2021年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =(）A.12i -B.12i +C.1i +D.1i -答案：C 解析：设z a bi =+，则z a bi =-，2()3()4646z z z z a bi i ++-=+=+，所以1a =，1b =，所以1z i =+.2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T = ()A.∅B.SC.TD.Z 答案：C 解析：21s n =+，n Z ∈；当2n k =，k Z ∈时，{|41,}S s s k k Z ==+∈；当21n k =+，k Z ∈时，{|43,}S s s k k Z ==+∈.所以T S Ü，S T T = .故选C.3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||:,1x q x R e∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q∧B.p q ⌝∧C.p q∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，故x R ∃∈，sin 1x <，p 为真命题，而函数||x y y e ==为偶函数，且0x ≥时，||1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.，则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x -==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.5.在正方体1111ABCD ABC D -中，P 为11BD 的中点，则直线PB 与1A D 所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：如图，1P B C ∠为直线PB 与1A D 所成角的平面角.易知11AB C ∆为正三角形，又P 为11AC 中点，所以16PBC π∠=.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C 解析：所求分配方案数为2454240C A =.7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则)(f x =（）A.7sin()212x π-B.sin()212x π+C.7sin(212x π-D.sin(212x π+答案：B解析：逆向：231sin()sin(sin() 412212 y x y x y xππππ=-−−−→=+−−−−−−−→=+左移横坐标变为原来的倍.故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.7 9B.23 32C.9 32D.2 9答案：B解析：由题意记(0,1)x∈，(1,2)y∈，题目即求74x y+>的概率，绘图如下所示.故113311123224411132 ABCDAM ANSPS==⨯-⋅-⨯⨯==⨯阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.⨯+表高表距表高表目距的差B.⨯-表高表距表高表目距的差C.⨯+表高表距表距表目距的差D.⨯-表高表距表距表目距的差答案：A 解析：连接DF 交AB 于M ，则AB AM BM =+.记BDM α∠=，BFM β∠=，则tan tan MB MBMF MD DF βα-=-=.而tan FG GC β=，tan EDEHα=.所以11(()tan tan tan tan MB MB GC EH GC EH MB MB MB FG ED ED βαβα--=-=⋅-=⋅.故ED DF MB GC EH ⋅⨯==-表高表距表目距的差，所以高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差.10.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：若0a >，其图像如图（1），此时，0a b <<；若0a <，时图像如图（2），此时，0b a <<.综上，2ab a <.11.设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.[)2B.1[,1)2C.2D.1(0,2答案：C 解析：由题意，点(0,)B b ，设00(,)P x y ，则2222200002221(1)x y y x a a b b +=⇒=-，故22222222222000000022()(122y c PB x y b a y by b y by a b b b =+-=-+-+=--++，0[,]y b b ∈-.由题意，当0y b =-时，2PB 最大，则32b b c -≤-，22b c ≥，222a c c -≥，2c c a =≤，2(0,2c ∈.12.设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c -，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<答案：B 解析:设()ln(1)1f x x =+，则(0.02)b c f -=，易得1()1f x x '==+当0x ≥时，1x +=≥()0f x '≤.所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，故b c <.再设()2ln(1)1g x x =++，则(0.01)a c g -=，易得2()21g x x '==+当02x ≤<时，1x ≥=+，所以()g x '在[0.2)上0≥.故()g x 在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故a c >.综上，a c b >>.二、填空题13.已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为by x a=±，由题意得2a m =，21b =，且一条渐近线方程为y x m=-，则有0m =（舍去），3m =，故焦距为24c =.14.已知向量(1,3)a = ，(3,4)b = ，若()a b b λ-⊥，则λ=.答案：35解析：由题意得()0a b b λ-⋅= ，即15250λ-=，解得35λ=.15.记ABC ∆的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒，223a c ac +=，则b =.答案：解析：1sin24ABC S ac B ac ∆===4ac =，由余弦定理，222328b a c ac ac ac ac =+-=-==，所以b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y，样本方差分别己为21s 和22S .（1）求x ，y，21s ，22s ：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥，否则不认为有显著提高)。

绝密★启用前2021年全国乙卷理科数学试卷时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 设,则( )A. B.C. D.2. 已知集合,,则( )A. B.C. D.3. 已知命题﹐;命题,则下列命题中为真命题的是( )A. B.C. D.4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是( )A. B.C. D.5. 在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为( )A. B.C. D.6. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰,短道速滑､冰球和冰壶个项目进行培训,每名志愿者只分配到个项目,每个项目至少分配名志愿者,则不同的分配方案共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )A. B.C. D.8. 在区间与中各随机取个数,则两数之和大于的概率为( )A. B.C. D.9. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图,点在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”,则海岛的高( )A.B.C.D.10. 设,若为函数的极大值点,则A. B.C. D.11. 设是椭圆:的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.12. 设,,,则( )A. B.C. D.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 已知双曲线:的一条渐近线为,则的焦距为__________.14. 已知向量,,若,则__________.15. 记的内角,,的对边分别为,,,面积为,,,则__________.16. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为__________(写出符合要求的一组答案即可).三、解答题（（每小题12分,共60分））17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到产品该项指标数据如下:旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和, 样本方差分别记为和. (1)求,,,: (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 , 否则不认为有显著提高 ) 。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷/理科数学注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应答案的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设2（z+z̅）+3(z-z̅)=4+6i，则z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )A.∅B.SC.TD.Z3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.¬(pVq)4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x-π4)的图像，则f(x)=（）A.sin(x2−7π12)B. sin(x2+π12)C. sin(2x−7π12)D. sin(2x+π12)8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.74B.2332C.932D.299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则=A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=在的图像大致为．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入2sin cos ++x xx xA ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 1022||F B ，|A 11①f ③f A 12E ，F 分别是A13n S14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．三、解答题：共70分。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷总分值150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★本卷须知：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.假设z＝1＋i，那么|z2－2z|＝A.0B.1C.2D.22.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，那么a＝A.－4B.－2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514-B.512-C.514+D.512+ 4.为抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，那么p ＝A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y ＝a ＋bxB.y ＝a ＋bx 2C.y ＝a ＋be xD.y ＝a ＋blnx6.函数f(x)＝x 4－2x 3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为A.y ＝－2x －1B.y ＝－2x ＋1C.y ＝2x －3D.y ＝2x ＋17.设函数f(x)＝cos(ωx ＋6π)在[－π，π]的图像大致如以下图，那么f(x)的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π 8.(x ＋2y x)(x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为 A.5 B.10 C.15 D.209.a ∈(0，π)，且3cos2α－8cos α＝5，那么sin α＝A.53B.23C.13D.5910.A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，假设⊙O 1的面积为4π，。

2021年高考理科数学全国新课标卷1（附答案）2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B2．(2021课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．A．－4 B．?A．500π3866π3cm B．cm 3344 C．4 D． 557．(2021课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．A．3 B．4 C．5 D．68．(2021课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．3．(2021课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样x2y254．(2021课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )．ab211A．y＝?x B．y＝?x341C．y＝?x D．y＝±x25．(2021课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π＋9．(2021课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．A．5 B．6 C．7 D．8x2y210．(2021课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两ab点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．x2y2x2y2?=1 B．?=1 A．45363627x2y2x2y2?=1 D．?=1 C．2718189A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]6．(2021课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．??x2?2x，x?0，11．(2021课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．?ln(x?1)，x?0.A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]12．(2021课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝A．{Sn}为递减数列cn?anb?an，cn＋1＝n，则( )． 22 第 1 页共 1 页B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2021课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b・c＝0，则t＝__________. 14．(2021课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和Sn?21an?，则{an}的通项公式是an＝__________. 3315．(2021课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2021课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(2021课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.19．(2021课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1，且各件产品是否为优质品相互独2(1)若PB＝1，求PA； 2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2021课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2021课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第 2 页共 2 页21．(2021课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2021课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4―1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈???a1?,?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． ?22?(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2021课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4―4：坐标系与参数方程?x?4?5cost,已知曲线C1的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，y?5?5sint?曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2021课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4―5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.第 3 页共 3 页感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地域通过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地域农村的经济收入转变情况，统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入组成比例，取得如下饼图：建设前经济收入组成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的核心为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆组成，三个半圆的直径别离为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部份记为II ，其余部份记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右核心，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点别离为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高考理科数学全国1卷1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图所示，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图所示，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图所示：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图所示，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图所示，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图所示，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图所示，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷Ⅰ〕理科数学一. 选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,那么A B =〔A 〕33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ 〔B 〕33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 〔C 〕31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭〔D 〕3,32⎛⎫⎪⎝⎭2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，那么=+yi x 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕23.等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，那么100a = 〔A 〕100 〔B 〕99 〔C 〕98 〔D 〕974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是 〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23 〔D 〕345.方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的间隔 为4,那么n 的取值范围是 〔A 〕()1,3- 〔B〕(- 〔C 〕()0,3 〔D〕( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.假设该几何体的体积是283π,那么它的外表积是 〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π7.函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为〔A 〕B 〕（C ）D 〕8.假设101a b c >><<，,那么〔A 〕c c a b < 〔B 〕c c ab ba < 〔C 〕log log b a a c b c < 〔D 〕log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,假如输入的011x y n ===，，,那么输出x ,y 的值满足 〔A 〕2y x = 〔B 〕3y x = 〔C 〕4y x = 〔D 〕5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.|AB|=,|DE|=那么C 的焦点到准线的间隔 为(A)2 (B)4 (C)6 (D)811.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,那么m 、n 所成角的正弦值为(B)2(D)1312.函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，那么ω的最大值为 〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5 二、填空题：本大题共3小题,每题5分13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，那么m = ．14.5(2x 的展开式中，x 3的系数是 ．〔用数字填写答案〕15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，那么a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 16.某高科技企业消费产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．消费一件产品A 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；消费一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时．消费一件产品A 的利润为2100元，消费一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，那么在不超过600个工时的条件下，消费产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三.解答题：解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值为12分〕结束ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos (cos cos ).C a B+b A c =〔I 〕求C ； 〔II〕假设=c ∆ABC∆ABC 的周长．18.〔本小题总分值为12分〕如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． 〔I 〕证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； 〔II 〕求二面角E -BC -A 的余弦值．19.〔本小题总分值12分〕某公司方案购置2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购置这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,假如备件缺乏再购置,那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购置2台机器的同时购置的易损零件数. 〔I 〕求X 的分布列；〔II 〕假设要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值； 〔III 〕以购置易损零件所需费用的期望值为决策根据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？20.〔本小题总分值12分〕设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B 〔1,0〕且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . 〔I 〕证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔II 〕设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,QCABDEF两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.〔本小题总分值12分〕函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,假如多做,那么按所做的第一题计分. 22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲 如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆.(I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩〔t 为参数，a ＞0〕．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. 〔I 〕说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；〔II 〕直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，假设曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲 函数()123f x x x =+--. 〔I 〕画出()y f x =的图像； 〔II 〕求不等式()1f x >的解集．ODCBA32A B x ⎧=⎨⎩应选D ．2.由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +应选B ．3.由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．应选C ．4.如下图，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型，所求概率10101402P +==． 应选B ． 5.222213x y m n m n -=+-表示双曲线，那么()()2230m n m n +-> ∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 应选A ． 6.原立体图如下图：是一个球被切掉左上角的18后的三视图外表积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 应选A ．7.()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C应选D ．8.对A ：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ：要比拟log b a c 和log a b c ，只需比拟ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比拟ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b和ln a a 构造函数()()ln 1f x x x x =>，那么()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确对D ： 要比拟log a c 和log b c ，只需比拟ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误应选C ． 9.如下表：输出32x =，6y =，满足4y x = 应选C ．10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=， 题目条件翻译如图：设(0A x，2p D ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的间隔 为4p =． 应选B ． 11. 如下图：∵11CB D α∥平面，∴假设设平面11CB D 平面1ABCD m =，那么1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D = ∴111B D m ∥，故11B D m ∥ 同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．而1111B C B D CD ==〔均为面对交线〕，因此113CD Bπ∠=，即11sin CD B ∠=．应选A ．12. 由题意知： 12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 那么21k ω=+，其中k ∈Z ()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法假设π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调111假设π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减应选B ．13.-2 14.10 15．64 16． 216000 13. 由得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-． 14． 设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈∴()5552155C 2C 2k k kk k kk T x x ---+==． 当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --==故答案为10．15.由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932...47222412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64． 16． 设消费A 产品x 件，B 产品y 件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规那么约束为目的函数2100900z x y =+作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0) 在(60,100)处获得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯= 17.解： ⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈， ∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab =∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++= 18．解：(1) ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，， ()020EB a =，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()200AB a =-，，设面BEC 法向量为()m x y z =，，.00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-，()301m =-，，设面ABC 法向量为()22n x z ==00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 22204x y z ===，()034n =， 设二面角E BC A --的大小为θ.cos 3m n m n θ⋅===+⋅ ∴二面角E - 19解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，那么X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= ()22P x ==⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥ 那么n 的最小值为19⑶ 购置零件所需费用含两局部，一局部为购置机器时购置零件的费用，另一局部为备件缺乏时额外购置的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=所以应选用19n =20. (1)圆A 整理为()221x y ++=BE AC ∥，那么C =∠EBD D ∴=∠∠，那么EB =AE EB AE ED ∴+=+=所以E ⑵ 221:143x y C +=；设:l x =因为PQ l ⊥，设:PQ y =221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()234m y +那|||M N MN y y =-=；圆心A 到PQ 间隔 |11|m d ---==所以||PQ = 1|||2MPNQ S MN ⎡∴=⋅=⎣ 21. 〔Ⅰ〕'()f x =〔i 〕设0a =，那么()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．〔ii 〕设0a >，那么当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2a b <，那么 223()(2)(1)()022a f b b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点． 〔iii 〕设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．假设2e a ≥-，那么ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．假设2e a <-，那么ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．II （）不妨设12x x <，由〔Ⅰ〕知1(,1)x ∈-∞，2(1,)x ∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<. 由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)x x g x xe x e -=---，那么2()(1)()x x g x x e e -'=--.所以当1x >时，()0g x '<，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<.22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒， ∴30sin302OA OK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行 CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅①∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-②由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥． 23．⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩ 〔t 均为参数〕 ∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -= ∴1a = 24．⑴ 如下图： ⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x > 当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。

2021 年全国一致高考数学试卷〔理科〕 〔新课标 Ⅰ 〕一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的 .1．〔5 分〕设会集 A={ x| x 2﹣ 4x+3＜ 0} ，B={ x| 2x ﹣＞30} ，那么 A ∩ B=〔 〕A ．〔﹣3，﹣ 〕B ．〔﹣3， 〕C ．〔1， 〕D ．〔 ，3〕2．〔5 分〕设〔 1+i 〕x=1+yi ，其中 x ， y 是实数，那么 | x+yi| =〔 〕 A ．1B ．C ．D ．23．〔5 分〕等差数列 { a n } 前 9 项的和为27， a10=8，那么 a 100=〔〕A ．100B ．99C ．98D ．974．〔5 分〕某公司的班车在 7：00， 8： 00，8：30 发车，小明在 7：50 至8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时辰是随机的，那么他等车时间不高出 10 分钟的概率是〔 〕A ．B ．C ．D ．5．〔5 分〕方程 ﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，那么 n 的取值范围是〔〕A ．〔﹣1，3〕B ．〔﹣1， 〕C ．〔0，3〕D ．〔0， 〕6．〔5 分〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．假设该几何体的体积是 ，那么它的表面积是〔 〕A ．17 πB ．18 πC ．20 πD ．28 π| x|的图象大体为〔 〕7．〔5 分〕函数 y=2x 2﹣e 在[ ﹣2， 2]第1页〔共 6页〕A．B．C．D．8．〔5 分〕假设 a＞b＞1，0＜c＜1，那么〔〕A．a c＜ b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜ log b c9．〔5 分〕执行如图的程序框图，若是输入的x=0， y=1，n=1，那么输出 x，y 的值满足〔〕A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x10．〔 5 分〕以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A、 B 两点，交 C 的准线于D、E 两点． | AB| =4，| DE| =2，那么C的焦点到准线的距离为〔〕A．2B．4C．6D．811．〔 5 分〕平面α过正方体 ABCD﹣A B C D 的极点 A，α∥平面CB D ，α∩平111111面ABCD=m，α∩平面ABA1B1 =n，那么 m、n 所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．第2页〔共 6页〕12．〔 5 分〕函数 f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，| φ| ≤〕，x= f 〔x〕的零点， x=y=f〔x〕象的称，且f〔x〕在〔，〕，ω的最大〔〕A．11 B．9C．7D．5二、填空：本大共 4 小，每小 5 分，共 25 分.13．〔 5 分〕向量=〔m，1〕， =〔 1， 2〕，且 |+ |2=| |2+| | 2， m=．14．〔 5 分〕〔2x+〕5的张开式中， x3的系数是．〔用数字填写答案〕15．〔 5分〕等比数列 { a n }足a1+a3=10，a2+a4=5， a1a2⋯a n的最大．16．〔 5分〕某高科技企生品 A 和品 B 需要甲、乙两种新式资料．生一件品 A 需要甲资料，乙资料 1kg，用 5 个工；生一件品 B 需要甲资料，乙资料，用3 个工，生一件品 A 的利 2100 元，生一件品 B 的利 900 元．企有甲资料150kg，乙资料 90kg，在不超 600 个工的条件下，生品 A、品 B 的利之和的最大元．三、解答：本大共 5 小，分 60 分，解答写出文字明、明程或演算步 .17．〔 12 分〕△ ABC的内角 A，B，C 的分 a，b，c，2cosC〔 acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求 C；〔Ⅱ〕假设 c=，△ ABC的面，求△ ABC的周．18．〔 12 分〕如，在以A， B，C，D，E，F 点的五面体中，面ABEF正方形， AF=2FD，∠ AFD=90°，且二面角 D AF E与二面角 C BE F都是 60°．〔Ⅰ〕明平面 ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕求二面角 E BC A的余弦．第3页〔共 6页〕19．〔 12 分〕某公司方案购置2 台机器，该种机器使用三年后即被裁汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，若是备件缺乏再购置，那么每个500 元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此采集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损零件数．〔Ⅰ〕求 X 的分布列；〔Ⅱ〕假设要求 P〔X≤n〕≥，确定 n 的最小值；〔Ⅲ〕以购置易损零件所需花销的希望值为决策依照，在n=19 与 n=20 之中选其一，应采纳哪个？20．〔12分〕设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为 A，直线 l 过点 B〔1，0〕且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC的平行线交 AD 于点 E．〔Ⅰ〕证明 | EA|+| EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．〔 12 分〕函数 f〔x〕=〔x ﹣〕2e x+a〔 x﹣1〕2有两个零点．〔Ⅰ〕求 a 的取值范围；第4页〔共 6页〕〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，证明： x1+x2＜2．请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分.[ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．〔 10 分〕如图，△ OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°．以 O 为圆心，OA 为半径作圆．〔Ⅰ〕证明：直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕点 C，D 在⊙ O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： AB∥ CD．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为〔t 为参数，a＞0〕．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．〔Ⅰ〕说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕直线 C的极坐标方程为θ=α，其中α满足 tan α与 C 的3000=2，假设曲线C12公共点都在 C3上，求 a．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．函数 f 〔x〕=| x+1| ﹣| 2x ﹣|3．〔Ⅰ〕在图中画出 y=f〔x〕的图象；〔Ⅱ〕求不等式 | f〔x〕 | ＞ 1 的解集．第5页〔共 6页〕第6页〔共 6页〕2021 年全国一致高考数学试卷〔理科〕〔新课标Ⅰ 〕参照答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设会集 A={ x| x2﹣ 4x+3＜0} ， B={ x| 2x ﹣＞30} ，那么A∩B=〔〕A．〔﹣3，﹣〕 B．〔﹣3，〕C．〔1，〕D．〔，3〕【解析】解不等式求出会集A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵会集 A={ x| x2﹣4x+3＜0} =〔1，3〕，B={ x| 2x ﹣＞30} =〔，+∞〕，∴A∩B=〔，3〕，应选： D2．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设〔 1+i〕 x=1+yi，其中 x，y 是实数，那么 | x+yi| =〔〕A．1B．C．D．2【解析】依照复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵〔 1+i〕 x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即| x+yi| =| 1+i| =，应选： B．3．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕等差数列 { a n }前9项的和为27，a10=8，那么a100=〔〕A．100 B．99 C．98D．97【解析】依照可得 a5=3，进而求出公差，可得答案．第 1页〔共 24页〕【解答】解：∵等差数列 { a n} 前 9 项的和为 27，∴9a5=27， a5=3，又∵ a10=8，∴d=1，∴a+95d=98，100=a5应选： C4．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕某公司的班车在7： 00，8：00， 8： 30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时辰是随机的，那么他等车时间不高出10 分钟的概率是〔〕A．B．C．D．【解析】求出小明等车时间不高出 10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当 y 在 7：50 至 8： 00，或 8：20 至 8：30 时，小明等车时间不高出 10 分钟，故P= =，应选： B5．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么 n 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，3〕B．〔﹣1，〕C．〔0，3〕 D．〔0，〕【解析】由可得 c=2，利用 4=〔m2+n〕+〔3m2﹣n〕，解得 m2=1，又（m2+n〕〔3m2﹣n〕＞ 0，进而可求 n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴ c=2，当焦点在 x 轴上时，可得： 4=〔m2+n〕+〔3m2﹣n〕，解得：m2=1，第 2页〔共 24页〕∵方程﹣=1 表示双曲线，∴〔m2+n〕〔3m2﹣n〕＞ 0，可得：〔 n+1〕〔3﹣n〕＞0，解得：﹣1＜n＜3，即 n 的取值范围是：〔﹣1， 3〕．当焦点在 y 轴上时，可得：﹣4=〔 m2+n〕 +〔 3m2﹣n〕，解得： m2=﹣，1无解．应选： A．6．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．假设该几何体的体积是，那么它的表面积是〔〕A．17 πB．18 πC．20 πD．28 π【解析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，尔后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π?2+=17π．应选： A．第 3页〔共 24页〕| x|的图象大体为〔 〕7．〔5 分〕〔2021?新课标 Ⅰ 〕函数 y=2x 2﹣e 在[ ﹣2，2]A ．B ．C ．D ．【解析】 依照中函数的解析式，解析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用消除法，可得答案．【解答】 解：∵ f 〔x 〕=y=2x 2﹣e |x|，| ﹣x | | x|∴ f 〔﹣x 〕=2〔﹣x 〕2﹣e =2x 2﹣e ，故函数为偶函数，当 x=±2 时， y=8﹣e 2∈〔0，1〕，故消除 A ， B ；当 x ∈[ 0，2] 时， f 〔 x 〕 =y=2x 2﹣e x ，∴ f 〔′ x 〕=4x ﹣e x =0 有解，故函数 y=2x 2﹣e |x|在[ 0，2] 不是单调的，故消除 C ，8．〔5 分〕〔2021?新课标 Ⅰ 〕假设 a ＞ b ＞ 1， 0＜ c ＜1，那么〔〕A ．a c＜ b cB ．ab c＜bacC ．alog b c ＜blog a cD ．log a c ＜ log b c第 4页〔共 24页〕【解析】依照中 a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵ a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数 f〔x〕=x c在〔 0，+∞〕上为增函数，故a c＞ b c，故 A 错误；函数 f〔x〕 =x c﹣1在〔 0，+∞〕上为减函数，故a c﹣＜1b c﹣，1故 ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故 B 错误；log a c＜0，且 log b c＜ 0， log a b＜ 1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D 错误；0＜﹣ log a c＜﹣ log b c，故﹣ blog a c＜﹣ alog b c，即 blog a c＞alog b c，即 alog b c＜blog a c，故C正确；应选： C9．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕执行如图的程序框图，若是输入的x=0，y=1， n=1，那么输出 x，y 的值满足〔〕A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x【解析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，解析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入 x=0，y=1， n=1，那么 x=0，y=1，不满足 x2+y2≥ 36，故 n=2，那么x= ，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，第 5页〔共 24页〕那么 x= ，y=6，满足 x2+y2≥ 36，故 y=4x，应选： C10．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、 E 两点． | AB| =4，| DE| =2，那么C的焦点到准线的距离为〔〕A．2B．4C．6D．8【解析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为 y2=2px，如图： | AB| =4，| AM| =2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，| OD| =| OA| ，=+5，解得： p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．应选： B．第 6页〔共 24页〕11．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕平面α过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的极点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，那么 m、 n 所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．【解析】画出图形，判断出m、 n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面 ABA1B1=n，可知： n∥CD1， m∥B1D1，∵△ CB1D1是正三角形． m、 n 所成角就是∠CD1B1=60 °．那么 m、n 所成角的正弦值为：．应选： A．12．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕函数 f 〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞ 0，| φ| ≤〕，x= ﹣为 f〔x〕的零点， x=为y=f〔x〕图象的对称轴，且f〔x〕在〔，〕单调，那么ω的最大值为〔〕A．11 B．9C．7D．5【解析】依照可得ω为正奇数，且ω≤12，结合 x=﹣为f〔x〕的零点，x= 为 y=f〔x〕图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f〔x〕在〔，〕单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵ x=﹣为f〔x〕的零点，x=为y=f〔x〕图象的对称轴，第 7页〔共 24页〕∴，即，〔 n∈N〕即ω=2n+1，〔n∈N〕即ω为正奇数，∵ f〔x〕在〔，〕那么﹣= ≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ| ≤，∴φ=﹣，此时 f〔x〕在〔，〕不只一，不满足题意；当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ| ≤，∴φ= ，此时 f〔x〕在〔，〕单调，满足题意；故ω的最大值为9，应选： B二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 25 分.13．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设向量=〔m， 1〕， =〔1，2〕，且| + | 2=| | 2+| | 2，那么 m=﹣2．【解析】利用条件，经过数量积判断两个向量垂直，尔后列出方程求解即可．【解答】解：| + | 2=| | 2+|| 2，可得? =0．向量=〔 m，1〕，=〔 1，2〕，可得 m+2=0，解得 m=﹣2．第 8页〔共 24页〕故答案： 2．14．〔5分〕〔2021?新Ⅰ〕〔2x+〕5的张开式中，x3的系数是10．〔用数字填写答案〕【解析】利用二张开式的通公式求出第 r+1 ，令 x 的指数 3，求出 r，即可求出张开式中 x3的系数．【解答】解：〔 2x+〕5的张开式中，通公式：T r+1==25 r，令 5 =3，解得 r=4∴ x3的系数 2 =10．故答案： 10．15．〔 5 分〕〔2021?新Ⅰ〕等比数列 { a n} 足 a1+a3=10， a2 +a4=5， a a ⋯a的最大 64 ．1 2n【解析】求出数列的等比与首，化a1a2⋯a n，尔后求解最．【解答】解：等比数列 { a n} 足 a1+a3=10，a2+a4=5，可得 q〔a1+a3〕=5，解得 q=．a1+q2a1=10，解得 a1=8．a ⋯a n1+2+3+⋯+〔n〕1n==，1a2n=a1?q=8 ?当 n=3 或 4，表达式获取最大：=26=64．故答案：64．16．〔 5 分〕〔2021?新Ⅰ〕某高科技企生品 A 和品 B 需要甲、乙两种新式资料．生一件品 A 需要甲资料，乙资料 1kg，用 5 个工；生一件品 B 需要甲资料，乙资料，用 3 个工，生一件品A 的利 2100 元，生一件品 B 的利 900 元．企有甲资料第 9页〔共 24页〕150kg，乙资料 90kg，那么在不高出 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为216000元．【解析】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，依照题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，经过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：〔 1〕设 A、B 两种产品分别是x 件和 y 件，盈利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A〔60， 100〕，目标函数 z=2100x+900y．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数获取最大值：2100×60+900× 100=216000元．故答案为： 216000．三、解答题：本大题共 5 小题，总分值 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕△ ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c， 2cosC〔 acosB+bcosA〕=c．第 10 页〔共 24 页〕〔Ⅰ〕求 C；〔Ⅱ〕假设 c=，△ ABC的面积为，求△ ABC的周长．【解析】〔Ⅰ 〕等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及引诱公式化简，依照sinC 不为 0 求出 cosC的值，即可确定出出 C 的度数；〔 2〕利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕等式利用正弦定理化简得：2cosC〔 sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得： 2cosCsin〔A+B〕=sinC，∵ sinC≠0，sin〔A+B〕=sinC∴ cosC= ，又 0＜C＜π，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得 7=a2+b2﹣ 2ab? ，∴〔 a+b〕2﹣ 3ab=7，∵ S= absinC= ab=，∴ ab=6，∴〔 a+b〕2﹣ 18=7，∴ a+b=5，∴△ ABC的周长为 5+．18．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，在以 A，B，C，D，E，F 为极点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，∠ AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E与二面角C﹣ BE﹣都F是 60°．〔Ⅰ〕证明平面 ABEF⊥平面 EFDC；第 11 页〔共 24 页〕〔Ⅱ〕求二面角 E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】〔Ⅰ 〕证明 AF⊥平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判判定理证明平面ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕证明四边形 EFDC为等腰梯形，以 E 为原点，建立以以下图的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】〔Ⅰ 〕证明：∵ ABEF为正方形，∴ AF⊥ EF．∵∠ AFD=90°，∴ AF⊥ DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面 EFDC，∵AF? 平面 ABEF，∴平面 ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕解：由 AF⊥DF，AF⊥ EF，可得∠ DFE为二面角 D﹣AF﹣E的平面角；由 CE⊥ BE，BE⊥EF，可得∠ CEF为二面角 C﹣BE﹣的F平面角．可得∠ DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB? 平面 EFDC，EF? 平面 EFDC，∴AB∥平面 EFDC，∵平面 EFDC∩平面 ABCD=CD，AB? 平面 ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形 EFDC为等腰梯形．第 12 页〔共 24 页〕以 E 为原点，建立以以下图的坐标系，设FD=a，那么 E〔0，0，0〕，B〔0，2a，0〕， C〔，0，a〕， A〔 2a，2a，0〕，∴=〔0，2a， 0〕，=〔，﹣2a，a〕，=〔﹣2a， 0，0〕设平面 BEC的法向量为=〔x1， y1，z1〕，那么，那么，取=〔，0，﹣1〕．设平面 ABC的法向量为=〔x2， y2，z2〕，那么，那么，取 =〔0，，4〕．设二面角 E﹣BC﹣A的大小为θ，那么 cosθ===﹣，那么二面角 E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．19．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕某公司方案购置 2 台机器，该种机器使用三年后即被裁汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，若是备件缺乏再购置，那么每个500元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此采集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生第 13 页〔共 24 页〕的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损零件数．〔Ⅰ〕求 X 的分布列；〔Ⅱ〕假设要求 P〔X≤n〕≥，确定 n 的最小值；〔Ⅲ〕以购置易损零件所需花销的希望值为决策依照，在n=19 与 n=20 之中选其一，应采纳哪个？【解析】〔Ⅰ 〕由得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20， 21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．〔Ⅱ〕由 X 的分布列求出 P〔X≤18〕 =，P〔X≤19〕= ．由此能确定满足P〔X≤n〕≥ 0.5 中 n 的最小值．〔Ⅲ〕由 X 的分布列得 P〔 X≤ 19〕=．求出买 19 个所需花销希望 EX1和买20 个所需花销希望 EX2，由此能求出买19 个更合适．【解答】解：〔Ⅰ〕由得 X 的可能取值为 16， 17，18， 19，20，21， 22，P〔X=16〕=〔〕2= ，P〔X=17〕=，P〔X=18〕=〔〕2+2〔〕2= ，P〔X=19〕== ，P〔X=20〕==，P〔X=21〕== ，P〔X=22〕=，第 14 页〔共 24 页〕∴ X 的分布列为：X16171819202122 P〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：P〔X≤18〕=P〔 X=16〕 +P〔X=17〕+P〔 X=18〕==．P〔X≤19〕=P〔 X=16〕 +P〔X=17〕+P〔 X=18〕 +P〔X=19〕=+ =．∴ P〔 X≤ n〕≥ 0.5 中， n 的最小值为 19．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕得 P〔X≤19〕 =P〔X=16〕+P〔X=17〕+P〔 X=18〕 +P〔X=19〕=+ =．买 19 个所需花销希望：EX1=200×+〔200× 19+500〕×+〔200×19+500× 2〕×+〔200× 19+500×3〕× =4040，买 20 个所需花销希望：EX2=+〔200× 20+500〕×+〔200×20+2×500〕×=4080，∵EX＜EX，12∴买 19 个更合适．20．〔12分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为 A，直线 l 过点B〔1，0〕且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E．〔Ⅰ〕证明 | EA|+| EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．【解析】〔Ⅰ 〕求得圆 A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性第 15 页〔共 24 页〕质，可得 EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E 的轨迹为以 A， B 为焦点的椭圆，求得 a，b，c，即可获取所求轨迹方程；〔Ⅱ〕设直线 l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得| MN| ，由 PQ⊥l ，设 PQ：y=﹣m〔 x﹣1〕，求得 A 到 PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得 | PQ| ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可获取所求范围．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：圆 x2+y2+2x﹣15=0即为〔 x+1〕2+y2=16，可得圆心 A〔﹣1， 0〕，半径 r=4，由 BE∥ AC，可得∠ C=∠EBD，由 AC=AD，可得∠ D=∠ C，即为∠ D=∠EBD，即有 EB=ED，那么 | EA|+| EB| =| EA|+| ED| =| AD| =4，故 E 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，且有 2a=4，即 a=2，c=1，b==，那么点 E 的轨迹方程为+=1〔y≠0〕；〔Ⅱ〕椭圆 C1：+ =1，设直线 l：x=my+1，由 PQ⊥ l，设 PQ：y=﹣m〔x﹣1〕，由可得〔 3m2 +4〕 y2+6my﹣9=0，设 M〔x1， y1〕， N〔x2，y2〕，可得 y1+y2=﹣， y1y2=﹣，那么| MN| =?| y| =?1﹣y2=?=12?，A 到 PQ 的距离为 d==，第 16 页〔共 24 页〕|PQ|=2=2=，那么四边形 MPNQ 面积为 S= | PQ| ?| MN| = ??12?=24?=24，当 m=0 时， S 获取最小值 12，又＞0，可得S＜24?=8，即有四边形 MPNQ 面积的取值范围是 [ 12， 8〕．21．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕函数 f〔 x〕 =〔 x ﹣〕2e x+a〔x﹣1〕2有两个零点．〔Ⅰ〕求 a 的取值范围；〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，证明： x1+x2＜2．【解析】〔Ⅰ 〕由函数 f〔 x〕 =〔 x﹣〕2 e x+a〔x﹣1〕2可得： f ′〔x〕=〔x﹣1〕e x+2a〔 x﹣〕1 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕，对 a 进行分类谈论，综合谈论结果，可得答案．〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，那么﹣a==，令g〔x〕=，那么g〔x1〕=g〔x2〕=﹣a，解析g〔x〕的单调性，令第 17 页〔共 24 页〕m＞ 0，那么 g〔1+m〕﹣g〔1﹣m〕=，设 h〔m〕=，m＞0，利用导数法可得h〔 m〕＞ h〔0〕=0 恒建立，即 g〔1+m〕＞ g〔 1﹣m〕恒建立，令 m=1﹣x＞ 0，可得结论．1【解答】解：〔Ⅰ〕∵函数 f〔x〕=〔x﹣2〕e x+a〔 x﹣1〕2，∴ f ′〔 x〕=〔x﹣1〕 e x+2a〔x﹣1〕=〔x﹣1〕〔e x+2a〕，①假设 a=0，那么 f 〔x〕=0? 〔x﹣2〕e x=0? x=2，函数 f〔x〕只有唯一的零点2，不合题意；②假设 a＞0，那么 e x+2a＞0 恒建立，当 x＜1 时， f ′〔x〕＜ 0，此时函数为减函数；当 x＞1 时， f ′〔x〕＞ 0，此时函数为增函数；此时当 x=1 时，函数 f〔x〕取极小值﹣e，由 f〔 2〕 =a＞0，可得：函数 f〔 x〕在 x＞1 存在一个零点；当 x＜1 时， e x＜ e， x﹣2＜﹣1＜ 0，∴ f〔x〕=〔x﹣2〕e x+a〔x﹣1〕2＞〔 x﹣2〕e+a〔 x﹣1〕2=a〔x﹣〕12+e〔x﹣1〕﹣e，令 a〔x﹣1〕2+e〔x﹣1〕﹣e=0的两根为 t1，t2，且 t1＜t 2，那么当 x＜t 1，或 x＞t2时， f〔x〕＞ a〔x﹣1〕2+e〔 x﹣1〕﹣e＞0，故函数 f〔x〕在 x＜ 1 存在一个零点；即函数 f〔x〕在 R 是存在两个零点，满足题意；③假设﹣＜a＜0，那么 ln〔﹣2a〕＜ lne=1，当 x＜ln〔﹣2a〕时， x﹣1＜ln〔﹣2a〕﹣1＜lne ﹣1=0，e x+2a＜ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 ln〔﹣2a〕＜ x＜ 1 时， x﹣1＜ 0，e x+2a＞ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＜ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递减，当 x＞1 时， x﹣1＞ 0， e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故当 x=ln〔﹣2a〕时，函数取极大值，第 18 页〔共 24 页〕由 f〔 ln〔﹣2a〕〕=[ ln〔﹣2a〕﹣2]〔﹣2a〕+a[ ln〔﹣2a〕﹣1]2=a{[ ln〔﹣2a〕﹣2]+1}＜0 得：函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；④假设 a=﹣，那么 ln〔﹣2a〕 =1，当 x＜1=ln〔﹣2a〕时， x﹣1＜0，e x+2a＜ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 x＞1 时， x﹣1＞ 0， e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故函数 f〔x〕在 R 上单调递加，函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤假设 a＜﹣，那么 ln〔﹣2a〕＞ lne=1，当 x＜1 时， x﹣1＜ 0， e x+2a＜e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 1＜x＜ ln〔﹣2a〕时， x﹣1＞0，e x+2a＜e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＜ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递减，当 x＞ln〔﹣2a〕时， x﹣1＞0，e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故当 x=1 时，函数取极大值，由 f〔 1〕 =﹣e＜0 得：函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述， a 的取值范围为〔 0，+∞〕证明：〔Ⅱ〕∵ x1， x2是 f〔x〕的两个零点，∴f〔x1〕 =f〔x2〕=0，且 x1≠1，且 x2≠1，∴ ﹣a==，令 g〔x〕 =，那么g〔x1〕=g〔x2〕=﹣a，第 19 页〔共 24 页〕∵ g′〔x〕 =，∴当 x＜1 时， g′〔x〕＜ 0，g〔x〕单调递减；当 x＞1 时， g′〔 x〕＞ 0，g〔 x〕单调递加；设 m＞0，那么 g〔 1+m〕﹣g〔1﹣m〕 =﹣=，设 h〔m〕=，m＞0，那么 h′〔m〕 =＞0恒建立，即 h〔m〕在〔 0，+∞〕上为增函数，h〔m〕＞ h〔0〕=0 恒建立，即 g〔1+m〕＞ g〔 1﹣m〕恒建立，令 m=1﹣x＞0，1那么 g〔1+1﹣x〕＞ g〔1﹣1+x 〕? g〔2﹣x〕＞ g〔x 〕 =g〔x 〕? 2﹣x＞x ，1111212即 x1+x2＜2．请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分. [ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．〔 10 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，△ OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为半径作圆．〔Ⅰ〕证明：直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕点 C，D 在⊙ O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： AB∥ CD．【解析】〔Ⅰ 〕设 K 为 AB 中点，连结 OK．依照等腰三角形AOB 的性质知第 20 页〔共 24 页〕OK⊥AB，∠ A=30 °， OK=OAsin30 °=OA，那么 AB 是圆 O 的切线．〔Ⅱ〕设圆心为 T，证明 OT为 AB 的中垂线， OT为 CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：〔Ⅰ〕设 K 为 AB 中点，连结 OK，∵OA=OB，∠ AOB=120°，∴OK⊥AB，∠ A=30°，OK=OAsin30°= OA，∴直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设 T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB， TA=TB，∴OT为 AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为 CD的中垂线，∴AB∥CD．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．〔 2021?新课标Ⅰ〕在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为〔t 为参数， a＞0〕．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ．〔Ⅰ〕说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕直线 C的极坐标方程为θ=α，其中α满足 tan α与 C 的3000=2，假设曲线C12公共点都在 C3上，求 a．【解析】〔Ⅰ 〕把曲线 C1的参数方程变形，尔后两边平方作和即可获取一般方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合222x +y =ρ，y=ρsin θ化为极坐标方程；〔Ⅱ〕化曲线 C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆 C1与C2的公共弦所在直线方程，把 C1与 C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=2x 可得 1﹣a2=0，那么a值可求．第 21 页〔共 24 页〕【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，两式平方相加得，x2+〔y﹣1〕2=a2．∴ C1为以〔 0，1〕为圆心，以 a 为半径的圆．化为一般式： x2+y2﹣ 2y+1﹣2a=0．①由 x2+y2=ρ2， y=ρsin ，θ得ρ2﹣ 2ρ sin+1﹣θ2a=0；〔Ⅱ〕C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcos，θ∴x2+y2=4x，②即〔 x﹣2〕2+y2=4．由 C ：θ=α，其中α满足 tan α3000=2，得 y=2x，∵曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，∴ y=2x为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，① ﹣②得： 4x﹣2y+1﹣a2=0，即为 C3，∴1﹣a2=0，∴a=1〔a＞ 0〕．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．〔 2021?新课标Ⅰ〕函数 f〔 x〕 =| x+1| ﹣| 2x ﹣|3．〔Ⅰ〕在图中画出 y=f〔x〕的图象；〔Ⅱ〕求不等式 | f〔x〕 | ＞ 1 的解集．第 22 页〔共 24 页〕【解析】〔Ⅰ 〕运用分段函数的形式写出 f〔x〕的解析式，由分段函数的画法，即可获取所求图象；〔Ⅱ〕分别谈论当 x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当 x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可获取所求解集．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔 x〕 =，由分段函数的图象画法，可得f〔x〕的图象，如右：〔Ⅱ〕由 | f〔x〕 | ＞ 1，可得当 x≤﹣1时， | x﹣4|＞ 1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x≤ ﹣1；当﹣1＜x＜时， | 3x﹣2|＞1，解得 x＞ 1 或 x＜，即有﹣1＜ x＜或1＜x＜；当 x≥时， | 4﹣x|＞1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x＞5 或≤ x＜ 3．综上可得， x＜或 1＜x＜3 或 x＞ 5．那么 | f〔x〕| ＞1 的解集为〔﹣∞，〕∪〔1，3〕∪〔5，+∞〕．第 23 页〔共 24 页〕第 24 页〔共 24 页〕。

2021年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共60分）1.已知集合M= {x|−4<x<2}，N= {x|x2−x−6<0}，则M ∩N=（）A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵x2−x−6<0,∴(x+2)(x−3)<0∴−2<x<3,∴N={x|−2<x<3}.∵M= {x|−4<x<2}，利用交集的运算法则借助数轴得：M∩N={x|−2<x<2}故答案为：C【分析】由一元二次不等式求解集的方法求出集合N，再由交集的运算法则借助数轴得集合M∩N.2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=1【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】设复数为z=a+bi(a∈R,b∈R），∵z−i=a+bi−i=a+(b−1)i,∴|z−i|=√a2+(b−1)2,∵|z−i|=1,∴√a2+(b−1)2=1,∵复数z在复平面内对应的点为(x，y)，∴√x2+(y−1)2=1,∴x2+(y−1)2=1故答案为：C【分析】利用复数的加减运算法则求出复数z−i,再利用复数z−i的实部和虚部表示复数z−i的模，再利用复数z−i的几何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。

3.己知a=log20.2，b= 20.2，c= 0.20.3,则（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】B【考点】指数函数单调性的应用，对数值大小的比较【解析】【解答】因为函数y=log2x(x>0)中底数为2，又∵2>1，利用增函数的性质，∴log20.2< log21=0,∴a<0.因为函数y=2x中底数为2，又∵2>1，利用增函数的性质，∴1=20<20.2<21=2,∴b>1,∴b>a.因为函数y=0.2x中底数为0.2，又∵0.2<1，利用减函数的性质，∴0<0.2=0.21<0.20.3<0.20=1,∴0<c<1,∴a<c<b.故答案为：B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a,b,c与特殊值的大小关系式，判断出a,b,c的大小关系。

理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全数答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试终止后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

（1）设复数z 知足1+z1z-=i ，那么|z|=（A ）1 （B （C （D ）2（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）2-（B ）2 （C ）12- （D ）12（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n，那么⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n（B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n（C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同窗每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是不是投中彼此独立，那么该同窗通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个核心，假设120MF MF <，那么0y 的取值范围是（A ）（-3，3） （B ）（-6，6）（C ）（3-，3） （D ）（3-，3）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰硕的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，那么（A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- （8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部份图像如下图，那么()f x 的单调递减区间为(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B) 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，若是输入的t=0.01，那么输出的n=（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（A ）10（B ）20（C ）30（D ）60（11）圆柱被一个平面截去一部份后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图。

2021年高考理科数学试卷全国卷1 解析版2021年高考理科数学试卷全国卷1&lpar;解析版&rpar;2021年高考理科数学试卷全国卷1（解析版）1．设复数z 满足=i ，则|z|=（） 1-z（A ）1 （B（D ）2 【答案】A 【解析】由1+z -1+i (-1+i )(1-i )=i 得，z ===i ，故|z|=1，故选A. 1-z 1+i (1+i )(1-i )考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2．sin 20o cos10o -cos160osin10o =（）（A（C ）- （D ），故选D. 2o o o o o【解析】原式=sin 20cos10+cos 20sin10 =sin 30=考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3．设命题p ：∃n ∈N , n 2>2n ，则⌝p 为（）（A ）∀n ∈N , n 2>2n （B ）∃n ∈N , n 2≤2n （C ）∀n ∈N , n 2≤2n（D ）∃n ∈N , n 2=2n 【答案】C【解析】⌝p :∀n ∈N , n ≤2，故选C.考点：本题主要考查特称命题的否定4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C30.62⨯0.4+0.63=0.648，考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式-y 2=1上的一点，F 1, F 2是C 上的两个焦点，若5．已知M （x 0, y 0）是双曲线C ：2MF 1∙MF 2-y =1，所以MF 1∙MF 2= 【解析】由题知F ，(F 012(x 0, -y 0) ∙x 0, -y 0) =x 0+y 0-3=3y 0-1考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2021年高考（全国I卷）理数试题及答案详解2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设z?1?i?2i，则|z|? 1?iB．A．01 2C．1 D．2 2．已知集合A?{x|x2?x?2?0}，则eRA? A．{x|?1?x?2}C．{x|x??1}U{x|x?2}B．{x|?1≤x≤2} D．{x|x≤?1}{x|x≥2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半理科数学试题第1页（共9页）4．记Sn为等差数列{an}的前n项和. 若3S3?S2?S4，a1=2，则a5= A．?12 切线方程为 A．y??2xB．y??xC．y?2xD．y?xuur6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?ur1uuurur3uuur3uu1uuA．AB?AC B．AB?AC4444ur1uuurur3uuur3uu1uuC．AB?AC D．AB?AC4444B．?10 C．10 D．125．设函数f(x)?x3?(a?1)x2?ax. 若f(x)为奇函数，则曲线y?f(x)在点(0,0)处的7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N的路径中，最短路径的长度为 A．217 C．3B．25 D．28．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点(-2,0)且斜率为uuuruuur两点，则FM?FN2的直线与C交于M，N3D．8B．6C．7A．5?ex,x≤0,9．已知函数f(x)?? g(x)?f(x)?x?a. 若g(x)存在2个零点，则a的lnx,x?0,?取值范围是 A．[?1,0)B．[0,??)C．[?1,??)D．[1,??)10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1?p2 B．p1?p3 C．p2?p3D．p1?p2?p3理科数学试题第2页（共9页）x211．已知双曲线C：-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的3两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则|MN|= A．3 2B．3C．23 D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得截面面积的最大值为 A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。