高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时

第1课时 直线与平面垂直

1．理解线线垂直、线面垂直的概念． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．

3．能应用性质定理证明空间位置关系．

1．直线与直线的垂直

两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

2．直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)

(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．

3．直线与平面垂直的性质

(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．

垂直于同一条直线的两个平面平行．

1．下列命题正确的是( )

A．垂直于同一条直线的两直线平行

B．垂直于同一条直线的两直线垂直

C．垂直于同一个平面的两直线平行

D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行

解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．

2．在三棱锥A­BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD． 证明：

如图取BD的中点E，

连接AE，EC．

因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．

又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．

1.1.1 棱柱、棱锥和棱台

学习目标 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.

知识点一 棱柱的结构特征

思考 观察下列多面体，有什么共同特点？

★★答案★★ (1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；(2)其余各面都是平行四边形.

梳理 棱柱的结构特征

名称 定义 图形及表示 相关概念 分类

棱柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱

如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：平移起止位置的两个面，侧面：多边形的边平移所形成的面，

侧棱：相邻侧面的公共边，

顶点：侧面与底面的公共顶点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

知识点二 棱锥的结构特征

思考 观察下列多面体，有什么共同特点？

★★答案★★ (1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

梳理 棱锥的结构特征

名称

定义 图形及表示 相关概念 分类

棱

锥 当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体叫做棱锥

如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面，

侧面：有公共顶点的各个三角形面，

侧棱：相邻侧面的公共边，

顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……

知识点三 棱台的结构特征

思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？

★★答案★★ (1)区别：有两个面相互平行.

(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体.

梳理 棱台的结构特征

名称 定义 图形及表示 相关概念 分类

棱

台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台

如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面，

第一章 立体几何初步

1.1 空间几何体

1.构成空间几何体的基本元素

（1）构成空间几何体的基本元素

点、线、面是构成空间几何体的基本元素。

（2）平面及其表示方法

①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的。

注意：

a.立体几何中所说的平面与我们日常生活中所见到的平面是有区别的，立体几

何里所说的平面就是从生活中常见的平面里抽象出来的，生活中的平面是比较平的，

且有限的，而立体几何中的平面是理想的、绝对的平且无限延展的。以后在立体几

何中所说的平面都是指后一种。

b.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，平面图形如三角形、正

方形、梯形等，它们有大小之分；而几何平面是无大小、无厚薄之分的，类似我们

以前学的直线，它可以无限延伸，是不可度量的。

c.平面具有无限延展性。数学里所说的“平面”将空间分成了两部分，如果想从平

面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面，平面无边界。

d.数学中的平面是点的集合，因此，在空间中，平面无大小，无厚薄，无所谓面积。

②平面的表示方法

图形

表示 在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面并把它想象成无

限延展的[1]

。

符号

表示 平面一般用希腊字母

,,

„来命名，还可以用表示它的平行四边形

对角顶点的字母来命名。 必修二

1

注意：

a. 画的平行四边形表示的是整个平面：需要时，可以把它延展开来，如同在平面几

何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只须画出一条线段来表

示。

b. 加“通常”二字是因为有时根据需要也可用其他平面图形来表示：如用三

角形、矩形、圆等平面图形来表示平面。

c. 画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成是邻边的两倍。

d. 两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮

住部分的线段化成虚线或者不画，以增强立体感。

e. 以前在平面几何中，凡是后添加（或自己根据需要所作）的辅助线都画成虚线，

1.3.2空间几何体的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球

的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．

知识点一柱体、锥体、台体的体积公式

1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．

2．锥体的体积公式V＝1

3Sh(S为底面面积，h为高)．

3．台体的体积公式V＝1

3(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．

4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝1

3(S′＋S′S＋S)hV＝1

3Sh.

知识点二球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．

2．球的体积公式V＝4

3πR3.

知识点三球体的截面的特点

1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．

2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问

题的主要途径．

1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)

2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)

类型一柱体、锥体、台体的体积

例1(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B

1C

1的所有棱长均为1，且AA

1⊥底面ABC，则三

棱锥B1－ABC

1的体积为____________．

答案3

12

解析三棱锥B1－ABC

1的体积等于三棱锥A－B

1BC

1的体积，三棱锥A－B

1BC

1

的高为3

2，底面积为1

2，故其体积为1

3×1

2

×3

2

＝3

12.

(2)现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6

cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下

降________cm.

答案0.6

解析设杯里的水下降hcm，由题意知

π2022h＝1

3×20×π×32，解得h＝0.6cm.

反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解．

②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．