2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷Ⅰ〕理科数学一. 选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,那么A B =〔A 〕33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ 〔B 〕33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 〔C 〕31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭〔D 〕3,32⎛⎫⎪⎝⎭2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，那么=+yi x 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕23.等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，那么100a = 〔A 〕100 〔B 〕99 〔C 〕98 〔D 〕974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是 〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23 〔D 〕345.方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的间隔 为4,那么n 的取值范围是 〔A 〕()1,3- 〔B〕(- 〔C 〕()0,3 〔D〕( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.假设该几何体的体积是283π,那么它的外表积是 〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π7.函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为〔A 〕B 〕（C ）D 〕8.假设101a b c >><<，,那么〔A 〕c c a b < 〔B 〕c c ab ba < 〔C 〕log log b a a c b c < 〔D 〕log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,假如输入的011x y n ===，，,那么输出x ,y 的值满足 〔A 〕2y x = 〔B 〕3y x = 〔C 〕4y x = 〔D 〕5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.|AB|=,|DE|=那么C 的焦点到准线的间隔 为(A)2 (B)4 (C)6 (D)811.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,那么m 、n 所成角的正弦值为(B)2(D)1312.函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，那么ω的最大值为 〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5 二、填空题：本大题共3小题,每题5分13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，那么m = ．14.5(2x 的展开式中，x 3的系数是 ．〔用数字填写答案〕15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，那么a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 16.某高科技企业消费产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．消费一件产品A 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；消费一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时．消费一件产品A 的利润为2100元，消费一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，那么在不超过600个工时的条件下，消费产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三.解答题：解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值为12分〕结束ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos (cos cos ).C a B+b A c =〔I 〕求C ； 〔II〕假设=c ∆ABC∆ABC 的周长．18.〔本小题总分值为12分〕如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． 〔I 〕证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； 〔II 〕求二面角E -BC -A 的余弦值．19.〔本小题总分值12分〕某公司方案购置2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购置这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,假如备件缺乏再购置,那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购置2台机器的同时购置的易损零件数. 〔I 〕求X 的分布列；〔II 〕假设要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值； 〔III 〕以购置易损零件所需费用的期望值为决策根据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？20.〔本小题总分值12分〕设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B 〔1,0〕且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . 〔I 〕证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔II 〕设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,QCABDEF两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.〔本小题总分值12分〕函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,假如多做,那么按所做的第一题计分. 22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲 如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆.(I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩〔t 为参数，a ＞0〕．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. 〔I 〕说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；〔II 〕直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，假设曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲 函数()123f x x x =+--. 〔I 〕画出()y f x =的图像； 〔II 〕求不等式()1f x >的解集．ODCBA32A B x ⎧=⎨⎩应选D ．2.由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +应选B ．3.由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．应选C ．4.如下图，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型，所求概率10101402P +==． 应选B ． 5.222213x y m n m n -=+-表示双曲线，那么()()2230m n m n +-> ∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 应选A ． 6.原立体图如下图：是一个球被切掉左上角的18后的三视图外表积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 应选A ．7.()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C应选D ．8.对A ：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ：要比拟log b a c 和log a b c ，只需比拟ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比拟ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b和ln a a 构造函数()()ln 1f x x x x =>，那么()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确对D ： 要比拟log a c 和log b c ，只需比拟ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误应选C ． 9.如下表：输出32x =，6y =，满足4y x = 应选C ．10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=， 题目条件翻译如图：设(0A x，2p D ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的间隔 为4p =． 应选B ． 11. 如下图：∵11CB D α∥平面，∴假设设平面11CB D 平面1ABCD m =，那么1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D = ∴111B D m ∥，故11B D m ∥ 同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．而1111B C B D CD ==〔均为面对交线〕，因此113CD Bπ∠=，即11sin CD B ∠=．应选A ．12. 由题意知： 12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 那么21k ω=+，其中k ∈Z ()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法假设π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调111假设π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减应选B ．13.-2 14.10 15．64 16． 216000 13. 由得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-． 14． 设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈∴()5552155C 2C 2k k kk k kk T x x ---+==． 当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --==故答案为10．15.由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932...47222412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64． 16． 设消费A 产品x 件，B 产品y 件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规那么约束为目的函数2100900z x y =+作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0) 在(60,100)处获得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯= 17.解： ⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈， ∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab =∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++= 18．解：(1) ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，， ()020EB a =，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()200AB a =-，，设面BEC 法向量为()m x y z =，，.00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-，()301m =-，，设面ABC 法向量为()22n x z ==00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 22204x y z ===，()034n =， 设二面角E BC A --的大小为θ.cos 3m n m n θ⋅===+⋅ ∴二面角E - 19解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，那么X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= ()22P x ==⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥ 那么n 的最小值为19⑶ 购置零件所需费用含两局部，一局部为购置机器时购置零件的费用，另一局部为备件缺乏时额外购置的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=所以应选用19n =20. (1)圆A 整理为()221x y ++=BE AC ∥，那么C =∠EBD D ∴=∠∠，那么EB =AE EB AE ED ∴+=+=所以E ⑵ 221:143x y C +=；设:l x =因为PQ l ⊥，设:PQ y =221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()234m y +那|||M N MN y y =-=；圆心A 到PQ 间隔 |11|m d ---==所以||PQ = 1|||2MPNQ S MN ⎡∴=⋅=⎣ 21. 〔Ⅰ〕'()f x =〔i 〕设0a =，那么()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．〔ii 〕设0a >，那么当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2a b <，那么 223()(2)(1)()022a f b b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点． 〔iii 〕设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．假设2e a ≥-，那么ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．假设2e a <-，那么ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．II （）不妨设12x x <，由〔Ⅰ〕知1(,1)x ∈-∞，2(1,)x ∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<. 由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)x x g x xe x e -=---，那么2()(1)()x x g x x e e -'=--.所以当1x >时，()0g x '<，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<.22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒， ∴30sin302OA OK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行 CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅①∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-②由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥． 23．⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩ 〔t 均为参数〕 ∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -= ∴1a = 24．⑴ 如下图： ⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x > 当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。
