第三章 动量守恒定律和能量守恒定律

山东轻院第三章动量守恒定律和能量守恒定律山东轻院基本要求1.掌握动量、冲量的概念，明确它们的区别和关系。

2.熟练应用动量定理和动量守恒定律求解力学问题。

3.掌握功和动能的概念，会计算变力的功。

4.理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力、和万有引力势能。

5.熟练运用动能定理、功能原理和机械能守恒定律求解力学问题。

基本概念及规律1.动量定理和动量守恒定律动量定理合外力的冲量等于质点（或质点系）的增量。

物理辅导山东轻院动量定理12P P dt F -=质点质点系∑∑-=iii i P P dt F 12动量守恒定律当一个质点所受合外力为零时，这一质点的总动量保持不变。

0=∑F 当时，外==∑∑ii i v m P 恒矢量在直角坐标系中当0=∑x F 时0=∑y F 时0=∑z F 时==∑x ix i P v m 常量==∑y iy i P v m 常量==∑z izi P v m 常量物理辅导山东轻院 2.功的定义元功ϕcos Fdr r d F dw =⋅=ϖϖ有限运动功r d F w B AAB ϖϖ⋅=⎰3.动能、动能定理动能是描述物体运动状态的单值函数，反映物体运动时具有作功的本领。

221mv E k =动能定理：合外力对质点做的功等于质点动能的增量。

KAKB AB E E w -=4.保守力、势能、功能原理保守力某力所作的功与受力质点所经过的具体路径无关，而只决定于质点的始、末位置，则这个力称为保守力。

例物理辅导山东轻院势能以保守力相互作用的物体系统在一定的位置状态所具有的能量，叫势能。

物体系统内部物体间相对位置变化时，保守力作功等于势能增量的负值，即：pE W ∆-=保内功能原理外力和非保守内力对系统作的功等于系统机械能的增量。

即()()1122P K P K E E E E W W +-+=+外非保内机械能守恒定律一个物体系，如果只有保守力作功，而其它非保守力及外力都不作功，则该物体系的动能与各种势能的总和保持不变。

即1122K P K P E E E E +=+物理辅导山东轻院解题指导另外，对于确定的质点系，系统中物体的动量都是相对于同一惯性参考系而言的，系统中内力的作用只能改变系统内部各物体的运动状态，而不能改变系统的总动量。

1.在应用动量定理和动量守恒定理解题时，要正确选择系统和坐标系，并写出相应的分量形式。

当外力在某一方向的分力为零时，则该方向的动量分量守恒。

定理中是作用在质点（或质点系）上包括重力在内的所有力，但是当碰撞力远大于重力时，可以忽略重力的作用。

F物理辅导山东轻院 2.在求解变力作功的问题时，力可以是时间t 、径矢或速度的函数。

当与积分变量不一致时，可以通过数学变换的方法解决。

另外，在确定的系统中，两个不同状态之间能量的增量等于在此两状态间力所作的功（注意：动量定理中上指一切力作的功；功能原理中是指除保守力以外的一切力作的功），因此，若能知道系统初、末状态的能量，利用两定理解题可以避免复杂的积分计算。

在利用机械能守恒定律解题时，要特别注意守恒条件是否成立，要选好系统，分清内力与外力、保守力，并选好合适的零势能点。

F r v物理辅导山东轻院例题例1. 质量为50kg 的高空走钢丝演员，身上系一5m 长的弹性安全带，其弹性缓冲时间为1s 。

当演员不慎跌下时，在缓冲时间内安全带给演员的平均作用力有多大？（g 取10ms -2)。

解：第一过程是自由落体运动，设演员下落5m 后的速度为101051022-=⨯⨯==ms gh v 第二过程受重力和安全带拉力作用，若取向上为正向，F 为安全带的平均拉力，演员处动量为-mv 0,末动量mv = 0，有动量定理知：物理辅导山东轻院()()00mv mv mv t mg F =--=∆-0501010001mv F mg Nt ⨯=+==∆∴若缓冲时间为0.05s 时，有上式得：501050100.05mv F mg t ⨯'=+=⨯+∆5001000010000N=+≈可见当作用时间很短时，重力可以忽略。

有动量定理知：物理辅导山东轻院解：卫星绕地球作圆周运动的向心力是地球对卫星的万有引力，对卫星来说为外力，所以卫星作圆（椭圆）轨道运动时，卫星的动量不守恒。

设卫星在前后两轨道上运动方程分别为：碰前()()222vmmmmMG''+='+碰后RmvRMmG22=例2. 有一卫星质量为m，它以速率v绕地球在半径为R 的圆轨道上运动，假定卫星吸收了一个质量为m′的静止在轨道上的物体。

此时卫星的轨道半径为多少？卫星的能量改变了多少？（卫星新轨道也可视为圆轨道）。

物理辅导山东轻院()mv m m v ''=+联立求解上面三式，得碰后卫星速率mv vm m '='+设卫星在吸收质量为m ′的物体时，时间很短，选卫星和物体m ′所组成的系统，在卫星运动方向上，碰撞前后动量守恒，有碰后卫星轨道半径Rm m m R 2⎪⎭⎫ ⎝⎛'+='物理辅导山东轻院卫星的能量为其动能和势能之和p k E E E +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=R GMm mv 22121122GMm GMm mv R R =-=-碰前碰后()221v m m E ''+-='碰撞前后卫星能量的改变量为()222121mvv m m E E E +'+-=-'=∆()2221122m m m v mv m m ⎛⎫'=-++ ⎪'+⎝⎭2m m v '=山东轻院例 3. 有一半圆形的光滑槽, 质量为M , 半径为R , 放在光滑的桌面上, 一个质量为m 的小球在槽内A 处由静止开始下滑。

求（1）当小球滑到C 处时，相对于槽的速度, 槽相对于地的速度。

（2）当小球滑到最低点B 时，槽移动的距离。

()sin 0m v V MV θ--=（1）m 0ABCRM解：(1) 以小球m 与槽M 为研究系统，其水平方向动量守恒。

设表示m 相对于M 的速度，方向为沿槽表面的切线方向。

表示M 相对地的速度，方向水平向右。

则V V v山东轻院另外，m,M 与地球组成的系统机械能守恒。

选最低点B 为零势能点，则()()θθθsin 21cos 21sin 21222mgR MV v m V v m =++-（2）联立求解（1）（2）两式得到()()1222sin sin M m Rg v M m m θθ⎡⎤+=⎢⎥+-⎣⎦()()1222sin sin sin M m Rg m V M m M m m θθθ⎡⎤+=⎢⎥++-⎣⎦山东轻院（2）设v x 为小球m 相对地面速度的水平分量，m 与M 构成的系统在水平方向动量守恒。

即：=-MV mv x 或0=-dtdx M dt dx m M m 在m 从A 滑到B 的过程中有M m mdx dx M=⎰⎰两边积分得m M x Mmx =所以m M x R x =-M mx R M m=+山东轻院mv 根据第二定律，滑块作圆周运动时法向分力为：2v N mR=切向摩擦分力为：dvf N mdtμ=-=或dv dv d mv dvm m dt d dt R d θθθ==（1）（2）例4.在光滑的水平桌面上，水平固定着一半园型屏障，有一质量为m 的滑块以初速度v 0沿切线方向进入屏障一端。

设滑块与屏障的摩擦系数为，当滑块从另一端滑出时，求摩擦力的功。

μ物理辅导山东轻院联立求解两式并积分vv dvd v πμθ=-⎰⎰得到滑块末速度为0v v eμπ-=利用动能定理可得到摩擦力的功()2222001111222f W mv mv mv e πμ-=-=-物理辅导山东轻院例 5 用一轻弹簧把质量分别为m 2和m 2的木版连接起来, 问在m 1 上需要加多大的压力可使力停止作用后, 恰能使m 1 跳起来时，m 2稍被提起。

1m 2m 解：取弹簧原长处o 为零势能点（重力和弹性势能均为零），并设其为y 轴的原点，如图（a ）,当加上m 1和外力F 后，弹簧压至y 1如图（b ），当外力F 撤去后，m 1被推至y 2 如图（c ）。

在此过程中只有重力和弹性力作功，系统机械能守恒。

1y 2y ykA 1m 1f F1P 1m 2f 1P 2m '2f物理辅导山东轻院1y 2y ykA ()a ()b ()c 1m 1f F1P 1m 2f 1P 2m '2f 2P 212211212121gy m ky gy m ky +=-整理后得：()2112k y y m g-=或2111ky g m g m ky +=-（1）系统机械能守恒：物理辅导山东轻院联立求解（1）（2）（3）式得：gm g m ky g m F 2121+≥+=所以()12F m m g≥+有图（b ）知gm ky F 11-=有图（c ）知，若使m 2跳离地面必须满足gm ky 22≥（2）（3）1y 2y ykA ()a ()b ()c 1m 1f F1P 1m 2f 1P 2m '2f 2P物理辅导山东轻院21。