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复积分的计算方法

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复积分的计算方法

孟小云 20072115025

（数学科学学院 数学与应用数学专业 2007级3班）

指导老师 海泉

摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。

关键词：复变函数；复积分

在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。

方法1：参数方程法

定理：设光滑曲线c:z=z(t)=x(t)+iy(t) (t),'()zt在[,]上连续，且'()zt0，又设()fz沿c连续，则'()[()]()cfzdzfztztdt。

1、若曲线c为直线段，先求出c的参数方程。

c为过12,zz两点的直线段，c：121(),[0,1]zzzztt1,z为始点2,z为终点。

例1 计算积分1Rezdz，路径为直线段.

解：设1(1)(1),[0,1],zittitt

原式=112001(1)()22itidttt

2、若曲线ｃ为圆周或圆周的一部分，例如c为以a为心Ｒ为半径的圆。

设c：,zaR即Re,[0,2],iza（曲线的正方向为逆时针）

例2 计算积分,czdzc为从－１到１的下半单位圆周. 解：设,,[,0]iizedzed

原式00(cossin)2iiediid

注：上述方法只适用于积分曲线式特殊类型的曲线。

方法2：利用柯西积分定理

柯西积分定理：设函数()fz在复平面上的单连通区域D内解析，c为D内任一条周线，则()0cfzdz

例3 计算 2,22cdzzzc为单位圆周1z.

解：1z是2()22dzfzzz的解析区域内的一闭曲线，由柯西定理有2022cdzzz

注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西定理很简单。

1、柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和。适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形。

例4 计算221czdzzz的值，c为包含圆周1z的任何正向简单闭曲线.

解；22111(),1cczdzdzzzzz分别以0,1zz为心作两完全含于c内且互不相交的圆周12,,cc则有原式＝121111()()11ccdzdzzzzz

＝1122111111ccccdzdzdzdzzzzz

＝ 20024iii

2、若积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿—莱布尼茨公式计算。

例5 计算222(2)izdz.

解：因为2()(2)fzz在复平面上处处解析，所以积分与路径无关。

原式=22232221(44)2433iiizzdzzzz

注：利用柯西积分定理也有一定的局部性，主要体现在被积函数上，只有某些特殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便。

方法3：利用柯西积分公式

1、柯西积分公式：设区域D的边界是周线（复周线）c，函数()fz在D内解析，在DDc内连续，则1()()2cffzdiz ()zD

例6 计算21zcezz，其中ｃ为圆周2z.

解：因被积函数的两个奇点是,,ii分别以这两点为心作两个完全含于c而且互不相交的圆周12,cc 原式=12122211zzzzcccceeeezizidzdzdzdzzzzizi

=22()zziizizieeiieezizi

此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合，比单独应用柯西积分定理容易方便得地多。

2、柯西积分公式解决的是形如(),()cfdzDz的积分，那形如(),()()ncfdzDz的积分怎样计算呢？

利用解析函数的无穷可微性()1!()(),()(1,2,)2()nncnffzdzDniz可解决此问题。

例7 计算22,(1)zcedzzc为2z.

解：因被积函数的两个奇点是,,ii分别以这两点为心作两个完全含于c而且互不相交的圆周12,cc 原式=121222222222()()(1)(1)()()zzzzcccceeeezizidzdzdzdzzzzizi

222[]2[](1)()()()2zziizizieeiiieiezizi

注：柯西积分公式与解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数，二者在计算时都常与柯西积分定理相结合。

方法4：利用柯西留数定理

柯西留数定理：()fz在周线（复周线）c所围区域D内除12,,,naaa外解析，在闭区域DDc上除12,,,naaa外连续，则1()2()knczakfzdziResfz

例8 计算2252(1)zzdzzz.

解：2252()(1)zzfzdzzz，在圆周2z内有一阶极点z=0,二阶极点ｚ＝１

2052Re()20(1)zzsfzzz

152Re()()21zzsfzzz

由留数定理原式＝102(Re()Re())2(22)0zzisfzsfzi

方法5：借助于沿封闭曲线的复积分

当计算不封闭曲线为积分路径的复积分时，可把积分路径作为部分曲线来构造封闭曲线，首先计算沿封闭曲线的复积分，再计算最初的沿不封闭曲线的积分。

例9 计算1cdzz，其中c是以(1,0)为起点、(2,0)为终点的光滑曲线.

分析：构造封闭曲线 0ccBA，易求1()Fzz 沿0c的复积分，利用复积分的性质求原复积分。

解：设0ccBA，其中BA是以(2,0)B为起点，(1,0)A为终点的直线段，参数方程是z=x,

x是由2变到1，所以0111ccBAdzdzdzzzz

设()1fz，则00112(0)20ccdzdzifizz

由于12111lnln22BAdzdxxzx 所以01112(ln2)2ln2ccBAdzdzdziizzz

方法6：利用积分换元公式

关于复积分的变量替换，与定积分的变量替换类似，要求变换是一对一的且可微。

设()wfz在区域D内单叶解析，c是D内一条简单光滑曲线：(),,zztt那么

(1)在变换()wfz之下，c的像也是W平面上一条简单光滑曲线；

(2)若函数()w沿连续，则有积分换元公式()(())()wdwfzfzdz

例10 计算积分42261czdzzz，:2icze,0.

解：令2()wfzz，它在上半平面单叶解析，把半圆c变成圆2:4iwe，0

即4w，由换元公式得261cdwIww

因21()61[(322)][(322)]dwwwwww

在围线内仅有一个一阶极点322w，

3221Re()322322wswww142

由留数定理：124222iIi

注：对非单叶的变换，使用换元公式要特别小心，这时简单曲线c的像不再是简单曲线，但可把它分为几段简单曲线之和，即化为局部单叶变换的情形来处理。

例11 计算积分42261czdzJzz，:2cz.

解：令2wz，则:2icze，02的像曲线为双重圆2:4iwe，02

把分解为两个单圆：12，1:4iwe，02，2:4,24iwe； 它们分别对应于原像c之两段：12:2,0,:2,02,iiczecze分段利用积分换元公式得

12424242222616161ccczdzzdzzdzzzzzzz12226161dwdwwwww

42261wdwww2I2i

方法7：积分估值法

积分估值：若沿曲线c，函数()fz连续，且有正数M使()fzM，L为c长，则()cfzdzML

例12 设()fz在复平面上解析，且有界，求极限()lim()()zRRfzdzzazb，,ab为常数()ab，由此证明刘维尔定理.

解：,,ab且(),ab则对于充分大的R，总可以使,ab位于圆zR内，于是，在圆zR上zazaRa，zbRb，因()fzM，固有

()()2()()()()zRzRfzfzMdzdzRzazbzazbRaRb

所以 ()lim0()()zRRfzdzzazb （1）

另一方面()1()()2[][()()]()()zRzRfzfzfzidzdzfbfazazbbazbzaba （2）

综合（1）和（2）得()()fafb，特别取0a有()(0)fbf，由b的任意性，知()fz在z平面上必为常数。

以上计算方法在复积分计算中是经常使用的方法，比较简单普遍，在复积分计算时很容易想到。下面介绍一些不常用的，且带有一定技巧性的方法。

方法8：级数法

连续性逐项积分定理：设()nfz在曲线c上连续(1,2,3,)，1()nnfz在c上一致收敛于()nfz，则()nfz在曲线c上连续，并且沿c可逐项积分：1()()nnccnfzdzfzdz，将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分的有关问题。

例13 计算积分11(),:2ncnzdzcz.

解：在12z内，1111nnzzz

所以111()()2021nccnzdzdziizz

方法9：拉普拉斯变换法

定义：设()ft是定义在[0,]上的实值函数或复值函数，如果含复变量pis（,s为实数）的积分0()ptftedt在p的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数0()()ptFpftedt，称为函数()ft的拉普拉斯变换法（简称拉氏变换），简记为()[()]FpLft

计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则，将该类复积分化为()Fp的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分的结果。

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复积分的计算方法及其应用

复积分的计算方法及其应用

- - 摘 要

在复变函数的理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算理论中处于关键地位,柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文首先阐述复积分的相关概念，在此基础上介绍复积分的几种基本求法，如：用参数方程法、牛顿—莱布尼兹公式、柯西积分定理、柯西积分公式、复周线柯西积分定理、解析函数的高阶导数公式、留数定理.针对每一种计算方法给出相应的例子.对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.

关键词：复积分；解析函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 - I - ABSTRACT

In complex function theory, complex integration is an important tool of analytic

function.Analytic function of many important properties are using the complex function

integral to prove.Cauchy integral theorem in the calculation of complex integration theory

in a key position,Cauchy integral formulas, Cauchy integral theorem and its corollary,

Cauchy higher derivatives formula and residue theorem of integral to the complex

calculation has played a significant role. This paper first describes the complex

复积分计算公式

复积分计算公式

- 1 - 复积分计算公式

复积分是指采用被称为“分部和”的计算方法，在一定的范围上将函数的形式表达式的复合式的求解过程，称为复积分。这一公式经常被应用于物理、数学和工程学等多种领域。

二、复积分的具体形式

复积分的具体形式可以表示为：

∫∫[f(x,y)dxdy=∫xf(x,y)dy-∫yf(x,y)dx]

其中，x为积分的上限，y为积分的下限，f(x,y)为函数形式表达式。

三、复积分的运用

复积分在物理学和数学中有广泛的应用，主要用于求解双变量函数的积分，尤其是在解决复杂的物理问题时十分有用。例如，在电力学中，可以使用复积分来解决求解局部电荷的问题；在热力学中，则可以用复积分来计算局部温度的问题；在量子力学中，可以使用复积分计算某个变量的概率分布；在几何学中，也可以使用复积分计算弯曲曲线的数值分析等。

四、复积分的计算

1、把函数f(x,y)先按照一条变量的函数的方式进行积分，即：

∫f(x,y)dx=g(x,y)

2、然后再把第一步求得的结果g(x,y)坐标轴上另一个变量y进行积分，即： - 2 - ∫g(x,y)dy=h(x,y)

3、最后，将原函数f(x,y)按照另一个变量y先求积分，再求另一个变量x的积分，即：

∫∫f(x,y)dxdy=h(x,y)

五、复积分的扩展

复积分的形式可以扩展到多变量的情况下，即：

∫∫∫[f(x1, x2, x3...,xn)dx1 dx2 dx3...dxn]=∫x1f(x1,

x2, x3,...,xn)dx2dx3...dxn-∫x2f(x1, x2,

x3,...,xn)dx1dx3...dxn+∫x3f(x1, x2,

x3,...,xn)dx1dx2...dxn...

以上即为复积分计算公式的完整内容，本文介绍了复积分的定义、具体形式、运用及计算以及复积分的扩展，希望以上内容对读者有所帮助。

复变函数的积分总结

复变函数的积分总结

复变函数的积分总结

引言

复变函数积分是复分析的重要内容之一。与实变函数不同的是，复变函数在积分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。

复积分的定义

复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。复积分可以分为线积分和面积积分两种形式。

线积分

对于复变函数 𝑓(𝑧)，其在线段 𝐿 上的线积分定义为：

$$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$

其中 𝑧(𝑡) 是 𝐿 上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。线积分的结果是一个复数。

面积积分

对于复变函数 𝑓(𝑧)，其在有界连续曲线围成的区域 𝐷 上的面积积分定义为：

$$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$

其中 𝑧=𝑥+𝑖𝑦，𝑑𝑥𝑑𝑦 是区域 𝐷 上的面积微元。

复积分的性质

复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。

线积分的基本性质

• 线积分与路径无关：如果 𝐿1 和 𝐿2 是起点和终点相同的两条路径，且

𝑓(𝑧) 在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。

• 线积分的线性性质：对于任意的复数 𝑐1 和 𝑐2，以及复变函数 𝑓(𝑧) 和

𝑔(𝑧)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。

• 同路径积分相等：如果 𝐿 是起点为 𝑧1 终点为 𝑧2 的路径，且 𝑓(𝑧) 在 𝐿

上连续且有原函数 𝐹(𝑧)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。 面积积分的基本性质

复积分的求法

复积分的求法

关于求积分的各种方法的总结

数学科学学院08级应数汉班 高盼 20081115021

指导老师 毛生荣

摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.

关键词：积分，解析，函数，曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分dzixyxc2，积分路径C是连接由0到i1的直线段.

解：10xxy为从点0到点i1的直线方程，于是

dzixyxc2iyxdixyxi102

ixxdixxx102

dxxii1021

31i.

2.利用柯西积分定理求积分

柯西积分定理：设zf在单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则0dzzfc.

柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，D为C之内部，zf在闭域CDD上解析，则0dzzfc.

例2、求dzizzccos，其中C为圆周13iz，

解：圆周C为13zz，被积函数的奇点为i，在C的外部，

于是，izzcos在以C为边界的闭圆13iz上解析，

故由柯西积分定理的等价形式得dzizzccos0.

如果D为多连通区域，有如下定理：

设D是由复周线nCCCCC210所构成的有界多连通区域，zf在D内解析，在CDD上连续，则0dzzfc.

例3.计算积分6113zzzdz.

分析：被积函数131zzzF在C上共有两个奇点0z和31z，在1z内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.