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数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第三章实验报告.doc

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数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告

数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告

（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞范数条件数（2）设n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=111111111011001ΛΛO O MM M O OΛ,先随机地选取n R x ∈,并计算出x A b n =;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组,假定计算解为∧x 。

试对n 从5到30估计计算解∧x 的精度,并且与真实相对误差作比较。

解(1)分析:利用for 使n 从5循环到20,利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ;先将算法2、5、1编制成通用的子程序,利用算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =,对TAB -=求解,得到∞-1A的一个估计值v v =~;再利用inf),(A norm 得到∞A ;则条件数inf),(1A norm v A A K *==∞∞-。

另,矩阵A 的∞范数条件数可由inf),(A cond 直接算出,两者可进行比较。

程序为1 算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =function v=opt(B)k=1;n=length(B); x=1、/n*ones(n,1);while k==1 w=B*x;v=sign(w); z=B'*v;if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; elsex=zeros(n,1);[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end2 问题(1)求解 ex2_1for n=5:20A=hilb(n);B=inv(A、');v=opt(B);K1=v*norm(A,inf);K2=cond(A,inf);disp(['n=',num2str(n)])disp(['估计条件数为',num2str(K1)])disp(['实际条件数为',num2str(K2)])end计算结果为n=5估计条件数为943656实际条件数为943656n=6估计条件数为29070279、0028实际条件数为29070279、0028n=7估计条件数为985194887、5079实际条件数为985194887、5079n=8估计条件数为33872789099、7717实际条件数为33872789099、7717n=9估计条件数为16、422实际条件数为16、422n=10估计条件数为35353368771750、67实际条件数为35353368771750、67n=11估计条件数为1232433965549344实际条件数为1232433965549344Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=12估计条件数为3、9245e+16实际条件数为3、9245e+16Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=13估计条件数为1、2727e+18实际条件数为1、2727e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=14估计条件数为4、8374e+17实际条件数为4、8374e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=15估计条件数为4、6331e+17实际条件数为5、234289848563619e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=16估计条件数为8、3166e+17实际条件数为8、3167e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 6、244518e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 6、244518e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=17估计条件数为1、43e+18 实际条件数为1、43e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18估计条件数为2、5551e+18 实际条件数为2、8893e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19估计条件数为2、411858563109357e+18 实际条件数为2、411858563109357e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20估计条件数为2、31633670586674e+18 实际条件数为6、37335273308473e+18结果分析随着矩阵阶数增加,估计值误差开始出现,20,17,16,15 n 时估计条件数与实际值存在误差;且条件数很大,Hilbert 矩阵为病态的。

数值代数上机实验报告

数值代数上机实验报告

数值代数上机实验报告试验项目名称：平方根法与改进平方根法实验内容：先用你熟悉的计算机语言将平方根法和改进平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组Ax=b，其中，A=[101 10 1…1 10 11 10]100*100b随机生成，比较计算结果，评论方法优劣。

实验要求：平方根法与改进的平方根的解法步骤；存储单元，变量名称说明；系数矩阵与右端项的生成；结果分析。

实验报告姓名：罗胜利班级：信息与计算科学0802 学号：u200810087 实验一、平方根法与改进平方根法先用你所熟悉的计算机语言将平方根法和改进的平方根法编成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组AX=b，其中系数矩阵为40阶Hilbert矩阵，即系数矩阵A的第i行第j列元素为=，向量b的第i个分量为=.平方根法函数程序如下：function [x,b]=pingfanggenfa(A,b)n=size(A);n=n(1);x=A^-1*b; %矩阵求解disp('Matlab自带解即为x');for k=1:nA(k,k)=sqrt(A(k,k));A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);for j=k+1:n;A(j:n,j)=A(j:n,j)-A(j:n,k)*A(j,k);endend %Cholesky分解for j=1:n-1b(j)=b(j)/A(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*A(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/A(n,n); %前代法A=A';for j=n:-1:2b(j)=b(j)/A(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*A(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/A(1,1); %回代法disp('平方根法的解即为b');endfunction [x]=ave(A,b,n) %用改进平方根法求解Ax=b L=zeros(n,n); %L为n*n矩阵D=diag(n,0); %D为n*n的主对角矩阵S=L*D;for i=1:n %L的主对角元素均为1L(i,i)=1;for i=1:nfor j=1:n %验证A是否为对称正定矩阵if (eig(A)<=0)|(A(i,j)~=A(j,i)) %A的特征值小于0或A非对称时，输出wrong disp('wrong');break;endendendD(1,1)=A(1,1); %将A分解使得A=LDL Tfor i=2:nfor j=1:i-1S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,1:j-1)*L(j,1:j-1)');L(i,1:i-1)=S(i,1:i-1)/D(1:i-1,1:i-1);endD(i,i)=A(i,i)-sum(S(i,1:i-1)*L(i,1:i-1)');endy=zeros(n,1); % x，y为n*1阶矩阵x=zeros(n,1);for i=1:ny(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1)*D(1:i-1,1:i-1)*y(1:i-1)))/D(i,i); %通过LDy=b解得y的值endfor i=n:-1:1x(i)=y(i)-sum(L(i+1:n,i)'*x(i+1:n)); %通过L T x=y解得x的值改进平方根法函数程序如下：function b=gaijinpinfanggenfa(A,b)n=size(A);n=n(1);v=zeros(n,1);for j=1:nfor i=1:j-1v(i)=A(j,i)*A(i,i);endA(j,j)=A(j,j)-A(j,1:j-1)*v(1:j-1);A(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-A(j+1:n,1:j-1)*v(1:j-1))/A(j,j);end %LDL'分解B=diag(A);D=zeros(n);for i=1:nD(i,i)=B(i);A(i,i)=1;EndA=tril(A); %得到L和Dfor j=1:n-1b(j)=b(j)/A(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*A(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/A(n,n); %前代法A=D*(A');for j=n:-1:2b(j)=b(j)/A(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*A(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/A(1,1); %回代法disp('改进平方根法解得的解即为b');end调用函数解题：clear;clc;n=input('请输入矩阵维数：');b=zeros(n,1);A=zeros(n);for i=1:nfor j=1:nA(i,j)=1/(i+j-1);b(i)=b(i)+1/(i+j-1);endend %生成hilbert矩阵[x,b]=pingfanggenfa(A,b) b=gaijinpinfanggenfa(A,b)运行结果：请输入矩阵维数：40Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.570692e-020. > In pingfanggenfa at 4In qiujie at 10Matlab自带解即为x平方根法的解即为bx =1.60358.96850.85621.01950.9375-50.2500-3.0000-16.000024.0000-49.5000-30.000039.000022.0000-64.0000-12.00002.000010.2500-10.5000-1.0000-10.875083.000046.0000-98.0000-69.000068.000021.0000-50.7188-8.7500-8.0000 112.0000 6.0000 -68.7500 22.000044.0000 -28.0000 8.0000 -44.000012.0000b =1.0e+007 *0.0000-0.00000.0001-0.0004-0.00140.0424-0.29801.1419-2.73354.2539-4.30182.7733-1.19890.5406-0.36880.32850.4621-0.25130.05650.0000-0.00510.0071-0.0027-0.0031-0.00190.00090.0002-0.0002-0.00060.00040.0001-0.00020.00010.0000-0.00000.0000-0.0000-0.0000改进平方根法解得的解即为bb =1.0e+024 *0.0000-0.00000.0001-0.0012-0.0954 0.4208 -1.2101 2.0624 -1.0394 -3.3343 6.2567 -0.2463 -7.45942.80303.6990 0.7277 -1.7484 -0.4854 -3.6010 0.2532 5.1862 1.4410 0.8738 -4.5654 1.0422 4.0920 -2.7764 -2.2148 -0.8953 0.3665 4.8967 1.0416 0.1281-1.1902-2.83348.4610-3.6008实验二、利用QR分解解线性方程组：利用QR分解解线性方程组Ax=b，其中A=[16 4 8 4;4 10 8 4;8 8 12 10;4 4 10 12];b=[32 26 38 30];求解程序如下：定义house函数：function [v,B]=house(x)n=length(x);y=norm(x,inf);x=x/y;Q=x(2:n)'*x(2:n);v(1)=1;v(2:n)=x(2:n);if n==1B=0;elsea=sqrt(x(1)^2+Q);if x(1)<=0v(1)=x(1)-a;elsev(1)=-Q/(x(1)+a);endB=2*v(1)^2/(Q+v(1)^2);endend进行QR分解：clear;clc;A=[16 4 8 4;4 10 8 4;8 8 12 10;4 4 10 12]; b=[32 26 38 30];b=b';x=size(A);m=x(1);n=x(2);d=zeros(n,1);for j=1:n[v,B]=house(A(j:m,j));A(j:m,j:n)=(eye(m-j+1)-B*(v')*v)*A(j:m,j:n); d(j)=B;if j<m< p="">A(j+1:m,j)=v(2:m-j+1);endend %QR分解R=triu(A); %得到R D=A;I=eye(m,n);Q=I;for i=1:nD(i,i)=1;endH=tril(D);M=H';for i=1:nN=I-d(i)*H(1:m,i)*M(i,1:m);Q=Q*N;end %得到Qb=(Q')*b; %Q是正交阵for j=n:-1:2b(j)=b(j)/R(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*R(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/R(1,1); %回带法运行结果如下：R =18.7617 9.8072 15.7769 11.08640 9.9909 9.3358 7.53410 0 5.9945 9.80130 0 0 -0.5126Q =0.8528 -0.4368 -0.2297 -0.17090.2132 0.7916 -0.4594 -0.34170.4264 0.3822 0.2844 0.76890.2132 0.1911 0.8095 -0.5126b=1.000000000000001.000000000000010.9999999999999881.00000000000001实验三、Newton下山法解非线性方程组：3x-cos（yz）-=0，-81+sinz+1.06=0，exp（-xy）+20z+=0；要求满足数值解=满足或.定义所求方程组的函数：Newtonfun.mfunction F = Newtonfun(X)F(1,1)=3*X(1)-cos(X(2)*X(3))-1/2;F(2,1)=X(1)^2-81*(X(2)+0.1)^2+sin(X(3))+1.06;F(3,1)=exp(-X(1)*X(2))+20*X(3)+(10*pi-3)/3;End向量求导：Xiangliangqiudao.mfunction J=xiangliangqiudao()syms x y zX=[x,y,z];F=[3*X(1)-cos(X(2)*X(3))-1/2;X(1)^2-81*(X(2)+0.1)^2+sin(X(3))+1.06;exp(-X(1)*X(2))+20*X(3)+(10*pi-3)/3];J=jacobian(F,[x y z]);End代值函数：Jacobi.mfunction F=Jacobi(x)F=[ 3,x(3)*sin(x(2)*x(3)), x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1), -162*x(2)-81/5,cos(x(3));-x(2)/exp(x(1)*x(2)),-x(1)/exp(x(1)*x(2)),20];End方程组求解：format long; %数据表示为双精度型X1=[0,0,0]';eps=10^(-8);k=1;i=1;X2=X1-Jacobi(X1)^(-1)*Newtonfun(X1);while (norm(subs(X2-X1,pi,3.1415926),2)>=eps)&&(norm(Newtonfun(X1),2)>=eps) if norm(Newtonfun(X2),2)<="" p="">X1=X2;B=inv(Jacobi(X2));C=Newtonfun(X2);X2=X2-B*C;i=i+1;elsev=1/(2^k); %引入下山因子X1=X2;B=inv(Jacobi(X2));C=Newtonfun(X2);X2=X2-v*B*C;k=k+1;endendj=i+k-1 %迭代次数X=X2 %输出结果运行结果如下：j =5X =0.500000000000000 -0.000000000000000 -0.523598775598299</m<>。

数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第一章实验报告(供参考)

数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第一章实验报告(供参考)

上机习题1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解84阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。

Sol ：（1）先用matlab 将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到P U L ,,： 不选主元Gauss 消去法：[])(,A GaussLA U L =得到U L ,满足LU A =列主元Gauss 消去法：[])(,,A GaussCol P U L =得到P U L ,,满足LU PA =（2）用前代法解()Pb or b Ly =，得y用回代法解y Ux =，得x求解程序为()P U L b A Gauss x ,,,,=（P 可缺省，缺省时默认为单位矩阵）（3）计算脚本为ex1_1代码%算法（计算三角分解：Gauss 消去法）function [L,U]=GaussLA(A)n=length(A);for k=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endU=triu(A);L=tril(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));end%算法计算列主元三角分解：列主元Gauss消去法）function [L,U,P]=GaussCol(A)n=length(A);for k=1:n-1[s,t]=max(abs(A(k:n,k)));p=t+k-1;temp=A(k,1:n);A(k,1:n)=A(p,1:n);A(p,1:n)=temp;u(k)=p;if A(k,k)~=0A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); elsebreak;endendL=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));P=eye(n);for i=1:n-1temp=P(i,:);P(i,:)=P(u(i),:);P(u(i),:)=temp;endend%高斯消去法解线性方程组function x=Gauss(A,b,L,U,P)if nargin<5P=eye(length(A));endn=length(A);b=P*b;for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); endb(n)=b(n)/L(n,n);y=b;for j=n:-1:2y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(1)=y(1)/U(1,1);x=y;endex1_1clc;clear;%第一题A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83),1);b=[7;15*ones(82,1);14];%不选主元Gauss消去法[L,U]=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss消去法[L,U,P]=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较subplot(1,3,1);plot(1:84,x1_1,'o-');title('Gauss');subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_2,'.-');title('PGauss');subplot(1,3,3);plot(1:84,ones(1,84),'*-');title('精确解');结果为（其中Gauss表示不选主元的Gauss消去法，PGauss表示列主元Gauss 消去法，精确解为[]'⨯8411,,1 ）：-6-4-202468Gauss050100PGauss 00.20.40.60.811.21.41.61.82精确解由图，显然列主元消去法与精确解更为接近，不选主元的Gauss 消去法误差比列主元消去法大，且不如列主元消去法稳定。

线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第三章、向量空间x习题答案

线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第三章、向量空间x习题答案

15.解： 解
(α1 , α 2 , α 3 )T = ( β1 , β 2 , β 3 )
AT = B
特别提示
−1 1 0 T = A−1 B = 2 − 1 2 0 1 − 1
A−1 ( AM E ) → ( E M A−1 ) (1) −1 A B (2)( AM E ) → ( E M A−1 B)
a 1 (已知 α 4 = aα1 + bα 2 ⇒ α 2 = − α1 + α 4 已知) 已知 b b ac c α 5 = − α1 + dα 3 + α 4 b b R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) < 4
再令 x1α1 + x2α 3 + x3α 4 = ϑ
x1α1 + x2α 3 + x3 (aα1 + bα 2 ) = ϑ ( x1 + ax3 )α1 + bx3α 2 + x2α 3 = ϑ
ε 1 , ε 2 Lε n 能由 α1 , α 2 Lα n 线性表出 定理） （定理） α1 , α 2 Lα n 能由 ε 1 , ε 2 Lε n 线性表出
α1 , α 2 Lα n 与 ε 1 , ε 2 Lε n 等价
R(α1 , α 2 Lα n ) = R(ε 1 , ε 2 Lε n ) = n
第三章
向量空间习题答案
1.设 v = (1,−1,1)T , v = (2,1,3)T , v = (2,1,3)T , 设 1 2 3 求 v1 − v2 , 及 3v1 − 2v2 + v3 . 解：
v1 − v2 = (1,−2,−1)T

2021年数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题实验报告2

2021年数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题实验报告2

第四章上机习题1考虑两点边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.1)1(,0)0(10 ,22y y a a dx dy dx y d ε 轻易知道它正确解为ax e e ay x +---=--)1(111εε为了把微分方程离散化, 把[0,1]区间n 等分, 令h=1/n,1,,1,-==n i ih x i得到差分方程,21211a hy y h y y y i i i i i =-++-++-ε简化为 ,)2()(211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散化后得到线性方程组系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=)2()2()2()2(h h h h h h h A εεεεεεεεεε 对,100,2/1,1===n a ε分别用Jacobi 迭代法, G-S 迭代法和SOR 迭代法求线性方程组解, 要求有4位有效数字, 然后比较与正确解得误差。

对,0001.0,01.0,1.0===εεε考虑一样问题。

解 （1）给出算法:为解b Ax =, 令U L D A --=, 其中][ij a A =, ),,,(2211nn a a a diag D = ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-00001,21323121n n n n a a a a a a L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-0000,122311312 n n n n a a a a a a U 利用Jacobi 迭代法, G-S 迭代法, SOR 迭代法解线性方程组, 均能够下步骤求解: step1给定初始向量x0=(0,0,...,0), 最大迭代次数N, 精度要求c, 令k=1 step2令x=B*x0+gstep3若||x-x0||2<c, 算法停止, 输出解和迭代次数k, 不然, 转step4step4若k>=N,算法停止, 迭代失败, 不然, 令x0=x, 转step2在Jacobi 迭代法中, B=D -1*(L+U),g=D -1*b在G-S 迭代法中, B=D -1*(L+U),g=D -1*b在SOR 迭代法中, B=(D-w*L)-1*[(1-w)*D+w*U],g=w*(D-w*L)-1*b另外, 在SOR 迭代法中, 上面算法step1中要给定松弛因子w, 其中0<w<2 为计算结果, 要求w=0.5。

《数值计算》实验报告

《数值计算》实验报告

《数值计算》实验报告第一部分：简答题（请简要回答以下问题，每小题字数不少于200字）1、Matlab变量命名有什么要求？以下变量名是否合法？对不合法的变量名说明理由。

abcd-2xyz_33chan NaN ABCDefgh2、插值、拟合、回归这三种方法是用来解决什么问题的？面对一组数据，如何选择用什么方法？3、数值积分的主要思想是什么？常用的数值积分公式有哪几个？4、请结合自己的学习，举例说明《数值计算》课程中所学方法在解决实际问题中是如何应用的。

第二部分：基础题（请完成以下问题，要求给出程序语句及计算结果，用截图方式附在各题目下方）1、已知点(1,3.0),(2,3.7),(5,3.9),(6,4.2),(7,5.7),(8,6.6),(10,7.1),(13,6.7), (17,4.5)，绘出经过这些点的函数曲线图形，并给出曲线方程。

答：采取三次样条插值法，九个输入数据分成八段，每一段就是一个三次函数。

这八段的函数形式为y = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3，每个分段函数的参数构成下图所示的coefs 矩阵。

2、在我国某海域测得海洋不同深度处的水温如表1所示，求水深为800m和1500m处的温度。

答：采取线性插值法求得800m和1500m处的温度3、求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=--=-++=++56533332821w z y x w y x w z y x z y x ，请至少使用两种方法求解，并对这两种方法的计算结果进行说明。

高斯消元法LU 分解QR分解Jacobi迭代法使用 Jacobi 迭代法无法求出结果，表示迭代的过程中不收敛4、计算积分dx eI x ⎰-=1022，精度为10-6。

被积函数总共调用 13 次，求得积分值为 0.85565、求方程t et t f t5.0)(sin )(1.02-⋅=-在[0.5,1]内的根。

6、求解微分方程0)1(22=+'--''y y y y ，0)0(,1)0(,300='=≤≤y y x ，绘出解函数的图形。

《数值计算方法》上机实验报告

《数值计算方法》上机实验报告

《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学实验名称数值il•算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级：电力实08学生姓名：李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期：2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一.各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程*对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶xxfx ()0, fx ()xkk泰勒公式"f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2!忽略高次项，有，fxfxfxxx 0 ()()()，，, kkk右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。

将非线性方程的**根代入，即fx ()0, X ，* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkkfx 0 fx 0 0,解出fX 0 *k XX,, k' fx 0 k水将右端取为，则是比更接近于的近似值，即xxxxk, Ik, Ikfx ()k 八XX, Ikk* fx()k这就是牛顿迭代公式。

,2,计算机程序框图:，见,,3,输入变量、输出变量说明:X输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数，\0输出变量:当前迭代次数，当前迭代值xkl,4,具体算例及求解结果:2/16华北电力大学实验报吿开始读入l>k/fx()0?,0fx 0 Oxx，，01* fx ()0XX,,，?10kk, ,1，kN, ?xx, 10输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志,3,输入变量、输出变量说明: 结束例：导出计算的牛顿迭代公式，并il •算。

（课本P39例2-16） 115cc （0）, 求解结果:10. 75000010.72383710. 72380510. 7238052、列主元素消去法求解线性方程组，1,算法原理:高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上 对上三角3/16华北电力大学实验报告方程组求解。

线性代数简明教程-第二版-答案

线性代数简明教程-第二版-答案

3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13(2n 1)24(2n)) n(n 1)
2
4. 计算下列行列式
2500 350
55
(1)
500 70
1500 70
31
35000(5 15) 350000
a11 a12 a21 a22 (2) 0 0
00 00 a33 a34
2 0
0
0 1 0
0
0 1
4
4 0 0
0 3 0
0 0 2
2 0 0
0 3 0
0
0 1
2
12.设
1 2 3
A
0 3 0
2 2 1
2 0 2
利用初等行变换求 A1
2
1 1 1
,
1 2 3 2 1 0 0 0
(
A
E)
0 3 0
2 2 1
2 0 2
1 0 1 0 0
5、已知两个线性变换
x2
x1 2 y1 y3 2 y1 3y2
2 y3
x3 4 y1 y2 5 y3
y1 3z1 z2 y2 2z1 z3
,
y3 z2 3z3
求从 z1, z2 , z3 到 x1, x2 , x3 的 线性变换
分析：X AY ,Y BZ ,
1 1
0 0
0 0
1 0
10
1 2 3 2 1 0 0 0
~r3 3r1 0
0 0
2 4 1
2 9 2
1 0 1 0 0
5 1
3 0
0 0
1 0
0 1
1 2 3 2 1 0 0 0

数值代数实验报告(1)绝对经典

数值代数实验报告(1)绝对经典

数值代数实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：戈东潮指导教师：于春肖教务处2012年12月实验一实验名称： Poisson 方程边值问题的五点差分格式 实验时间: 2012年12月13日 星期四 实验成绩： 一、实验目的：通过上机利用Matlab 数学软件实现Poisson 方程的边值问题的五点差分格式的线性代数方程组来认真解读Poisson 方程边值问题的具体思想与方法，使我们掌握得更加深刻，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。

二、实验内容：利用Poisson 方程来解下列问题：⎪⎩⎪⎨⎧∂∈=∈=∂∂+∂∂-ΩΩ),(,),(),(,sin sin )(y x y x u y x y x y u x u 0222222πππ 其中}{的边界是ΩΩ∂<<∈Ω,1,0),(y x y x 。

边值问题的解释是y x y x u ππsin sin ),(=（1）用例题中模型问题的方法取N=5,10（也可以取N=20）列出五点差分格式的线性代数方程组三、实验过程：系数矩阵A 的Matlab 实现函数如下：%文件名：poisson.m function T=poisson(N) for i=1:N a(i)=4; end b=diag(a); for j=1:N-1b(j,j+1)=-1;endfor j=2:Nb(j,j-1)=-1;endfor i=1:NI(i)=-1;endI=diag(I);for i=1:N:N*Nfor j=1:NT(i+j-1,i:i+N-1)=b(j,:);endendfor i=1:N:N*N-Nfor j=1:NT(i+j-1,i+N:i+N-1+N)=I(j,:);endendfor i=1+N:N:N*Nfor j=1:NT(i+j-1,i-N:i-1)=I(j,:);endend求解常数项b的Matlab实现函数如下：%函数名：constant.mfunction b=constant(N)n=N+1;h=1/n;i=1;for y=1/n:1/n:N/nfor x=1/n:1/n:N/nf(i)=2*pi*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y);i=i+1;endendb=h*h*f;b=b';四、实验结果(总结/方案)在Matlab运行窗口输入>>A=poisson(5) Enter输出结果A =Columns 1 through 114 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0-1 4 -1 0 0 0 -1 0 0 0 00 -1 4 -1 0 0 0 -1 0 0 00 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 0 00 0 0 -1 4 0 0 0 0 -1 0-1 0 0 0 0 4 -1 0 0 0 -10 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 00 0 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 00 0 0 -1 0 0 0 -1 4 -1 00 0 0 0 -1 0 0 0 -1 4 00 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 12 through 220 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 04 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 0 0 0 00 -1 4 -1 0 0 0 -1 0 0 00 0 -1 4 0 0 0 0 -1 0 00 0 0 0 4 -1 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -10 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 00 0 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 00 0 0 -1 0 0 0 -1 4 0 00 0 0 0 -1 0 0 0 0 4 -10 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 40 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 Columns 23 through 250 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 4 -10 -1 4 在运行窗口输入 >>b=constant(5) Enter 常数项的输出结果b =[ 0.1371 0.2374 0.2742 0.2374 0.1371 0.2374 0.4112 0.4749 0.4112 0.2374 0.2742 0.4749 0.5483 0.4749 0.2742 0.2374 0.4112 0.4749 0.4112 0.2374 0.1371 0.2374 0.2742 0.2374 0.1371]T所以A*u=b 的五点差分格式为j i j i j i j i j i j i f h u u u u u ,,,,,,211114=-----+-+ （i,j=1,2……）实验二实验名称： 用Jacobi 迭代法和SOR 迭代法求解方程组 实验时间: 2012年12月13日 星期四 实验成绩： 一、实验目的：通过上机利用Matlab 数学软件采用Jacobi 迭代法和SOR 迭代法来求解方程组，求解过程中了解两种迭代方法的基本思想与迭代过程，并分析两种迭代方法的收敛性和实用用以及他们的异同点。

数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第一章实验报告

数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第一章实验报告

@上机习题1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解84阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。

Sol ：（1）先用matlab 将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到P U L ,,： 不选主元Gauss 消去法：[])(,A GaussLA U L =得到U L ,满足LU A = 列主元Gauss 消去法：[])(,,A GaussCol P U L =得到P U L ,,满足LU PA = （2）用前代法解()Pb or b Ly =，得y用回代法解y Ux =，得x]求解程序为()P U L b A Gauss x ,,,,=（P 可缺省，缺省时默认为单位矩阵）（3）计算脚本为ex1_1 代码%算法（计算三角分解：Gauss 消去法） function [L,U]=GaussLA(A) n=length(A);—for k=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); endU=triu(A);L=tril(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));end！%算法计算列主元三角分解：列主元Gauss消去法）function [L,U,P]=GaussCol(A)n=length(A);for k=1:n-1[s,t]=max(abs(A(k:n,k)));p=t+k-1;temp=A(k,1:n);￥A(k,1:n)=A(p,1:n);A(p,1:n)=temp;u(k)=p;if A(k,k)~=0A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); elsebreak;^endendL=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n)); P=eye(n);for i=1:n-1temp=P(i,:);P(i,:)=P(u(i),:);{P(u(i),:)=temp;endend%高斯消去法解线性方程组function x=Gauss(A,b,L,U,P)if nargin<5P=eye(length(A));￥endn=length(A);b=P*b;for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);<y=b;for j=n:-1:2y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(1)=y(1)/U(1,1);x=y;|endex1_1clc;clear;%第一题A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83),1); b=[7;15*ones(82,1);14];%不选主元Gauss消去法)[L,U]=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss消去法[L,U,P]=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较subplot(1,3,1);plot(1:84,x1_1,'o-');title('Gauss'); subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_2,'.-');title('PGauss');（subplot(1,3,3);plot(1:84,ones(1,84),'*-');title('精确解');结果为（其中Gauss 表示不选主元的Gauss 消去法，PGauss 表示列主元Gauss消去法，精确解为[]'⨯8411,,1 ）：8Gauss50100PGauss精确解由图，显然列主元消去法与精确解更为接近，不选主元的Gauss 消去法误差比列主元消去法大，且不如列主元消去法稳定。

数值分析第三次上机练习实验报告

数值分析第三次上机练习实验报告

2 1 , k 0,1, 2...n. 这里唯一需要注意的就是 n 1 Pn ( xk ) Pn'1 ( xk )
还需要一个多项式微分运算（使用的是polyder函数） ，求解出这两项之后，剩下的 就是 I n ( f ) 2.
A
k 0
n
k
f ( xk ) 。
Romberg积分公式计算 函数主体是Romberg.m文件,以下只分析这个函数文件的结构: 第一部分是赋初值,对于积分表T还赋值T(1,1):
实现方法说明
程序语言采用Matlab语言，运行环境为Matlab R2009b。
注：主程序文件是First.m和Second.m，其他都是对应的自编函数文件。
1.
复化Guass-Legendre求积公式运算 这个程序主体是First.m文件，在里面定义了变量x和函数f f=sym(100*sin(10*(2+x)^(-1))*(2+x).^(-2));由于Legendre多项式的使用条件是[-1,1]， 因此对积分区间做了变换，函数体本身也就变成了f（x）=(100*sin(10/(x + 2)))/(x + 2)^2。其他都是调用自己编写的函数计算。 ① Legendre多项式生成函数：Legendre.m
2/5
水利系
2008010249
程国安
这个函数主要用于生成 Legendre 多项式，比较简短，最重要的就是一个迭代 关系 P=((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n);最后输出一个多项式， 如果需要整合，另外加一句 expand（P）即可。 ② Guass-Legendre积分函数：Guass-Legendre.m 这个函数的相关输入输出说明见函数文件注释。 积分实现主要需要求出 f ( xk ) 和 Ak ， 对于 f ( xk ) ， 重点就是建立内联函数 f ( x) 和 变量序列 xk ，变量序列 xk 主要使用利用Legendre求出对应次数的Legendre多项式 的零点（使用sym2poly求出系数，之后利用roots求零点） 。 对于 Ak ，利用 Ak

数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告

数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告

（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞范数条件数（2）设n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=111111111011001ΛΛO O MM M O OΛ,先随机地选取n R x ∈,并计算出x A b n =;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组,假定计算解为∧x 。

试对n 从5到30估计计算解∧x 的精度,并且与真实相对误差作比较。

解(1)分析:利用for 使n 从5循环到20,利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ;先将算法2、5、1编制成通用的子程序,利用算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =,对TAB -=求解,得到∞-1A的一个估计值v v =~;再利用inf),(A norm 得到∞A ;则条件数inf),(1A norm v A A K *==∞∞-。

另,矩阵A 的∞范数条件数可由inf),(A cond 直接算出,两者可进行比较。

程序为1 算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =function v=opt(B)k=1;n=length(B); x=1、/n*ones(n,1);while k==1 w=B*x;v=sign(w); z=B'*v;if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; elsex=zeros(n,1);[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end2 问题(1)求解 ex2_1for n=5:20A=hilb(n);B=inv(A、');v=opt(B);K1=v*norm(A,inf);K2=cond(A,inf);disp(['n=',num2str(n)])disp(['估计条件数为',num2str(K1)])disp(['实际条件数为',num2str(K2)])end计算结果为n=5估计条件数为943656实际条件数为943656n=6估计条件数为29070279、0028实际条件数为29070279、0028n=7估计条件数为985194887、5079实际条件数为985194887、5079n=8估计条件数为33872789099、7717实际条件数为33872789099、7717n=9估计条件数为16、422实际条件数为16、422n=10估计条件数为35353368771750、67实际条件数为35353368771750、67n=11估计条件数为1232433965549344实际条件数为1232433965549344Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=12估计条件数为3、9245e+16实际条件数为3、9245e+16Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=13估计条件数为1、2727e+18实际条件数为1、2727e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=14估计条件数为4、8374e+17实际条件数为4、8374e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=15估计条件数为4、6331e+17实际条件数为5、234289848563619e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=16估计条件数为8、3166e+17实际条件数为8、3167e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 6、244518e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 6、244518e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=17估计条件数为1、43e+18 实际条件数为1、43e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18估计条件数为2、5551e+18 实际条件数为2、8893e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19估计条件数为2、411858563109357e+18 实际条件数为2、411858563109357e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20估计条件数为2、31633670586674e+18 实际条件数为6、37335273308473e+18结果分析随着矩阵阶数增加,估计值误差开始出现,20,17,16,15 n 时估计条件数与实际值存在误差;且条件数很大,Hilbert 矩阵为病态的。

实验报告第3章参考答案yangh

实验报告第3章参考答案yangh
>> diff(x^4+exp(x),'x',4)
ans =24+exp(x)
5) 求 .
>> syms x
>> diff(asin(sqrt(1-x^2)))
ans =-1/(1-x^2)^(1/2)*x/(x^2)^(1/2)
可得dy=-1/(1-x^2)^(1/2)*x/(x^2)^(1/2)*dx
（签名）
实验目的
1.掌握求数值微分的命令．
2.会求函数零点．
实验内容
数值积分计算，函数零点的计算
主要命令和
程序清单
数值积分：quad,quadl,dblquad,triplequad
求多项式所有根：roots
由根得多项式: poly
实验过程及
结果记录
实验过程及
结果记录
1、求下列积分的数值解
（1）
输入：
syms x
taylor(exp(x),x,5,0)
x=1
1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4
结果：
ans =1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4
ans =2.7083
思考
及
习题
收获
感想
实验报告3.3多元微积分实验
课程名称
实验名称
实验教室
实验日期
班级
学生姓名
实验成绩
2.掌握级数求和、求收敛半径．
3.掌握将函数展开成泰勒级数．
实验内容
微分方程求解（解析解，数值解）
级数收敛性的判断，求收敛区间，和函数；函数的泰勒展开；求近似值

数值分析(第三章)实验报告

数值分析(第三章)实验报告

L1 ( x)
L2 ( x)
( x 0)( x 0.6) (100*x*(x - 3/5))/27 (0.9 0)(0.9 0.6)
30)*(x 9/10))/27 + -
P2 ( x) L0 ( x) cos 0 L1 ( x) cos 0.6 L2 ( x) cos 0.9 =((50*x
可以预测 1930，1965，2010 年的人口分别是 169649，1.9177e+005，171351
EXERCISE SET 3.2 4、
P131
a) 根据 Algorithm 3.2，利用课本作者网站上的关于本书的 MATLAB 程序 ALG032.M 运行该程序，在命令行窗口出现如下： Warning: Could not find an exact (case-sensitive) match for 'ALG032'. E:\ 个人 \ 工作 \ 高教数值分析 \ 第八版英文程序 \Matlab-Programs\matlab\m1\ALG032.M is a case-insensitive match and willbe used instead. You can improve the performance of your code by using exact name matches and we therefore recommend that you update your usage accordingly. Alternatively, you can disable this warning using warning('off','MATLAB:dispatcher:InexactCaseMatch'). This warning will become an error in future releases. Newtons form of the interpolation polynomial Choice of input method: 1. Input entry by entry from keyboard 2. Input data from a text file 3. Generate data using a function F Choose 1, 2, or 3 please 1 Input n 4 Input X(0) and F(X(0)) on separate lines 0.0 -6.00000 Input X(1) and F(X(1)) on separate lines 0.1 -5.89483 Input X(2) and F(X(2)) on separate lines 0.3 -5.65014 Input X(3) and F(X(3)) on separate lines 0.6 -5.17788 Input X(4) and F(X(4)) on separate lines 1.0 -4.28172 Select output destination 1. Screen 2. Text file Enter 1 or 2 1 NEWTONS INTERPOLATION POLYNOMIAL Input data follows: X(0) = 0.00000000 F(X(0)) =

数值线性代数实验

数值线性代数实验

数值线性代数实验题目：数值线性代数专业：信息与计算科学班级：班姓名：山东科技大学2013年 1 月16日实验报告说明学院：信息学院专业：信息班级10-2 姓名：一、主要参考资料：（1）《Matlab数值计算-案例分析》北京航空出版（2）《Matlab数值分析》机械工业出版二、课程设计应解决的主要问题：（1）平方根（2）QR方法（3）最小二乘法三、应用软件：（1）Matlab7.0（2）数学公式编辑器四、发出日期：课程设计完成日期：指导教师签字：系主任签字：指导教师对课程设计的评语指导教师签字：年月日一、问题描述先用你所熟悉的计算机语言将平方根和改进的平方根法编成写通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b x =A ，其中 （1）b 随机的选取，系数矩阵位100阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1011101110111011101110（2）系数矩阵为40阶Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为11-+=j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+=nj i j i b 111。

二、分析与程序1. 平方根法函数程序如下：function [x,b]=pingfanggenfa(A,b) n=size(A); n=n(1);x=A^-1*b; disp('Matlab 自带解即为x'); for k=1:nA(k,k)=sqrt(A(k,k));A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); for j=k+1:n;A(j:n,j)=A(j:n,j)-A(j:n,k)*A(j,k); endend for j=1:n-1b(j)=b(j)/A(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*A(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/A(n,n);A=A';for j=n:-1:2b(j)=b(j)/A(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*A(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/A(1,1);disp('平方根法的解即为b');endfunction [x]=ave(A,b,n)求解Ax=bL=zeros(n,n);D=diag(n,0);S=L*D;for i=1:n %L的主对角元素均为1L(i,i)=1;endfor i=1:nfor j=1:nif (eig(A)<=0)|(A(i,j)~=A(j,i))disp('wrong');break;endendendD(1,1)=A(1,1);for i=2:nfor j=1:i-1S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,1:j-1)*L(j,1:j-1)');L(i,1:i-1)=S(i,1:i-1)/D(1:i-1,1:i-1);endD(i,i)=A(i,i)-sum(S(i,1:i-1)*L(i,1:i-1)');endy=zeros(n,1);x=zeros(n,1);for i=1:ny(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1)*D(1:i-1,1:i-1)*y(1:i-1)))/D(i,i); endfor i=n:-1:1x(i)=y(i)-sum(L(i+1:n,i)'*x(i+1:n));end2.改进平方根法函数程序如下：function b=gaijinpinfanggenfa(A,b)n=size(A);n=n(1);v=zeros(n,1);for j=1:nfor i=1:j-1v(i)=A(j,i)*A(i,i);endA(j,j)=A(j,j)-A(j,1:j-1)*v(1:j-1);A(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-A(j+1:n,1:j-1)*v(1:j-1))/A(j,j);end %LDL'分解B=diag(A);D=zeros(n);for i=1:nD(i,i)=B(i);A(i,i)=1;EndA=tril(A);for j=1:n-1b(j)=b(j)/A(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*A(j+1:n,j); endb(n)=b(n)/A(n,n);A=D*(A');for j=n:-1:2b(j)=b(j)/A(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*A(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/A(1,1);disp('改进平方根法解得的解即为b'); end3.调用函数解题：clear;clc;n=input('请输入矩阵维数：');b=zeros(n,1); A=zeros(n);for i=1:nfor j=1:nA(i,j)=1/(i+j-1);b(i)=b(i)+1/(i+j-1);endend[x,b]=pingfanggenfa(A,b)b=gaijinpinfanggenfa(A,b)4.运行结果：请输入矩阵维数：40Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 6.570692e-020. > In pingfanggenfa at 4In qiujie at 10Matlab自带解即为x平方根法的解即为bx =1.60358.96850.85621.01950.9375-50.2500-3.0000-16.000024.0000-49.5000-30.000039.000022.0000-64.0000 -12.00002.000010.2500 -10.5000-1.0000 -10.875083.000046.0000 -98.000012.0000 -69.000068.000021.000017.0000 -50.7188-8.7500-8.0000 112.00006.0000 -68.750022.000044.0000 -28.00008.0000 -44.000012.0000b =1.0e+007 *0.0000-0.00000.0001-0.0004-0.00140.0424-0.29801.1419-2.73354.2539-4.30182.7733-1.19890.5406-0.36880.3285-0.44380.4621-0.25130.05650.0000-0.00510.0071-0.0027-0.00310.0036-0.00190.00090.0002-0.0002-0.00060.00040.0001-0.00020.00010.0000-0.00000.0000-0.0000-0.0000改进平方根法解得的解即为bb =1.0e+024 *0.0000-0.00000.0001-0.00120.0139-0.09540.4208-1.21012.0624-1.0394-3.33436.2567-0.2463-7.45942.80303.69900.7277-1.7484-0.4854-3.60100.25325.1862-2.12991.44100.8738-4.56541.04224.0920-2.7764-2.2148-0.89530.36654.89671.04160.1281 -4.3387 -1.1902 -2.8334 8.4610 -3.6008一、问题描述先用你所熟悉的计算机语言将算法2.5.1编成写通用的子程序，然后用你编写的程序完成下面两个计算任务：（1） 估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞范数条件数；（2）设n *n n R 11-1-1-111-1-101-1001A ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=先随机的选取n R x ∈，并计算出x A b n =；然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为xˆ。

数值代数实验报告1

数值代数实验报告1

暨南大学本科实验报告专用纸课程名称数值代数成绩评定实验项目名称(填写实验所属章节名称) 指导教师刘娟实验项目编号0701******* 实验项目类型验证实验地点机房学生姓名王伟文学号2010051727学院信息科学技术学院数学系信息与计算科学专业2010级实验时间2011年9月 1 日～12月30日温度24℃第一章1.实验选题：（写出你在该项目所选的实验题目）第一章上机练习12.谈谈你对该算法的理解：（简单谈一下你是如何理解该算法的？）对算法的理解：先将84阶的矩阵A分解为一个下三角矩阵L和上三角矩阵U,先考虑下三角形方程组Ly=b,利用前代法解出y,再考虑上三角形方程组Ux=y;利用回代法解出x。

列主元gauss消去法Ax b PA LU Ly Pb Ux y=⇔===,,;3.实验内容（将实验程序及其实验结果粘贴，最好对程序各部分注释清楚，比如设置了哪些函数，这些函数的输入输出是什么，具有什么功能？）实验程序对矩阵A进行LU分解的程序function [ L,U ] = LUfac( A )for k=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endL=tril(A,0);for i=1:nL(i,i)=1;endU=triu(A,0);end利用前代法解出y值的程序function [ b ] = TSL( L,b )n=size(L,1);for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);end利用回代法解出x值的程序function [ b ] = TSU( U,b )n=size(U,1);for j=n:-1:2b(j)=b(j)/U(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*U(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/U(1,1);end主函数程序（‘生成84阶的矩阵A’）A=eye(84);A=6*A;for i=2:84A(i,i-1)=8;A(i-1,i)=1;end（‘生成84乘1的矩阵b’）b=ones(84,1);b=b*15;b(1)=7;b(84)=14;[L,U]=LUfac(A);（‘调用函数LUfac对矩阵A进行分解’）y=TSL(L,b);（‘调用函数TSL求解Ly=b方程’）x=TSU(U,y);（‘调用函数TSU求解UX=b方程’）用MATLAB求解得到的结果x’ans =1.0e+008 *Columns 1 through 70.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 8 through 140.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 15 through 210.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 22 through 280.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 29 through 350.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 36 through 420.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 43 through 490.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 50 through 560.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 Columns 57 through 63-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 Columns 64 through 700.0000 -0.0000 0.0000 -0.0001 0.0002 -0.0003 0.0007 Columns 71 through 77-0.0013 0.0026 -0.0052 0.0105 -0.0209 0.0419 -0.0836 Columns 78 through 840.1665 -0.3303 0.6501 -1.2582 2.3487 -4.0263 5.3684列主元gauss消去法function [L,U,P]=Lufac(A)n=size(A,1);P=eye(n,n);for i=1:n-1[r,m]=max(abs(A(i:n,i)));m=m+i-1;A([i,m],:)=A([m,i],:);P([i,m])=P([m,i]);if A(i,i)~=0A(i+1:n,i)=A(i+1:n,i)/ A(i,i);A(i+1:n,i+1:n)= A(i+1:n,i+1:n)-A(i+1:n,i)*A(i,i+1:n); endendU=triu(A);L=tril(A,-1)+eye(n,n);endA=eye(84);A=6*A;for i=2:84A(i,i-1)=8; A(i-1,i)=1; endb=ones(84,1);b=b*15;b(1)=7;b(84)=14;[L,U,P]=Lufac(A); b=P*b;y=TSL(L,b);x=TSU(U,y);求解结果为x =1.0e+025 *0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00010.0002-0.00040.0007-0.00150.0030-0.00600.0119-0.02380.0475-0.09460.1878-0.36960.7154-1.33552.2894-3.05251.教师评语、评分：（请认真对待每次数值代数实验，期末交实验报告，将计算实验成绩）2.实验选题：第三章上机习题1（3）。

数值计算引论(第二版)三四五章习题解答

数值计算引论(第二版)三四五章习题解答

n=10 2 nonuniform interval uniform interval 1.5
1
0.5
0
-0.5 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.仍然考虑上述实验中的著名问题，使用Matlab的函数“spline”作f（x）的样 条插值。增加插值的节点，观察样条插值的收敛性。


5 2
16
3 (0)
P2 (0) R2 (0)
5.（a）求 f ( x) x 在节点
x1 2, x2 0.5, x3 0, x4 1.5, x5 2
上的三次自然样条插值（即
M1 M 5 0
）。
（b）用同样的数据做Lagrange插值。
将f（x）及它的三次自然样条插值和Lagrange多项式插值用Matlab画出来， 比较它们的结果。 解答：
x_lu=
-6.5000 42.8000 -36.0000
第四章 思考题 1. （a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数 目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。× （b）对给定的连续函数，构造其三次样条插值，则节点数目越多，得到的 样条函数越接近被逼近的函数。√ （c）高次的Lagrange插值多项式很常用。×
（b）根据迭代收敛条件
1 a 1 2
( B) 1
( B) 2 a 1
1 1 a 2 2
实验题
4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，
H (hi , j ) nn , hi , j 1 , i, j 1, 2,...n i j 1

数值代数上机实验报告

数值代数上机实验报告

数值代数课程设计实验报告姓名： 班级： 学号： 实验日期：一、实验名称 代数的数值解法 二、实验环境实验一、平方根法与改良平方根法一、实验要求：用熟悉的运算机语言将不选主元和列主元Gasuss 消元法编写成通用的子程序，然后用编写的程序求解以下方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⨯14151515157681681681681681612321n n n n n x x x x x x 用所编的程序别离求解40、84、120阶方程组的解。

二、算法描述及实验步骤GAuss 程序如下：（1）求A 的三角分解：LU A =;（2）求解b y =L 得y ； （3）求解y x =U 得x ；列主元Gasuss 消元法程序如下： 1求A 的列主元分解：LU PA =;2求解b y P L =得y ；3求解y x U 得x ；三、调试进程及实验结果：%----------------方程系数---------------->> A1=Sanduijiaozhen(8,6,1,40); >> A2=Sanduijiaozhen(8,6,1,84); >> A3=Sanduijiaozhen(8,6,1,120); >> b1(1)=7;b2(1)=7;b3(1)=7; >> for i=2:39 b1(i)=15; end>> b1(40)=14; >> for i=2:83 b2(i)=15; end>> b2(40)=14; >> for i=2:119 b1(i)=15; end>> b3(120)=14;%----------------方程解---------------->> x11=GAuss(A1,b1') >> x12=GAuss Zhu (A1,b1') >> x21=GAuss(A2,b2') >> x22=GAuss Zhu (A3,b3') >> x31=GAuss(A3,b3') >> x32=GAuss Zhu (A3,b3') 运行结果：（n=40） GAuss 消元法的解即为x11 =列主元GAuss消元法的解即为x12 =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111111111111111111111111111111六、源程序：function A=Sanduijiaozhen(a,b,c,n)%生成n阶以a,b,c为元素的三对角阵A=diag(b*ones(1,n),0)+diag(c*ones(1,n-1),1)+diag(a*ones(1,n-1),-1);function x=GAuss(A,b)n=length(b);x=b;%-------分解---------------for i=1:n-1for j=i+1:nmi=A(j,i)/A(i,i);b(j)=b(j)-mi*b(i);for k=i:nA(j,k)=A(j,k)-mi*A(i,k);endAB=[A,b];endend%-----------回代------------------x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i);endfunction x=GAussZhu(A,b)n=length(b);x=b;%----------------------选主元---------------------for k=1:n-1a_max=0;for i=k:nif abs(A(i,k))>a_maxa_max=abs(A(i,k));r=i;endendif r>kfor j=k:nz=A(k,j);A(k,j)=A(r,j);A(r,j)=z;endz=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;end%--------------消元-----------------for i=k+1:nm=A(i,k)/A(k,k);for j=k:nA(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);endendif abs(A(n,n))==0return;endAbZhu=[A,b];%----------------回代-----------------------x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1for j=i+1:nb(i)=b(i)-A(i,j)*x(j);endx(i)=b(i)/A(i,i);end实验二、平方根法与改良平方根法一、实验要求：用运算机语言将平方根法和改良的平方根法编成通用的子程序，然后用编写的程序求解对称正定方程组100阶方程组AX=b，二、算法描述及实验步骤：平方根法函数程序如下：一、求A 的Cholesky 分解：L L A T=; 二、求解b y =L 得y ；3、求解y x =TL 得x ；改良平方根法函数程序如下：一、求A 的Cholesky 分解：T=LDL A ; 二、求解b y =L 得y ； 3、求解y x =TDL 得x ；三、调试进程及实验结果：clear;clc;%----------------方程系数---------------->> A=Sanduijiaozhen(1,10,1,100); >> b(1)=11; >> for i=2:99 b(i)=12; end>> b(100)=11;>> x1=Cholesky(A,b') >> x2=GJCholesky(A,b')运行结果：平方根法的解即为 x1 =改良平方根法解得的解即为x2 =四、源程序：function x=Cholesky(A,b)n=size(A);n=n(1);% x=A^-1*b;% disp('Matlab自带解即为x');%-----------------Cholesky分解-------------------for k=1:nA(k,k)=sqrt(A(k,k));A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);for j=k+1:n;A(j:n,j)=A(j:n,j)-A(j:n,k)*A(j,k);endend%------------------前代法求解Ly=b----------------------------for j=1:n-1b(j)=b(j)/A(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*A(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/A(n,n);%-----------------回代法求解L'x=y-----------------------------A=A';for j=n:-1:2b(j)=b(j)/A(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*A(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/A(1,1);disp('平方根法的解即为');function b=GJCholesky(A,b)n=size(A);n=n(1);v=zeros(n,1);%----------------------LDL'分解-----------------------------for j=1:nfor i=1:j-1v(i)=A(j,i)*A(i,i);endA(j,j)=A(j,j)-A(j,1:j-1)*v(1:j-1);A(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-A(j+1:n,1:j-1)*v(1:j-1))/A(j,j);endB=diag(A);D=zeros(n);for i=1:nD(i,i)=B(i);A(i,i)=1;end%-------------------前代法---------------------------A=tril(A); %取得L和Dfor j=1:n-1b(j)=b(j)/A(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*A(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/A(n,n);%-----------------回代法-----------------------------A=D*(A');for j=n:-1:2b(j)=b(j)/A(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*A(1:j-1,j);endb(1)=b(1)/A(1,1);disp('改良平方根法解得的解即为');实验三、二次多项式拟合一、实验要求：用运算机语言编制利用QR分解求解线性最小二乘问题的通用子程序，用编写的程序求解一个二次多项式使在残向量的范数最小的意义下拟合下面的数据t-1 0iyi二、算法描述及实验步骤：QR分解求解程序如下：一、求A 的QR 分解; 二、计算b c 11T=Q ;3、求解上三角方程1c x =R 得x ；三、调试进程及实验结果：>> t=[-1 0 ]; >> y=[ ]; >> plot(t,y,'r*');>> legend('实验数据(ti,yi)'); >> xlabel('t'), ylabel('y');>> title('二次多项式拟合的数据点(ti,yi)的散点图');运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（3）编写以下MATLAB 程序计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序 >> syms a b c >> t=[-1 0 ]; >> fi=a.*t.^2+ b.*t+c%运行后屏幕显示关于 ,,a b c 的线性方程组fi =[a-b+c,9/16*a-3/4*b+c,1/4*a-1/2*b+c,c,1/16*a+1/4*b+c,1/4*a+1/2*b+c,9/16*a+3/4*b +c]编写构造残向量2范数的MATLAB 程序>> y=[ ]; >> y=[ ];>> fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2); 运行后屏幕显示误差平方和如下 J=(a-b+c-1)^2+(9/16*a-3/4*b+c-13/16)^2+(1/4*a-1/2*b+c-3/4)^2+(c-1)^2+(1/16*a+1/4*b+c-21/16)^2+(1/4*a+1/2*b+c-7/4)^2+(9/16*a+3/4*b+c-37/16)^2为求,,a b c 使J 达到最小，只需利用极值的必要条件0J a ∂=∂，0J b ∂=∂，0Jc∂=∂，取得关于,,a b c 的线性方程组，这能够由下面的MATLAB 程序完成，即输入程序 >> Ja1=diff(J,a); Ja2=diff(J,b); Ja3=diff(J,c);>> Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3) 运行后屏幕显示J 别离对,,a b c 的偏导数如下 Ja11 =451/128*a-63/32*b+43/8*c-887/128 Ja21 =-63/32*a+43/8*b-3/2*c-61/32Ja31 =43/8*a-3/2*b+14*c-143/8解线性方程组112131000Ja Ja Ja ===，，，输入以下程序 >> A=[451/128, -63/32, -3/2 ;-63/32,43/8,-3/2;43/8,-3/2,14]; >> B=[887/128,61/32,143/8]; >> C=B/A, f=poly2sym(C)运行后屏幕显示拟合函数f 及其系数C 如下 C =f =924/2999*x^2+10301/11996*x+4204/2999 故所求的拟合曲线为2()0.30810.8581 1.4018f x x x =++四、源程序：>> t=[-1 0 ]; >> y=[ ]; >> plot(t,y,'r*');>> legend('实验数据(ti,yi)'); >> xlabel('t'), ylabel('y');>> title('二次多项式拟合的数据点(ti,yi)的散点图'); >> syms a b c>> t=[-1 0 ]; >> fi=a.*t.^2+ b.*t+c fi =[ a-b+c, 9/16*a-3/4*b+c, 1/4*a-1/2*b+c, c, 1/16*a+1/4*b+c, 1/4*a+1/2*b+c, 9/16*a+3/4*b+c]>> y=[ ]; >> y=[ ];>> fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2) J =(a-b+c-1)^2+(9/16*a-3/4*b+c-13/16)^2+(1/4*a-1/2*b+c-3/4)^2+(c-1)^2+(1/16*a+1/4*b+c-21/16)^2+(1/4*a+1/2*b+c-7/4)^2+(9/16*a+3/4*b+c-37/16)^2>> Ja1=diff(J,a); Ja2=diff(J,b); Ja3=diff(J,c);>> Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3)Ja11 =451/128*a-63/32*b+43/8*c-887/128Ja21 =-63/32*a+43/8*b-3/2*c-61/32Ja31 =43/8*a-3/2*b+14*c-143/8>> A=[451/128, -63/32, -3/2 ;-63/32,43/8,-3/2;43/8,-3/2,14]; >> B=[887/128,61/32,143/8];>> C=B/A, f=poly2sym(C)C =f =924/2999*x^2+10301/11996*x+4204/2999>>。

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第三章上机习题用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务：（1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣；（2）求一个二次多项式y=at 2+bt+c ，使得在残向量的 2 范数下最小的意义下拟合表中的数据；表t i -1 0y i 1 1（3）在房产估价的线性模型y x0 a1x1 a2 x2 a11x11中， a1 ,a2 ,, a11分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。

现根据表和表给出的28 组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。

（表和表见课本P99-100 ）解分析：（1）计算一个 Householder 变换 H：由于H I 2ww T Ivv T，则计算一个Householder 变换 H 等价于计算相应的、 v 。

其中v x ||x||2e1, 2 /( T )v v 。

在实际计算中，为避免出现两个相近的数出现的情形，当x1 0 时，令v1 - ( x22 x n2 ) ；x1 || x ||2为便于储存，将v 规格化为 v v / v1，相应的，变为2v2 /(v T v)1为防止溢出现象，用x / || x || 代替（2） QR分解：利用 Householder 变换逐步将 A m n , m n 转化为上三角矩阵H n H n 1 H 1 A ，则有RA Q，其中Q H1H 2 H n， R (1: n,:) 。

~在实际计算中，从j 1: n ，若j m ，依次计算x A(( j : m, j )) 对应的( H j)( m k 1) ( m k 1) 即对应的 v j，j，将 v j (2 : m j 1) 储存到 A( j 1: m, j) ，j储存到 d ( j) ，迭代结束后再次计算 Q ，有 H j Ij 1 0H n（ n m 时 Q H 1H 2~ ， Q H1H 2 H n-1 ）0 H j（3）求解线性方程组Ax b 或最小二乘问题的步骤为i计算 A 的QR分解；ii计算 c1Q1T b ，其中 Q1Q (:,1: n)iii利用回代法求解上三角方程组 Rx c1（4）对第一章第一个线性方程组，由于 R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算 x84。

运算 matlab 程序为1 计算 Householder变换[v,belta]=house(x)function [v,belta]=house(x)n=length(x);x=x/norm(x,inf);sigma=x(2:n)'*x(2:n);v=zeros(n,1);v(2:n,1)=x(2:n);if sigma==0belta=0;elsealpha=sqrt(x(1)^2+sigma);if x(1)<=0v(1)=x(1)-alpha;elsev(1)=-sigma/(x(1)+alpha);endbelta=2*v(1)^2/(sigma+v(1)^2);v=v/v(1,1);endend2 计算A的 QR分解[Q,R]=QRfenjie(A)function [Q,R]=QRfenjie(A)[m,n]=size(A);Q=eye(m);for j=1:nif j<m[v,belta]=house(A(j:m,j));H=eye(m-j+1)-belta*v*v';A(j:m,j:n)=H*A(j:m,j:n);d(j)=belta;A(j+1:m,j)=v(2:m-j+1);endendR=triu(A(1:n,:));for j=1:nif j<mH=eye(m);temp=[1;A(j+1:m,j)];H(j:m,j:m)=H(j:m,j:m)-d(j)*temp*temp';Q=Q*H;endendend3 解下三角形方程组的前代法x=qiandaifa(L,b)function x=qiandaifa(L,b)n=length(b);for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);x=b;end4 求解第一章上机习题中的三个线性方程组ex3_1 clear;clc;%第一题A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83),1); b=[7;15*ones(82,1);14];n=length(A);%QR分解[Q,R]=QRfenjie(A);c=Q'*b;x1=huidaifa(R(1:n-1,1:n-1),c(1:n-1));x1(n)=c(n)-R(n,1:n-1)*x1;%不选主元Gauss消去法[L,U]=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss 消去法[L,U,P]=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较figure(1);subplot(1,3,1);plot(1:n,x1);title( subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_1);title( subplot(1,3,3);plot(1:84,x1_2);title( 'QR 分解 ' );'Gauss' );'PGauss' );%第二题第一问A=10*eye(100)+diag(ones(1,99),-1)+diag(ones(1,99),1);b=round(100*rand(100,1));n=length(A);%QR分解tic;[Q,R]=QRfenjie(A);c=Q'*b;x2=huidaifa(R,c);toc;%不选主元Gauss消去法tic;[L,U]=GaussLA(A);x2_1=Gauss(A,b,L,U);toc;%列主元Gauss 消去法tic;[L,U,P]=GaussCol(A);x2_2=Gauss(A,b,L,U,P);toc;%平方根法tic;L=Cholesky(A);x2_3=Gauss(A,b,L,L');toc;%改进的平方根法tic;[L,D]=LDLt(A);x2_4=Gauss(A,b,L,D*L');toc;%解的比较figure(2);subplot(1,5,1);plot(1:n,x2);title( 'QR 分解 ' );subplot(1,5,2);plot(1:n,x2_1);title( 'Gauss' );subplot(1,5,3);plot(1:n,x2_2);title( 'PGauss' );subplot(1,5,4);plot(1:n,x2_3);title( subplot(1,5,5);plot(1:n,x2_4);title( ' 平方根法 ' );' 改进的平方根法' ); %第二题第二问A=hilb(40);b=sum(A);b=b';n=length(A);[Q,R]=QRfenjie(A);c=Q'*b;x3=huidaifa(R,c);%不选主元 Gauss消去法[L,U]=GaussLA(A);x3_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元 Gauss 消去法[L,U,P]=GaussCol(A);x3_2=Gauss(A,b,L,U,P);%平方根法L=Cholesky(A);x3_3=Gauss(A,b,L,L');%改进的平方根法[L,D]=LDLt(A);x3_4=Gauss(A,b,L,D*L');%解的比较figure(3);subplot(1,5,1);plot(1:n,x3);title( 'QR 分解 ' );subplot(1,5,2);plot(1:n,x3_1);title( 'Gauss' );subplot(1,5,3);plot(1:n,x3_2);title( 'PGauss' );subplot(1,5,4);plot(1:n,x3_3);title( ' 平方根法 ' ); subplot(1,5,5);plot(1:n,x3_4);title( ' 改进的平方根法 ' );5 求解二次多项式ex3_2clear;clc;t=[-1 0 ];y=[1 1 ];A=ones(7,3);A(:,1)=t'.^2;A(:,2)=t';[Q,R]=QRfenjie(A);Q1=Q(:,1:3);c=Q1'*y';x=huidaifa(R,c)6 求解房产估价的线性模型ex3_3clear;clc;A=xlsread( 专业课数值代数 \' , 'A2:L29' ); y=xlsread( 专业课数值代数 \' , 'M2:M29' ); [Q,R]=QRfenjie(A);Q1=Q(:,1:12);c=Q1'*y;x=huidaifa(R,c);x=x'计算结果为（1）第一章上机习题中的三个线性方程组结果对比图依次为以第二个线性方程组为例，比较各方法的运行速度。

依次为 QR分解，不选主元的Gauss 消去法，列主元 Gauss 消去法，平方根法，改进的平方根法。

Elapsed time is seconds.Elapsed time is seconds.Elapsed time is seconds.Elapsed time is seconds.Elapsed time is seconds.（2）二次多项式的系数为x =（3）房产估价的线性模型的系数为x =Columns 1 through 6Columns 7 through 12结果分析对第一章上机习题中的第二个线性方程组利用五种求解方法求解所需时间可知，不选主元的 Gauss 消去法，列主元 Gauss消去法，改进的平方根法较快，所需时间大致在一个数量级， QR分解，平方根法，所需时间较慢，所需时间在一个数量级上。