数学天才_阿贝尔

阿贝尔（Niels Henrik Abel）生于：1802年8月5日,挪威内兹特兰(Nedstrand)死于：1829年4月6日,挪威弗鲁兰(Froland)国籍：挪威研究领域：数学1929年挪威发行邮票纪念阿贝尔逝世100周年1983 挪威 2002 挪威阿贝尔纪念像挪威奥斯陆阿贝尔的未婚妻--克里斯汀阿贝尔及其签名阿贝尔的手稿2002年挪威发行背面写有阿贝尔名字及成就的纪念金币1948-1976 挪威纸币1978-1985 挪威纸币雕像Ⅰ雕像Ⅱ雕像Ⅲ雕像Ⅳ阿贝尔的坟墓阿贝尔（Niels Henrik Abel ）引言在挪威的首都奥斯陆的皇家公园里，耸立着一座纪念碑，纪念着一位对椭圆函数的发展和高次方程求解都很有贡献的数学家──阿贝尔。

少年时代阿贝尔出身于贫穷家庭，十三岁时才能入学读书。

在十五岁那年，他遇到他的数学启蒙老师──洪波。

洪波仅比阿贝尔年长七岁，但在数学上已经有了相当扎实的基础。

洪波为人诚恳，平易近人，亦尽把自己所知的全教给阿贝尔。

这样，仅一年多的时间，阿贝尔便完成了初等数学，并开始向高等数学进发。

在阿贝尔中学的最后一年，他开始考虑当时的一个著名数学难题：一般五次方程的解法（这在当时是一个已经拖了两百多年还没解决的问题）。

阿贝尔提出了一个解决这个问题的设想，并把这设想告诉洪波。

洪波无法理解阿贝尔的想法，只是劝他暂时把问题搁一搁，专心迎接毕业试及大学入学试。

大学时代得到洪波老师的帮助，阿贝尔得到克里斯蒂安那大学的一笔助学金，顺利地入读该校。

入读大学的第一年，阿贝尔就开始继续研究五次方程的解法。

他曾一度以为自己已经发现了五次方程的解法，并把发现告诉了数学教授拉斯穆辛及天文学教授汉斯顿。

两位教授看了阿贝尔的论文都说不出什么，便把论文送交了丹麦数学家家德根。

家德根很快便发现了其中的错误，并回信说︰“阿贝尔先生虽然没有达到其目的，但充分显示了他的才华，我希望阿贝尔先生不仅研究五次方程的解法，而且能进一步研究在数学整体发展中具有更大影响的问题，譬如说椭圆函数。

世界数学家介绍世界数学家，是指在数学领域中有重要贡献的人物。

数学是一门独具特色的学科，能够应用于各个领域，具有广泛的应用。

世界数学家们的贡献，推动了数学的发展，在现代科学和技术中发挥了非常重要的作用。

世界数学家以其独特的思维方式、精湛的技艺和深厚的理论功底为人们所熟知，他们的成就在数学领域中产生了重大影响，让人们对数学充满敬畏之情。

本文将介绍世界数学家中最为著名的一些人物及其贡献。

1.欧拉欧拉（Euler，Leonhard Euler，1707-1783），是18世纪最伟大的数学家之一。

他在数学领域中有非凡的成就，对现代数学的发展产生了深刻的影响。

欧拉在数学分析、代数、几何、力学、天文学、物理学等领域都有重要的成就，他发现了许多数学定理，提出了许多重要问题。

欧拉曾经被誉为“数学的王子”，其最著名的贡献是欧拉公式。

欧拉公式e^(i*pi)+1=0，是数学中最为著名的等式之一，它融合了数学中三个最基本的常数e、i和π，展示了数学的美妙和神奇。

欧拉对群论的研究也非常深入，他首创了现代数学中的群论，开创了代数学的新领域。

此外，欧拉还在天文学、物理学等领域有很重要的贡献，他发明了欧拉旋转方法，解决了众多复杂的问题。

2.高斯高斯（Gauss，Johann Carl Friedrich Gauss，1777-1855），是19世纪数学家中最重要的人物之一。

高斯在数学中的贡献非常丰富，他的名字通常被与很多数学领域相关的定理联系在一起。

例如高斯定理、高斯消元法、高斯-约旦消元法等等。

高斯的发明和发现覆盖了各个领域，绝大部分都对数学的基础和应用产生了深刻的影响。

高斯首创了几何学中的非欧几何，他在代数、数论、微积分、电磁学中也有重要的贡献。

高斯发明了各种各样的工具和方法，包括高斯曲面、高斯微积分、高斯条形消元、高斯概率等等。

高斯的人生充满了传奇和神话色彩，他在数学之外也有着很多的兴趣和才能。

此外，高斯还是一名优秀的物理学家和天文学家，在天文学中有重要的成就。

数学家的资料：细说数学界的荣誉奖项之阿贝尔数学
奖
 数学家的资料——极客数学帮今天来给大家说说数学界荣誉之一的阿贝尔数学奖，阿贝尔是一位令人惋惜的数学天才，为了纪念他，挪威设立了阿贝尔数学奖。

一起来了解下这个被称为数学界最高荣誉之一的奖项吧。

 阿贝尔奖是一项挪威王室向杰出数学家颁发的一种奖项，每年颁发一次。

 
 2001年，为了纪念2002年挪威着名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。

设立此奖的一个原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。

阿贝尔数学奖每年颁发一次。

 自2003年起，一个由挪威自然科学与文学院的五名数学家院士组成的委员会负责宣布获奖人。

奖金为600万挪威克朗(约合100万美元)，从2003年起每年颁发一次，奖金大致与诺贝尔奖相近。

阿贝尔迟到的聘书读后感篇一阿贝尔迟到的聘书读后感读完《阿贝尔迟到的聘书》，我心里那叫一个五味杂陈啊！这故事，真的是让我感慨万千。

阿贝尔，这位数学天才，就因为生不逢时，才华一直被埋没。

我就想问了，难道天才就非得在逆境中苦苦挣扎才能被发现吗？也许这就是命运给他开的一个大大的玩笑。

这让我想起了自己，有时候明明很努力，可就是得不到认可，那种滋味，真不好受。

话说回来，阿贝尔的坚持真的让我佩服得五体投地。

就算没人看好他，他还是一心扑在数学上，这是啥精神？这是对梦想的死磕精神啊！我觉得要是我，可能早就放弃了。

可他没有，这也许就是他能成为天才的原因吧。

再看看那个迟到的聘书，真是让人又气又无奈。

早干嘛去了？等到人都不在了才来，这不是马后炮吗？可转念一想，也许正是因为这份迟到，才让我们更加深刻地记住了阿贝尔，记住了他的坚持和不屈。

总之，这个故事让我明白了，梦想的道路上可能充满坎坷，可能会被误解，可能会有无数个“迟到的聘书”，但只要我们像阿贝尔一样坚定，说不定哪天，属于我们的聘书就会准时到达，不是吗？篇二阿贝尔迟到的聘书读后感《阿贝尔迟到的聘书》，这故事读完，我整个人都不好了！你说阿贝尔多惨呐，一身的才华，却没人赏识。

我就在想，这世界咋这么不公平呢？难道真的是“千里马常有，而伯乐不常有”？也许吧，可能这就是人生的无奈。

他那么努力地研究数学，就像我努力学习却总也考不好一样，那种失落感，谁懂啊？我觉得阿贝尔可能无数次在深夜里问自己：“我这么拼命到底为了啥？”可他还是没放弃，这得多强大的内心啊！等到聘书终于来了，可人却不在了，这不是逗人玩儿吗？这就好比我心心念念的玩具，等我有钱买了，它却下架了，你说气不气？也许命运就是喜欢跟人开玩笑，可这玩笑开得也太大了吧！不过话说回来，阿贝尔的故事也让我反思了自己。

我有时候遇到点困难就打退堂鼓，跟他比起来，我简直就是个胆小鬼。

说不定再坚持一下，我也能像他在数学领域那样，在自己的小天地里发光发热呢？所以啊，这故事虽然悲催，但也给了我不少启发，让我知道了坚持梦想的重要性，哪怕那梦想的曙光来得很晚很晚。

数学家译名及其贡献oyoy收集整理数学书上有许多定理、函数、数值、公式···，是以外国人命名的，中文译名又有差异。

看到后，不能很好的将外文与中文名对照，也不便了解其人在数学上的贡献。

故收集整理这份资料，可能对读者阅读有所帮助。

数学大师，因为他们的贡献太多，网上也很好找到他们的资料，一般简介。

AAbel，阿贝尔（尼尔斯·亨利克·阿贝尔Niels Henrik Abel，1802.08.05－1829.04.06），挪威数学家，天才人物。

以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名。

现代有以他名字命名的阿贝尔奖。

跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱。

主要贡献和研究成果：椭圆函数论；阿贝尔积分理论；阿贝尔定理；阿贝尔群；阿贝尔判别法。

Ackermann，威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann，1896.03.29－1962.12.24），德国数学家，最著名的成果是计算理论的重要例子阿克曼函数。

1928年他跟大卫·希尔伯特合写《理论逻辑原理》（Grundzuge der Theoretischen Logik）。

他又写了Solvable cases of the decision problem (决策问题的可解情况，荷兰 1954)。

Adams，弗兰克·亚当斯（约翰·弗兰克·亚当斯John Frank Adams，1930.11.05－1989.01.07），英国数学家，同伦论的创始人之一。

在20世纪50年代，同伦论是在发展的初期阶段，未解决的问题很多。

但他的创新动机总是由具体问题开始，使代数拓扑学的重要理论得到发展。

Adams，亚当斯（John Couch Adams，1811－1877）英国天文学家及数学家，24岁时，第一次预告了天王星外行星质量的位置。

但不幸地是，亚当斯没有公告他的预言。

阿贝尔河北师范学院邓明立阿贝尔，N．H．(Abel，Niels Henrik)1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6月卒于挪威弗鲁兰．数学．阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲S．G．阿贝尔(Abel)是个牧师．幼时，他就显露出数学上的才能．阿贝尔的启蒙教育得自于他的父亲．但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育．1815年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习．起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣．15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师 B．M．霍尔姆博(Holmbo ё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．阿贝尔迅速学完了初等数学课程．然后，他在霍尔姆博的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师特别是L．欧拉(Euler)、J．L．拉格朗日(Lagran-ge)和C．F．高斯(Gauss)的著作．阿贝尔在学校最后两年时间里，以“初生牛犊不伯虎”的姿态猛攻一些尚未解决的最深奥的数学问题，尤其是如何求解五次方程问题吸引着他．他注意博采众家之长，在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题．最初，他自认为解五次方程已获成功．霍尔姆博与奥斯陆大学教授C·汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽．而在奥斯陆没有一个科学刊物可以发表它．后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家F·德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版．德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去．阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方程解的例子．但结果失望地发现，他的方法是错误的．另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论．1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学．大学期间，他的数学几乎全是自学的，并把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文．1823年，他完成了一篇题为“用定积分解某些问题”中首次给出了积分方程的解，这是历史上出现最早的积分方程，但较长时期没有引起人们的重视．1822—1823年冬，他还写了一篇关于函数表达式积分的长篇论文，提交给大学委员会．后来，竟被学校当局弄丢了．1823年初夏，阿贝尔在热心的S．拉斯穆森(Rasmussen)教授资助下，有幸去哥本哈根拜见德根及其他数学家．德根对他很赏识，并对他的研究给予指导．他返回奥斯陆后，又重新考虑了五次方程解的问题．这次他采取了相反的观点，终于获得成功．1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程——证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．总之，这篇论文在当时没有得到任何一位外国数学家的重视．1825年，阿贝尔大学毕业，社会没有给这位天才提供用武之地．他决定申请经费出国，继续深造和谋求职位．1825年夏季，他先到了德国柏林．这期间，他结识了一位很有影响的工程师A．L．克雷尔(Crelle)．这是阿贝尔一生中第二个对他的研究事业有极大帮助的人．克雷尔虽不是很强的数学家，但对数学有浓厚的兴趣．在阿贝尔建议及朋友的赞助下，克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》(Journal für die Reineund Angewandte Mathematik)，后被称为克雷尔杂志．它的第一卷刊登了7篇阿贝尔的文章，其中有关于一般五次方程不能用根式求解的证明．克雷尔杂志头三卷共发表了他的22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文．从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作．1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，遇见了A．M．勒让德(Legendre)和A．L．柯西(Cauchy)等著名数学家．他写了一篇题为“关于一类极为广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院，不幸未得到重视．当时科学院的秘书J．B．J．傅里叶(Fourier)读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价，柯西是主要负责人．这篇论文很长而且难懂，因为它包含了许多新概念．柯西把它放在一边，醉心于自己的工作．勒让德也把它忘了．事实上，这篇论文直到阿贝尔去世后的1841年才发表．1826年底，阿贝尔回到柏林．不久，他染上了肺结核病．克雷尔帮助了他，请他担任克雷尔杂志的编辑，同时为他谋求教授职位，但未获得成功．1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆．回国后更失望，仍然没有找到职位的希望，他不得不靠作家庭教师维生．在贫病交迫、茹苦含辛的逆境中，他并没有倒下去，仍在坚持研究，取得了许多重大成果．他写下了一系列关于椭圆函数的文章，发现了椭圆函数的加法定理、双周期性，并引进了椭圆函数的反演．正是这些重大发现才使欧洲数学家们认识到他的价值．1828年9月，四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位天才安排一个合适的职位．勒让德在1829年2月25日科学院会议上，也对阿贝尔及其工作大加称赞．同年4月6日，阿贝尔怀着强烈的求生欲望和继续为科学事业做贡献的理想，在病魔侵袭的忧伤中，与世长辞了．就在他去世两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授．此后荣誉和褒奖接踵而来，1830年6月28日，他和C．G．J．雅可比(Jacobi)共同获得了法国科学院大奖．阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．所谓方程有根式解(代数可解)，就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来．关于代数方程的求解，从16世纪前半叶起，已成为代数学的首要问题，一般的三次和四次方程解法被意大利的几位数学家解决．在以后的几百年里，代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程，但是一直没有成功．对于方程论，拉格朗日比较系统地研究了方程根的性质(1770)，正确指出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，从而实现了代数思维方式的转变．尽管拉格朗日没能彻底解决高次方程的求解问题，但是他的思维方法却给后人以启示．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其“证明”存有缺陷．两年以后，高斯解决了分圆方程的可解性理论问题．拉格朗日和高斯的工作是阿贝尔研究工作的出发点．中学时，他就读过拉格朗日关于方程论的著作；大学一年级开始全面研究高斯的《算术研究》(Disquis-tiones arithmeticae)．后来，他又了解了柯西关于置换理论方面的成果．然而，他当时并不晓得鲁菲尼的工作．阿贝尔就是在这种背景下思考代数方程可解性理论问题的．1824年，阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明．更详细的证明，于1826年发表在克雷尔杂志第一期上．题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中，阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷．鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念，所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作．另外，鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题，后称阿贝尔定理．该定理说，如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的．关于高次方程不能总是代数可解的结论，促使他进一步思考哪些方程才可用根式解的问题．他在深入研究《算术研究》第七部分关于分圆方程可解性理论的基础上，取得了独创性的进步．他于1828年3月29日完成了题为“关于一类特殊的代数可解方程”(Mémoire sur une classe particuliére d’équations résoluble algé-brique ment)的文章，发表在克雷尔杂志第四卷(1829)上．它解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，分圆方程x n-1=0就属于这一类．在这篇论文中，阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示)，并且任意两个根Q(x)与Q1(x)(这里Q，Q1均为有理函数)，满足关系QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考虑的方程总是代数可解的．类似地，假定这个方程是不可约的，数，那么可把原方程的解法分别化成v1个α1阶方程、v2个α2阶方程、v3个α3阶方程的解法，等等．程，它所有的根均可表成其中一个根(如x1)的有理函数．即x1=Q1(x1)，x2=Q2(x1)，…，x n=Q n(x1)，这里Q1是恒等映射．阿贝尔证明了在有理函数Q k(k=1，2，…，n)中，如果用另一个根x i(1＜i≤n)代替x1，那么Qk(X i)(k=1，2，…，n)是以不同顺序排列的原方程的根．或者说，根x i=Q1(X i)，Q2(X i)，…，Q n(X i)是根x1，x2，…，x n的一个置换．方程根进行这样置换的个数是n．阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质，如果方辅助方程的解法，这些辅助方程可依次用根式求解．在分圆方程的的情形，方程的置换群是循环群．阿贝尔没有在文章中明确构造这种置换群，仅仅采用了有理函数所假定的可交换性：QQ1(x)=Q1Q(x)．现在通常把具有这种性质的方程称为阿贝尔方程，具有可交换性的群叫做阿贝尔群．他在工作中，实质上引进了在给定数域中不可约多项式的概念，即系数在域F中的一元多项式不能表示成两个系数在F中的次数较低的多项式的乘积，阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中叙述了方程论的发展状况，重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来E·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路．在前言部分，阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免“计算的复杂性”．在代数方程可解性理论研究中，他还提出了一个研究纲领，就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性．但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题．几年后，伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论．除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．分析学是17世纪以来在微积分基础上形成的一大数学分支．18世纪，它已发展成为一门相对独立的学科，具备了极为丰富的内容并被广泛应用，但它自己尚未形成逻辑严密的理论体系．到19世纪，分析学中不严密的论证导致的局限性和矛盾愈益显著，分析的严密化逐渐引起数学家的关注．阿贝尔是19世纪分析严格化的倡导者和推动者．他于1826年给汉森丁的一封信中明确写道：“将来我的工作一定要完全致力于纯粹数学抽象意义方面的研究．我将把全部精力应用于进一步揭露人们在分析中确实发现的惊人的含糊不清的地方．这样一个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人研究过它，真是奇怪．最坏的是从来没有严格地对待过分析．在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的．人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论．真正有趣的是寻找这种原因．”这段话一方面如实地反映了当时分析学发展的情况；另一方面也明确了阿贝尔工作的主要方向．在这方面，他一直强调分析中定理的证明，特别关心当时数学缺乏严密性的问题．他于1826年1月16日给霍尔姆博的信中写道：“我非常惊讶地看到下列事实．如果除开最简单的情况，那么在全部数学中没有一个无穷级数的和是被严格定义的．换句话说，数学中最重要的部分是没有根基的．诚然，数学的大部分是正确的，而这正是令人惊讶的地方．我要努力找出这个道理，这是一个十分有趣的题目．”他于1826年最早使用一致收敛的思想证明了连续函数的一个一致收敛级数的和在收敛区域内部连续．在无穷级数工作方面，他还得到了一些收敛判别准则以及关于幂级数求和的定理．这些工作确立了他在分析学发展中的重要地位．椭圆函数又称双周期的亚纯函数．它的名称来源于求椭圆的周长，它是利用椭圆积分的反演引入的特殊函数，是三角函数的广泛和自然的推广．椭圆函数论可以说是复变函数论在19世纪发展中最重要的成就之一．阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者．关于椭圆积分的研究可以追溯到17世纪后半叶，后来，数学家们如欧拉、勒让德和高斯等均做了大量的工作．欧拉的加法定理是椭圆积分理论的主要结果．勒让德作为椭圆积分理论的奠基人之一，在欧拉加法定理提出后的40年中，他是仅有的一个在这一领域提供重大成果的人．但他未能像阿贝尔和雅可比那样洞察到，探索椭圆积分的关键在于考察椭圆积分的反函数，即椭圆函数．勒让德高度评价了阿贝尔和雅可比的工作，认为他们两人都将跻身于“当代第一流分析学家之列”．对于椭圆函数论，高斯生前虽然没有发表过任何文章，但在他去世之后，人们在他的遗稿中发现，他已得到了椭圆函数论的许多关键性结果．阿贝尔也许就是从高斯所作的评论，特别是他的《算术研究》中的陈述受到启发而从事这一工作的．1826年，阿贝尔撰写论文“关于一类极为广泛的超越函数的一个一般性质”，对椭圆函数进行了创造性研究．在这篇文章中，他研究了y的有理函数，并且存在x和y的二元多项式f，使f(x，y)=0．他还证明了关于上述代数函数积分之和的定理，即所谓的阿贝尔定理：若干个这种积分之和可以用P个这样的积分加上一些代数的与对数的项表示出来，其中P只依赖于方程f(x，y)=0，它是这个方程的亏格(genus)．这是亏格概念的首次出现．阿贝尔的定理是椭圆积分加法定理的推广，也是阿贝尔积分的一条关键性定理．阿贝尔又于1827年发表了他的“关于椭圆函数的研究”，这是他最长的文章．在这篇论文中，他借助于椭圆积分的反函数把椭圆积分理论归结为椭圆函数的理论．具体地说，阿贝尔所考察的椭圆积分是这样一些积分，其中被积函数是三次或四次多项式的平方根的有理函数．在这些积分之中，重要的是函数其反函数s(u)同样起着重要作用，它恰好是椭圆函数snu．使用符号snu 是为了表示它是普通的正弦函数的推广．椭圆函数名称便来源于此．在最基本的情形，即K=0，我们可分别得到可见，椭圆函数是三角函数的一个广泛和自然的推广．阿贝尔在他1827年的论文中还建立了椭圆函数的加法定理，它类似于椭圆积分的加法定理．借助于这个定理，他发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线(它们都可以表示成平面中的三次曲线)的理论基础．另外，利用这种性质还可以对椭圆函数做出如下定义：只有极点的双周期解析函数是椭圆函数．阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．克雷尔在他的杂志上，为阿贝尔写了长篇的颂辞：“阿贝尔的全部著作镌刻着无比的创造天才和非凡的、有时是惊人的思维力量，如果考虑到这位作者的年龄，就更令人惊叹不已了．我们看到，他能够以一种不可抵抗的力量，透过一切障碍，向下深入到问题的本质上，以不可想象的能量向它进攻；又能够从上面来考虑问题，高高地翱翔于问题的目前状态之上，所有的困难在这个天才的无敌的攻击之下，都化为乌有．……然而，阿贝尔赢得人们的尊敬和无限怀念不仅是因为他的伟大的才能，而且由于他纯洁的品质和高尚的心灵，以及少有的谦虚，这些非凡的品德使得他作为一个人来说也同他的天才一样被人们所珍爱”．。

级数求和的阿贝尔方法阿贝尔方法，听名字就有点拗口，其实它源于一位聪明的数学家，名字叫阿贝尔。

这位老兄在19世纪的时候，真是个数学天才。

他发明的方法就像是在数学的海洋里找到了一个金色的沙滩。

我们常常在生活中遇到一些级数，比如一加一加一加……这些简单的加法有时候就能让我们发现意想不到的东西。

就像小时候玩捉迷藏，总能在一个不起眼的角落找到宝藏。

在阿贝尔的方法里，有一个关键的思想，就是将一个看似复杂的级数转化为一个比较简单的东西。

这就像我们生活中有时候会觉得一堆事情让人头疼，结果细想一下，发现其实就是几件小事的组合。

想象一下，如果你有个无穷级数，像是1加1/2加1/4加1/8……这时候你可能会想，这不是一直加下去吗？可是，阿贝尔告诉我们，可以通过一种技巧，让这个级数变得更加明了。

通过这种方法，我们其实是在处理一个极限的问题。

这就像你每天都去健身房，前期的努力虽然感觉没什么变化，但随着时间的推移，效果开始显现，身材也越来越好。

阿贝尔方法就像是在这过程中帮你梳理思路，让你在无穷的世界中找到出口。

很多时候，我们看似在加减乘除，实际上是在与时间赛跑，追寻那个理想的自己。

再说说直观的感觉，阿贝尔方法就像在海滩上捡贝壳。

每一个贝壳都代表着一个项，乍一看，这些贝壳五花八门，似乎没什么规律。

但只要你耐心去找，就会发现其中的美。

比如我们把级数写成一个函数，函数里藏着许多秘密。

这就像在探险，每一步都有新的发现，新的领悟，真是让人激动不已。

更有趣的是，阿贝尔方法不仅仅适用于简单的级数。

很多复杂的数学问题，也可以用这个思路去解决。

就像厨师在厨房里，手里拿着不同的调料，灵活运用，总能做出美味的佳肴。

这种灵活性让我们在面对数学问题时，不再是束手无策，而是能游刃有余。

数学的美妙之处还在于它的连贯性。

用阿贝尔方法解决的问题，往往会引发更多的思考，像滚雪球一样越滚越大。

你可能从一个简单的级数出发，最后竟然能推导出一系列的定理，真是让人惊叹。

阿贝尔和伽罗瓦的比较今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点1．1 两人的个人基本情况比较1．2 数学研究的成就不同阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解．伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件．1．3 运气不同“阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．”但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表．1．4 成果的广泛性不同阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的．但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同“阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．”“伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．”1．6 心理状况不同阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两顿饭，却收取昂贵的租金．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”伽罗瓦――“对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗瓦．虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索．”2 阿贝尔与伽罗瓦的相同点与联系2．1 都遇到了好老师，受到好老师的指导帮助“15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师B．M．霍尔姆博(Holmboё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．”“但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．”“1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，‘只宜在数学的尖端领域中工作’．”2．2 都大量阅读了大师的著作“16 岁那年，他遇了一个能赏识其才能的老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作．大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地．后来他感慨地在笔记中写下这样的话：‘要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作．’”“他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师．他如饥似渴地阅读了A?M?勒让德的著作《几何原理》和T.L.拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》．接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．由于他刻苦学习，能着重领会和掌握其中的数学思维方法，因此，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高．他的中学数学专业班的老师里查德说‘伽罗瓦只宜在数学的尖端领域工作’．”2．3 都是很早就显示数学方面的才华“幼时，他（阿贝尔）就显露出数学上的才能．”“在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格．”2．4 同样是坎坷的人生．开始他们的观点都不为人所理解重视“阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行．踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯的科学护照．他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见．但看来高斯并未重视这篇论文，因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开．柏林是阿贝尔旅行的第一站．他在那里滞留了将近一年时间．虽然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期．1826年7月，阿贝尔抵达巴黎．他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作．在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少分量呢？他通过正常渠道将论文提交法国科学院．科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查．柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起来了．直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久．从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．”“1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人．在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗瓦的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会．他在一封信中写道：‘今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗瓦的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题．’然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗瓦的著作，这是一个非常微妙的‘事故’．1830年2月，伽罗瓦将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖．论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿．就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了．1831年1月，伽罗瓦在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院．这篇论文是伽罗瓦关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁．传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是‘完全不能理解’．尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗瓦所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它．”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文2．5 都犯了同样的错误，就是他最初都以为自己解出了一般的五次方程，可是后来发现了错误，但他们都能很快意识到了这一点，并重新研究“接着他研究一般五次方程问题．开始，他曾错误地认为自己得到了一个解．霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家审阅，幸亏审阅者在打算认真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误．这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？问题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的．”“据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．”2．6 都能在不为人重视的情况下，坚信自己努力让人理解参看第4点的材料．2．7 在新观点的论述中都犯了一个错误：论述过于简洁刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”“1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程――证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．”2．8 重视爱的人“阿贝尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途，为此，他写信给最亲近的朋友基尔豪(Kiel-hau)，要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻．尽管基尔豪与凯姆普以前从未觌面，为了让阿贝尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了．临终的几天，凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，她要‘独占这最后的时刻’”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”2．9 他们都是近世代数的开创者2．10 寿命很短，贡献很大3 从我们的这两位数学家的遭遇中，我们可以得到的启示3．1 关于生命、身体健康的思考“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”从这两段话，我们可以关于生命的一点思考：珍惜生命，关爱自己．工作固然重要，但是身体健康也很重要．阿贝尔因为工作而“心力交瘁”，弄得身体“病弱”，我认为这是不对的．身体是自己的，工作再忙也要好好照顾自己！而伽罗瓦“为了一个舞女”，即使知道“自己难以摆脱死亡的命运”还是“卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗”．我不知道他是怎样看待生命的？失去了生命，又谈何爱情呢？失去了一份爱，我们有没有必要为此不要了自己的生命？3．2 多读书，尤其是读大师的著作从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们都读了很多书，尤其是数学大师的著作．所以我想，一个人都是想在某领域上取得成功必须看很多该领域的书，学习很多该领域的东西，尤其是读该领域大师的著作．3．3 坚定自己的信念，相信自己的能力从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的观点开始时都不为人理解，但是他们都坚定自己的信念，相信自己的能力．这给我们的启发是在走向成功的道路上，即使别人不相信不理解你时，你都要坚定自己的信念，相信自己的能力．这样才能成功．3．4 关于教师的影响、教育、课程的思考从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的老师对他们产生了很大的影响，尤其是在数学学习的兴趣上的影响很大．这让我想到了，在教育中教师的作用是很大的．教师应该在儿童教学中担任起启发者、引导者等角色．“他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书”这让我想起了英国的数学教育之柯克克洛夫特（W.H.Cockcroft）报告中一些内容：“即必须针对中学生的各种能力水平设计不同的数学课程．”“在每一教学阶段，学生都可以在其能力许可的范围内扩充与加深自己的数学知识．在中学学习一开始就要特别注意有天赋的学生的教育，要给他们提供足够的数学内容，否则这部分学生就会对数学失去兴趣并在以后很难恢复．”“报告”还提倡高年级学生阅读数学专业文献，培养独立研究数学的能力．“考试的结果不应对学生学习数学的信心有所伤害．”这就是要求我们的数学要有为不同的学生设计不同的课程，不能损害学生学习数学的兴趣，还要提倡学生阅读数学大师的著作．3．5 写书语言的思考刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”所以我们在向别人表达自己的观点时，不能过分地追求简洁，要尽可能用详细的别人容易理解的话来说明．3．6 心态的调整阿贝尔“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望”，“只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”这给我们一点启示就是对待挫折，我们要保持积极乐观的心态，要及时调整心态．3．7 建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的．科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人才的任务．科学是人的事业，问题是要靠人去解决的．科学评价中的权威主义倾向却往往有害于发现和栽培科学人才．科学家有权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是天于连权威都陌生的新领域的工作时，情况更是如此．“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。

阿贝尔Abel,Nicls Henrik(1802~1829)阿贝尔(Abel,Nicls Henrik)挪威数学家，1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6日卒于挪威弗鲁兰。

阿贝尔出身贫困，未能受到系统教育，启蒙教育得自于他的父亲。

1813年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习。

起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣。

15岁时，他幸运地遇到一位优秀数学教师，使他对数学产生了兴趣。

阿贝尔迅速学完了初等数学课程。

然后，他在老师的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师的著作。

1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学学习。

1825年大学毕业后，他决定申请经费出国，继续深造和谋求职位。

在德国他结识了一位很有影响的工程师A.L.克雷尔，在阿贝尔及朋友的赞助下，克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》，后被称为克雷尔杂志。

它的第一卷刊登了7篇阿贝尔的文章，克雷尔杂志头三篇共发表了他的22篇包括方程、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文。

从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作。

1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，遇见了勒让德和柯西等著名数学家，他写了一篇题为“关于一类广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院，不幸未得到重视，当时科学院的秘书傅里叶读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价，柯西是主要负责人，这篇论文很长而且难懂，因为它饱含了许多新概念。

柯西把它放在一边，醉心自己的工作。

勒让德也把它忘记了。

事实上，这篇论文直到阿贝尔去世后的1841年才发表。

1826年底，阿贝尔回到柏林。

不久，他染上了肺结核，克雷尔帮助了他，请他担任克雷尔杂志的编辑，同时为他谋求教授职位，但未获得成功。

1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆。

回国后更失望，仍然没有找到职位的期望，他不得不靠作家庭教师维生。

在贫病交迫、茹苦含辛的逆境中，他并滑倒下去，仍然坚持研究，取得了许多重大成果。