第十一章 期权定价模型【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。
本章主要介绍了著名的Black-Scholes 期权定价模型和由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型，并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。
学习完本章，读者应能掌握Black-Scholes 期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black 和Myron Scholes 发表《期权定价与公司负债》1一文，提出了著名的Black-Scholes 期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes 并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。
在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型。
在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨2。
第一节 Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 期权标的资产为一风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动3，即dz dt SdS σμ+= 其中，dS 为股票价格瞬时变化值，dt 为极短瞬间的时间变化值，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移率，可以被看成一个总体的变 1 Black, F., and Scholes (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities ”, Journal of Political Economy , 81( May-June), p. 637-6592 从本书难度的设定出发，本章只介绍期权定价模型的基本内容及其理解，而不具体推导模型，更深入的内容可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 第六章3 有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的详细信息，可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115页-121页化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。
综合1和2，意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
3. 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
综合2和3，意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．期权为欧式看涨期权，其执行价格为X ，当前时刻为t ，到期时刻为T 。
7．不存在无风险套利机会。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）Black-Scholes 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：rf Sf S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ （11.1） 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过解这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---= （11.2）其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
（二）Black-Scholes 期权定价公式的理解1.期权价格的影响因素首先，让我们将Black-Scholes 期权定价公式与第十章中分析的期权价格的影响因素联系起来。
在第十章中，我们已经得知期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价格、波动率、无风险利率、到期时间和现金收益。
在式（11.2）中，除了由于我们假设标的资产无现金收益之外，其他几个参数都包括在内，且影响方向与前文分析的一致。
2.风险中性定价原理其次我们要谈到一个对于衍生产品定价非常重要的原理：风险中性定价原理。
观察式（11.2），以及第十章中的期权价格影响因素分析，我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。
即在第一节我们描述标的资产价格所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率μ在期权定价公式中消失了。
这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一个很大的好消息。
因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证券预期收益率的确定方法。
期权价格与μ的无关性，显然大大降低了期权定价的难度和不确定性。
进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率μ并未包括在期权的价值决定公式中，公式中出现的变量为标的证券当前市价（S ）、执行价格（X ）、时间（t ）、证券价格的波动率（σ）和无风险利率r ，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。
既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们可以利用Black-Scholes 期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r ，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。
同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
这就是风险中性定价原理。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。
现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。
若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和∆单位的标的股票多头组成的组合。
若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11∆－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9∆元。
为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的∆值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11∆－0.5=9∆∆=0.25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。
无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。
假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：元19.225.225.01.0=⨯-e由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：元31.019.225.010==-⨯f f 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。
从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。
但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。
事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。
例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P 可以通过下式来求：0.10.2510[119(1)]e P P -⨯=⨯+-P=62.66%。
又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：0.150.2510[119(1)]e P P -⨯=⨯+-P=69.11%。
可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。
然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。
3. 对期权定价公式的经济理解。
首先，从Black-Scholes 期权定价模型自身的求解过程来看1，N(d 2)实际上是在风险中性世界中S T 大于X 的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，因此，e -r(T-t)XN(d 2)是X 的风险中性期望值的现值，更朴素地说，可以看成期权可能带来的收入现值。
SN(d 1)= e -r(T-t)S T N(d 1)是S T 的风险中性期望值的现值，可以看成期权持有者将来可能支付的价格的现值。
因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未来期望回报的现值。
其次，1)df N d dS∆==（，显然反映了标的资产变动一个很小的单位时，期权价格的变化量；或者说，如果要避免标的资产价格变化给期权价格带来的影响，一个单位的看涨期权多头，就需要∆单位的标的资产空头加以保值。
事实上，我们在第十二章中将看到，1)N d ∆=（是复制交易策略中股票的数量，SN （d 1)就是股票的市值, -e -r(T-t)XN(d 2)则是复制交易策略中负债的价值。
最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option ）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option ）空头，SN(d 1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e -r(T-t)XN(d 2)是X 份现金或无价值看涨期权空头的价值。
这是因为，对于一个资产或无价值看涨期权来说，如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，根据前文对N(d 2)和SN(d 1)的分析，可以得出该期权的价值为e -r(T-t)S T N(d 1)= SN(d 1)的结论；同样，对于（标准）现金或无价值看涨期权，如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d 2)，则1份现金或无价值看涨期权的现值为-e -r(T-t) N(d 2)。
