我们还需要掌握这些定理的应用，才能在证明过程中灵活运用。

4.注意证明的逻辑性在证明平行四边形全等的过程中，我们需要注意证明的逻辑性。

尽管证明过程看似简单，但我们需要确保每一个步骤都是正确的，并按照合理的顺序进行。

否则，证明过程会缺乏逻辑性，失去信服力。

5.多多练习证明平行四边形全等虽然看起来简单，但它涉及到的知识点较多，需要我们综合运用多种数学知识和技巧。

我们需要多练习，增强自己的证明能力。

怎么证明平行四边形证明：∵四边形ABCD为平行四边形;∴DC‖AB;∴∠EAF=∠DEA∵AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线;∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF;∴∠EAF=∠CFB;∴AE‖CF;∵EC‖AF∴四边形AFCE是平行四边形1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线相互平分的'四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线相互平分的四边形是平行四边形21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.由于对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线相互平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非全部真命题都为判定定理，盼望各位读者不要随便更改。

) (第五条对，假如对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特别的平行四边形。

)(1)平行四边形对边平行且相等。

(2)平行四边形两条对角线相互平分。

(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。

(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。

(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

证平行四边形的方法
平行四边形是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。

平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。

平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

相比之下，只有一对平行边的四边形是梯形。

平行四边形的三维对应是平行六面体。

证明方法：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。