最新两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案

课题：两角和与差的余弦重点：两角和与差的余弦公式及其推导.难点：灵活运用余弦公式进行求值、化简.一、问题情境目前可以直接写出30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，利用诱导公式还可进一步求出120°，225°，390°等角的三角函数值.问题：不用计算器，求cos15°的值. cos15°＝cos60°－cos45°吗？ cos15°＝cos45°－cos30°吗？二、探究活动观察：cos(90°－30°)＝cos(60°－30°)＝猜想：对任意角α，β，都有 .三、建构数学如图，在坐标系内作单位圆，作角α，β，和α－β (令0≤α－β≤π)，使终边分别交单位圆于P1，P2，P3 . 此时，0P (1，0) ，1P (cos α，sin α), 3P (cos(α－β)，sin(α－β) )，2P (cos β, sin β).公式推导如下：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝ .思考：cos(α＋β)＝？两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝.注意：记清公式的结构特征四、数学运用例1、利用两角和（差）的余弦公式，求cos15°，cos75°.例2、化简：（1）cos100°cos40°+sin80°sin40°；（2）cos80°cos55°-cos10°cos35°.例3、233sin=cos=-cos-3252πααπββππαβ∈∈已知，（，），，（，），求（）的值.五、课堂小结1、两角和与差的余弦公式2、知识结构3、数学思想六、课后作业课本第106页，练习1-6。

3.1.1 两角和与差的余弦一、课题：两角和与差的余弦二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题。

三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。

四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。

五、教学过程： （一）复习：1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． （二）新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =．2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

两角和与差的余弦【教学过程】一、问题导入（1）我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出co15°的值呢？（2）一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出co（α-β）的值？二、新知探究1．利用两角和与差的余弦公式化简求值【例1】（1）co 345°的值等于（）。

A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!（2）化简下列各式：①co（θ＋21°）co（θ－24°）＋in（θ＋21°）in（θ－24°）；②－in 167°·in 223°＋in 257°·in 313°。

思路探究：利用诱导公式，两角差的余弦公式求解。

（1）C；[co 345°＝co（360°－15°）＝co 15°＝co（45°－30°）＝co 45°·co 30°＋in 45°·in 30°＝错误!。

]（2）解：①原式＝co[θ＋21°－（θ－24°）]＝co 45°＝错误!，所以原式＝错误!；②原式＝－in（180°－13°）in（180°＋43°）＋in（180°＋77°）·in（360°－47°）＝in 13°in 43°＋in 77°in 47°＝in 13°in 43°＋co 13°co 43°＝co（13°－43°）＝co（－30°）＝错误!。

[教师小结]（一）在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础.2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系.2.通过两角差的余弦公式的应用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等.三、教学过程1.导入新课我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=2.推进新课(1)两角差的余弦公式在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：①结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？②怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦.（2）例题讲解例1.利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos4530cos45cos30sin45sin30222=+=-=⨯=，()231cos15cos4530cos45cos30sin45sin3022224 =-=+=⨯+=.点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos6045=-，要学会灵活运用.例2.已知4sin5α=，π5,π,cos,213αββ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭是第三象限角，求()cosαβ-的值.解：因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5α=由此得3cos5α===-.又因为5cos,13ββ=-是第三象限角，所以12 sin13β===-.所以3541233 cos()cos cos sin sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3.课堂练习课本第127页练习.4.课时小结（1）通过本节课学习要理解并掌握两角差的余弦公式及推导过程；（2）正确运用公式进行解题.5.布置作业：习题3.1A组2、3、4.§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、三维目标：1.在学习余弦差角公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内部联系.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生体会联系变化的观点.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生分析问题的能力.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学过程：1.导入新课大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？2.推进新课（1）两角和与差的正弦正切公式让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦. 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222ππππππZ k k k k αβαβ+≠+≠+≠+∈. 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+. 注意：,,()222ππππππZ k k k k αβαβ+≠+≠+≠+∈． （2）例题讲解例1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求πππsin ,cos ,tan 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，于是有πππ43sin sin cos cos sin 44455ααα⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ43cos cos cos sin sin 444252510ααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 144ααα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 例2.利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-． 分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.解：（1）()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--． 3.课堂练习课本第131页练习.4.课时小结本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.5.布置作业：习题3.1A 组7、8.§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式一、三维目标：1.通过让学生探索，发现并推导二倍角公式，了解它们之间以及它们与和角公式内在联系.2.通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.3.通过本节学习，引导学生寻找数学规律的方法，发现和探索精神.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学过程：1.复习引入大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）2.推进新课：（1）二倍角公式()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：ππ2π,π22k k αα≠+≠+()Z k ∈. （2）例题讲解例1.已知5ππsin 2,,1342αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由ππ,42α<<得π2π2α<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α==-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2.在ABC ∆中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值.本例采用两种方法来解决：一种是先求出tan 2A 和tan 2B ，从而求出tan(22)A B +，另一种是先求出tan()A B +再求出tan(22)A B +.这两种方法都是对倍角公式与和角公式的联合运用，本质上没有什么区别.值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如0π,πA A B C <<++=等，教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的小结.学生基础较好的班级可以直接求tan2C的值.3.课堂练习课本第135页练习.4.课时小结本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.5.布置作业：习题3.1A组：15、16、17.。

两角和与差的余弦一、教学目标1、了解两角和与差的余弦公式的推导2、熟练掌握两角和与差的余弦公式以及两个诱导公式，并能灵活应用3、培养学生代换及凑角的思想4、训练学生思维的灵活性5、激发学生的内在动机与学习兴趣6、养成良好的学习习惯并设定合理的学习目标二、教学的重难点击教学设计（一）教学重点1、两角和与差的余弦公式的推导及应用2、用整体代换及凑角的思想解题3、各公式适合的范围（二）教学难点1、两角差的余弦公式的推导2、凑角、整体代换的思想3、对各公式的灵活应用（三）教学设计要点1、新课引入设计带领同学们回顾前面学习的特殊角的三角函数，指出其与现实计算的不足之处，并以105 、15 等为例，从分析角度之间的关系入手探讨其函数值之间的关系，并将其推广到一般情况，引入新课。

2、 教学内容设计（1） 引入两点间的距离公式（2） 通过例题推导出诱导公式并稍作提醒（3） 作业中，补充思考题：请同学们根据本堂课所学推导)sin(βα+、)sin(βα-3、 教学方法自主探究、分组讨论、合作交流及启发式教学三、 教具准备彩色粉笔、圆规、直尺 四、 教学过程（一） 创设问题情境引入新课带领同学们回顾30 、45 、60 等特殊角的三角函数，从分析角度入手，探究105 、15 等一般角与以上特殊角的函数值的关系，并推广到一般情况，将问题转化为：已知任意角βα、的三角函数，如何求βα+、βα-或α2的三角函数，引入新课。

揭示课题：两角和与差的余弦（板书课题） （二） 层层递进、探索新知1、 知识准备（两点间的距离公式）验收上堂课给同学们布置的思考题，板书两点之间的距离公式：设两点),(111y x p ，),(222y x p ，如下图：则)()(21212221y y x x p p --+=并稍作提示其计算方法2、 两角和的余弦公式及其推导在单位圆内作ββα-、、角，如下图所示：得))sin(),(cos()),sin(),(cos(),sin ,(cos ),0,1(4321βββαβααα--++p p p p 根据圆的性质：圆心角相等对应的弦长相等得p p pp 4231=运用两点间的距离公式易得：[][])sin(1)cos(22βαβα+-++=[][]αβαβsin )sin(cos )cos(22----+（请一位同学到黑板上化简该式）化简得：cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β，简记为C βα+ 3、 两角差的余弦公式的推导用β-换C βα+中的β，得cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β，并提醒同学们注意两个公式中βα、角是任意的。

sin(π2+α)=cosα,cos(π2+α)=sinα,tan(π2α)=cotα,cot(π2+α)=tanα.sin()=cosα,cos(π2α)=sinα,tan(π)=cotα,cot(α)=tanα.第五组诱导公式第六组诱导公式第四组诱导公式sin(πα)=sinα,cos(πα)=cosα,tan(πα)=tanα,cot(πα)=cotα.sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα,cot(2kπ+α)=cotα.(k是整数)sin(π+α)=sinα,cos(π+α)=cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα.sin(-α)=sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=tanα,cot(-α)=cotα.sin(α+β)=sin(αβ)=cos(α+β)=cos(αβ)=两角和与差的余弦公式上大附中数学组季风1．教学目标（1）知识与技能：掌握两角和与差的余弦公式及其初步应用。

（2）过程与方法：讨论探究，小组交流。

（3）情感、态度与价值观：学会合作交流，成长探究意识。

2．教学重点和难点:两角和与差的余弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的余弦公式。

3．教学过程（一）引入师：在之前的学习中，我们通过单位圆上角终边的对称和旋转等角度共同研究了多组诱导公式（课件展示），师：公式记忆的口诀是？学生（众）：奇变偶不变，符号看象限。

（1’）师：很好。

可以发现，这些公式都是关于一个角“α”以及特殊角的恒等式。

但从更一般的角度来看，在三角比的计算和化简中，常要用角α、β的三角比来表示（α+β）和（α-β）的三角比，比如（板书：）师：它们分别称为两角和的正弦、两角差的正弦、两角和的余弦、两角差的余弦，本节课我们先来学习两角差的余弦展开公式（板书：βαβαβαsinsincoscos)cos(⋅+⋅=-。

再补标题：两角和与差的余弦公式的探究。