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广西壮族自治区梧州市第三中学2019-2020学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数,则的图象大致为参考答案：A略2. 已知集合，，则A． B． C． D．参考答案：B略3. 若首项为1的等比数列的前3项和为13,则公比q为(A) 3 (B) –4 (C)3或—4 (D)—3 或 4参考答案：C4. 下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A、B、C、D、参考答案：D5. 当时，幂函数为减函数，则实数（）A．m=2 B．m=-1 C．m=2或m=-1 D．参考答案：A略6. 四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．7. 下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+）上单调递增的是（）A． B． C． D．参考答案：C8.A. B. C. D.参考答案：A解析：原式.故选A.9. 抛物线C：的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过点F 的直线交C于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于点M、N，若的面积为，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A由题意，焦点F为，所以抛物线C为，设直线，不妨设A为左交点，，则过A的切线为，则，所以，解得，则，所以。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理）试题（二)(解析版）注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．［2019·南昌一模］已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =( ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．［2019·梅州质检］已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =( ) A ．25B ．25-C ．0D ．154．［2019·台州期末］已知圆C ：()()22128x y -+-=,则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为( ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．［2019·东北三校］中国有十二生肖,又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为3的等腰三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ )A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ )A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．B ．1CD ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．［2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ,若C 的左支上存在点M ,使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．［2019·临川一中］若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件:1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数"，则下列函数:①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =;④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模］已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积,若8a =,5b =，S =，则c =_________．14．［2019·景山中学]已知a ,b 表示直线，α,β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=，b α⊂,a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=,b αγ=,则a b ⊥；④若a α⊥,b β⊥，a b ∥,则αβ∥．上述命题中,正确命题的序号是__________．15．［2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲,那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考］若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ,则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分)[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S是n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．(1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）［2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件,测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率,从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件,记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分)［2019·淄博模拟］如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ,点M 在棱PC 上．(1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；20．（12分)［2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为22,抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N (M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）［2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ．（1）当13a =-时,求函数()f x 的单调区间；（2)令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】［2019·揭阳一模］以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =+，(t 为参数)． (1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4—5：不等式选讲】［2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ,b 满足2222a b t +=,求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =，∴集合A B 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0,则有()()2231028-+-=,则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--,则切线的斜率1k =，则切线的方程为3y x =-,即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=， 若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11310C C 30⋅=,∴共有203050+=种．故选B ．6．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形， 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形,圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后,得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误； 周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,即函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最大值,故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=,4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =,1cos π110S =+=-=,415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =,故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ． 10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤,15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=,由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数1x ,1y ,2x ，2y ,2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ，使得OA ，OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点：对于①,方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在；对于②，，由图可知不存在；对于③，,由图可知存在；对于④,，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到13sin sin 2S ab C C =⨯⇒= ∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线,满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥,故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=,b αγ=，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视; 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e 'y x=,曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e 2mx x=，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12． 三、解答题:本大题共6大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =;（2）见解析．【解析】(1n a 与1n a +的等比中项,∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--,整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ,则区间[)55,65,[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=,解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复实验，∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由(1)得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0,1,2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=,()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ,∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】(1)见解析；（2)219565． 【解析】（1)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥， 又∵23DP =，2AP =，60PAD ∠=︒, 由sin sin PD PA PAD PDA =∠∠，可得1sin 2PDA ∠=，∴30PDA ∠=︒，90APD ∠=︒，即DP AP ⊥， ∵AB AP A =，∴DP ⊥平面PAB ， ∵DP ⊂平面PCD ,∴平面PAB ⊥平面PCD ；（2)以点A 为坐标原点,AD 所在的直线为y 轴,AB 所在的直线为z 轴， 如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,4,3C ，()0,4,0D ，)3,1,0P ． 从而()0,4,1BD =-,()3,1,0AP =，()3,3,3PC =-，设PM PC λ=，从而得)33,31,3M λλλ+，()33,31,31BM λλλ=+-，设平面MBD 的法向量为(),,x y z =n ，若直线PA ∥平面MBD ,满足000BM BD AP ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩n n n，即)()()131310400x y z y z y λλλ-+++-=-=⎨+=， 得14λ=，取)3,12=--n ，且()3,1,1BP =-, 直线BP 与平面MBD所成角的正弦值等于3sin 156BP BPθ⋅-===⋅n n 20．【答案】（1）2212x y +=；(2)直线l 过定点()2,0．【解析】(1）由题意可知，抛物线2C 的准线方程为1x =， 又椭圆1C ，∴点⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b +=,① 又c e a ==，∴222212a b e a -==，∴222a b =,②，由①②联立，解得22a =,21b =，∴椭圆1C 的标准方程为2212x y +=．(2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ,()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭,即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2)56-．【解析】（1)13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减，当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在区间内递增．(2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-，则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-,又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根， 不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<， 当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=,∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=,②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--, 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=， 即()()222212230x x x -++=,解得21x =, 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2)2a =±，432． 【解析】（1)由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=,∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =+得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．（2）将212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=,得()()2221230t t a +-+-=，依题意知()()2221830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数, ∵()21223t t a ⋅=-,由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>)，∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()1221t t +=-，∴2PA PB -=． 23．【答案】(1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． (2)由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=,∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭, 当且仅当22122a b +=+=,即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
2019年广西梧州市高考数学一模试卷（理科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．（5分）若集合A＝[2，3]，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．∅C．2D．[2，3]2．（5分）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4B．4C．2D．﹣24．（5分）若a，4，3a为等差数列的连续三项，则a0+a1+a2+…+a9的值为（）A．2047B．1062C．1023D．5315．（5分）甲、乙、丙．丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的s﹣t图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（）A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域6．（5分）已知△ABC一边的两个端点是A（7，0），B（﹣7，0），另两边斜率的积是，那么顶点C的轨迹方程是（）A．x2+y2＝49（y≠0）B．＝1（y≠0）C．＝1（y≠0）D．＝1（y≠0）7．（5分）下列四个结论中正确命题的个数是（）①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；②命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”的充要条件；④当a＞0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递增．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）已知函数f（x）＝，则＝（）A．1+B．+C．1+D．+9．（5分）函数f（x）＝（e是自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．13D．11．（5分）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB ⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（）A．4B．8C．12D．1612．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2019，﹣2017）B．（﹣2019，﹣2018）C．（﹣2021，﹣2019）D．（﹣2020，﹣2019）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知{a n}是等比数列，若＝（2，a2），＝（3，a3），且∥，则＝．14．（5分）已知圆（x+1）2+y2＝4与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交于A、B两点，且AB ＝2，则p的值为．15．（5分）若f（x）＝（1+x）6（1﹣x）5，f′（x）是f（x）的导函数，则函数f′（x）中x2的系数为．（用数字作答）16．（5分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位数A＝，其中A的各位数中，a1＝1，a k（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2+a3+a4+a5，当程序运行一次时，X的数学期望EX＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)17．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a＝2，，求b的值．18．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率t＝y%进行了统计，结果如表：（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系，如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率．如果不能，请说明理由．（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A，B两款车型，报废年限各不相同．考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择釆购哪款车型？参考数据：（x i﹣）2＝17.5，（x i）（y i）＝35，≈36.5参考公式：相关系数r＝回归直线方程＝x+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C．（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；（2）设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1﹣B1C ﹣A的大小．。
广西2019届高三第二次模拟数学（理）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、已知集合2{||1log }A x x N x k =∈<<，集合中A 至少有2个元素，则A ．4k ≥B ．4k >C ．8k ≥D ．8k >2、 复数212i i+-的虚部是 A ．35- B ．35i - C ．1 D ．i 3、等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且945672S a a a =+++，则37a a +=A ．22B ．24C ．25D ．264、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的为A ．模型①的相关指数为0.976B ．模型②的相关指数为0.776C ．模型③的相关指数为0.076D ．模型④的相关指数为0.3565、一个简单的几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为： ①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆，其中正确的是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6、若函数()f x 在R 上可导，且满足()()f x xf x <，则下列关系成立的是A ．()()212f f <B ．()()212f f >C ．()()212f f =D ．()()12f f =7、在矩形ABCD 中，2,1,AB AD E ==为线段BC 上的点，则AE DE ⋅的最小值为A ．2B ．154C ．174D ．4 8、若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如114(mod 7)=，如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的n =A ．14B ．15C ．16D ．179、已知0w >，在函数sin y wx =与cos y wx =的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则w =A ．1B ．2C ．πD ．2π10、过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 的平面α与平面11CB D 平行，设α平面,ABCD m α=平面11ABB A n = ，那么,m n 所成角的余弦值为A ．2B ．2C ．12D ．13 11、已知函数24y x =-的图象与曲线22:4C x y λ+=恰有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是A ．11[,)44-B ．11[,]44-C ．11(,](0,)44-∞-D ．11(,][,)44-∞-+∞ 12、已知点(1,0)M ，若点N 是曲线()y f x =上的点，且线段MN 的中点在曲线()y g x =上，则称点N 是函数()y f x =关于函数()y g x =的一个相关点，已知()()21log ,()2x f x x g x ==，则函数()f x 关于函数()g x 的相关点的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2x ﹣）6展开式中常数项为 （用数字作答）．14．向量=（1，﹣2）与=（3，t ）的夹角为θ， =（1，﹣3），⊥，则cosθ= ．15．设函数f （x ）=，若存在实数b ，使函数y=f （x ）﹣b 有且只有2个零点，则实数b 的取值范围是 ．16．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=﹣1，（a n+1﹣4）n=2S n ，则S n = ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若b=，c=3，B+C=3A．（1）求边a；（2）求sin（B+）的值．18．某地区交通执法部门从某日上午9时开始对经过当地的200名车辆驾驶人员（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员做回访调查，并在这12名驾驶人员中任意选3人，这3人中超速在[20%，80%）内的人数记为ξ，求ξ的数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．（1）求证：PD∥平面EAC．（2）求平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A，上顶点为E，O是坐标原点，△OAE面积为．（1）求椭圆G的方程；（2）若过椭圆G的右焦点作垂直于x轴的直线m与G在第一象限内交于点M，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．21．设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴相切于M（3，0）．（1）求f（x）的解析式，并求y=+4lnx的单调减区间；（2）是否存在两个不等正数s，t（x＞t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x3+ax2+bx 的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．请在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若a=4，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若存在x∈R，使f（x）≤4成立，求a的取值范围．广西2019届高三第二次模拟数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．向量=（1，﹣2）与=（3，t）的夹角为θ，=（1，﹣3），⊥，则cosθ=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可．【解答】解：∵=（1，﹣2）与=（3，t）的夹角为θ，=（1，﹣3），⊥，∴3×1﹣3t=0，∴t=1，∴=（3，1），∴||=，||=，•=1×3﹣2×1=1，∴cosθ==故答案为：．15．设函数f（x）=，若存在实数b，使函数y=f（x）﹣b有且只有2个零点，则实数b的取值范围是（0，+∞）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）=的图象和直线y=b有2个交点，分类讨论，数形结合求得a的取值范围．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）=的图象和直线y=b有且只有2个交点，当a=0 时，f（x）=，如图（1）所示，函数y=f（x）的图象和直线y=b之多有一个交点，不满足条件．当a＞0时，f（x）=的图象如图（2）所示，此时，应有b＞0．当a＜0时，f（x）=的图象如图（3）所示，此时，函数y=f（x）的图象和直线y=b之多有一个交点，不满足条件．综上可得，b＞0，故答案为：（0，+∞）．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣1，（a n+1﹣4）n=2S n，则S n=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，a1=﹣1，则a n+1=﹣1+nd，S n=﹣n+d，代入（a n+1﹣4）n=2S n，化简整理即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a1=﹣1，则a n+1=﹣1+nd，S n=﹣n+d，代入（a n+1﹣4）n=2S n，可得：（﹣5+nd）n=﹣2n+n（n﹣1）d，化为：d=3．则S n=﹣n+=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若b=，c=3，B+C=3A．（1）求边a；（2）求sin（B+）的值．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由条件利用余弦定理求得a的值．（2）由条件利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，再利用两角和差的正弦公式，求得sin（B+）的值．【解答】解：（1）三角形ABC中，∵b=，c=3，B+C=3A，∴A=，利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=5，∴a=．（2）由正弦定理=，可得=，∴sinB=，再结合b＜c，可得B为锐角，∴cosB==，∴sin（B+）=sinBcos+cosBsin=+•=．18．某地区交通执法部门从某日上午9时开始对经过当地的200名车辆驾驶人员（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员做回访调查，并在这12名驾驶人员中任意选3人，这3人中超速在[20%，80%）内的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由频率=，能求出z，y，x的值．（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员，则第2，3，4，5组抽取的人数分别是4，3，2，1，设任意选取的3人超速在（20%，80%）的人数是ξ，则ξ=2或ξ=3，由此能求出ξ的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得x=200×0.01=2，y=6÷200=0.03，z=0.88÷20=0.044．（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员，则第2，3，4，5组抽取的人数分别是4，3，2，1，设任意选取的3人超速在（20%，80%）的人数是ξ，则ξ=2或ξ=3，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴Eξ==．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．（1）求证：PD∥平面EAC．（2）求平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面EAC．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ACE和平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=，∠BAC=，∵AC=AD，AC⊥AD，∴CD=2，∠ACD=，∴∠BAC=∠ACD，则AB∥CD，连接BD，交AC于M，连EM，则，又PE=2EB，在△BPD中，，∴PD∥EM，∵PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC（2）建立如图所示的空间坐标系如图：则A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，），设=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，则=（1，1，0），（0，，），则•=x+y=0，•=y+z=0，得，令y=1，则x=﹣1，z=﹣2，则=（﹣1，1，﹣2），同理平面ABCD的法向量为==（0，0，1），则cos＜，＞==，即平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值是．20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A，上顶点为E，O是坐标原点，△OAE面积为．（1）求椭圆G的方程；（2）若过椭圆G的右焦点作垂直于x轴的直线m与G在第一象限内交于点M，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和实际行动面积公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得椭圆的右焦点坐标，M，A的坐标，求得斜率．可设BC的方程为y=x+t，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得x2+tx+t2﹣3=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），运用韦达定理和直线的斜率公式，可得k MB+k MC=0，进而得到直线MB和直线MC关于直线m对称．【解答】解：（1）由题意可得e==，由A（﹣a，0），E（0，b），可得△OAE面积为，即有ab=，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，c=1，即有椭圆的方程为+=1；（2）椭圆的右焦点为（1，0），可得M（1，），A（﹣2，0），k AM==，设BC的方程为y=x+t，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得x2+tx+t2﹣3=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），即有x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣3，由k MB+k MC=+=+===0．即有直线MB和直线MC关于直线m对称．21．设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴相切于M（3，0）．（1）求f（x）的解析式，并求y=+4lnx的单调减区间；（2）是否存在两个不等正数s，t（x＞t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x3+ax2+bx 的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由已知得f′（x）=3x2+2ax+b．依题意f（3）=0，f′（3）=0，解方程即可求出f（x）=x3﹣6x2+9x．（2）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，由此利用分类讨论思想能求出不存在正数s，t满足要求．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+bx，∴f′（x）=3x2+2ax+b．依题意则有f（3）=0，f′（3）=0，即27+9a+3b=0，①27+6a+b=0，②解得a=﹣6，b=9，∴f（x）=x3﹣6x2+9x．则y=+4lnx=x2﹣6x+9+4lnx，x＞0，y′=2x﹣6+==，由y′＜0得1＜x＜2，即y=+4lnx的单调减区间为（1，2）．（2）f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），由f′（x）=0，得x=1或x=3．由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，①若极值点1∈[s，t]，此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t，故在区间[s，t]上没有极值点；②若f（x）=x3﹣6x2+9x在[s，t]上单调增，即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，则，即，解得不合要求．（3）若f（x）=x3﹣6x2+9x在[s，t]上单调减，即1≤s＜t＜3，则，两式相减并除s﹣t，得：（s+t）2﹣6（s+t）﹣st+10=0，①两式相除并开方，得[s（s﹣3）]2=[t（t﹣3）]2，即s（3﹣s）=t（3﹣t），整理，并除以s﹣t，得：s+t=3，②则①、②得，即s，t是方程x2﹣3x+1=0的两根，即s=，t=不合要求；综上，不存在正数s，t满足要求．…请在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程；（2）先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2，建立等量关系，解之即可．【解答】解：（1）由得（x+2）2+y2=10∴曲线C1的普通方程为得（x+2）2+y2=10∵ρ=2cosθ+6sinθ∴ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ∴x2+y2=2x+6y，即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=10（2）∵圆C1的圆心为（﹣2，0），圆C2的圆心为（1，3）∴∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2∴∴d=∴公共弦长为[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若a=4，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若存在x∈R，使f（x）≤4成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，通过去绝对值符号，列出不等式组，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）利用f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≤4，由此解得a 的范围．【解答】解：（1）解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或．解得：x≤0或x≥5．…故不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤0，或x≥5}；（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≤4，解得：﹣3≤a≤5．…。
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2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题(二）(解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模］已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检］已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．［2019·菏泽一模］已知向量()1,1=-a ,()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ,则m =( ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．［2019·台州期末］已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．［2019·汕尾质检］某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为3的等腰三角形,侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检］将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A ．0B ．12C ．1D ．1-9．［2019·重庆一中］2sin80cos70cos20︒︒-=︒( )A ．B ．1CD ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-,则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．［2019·陕西联考］已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ,若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( ) AB ．2CD ．512．［2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件:1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>;②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数"的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分．13．［2019·江门一模］已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边,S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ,b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=，b αγ=，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥,a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．［2019·河南联考］若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S是n a 与1n a +的等比中项,其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅,记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模］港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率,从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥,1AB =，3CD =，2AP =，23DP =60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；20．(12分）［2019·泰安期末］已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程;（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．21．（12分)[2019·衡水中学］已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ．（1）当13a =-时,求函数()f x 的单调区间;（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ,a 为常数）),过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分)【选修4—5:不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=,求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二)答 案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意,集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =,∴集合A B 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ,结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C :()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0，则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上,此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =，则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11210C C 20⋅=， 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ．6．【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形, 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1,底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后,得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称,故选项A 错误; 周期2ππ2T ==，故选项B 错误; 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,,∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ． 10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数,∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤,232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线, 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+,即有22OP c b a =-=,由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ,1y ,2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立, （当且仅当1221x y x y =取等号)若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ,其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA ,OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点:对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=,不可能有两个正根,故不存在；对于②，，由图可知不存在；对于③，,由图可知存在;对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到13sin sin 2S ab C C =⨯⇒= ∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理,需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥, 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=，b αγ=，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④,可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视; 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲,那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音, 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e 'y x=,曲线2y mx =的导数为2y mx '=,由e 2mx x=，0x >且0m >,得x =e 2⎫⎪⎪⎭,代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12． 三、解答题:本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1)n a n =；（2）见解析．【解析】(1)是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时,22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭,∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05;（2)见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65,[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．(2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ,∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1)见解析；（2）219565． 【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥， 又∵23DP =，2AP =，60PAD ∠=︒, 由sin sin PD PA PAD PDA =∠∠,可得1sin 2PDA ∠=，∴30PDA ∠=︒，90APD ∠=︒,即DP AP ⊥， ∵AB AP A =，∴DP ⊥平面PAB ， ∵DP ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ;（2)以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为y 轴，AB 所在的直线为z 轴， 如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A ，()0,0,1B ,()0,4,3C ，()0,4,0D ，()3,1,0P ． 从而()0,4,1BD =-,()3,1,0AP =，()3,3,3PC =-，设PM PC λ=，从而得)33,31,3M λλλ+,()33,31,31BM λλλ=+-, 设平面MBD 的法向量为(),,x y z =n ，若直线PA ∥平面MBD ，满足000BM BD AP ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩n n n，即)()()131310400x y z y z y λλλ-+++-=-=⎨+=， 得14λ=，取)3,12=--n ，且()3,1,1BP =-， 直线BP 与平面MBD所成角的正弦值等于3sin 156BP BPθ⋅-===⋅n n 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）直线l 过定点()2,0．【解析】(1)由题意可知，抛物线2C 的准线方程为1x =， 又椭圆1C ,∴点⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b +=,① 又c e a ==，∴222212a b e a -==，∴222a b =，②，由①②联立,解得22a =，21b =，∴椭圆1C 的标准方程为2212x y +=．（2)设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=,()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++,即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++, 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =, ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+,∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1)13a =-时，()2ln f x x x x =--,则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =,则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增．（2）由()23ln f x x ax x =+-,()123f x x a x'=+-，则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-，又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根， 不妨记为1x ,2x ,且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<， 当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>,()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式,得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=， 即()()222212230x x x -++=,解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数)；（2）2a =±，432．【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=,sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =+得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x ty =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．（2)将212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()2221230t t a +-+-=，依题意知()()2221830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数， ∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=, ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =(满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()1221t t +=-，∴2PA PB -=． 23．【答案】（1）2;（2)1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． (2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=,∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立,故221112a b +++的最小值为1．。
广西壮族自治区梧州市湄江中学2019年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为( )A．3 B． C. D．参考答案：B建立如图所示的平面直角坐标系，由知为锐角，且，故，．∴点B,C的坐标为，∴．又，∴，∴，解得，∴．选B．2. 将函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是………………………………………（）. . ..参考答案：C略3. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( )A． B．C． D．参考答案：A4. 已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.参考答案：C由三角函数定义可知5. “”是“直线与直线互相垂直”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 4sin80°﹣等于（）A．B．﹣C．2 D．2﹣3参考答案：B【考点】三角函数的化简求值．【分析】将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．【解答】解：4sin80°﹣======﹣，故选：B．7. △ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的性质以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．8. 在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A先将极坐标化成直角坐标表示，转化为点，即，过点且平行于轴的直线为，在化为极坐标为，选A.9. 在复平面内,复数(其中i是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置.【详解】由题：复数，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.10. 执行右面的程序框图，则输出的的值是A. 210B. －210C. 420D. －420参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知一元二次不等式的解集为{，则的解集为 .参考答案：{| <－1，或>1}12. 过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|= ．参考答案：4【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．13. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为．参考答案：8﹣2π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，再根据题目中的数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，且正方体的棱长为2，圆柱体的底面圆半径为2，高为2；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V圆柱体=23﹣×π×22×2=8﹣2π．故答案为：8﹣2π．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．14. 在边长为2的等边三角形ABC中，，则向量在上的投影为______．参考答案：，为的中点，，，，则向量在上的投影为，故答案为．15. 记函数的图象与轴围成的区域为M,满足的区域为N，若向区域M上随机投一点P，则点P落入区域N的概率为 .参考答案：16. △ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且，则的值是__________。
2019届广西梧州市、桂林市、贵港市等高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．A．B．C．D．【答案】A【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求解出集合，然后再计算出，最后计算出【详解】因为，∴，又，所以故选【点睛】本题考查了集合的补集、交集的运算，较为基础3．已知向量，满足，，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方，化简后求得的值.【详解】，，，，则故选：B．【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，考查含有模的平面向量运算的求解方法，属于基础题.4．若双曲线的实轴长为1，则其渐近线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据实轴长求得，根据求得双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线的实轴长为1，可得，而，则双曲线的渐近线方程为：．故选：D．【点睛】本小题主要考查双曲线的基本性质，考查双曲线渐近线的求法，属于基础题.5．如图所示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔若随机向铜片上滴一滴水水滴的大小忽略不计，则水滴正好落人孔中的概率是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用题意将原问题转化为面积比值的问题，整理计算即可求得结果．【详解】利用面积型几何概型公式可得，圆形铜片的面积，中间方孔的面积为，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为．故选：D．【点睛】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．6．已知函数与的部分图象如图所示，则A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】由图知过原点的图像的解析式为，观察图像利用最值和周期即可得到A和值.【详解】观察图像可得，过（0,1）的图像对应函数解析式为，，函数,则f(0)=0,即为过原点的图像，由f(x)图像可知，，可得.故选：B.【点睛】本题考查由函数图像确定函数解析式，考查正弦函数和余弦函数图像的性质，属基础题.7．已知为定义在R上的奇函数，当时，，则的值域为A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，利用指数函数的性质求得的取值范围，根据奇偶性求得当时的取值范围.结合求得的值域.【详解】当时，，为定义在R上的奇函数，，则当时，由于函数为奇函数，图像关于原点对称，故，综上，即函数的值域为，故选：C．【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查指数函数的值域的求法，属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成，利用圆锥与圆柱的表面积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．该几何体的表面积．故选：A．【点睛】本题考查了三视图还原几何体，考查了旋转体的表面积公式，考查了空间想象与运算能力，属于简单题．9．若，满足约束条件，则的最大值为A．15 B．30 C．D．34【答案】C【解析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z＝12x+3y得y＝﹣4x z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，对应的平面区域内的x∈Z点，如图：由z＝12x+3y得y＝﹣4x z，平移直线y＝﹣4x z，由图象可知当直线经过x=3上的点A时，直线的截距最大，此时Z最大，由图形可知A（3，-），代入z＝12x+3y得最大值为z＝12×3﹣＝．故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．10．若，是方程的两根，则A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据已知写出韦达定理，求得，利用两角差的正切公式求得的值.【详解】，是方程的两根，，，解得，；或，；，，故选：A．【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查两角差的正切公式，属于基础题.11．设，，则A．且B．且C．且D．且【答案】B【解析】容易得出；，从而得出结论．【详解】，∴；又；即，；∴，．故选：B．【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用，确定a，b两数的范围是关键，属于中档题．12．设，，分别是椭圆的左、右、上顶点，为坐标原点，为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为.若到轴的距离为，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合草图，利用相似求得OG，写出H坐标，利用计算从而求得值.【详解】如图示过H作轴于点G，则相似，,即故即，即故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，利用相似是关键，属于基础题.二、填空题13．的展开式的系数为______．【答案】【解析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，从而求得指定项的系数.【详解】的展开式的通项为．取，可得的展开式的系数为．故答案为：．【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的系数，考查指数式的运算，属于基础题. 14．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】先利用导数求得斜率，然后利用点斜式求得切线方程.【详解】,则,而切点的坐标为曲线在的处的切线方程为．故答案为：．【点睛】本小题主要考查图像上某点处的切线方程的求法，考查函数的导数运算，属于基础题. 15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．【答案】【解析】利用正弦定理化简已知得到，利用余弦定理求得的值.【详解】，，，由正弦定理可得：，．故答案为：．【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.16．已知两点都在以为直径的球的表面上，，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的正切值为__________．【答案】【解析】先根据条件得一个三棱锥，再在这个三棱锥中确定线线关系，最后根据平移以及余弦定理求结果.【详解】由题意得三棱锥P-ABC，其中,过A作AD//BC,过B作BD//AC，AD、BD交于D，则异面直线与所成角为，由得平面PAB，即，因此可得平面ACBD,即，计算可得,因此，即异面直线与所成角的余弦值为【点睛】线线角的寻找，主要找平移，即作平行线，进而根据三角形求线线角.线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角. 二面角的寻找，主要找面的垂线，即需从面面垂直出发确定线面垂直，进而确定二面角.三、解答题17．设为等差数列的前项和，，.（1）求的通项公式；（2）若成等比数列，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据等差数列中，，,利用等差数列的求和公式以及通项公式列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，根据，，成等比数列列方程求得，从而可得结果.【详解】（1），，故.（2）由（1）知，.，，成等比数列，，即，解得，故.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系. 18．如图，在三棱锥中，平面ABC，且，．证明：三棱锥为鳖臑；若D为棱PB的中点，求二面角的余弦值．注：在九章算术中鳖臑是指四面皆为直角三角形的棱锥．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由条件已经知道，均为直角三角形，只需证为直角三角形即可得证.（2）利用空间向量求得两个面的法向量，求得即可.【详解】（1）∵，，∴，∴，为直角三角形.∵平面，∴，，，均为直角三角形.∵，∴平面.又平面，∴，为直角三角形.故三棱锥为鳖臑.（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，则，.设平面的法向量为，则令，则.易知平面的一个法向量为，则.由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四面体是否为鳖臑的判断与求法，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查空间向量的应用，是中档题．19．在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．求C的方程；若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．【答案】（1）（2）的坐标为或.【解析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，设出A,B点坐标，根据韦达定理得x1x2和y1y2表达式，根据OA⊥OB可知x1x2+y1y2=0，即可求得p，从而得抛物线方程．（2）三角形的外心为中垂线的交点，利用中点坐标公式得线段AB中点N的坐标，得到线段的中垂线方程，将中垂线方程与抛物线方程联立即可得到外心M.【详解】（1）联立得，设A(则，.从而.，，即，解得.故的方程为.（2）设线段的中点为.由（1）知，，.则线段的中垂线方程为，即.联立得，解得或4.从而的外心的坐标为或.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，将直线方程与抛物线方程联立，其中韦达定理是解题的关键，同时考查向量知识和三角形外心的应用.20．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为1.2元；超出件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.附：，.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）利用列联表求得的观测值，即可判断.（2）设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，,根据X、Y的相应取值求得Z 的相应取值时的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望.【详解】（1）因为的观测值，所以有的把握认为“生产能手”与性别有关.（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时，得计件工资为元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为，女员工实得计件工资不少于3100元的概率为，设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，，，，，所以的分布列为故.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了二项分布及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）对时，对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】(1)函数的定义域为，求出导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到的单调性；（2）因为，所以，由（1）可得的最值，进而得到的取值范围.【详解】解：（1）函数的定义域为，，当时，，，所以在上单调递减；，，所以在上单调递增.当时，，，所以在上单调递减；，，所以在上单调递增.（2）因为，所以，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以.因为与，所以.设，则，所以在上单调递增，故，所以，从而，所以，即.设，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以等价于，则.因为，所以的取值范围为.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，，求．【答案】（1）x+y-1=0, ；（2）.【解析】(1)运用消参方法求出直线的普通方程，结合公式代入求出曲线的直角坐标方程(2)运用参量代入计算，求出的结果【详解】（1）直线的普通方程为：.由，得，则，故曲线的直角坐标方程为.（2）将代入，得，则，故.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程之间的转化，较为简单，在计算长度的时候将参量代入进行求解会减小计算量，方便计算23．已知函数．求不等式的解集；若的最小值为k，且，证明：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】(1)分类讨论三种情况下的解集(2)先求出的最小值为，代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】（1）由，得，则或或，解得：，故不等式的解集为.（2）证明：因为，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式的用法，需要掌握此类题目的解法。
