初二数学二次根式及其性质(最新整理)

中考数学《二次根式》知识点：二次根式的概念与取值范围

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中考数学《二次根式》知识点：二次根式的概念与取值范围

二次根式的概念：

形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，

√(x-1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。

二次根式取值范围：

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。

知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性

√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即

√a≥0(a≥0)。

注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0,b=0;若√a+|b|=0，则a=0,b=0;若√a+b2=0，则a=0,b=0。

1 二次根式

1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的

公共部分。如｛

3、分式有意义的条件：分母≠0

4、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）

一、二次根式的概念

一般地，我们把形如a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：

（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数

为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。如25 可以写作5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，a ≥0。其中a≥0是a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如ba （a≥0）的式子也是二次根式，b与a 是相乘的关系。要注意当b是分

数时不能写成带分数，例如832 可写成82 3，但不能写成2 232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；

（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜- 12）X≥-2 X＜5 的解集为-2≤x＜5。

2 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？

（1）2-5x ；（2）4x2+4x+1 二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意

a （a≥0）的性质a ≥0 （a≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。（1）二次根式的非负性（a ≥0，

a≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。（2）具有非负性的性质：①a2≥0；②｜a｜≥0；③a ≥0（a≥0）。

初中数学二次根式概念归纳

初中数学二次根式知识点还是比较难学的，想要学好二次根式，学习方法很重要。以下是店铺分享给大家的初中数学二次根式概念，希望可以帮到你!

初中数学二次根式概念

二次根式的应用主要体现在两个方面：

1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题;

2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

常见考法

(1)设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力;(2)联系生活实际设计一些方案探究题。

误区提醒

(1)不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题;

(2)不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。

【典型例题】小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁你能帮他解决吗?

二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.

(1)二次根式的加减：

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.

(2)二次根式的乘法： (3)二次根式的除法：

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.

(4)二次根式的混合运算：

先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.

注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数.

初中数学二次根式

中考数学：二次根式的3个基本性质

1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为-√a;最简形式中被开方数不能有分母存在。2.零的平方根是零，即√0=0。3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。如负数a的平方根是√ai。

二次根式

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数(在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根)。

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

负根号二到底是不是二次根式

负的根号2是二次根式。形如√a的代数式都叫做二次根式，负的根号2(-√2)的形式是二次根式的表现形式，其中的负号表明这个代数式是负值，负的根号2(-√2)即表示为一个负值的二次根式。

中考数学：判断式子是不是二次根式

形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式。注意，被开方数不为完全平方数。当a>0时，根号a表示a的算术平方根，因此根号a>0;当a=0时，根号a表示0的算术平方根，因此根号a=0。

最简二次根式

最简二次根式条件：

1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;

2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：

1.把带分数或小数化成假分数;

2.把开方数分解成质因数或分解因式; 3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;

4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;

5.约分。

中考数学：二次根式

二次根式作为“式子”模块的最后一个章节，一般都是紧跟着实数这一章下来的。为什么呢?因为之前学过的两个式子，整式和分式都有可以类比的“数”，整式类比正数，整式的因式分解也可以类比整数的“分解因数”。