广东省2018届高三七校第二次联考(理数)

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知x，y∈R，集合A={2, log3x}，集合B={x, y}，若A∩B={0}，则x+y=()A.13B.0C.1D.32. 若复数z1=1+i，z2=1−i，则下列结论错误的是（）A.z1⋅z2是实数B.z1z2是纯虚数C.|z14|=2|z2|2D.z12+z22=4i3.已知a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则b→⋅c→=( )A.−7B.−2C.5D.84. 如图，AD^是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.π16B.316C.π4D.145. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则√a1a2a3⋯a99=()A.−9B.9C.−81D.816. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点坐标为(4, 0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A.x28−y28=1B.x2 16−y216=1C.y28−x28=1D.x28−y28=1或y28−x28=17. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.8π+6B.6π+6C.8π+12D.6π+128. 设x ，y 满足约束条件{xy ≥0|x +y|≤2，则z =2x +y 的取值范围是（ ）A.[−2, 2]B.[−4, 4]C.[0, 4]D.[0, 2]9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人–宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ） A. B.C. D.10. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n+15，已知n，m∈N+，n>m，则S n−S m的最小值为（）A.−494B.−498C.−14D.−2811. 已知菱形ABCD的边长为2√3，∠BAD＝60∘，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A−BD−C的余弦值为−13，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A.28√73π B.8√6π C.20√53π D.36π12. 已知函数f(x)=e x−ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是（）A.∀x∈(−3, +∞)，f(x)≥13B.∀x∈(−3, +∞)，f(x)>−12C.∃x0∈(−3, +∞)，f(x0)=−1D.f(x)min∈(0, 1)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．已知a>0，b>0，(ax+bx )6展开式的常数项为52，则a+2b的最小值为________．已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx，当m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1的解集为________．设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60∘，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90∘，∠ADC=∠DCB=120∘．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为x （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求x 的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为已知椭圆C 1:x 28+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线C 2:y 2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1, 1)，求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明1m +1n是定值．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)e x−f′(0)x．（1）求f(x)的单调区间；（2）当x>0时，af(x)<e x−x恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=π3与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|mx+3|−|2x+n|．（1）当m=2，n=−1时，求不等式f(x)<2的解集；（2）当m=1，n<0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】∵z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=1−i2=2，故A正确；z1 z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=−i，故B正确；|z14|=|z1|4=4，2|z2|2=4，故C正确；z12+z22=(1+i)2+(1−i)2=0，故D错误．3.【答案】A【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则−1×(m−4)−3×m=0，解得m =1， ∴ b →=(1, −3)c →=(2, 3)，b →⋅c →=1×2+(−3)×3=−7．故选A . 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】连结AE ，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的14，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P =14， 5.【答案】 B【考点】等比数列的性质 【解析】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q 4×9，代入√a 1a 2a 3⋯a 99=q 4．即可得出． 【解答】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)， ∴ a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)， 化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q8×(8+1)2=q 4×9则√a 1a 2a 3⋯a 99=√q 4×99=q 4=9．6.【答案】 A【考点】 双曲线的特性 【解析】由题意可得c =4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a =b ，解方程可得a ，b 的值，即可得到所求双曲线的方程． 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一个焦点坐标为(4, 0)，可得c =4，即有a 2+b 2=c 2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直， 即直线y =ba x 和直线y =−ba x 垂直， 可得a =b ，解方程可得a =b =2√2， 则双曲线的方程为x 28−y 28=1．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可． 【解答】几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π． 8.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2 所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y =2x 可得结论． 【解答】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2所对应的可行域（如图阴影） 变形目标函数可得y =−2x +z ，平移直线y =−2x 可知 当直线经过点A(−2, 0)时，目标函数取最小值−4 当直线经过点B(2, 0)时，目标函数取最大值4， 故z =−2x +y 的取值范围为[−4, 4]． 9.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n ≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列， 由S n =2n −1得：S n+1=2n+1−1=2S n +1， 故循环体内S =1+2S ， 10.【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】由等式变形，可得{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5，运用等差数列的通项公式可得a n ，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n ，讨论n 的变化，S n 的变化，僵尸可得最小值． 【解答】∵ (2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n +15，∴ a n+12n−3−a n 2n−5=1，a1−3=−5． 可得数列{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5．∴ a n2n−5=−5+n −1=n −6，∴ a n =(2n −5)(n −6)=2n 2−17n +30．∴ S n =2(12+22+……+n 2)−17(1+2+……+n)+30n =2×n(n +1)(2n +1)6−17×n(n +1)2+30n=4n 3−45n 2+131n6．可得n =2，3，4，5，S n 递减；n >5，S n 递增，∵ n ，m ∈N +，n >m ，S 1=15，S 2=19，S 5=S 6=5，S 7=14，S 8=36， S n −S m 的最小值为5−19=−14， 11.【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积． 【解答】如图所示，取BD 中点F ，连结AF 、CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AFC 是二面角A −BD −C 的平面角， 过A 作AE ⊥平面BCD ，交CF 延长线于E ，∴ cos∠AFC =−13，cos∠AFE =13，AF ＝CF =√(2√3)2−(√3)2=3， ∴ AE ＝2√2，EF ＝1，设O 为球，过O 作OO′⊥CF ，交F 于O′，作OG ⊥AE ，交AE 于G ，设OO′＝x ，∵ O′B =23CF ＝2，O′F =13CF =1，∴ 由勾股定理得R 2＝O′B 2+OO ′2＝4+x 2＝OG 2+AG 2＝(1+1)2+(2√2−x)2， 解得x =√2，∴ R 2＝6，即R =√6，∴ 四面体的外接球的体积为V =43πR 3=43π×6√6=8√6π．12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】本题首先要对函数f(x)=e x −ln(x +3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x ∈(a, b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x 0∈(−1, −12)从而．得到x =x 0时是函数f(x)的最小值点． 【解答】因为函数f(x)=e x −ln(x +3)，定义域为(−3, +∞)，所以f′(x)=e x −1x+3， 易知导函数f′(x)在定义域(−3, +∞)上是单调递增函数， 又f′(−1)<0，f′(−12)>0，所以f′(x)=0在(−3, +∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x 0，且x 0∈(−1, −12)， 则x =x 0为f(x)的最小值点，且f′(x 0)=0，即e x 0=1x 0+3，两边取以e 为底的对数，得x 0=−ln(x 0+3) 故f(x)≥f(x 0)=ex 0−ln(x 0+3)=1x+3−ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0，因为x 0∈(−1, −12)，所以2<x 0+3<52，故f(x)≥f(x 0)=1x 0+3+(x 0+3)−3>2+12−3=−12，即对∀x ∈(−3, +∞)，都有f(x)>−12．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −π 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值． 【解答】函数f(x)=2sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度， 得f(x +π3)=2sin[2(x +π3)+φ]=2sin(2x +φ+2π3)的图象，∴ g(x)=2sin(2x +2π3+φ)；又g(x)是偶函数，∴ 2π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ； ∴ φ=−π6+kπ，k ∈Z ； 又φ<0，∴ φ的最大值是−π6． 【答案】 2【考点】 二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，可得ab =12，再由基本不等式求a +2b 的最小值． 【解答】(ax +bx )6展开式的通项为T r+1=C 6r ∗(ax)6−r ∗(bx )r =a 6−r ∗b r ∗C 6r∗x 6−2r ，由6−2r =0，得r =3．∴ a 3b 3∗C 63=52，即ab =12．∴ a +2b ≥2√2ab =2，当且仅当a =2b ，即a =1，b =12时，取“=”． ∴ a +2b 的最小值为2． 【答案】 (0, 1) 【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用单调性求解即可． 【解答】函数f(x)=log 2(4x +1)+mx ，当m >0时，可知f(x)时单调递增函数， 当x =0时，可得f(0)=1，那么不等式f(log 3x)<f(0)的解集， 即{x >0log 3x <0 ， 解得：0<x <1． 【答案】 3【考点】 抛物线的求解 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：方法一： 画出对应的图，设AB 与OP 的夹角为θ，则△ABQ 中AB 边上的高与△ABO 中AB 边上的高之比为PQsin θOPsin θ=PQOP ， ∴ S △ABQS△ABO =PQ OP =y Q −y P y P=y Q y P−1．设P (y 122p ,y 1)， 则直线OP:y =y 1y 122px ，即y =2p y 1x ，与y 2=8px 联立， 可得y Q =4y 1，从而得到面积比为4y1y 1−1=3．故答案为：3．方法二：记d(X,YZ)表示点X 到线段YZ 的距离， 则S △ABQS△ABO=d(Q,AB)d(O,AB)=|PQ||OP|，设|OQ||OP|=m ，P (x 0,y 0)， 则OQ →=mOP →，即Q (mx 0,my 0)．于是y 02=2px 0，(my 0)2=8pmx 0， 故m =4， 则|PQ||OP|=|OQ|−|OP||OP|=4−1=3，从而S △ABQS△ABO=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【考点】三角形求面积【解析】（1）设BM=x，则AM=2√3x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．（2）由正弦定理得bsinB =csinC，从而sinC=√33，由b=12>c，得B>C，cosC=√63，从而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3√2+√36，由此能求出△ABC的面积．【解答】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【答案】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB→=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0 ，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×√5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【考点】平面与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值． 【解答】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB →=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【答案】 解：（1）由题可知：a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+ 0.75a ×0.1+0.7a ×0.04=0.873a ．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为 0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y 的所有可能取值为5000，10000，15000，20000． P(Y =5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题可知：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+ 0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P(Y=5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【答案】（1）解：因为抛物线C2:y2=8x的焦点(2, 0)，则c=2，b2=a2−c2=4，所以C1：x28+y24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28. 当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m+1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【考点】 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：因为抛物线C 2:y 2=8x 的焦点(2, 0)，则c =2，b 2=a 2−c 2=4， 所以C 1：x 28+y 24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28.当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m +1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【答案】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增． 令g(x)=af(x)−e x +x =ae 2x −(2a +1)e x +x ， 根据题意，当x ∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立． g′(x)=(2ae x −1)(e x −1)．①当0<a <12，x ∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)， 所以不符合题意；②当a ≥12，x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意； ③当a ≤0时，因为x ∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0， 故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x ∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0， 即a −(2a +1)≤0，解得：a ≥−1，故−1≤a ≤0． 综上，a 的取值范围是[−1, 0]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，计算f(0)，求出f′(0)的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g(x)=af(x)−e x +x ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可． 【解答】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．令g(x)=af(x)−e x+x=ae2x−(2a+1)e x+x，根据题意，当x∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立．g′(x)=(2ae x−1)(e x−1)．①当0<a<12，x∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)，所以不符合题意；②当a≥12，x∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a−(2a+1)≤0，解得：a≥−1，故−1≤a≤0．综上，a的取值范围是[−1, 0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x−y−34+a=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a=0．∵圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ρ2+ρ3=3+3√3．∵点M恰好为AB的中点，∴ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a=0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a=0，解得a=94．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l 的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C 的极坐标方程．（2）设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，从而ρ2+ρ3=3+3√3，进而M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，能求出a 的值．【解答】∵ 直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t（t 为参数），∴ 在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x −y −34+a =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，得到直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a =0． ∵ 圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0． 在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)． 联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ ρ2+ρ3=3+3√3． ∵ 点M 恰好为AB 的中点， ∴ ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)． 把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a =0，解得a =94．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|， 不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2，解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0． 所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n2−x +3−n,x >−n2 ，所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：试卷第21页，总21页 A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）代入m ，n 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）求出A ，B ，C 的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n 的不等式，解出即可．【解答】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|，不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2 或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2 或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2， 解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0．所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n 2−x +3−n,x >−n 2， 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．。

深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案1．解析：2{|10}{|1},{|4}{|22}A x x x x B x x x x =-<=<=<=-<<，所以(2,1)A B =-2i 2==，所以22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z -==-∴=+++-． 3．解析：甲、乙均被选中的概率为1335310C P C ==．4．解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1313333a S a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =-，所以41434436(2)02S a d ⨯=+=⨯+⨯-= 5．解析：因为点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，所以22131,44m m +>∴>，圆心(0,0)到直线20mx y -=的距离1d r =<=<=6其体积11152122112323V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．解析：执行程序框图，1,122i S i S i==→=→→=→→=是否4251052101216i S i S i →=→→=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→是否否否是2214272421858285170S i S i S →=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→→=⨯=否否否是 921701341i S →→=→→=⨯+=→否否输出341S =．8．解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，根据题意，222242m m a b b ⎧+-=+⎪⎨=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2c ==，离心率2c e a==．9． 解析：由(4)(4)f x f x -=+，可知函数()f x 是一个周期函数，周期为8，因为()f x 是偶函数，所以当40x -≤≤时，22()()()2()2f x f x x x x x =-=--⋅-=+，当1x =-时，()f x 有最小值，区间[4,0]-与区PADM N间[12,16]刚好相差2个周期，11615-+=，所以在区间[12,16]上，()f x 有最小值(15)f ．10．解析：()()cos f x x x x x x ωωωωωϕ⎫=-==-⎪⎪⎭，其中sin ϕ=，cos ϕ=()cos()f x x ωϕ'=-，设1122(,0),(,0)P x P x ，不妨设 120,x x ωϕωϕπ-=-=，则11()cos(f x x ωϕ'=-，22()cos()=f x x ωϕ'=--，因为该曲线在点12,P P 处的切线互相垂直，所以212()()31f x f x ω''⋅=-=-，又因0ω>，所以ω=． 11． 解析：将二面角A PO D --展开成一个平面，则当AN MN +取得最小值时，A N M 、、三点共线，且AM PD ⊥，由题可知，此时M 为PD 的中点，所以2PA AD ==，PO =，不妨设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，球心为O '．显然O '在线段PO 上，注意到BOO '△中，有222O B O O BO ''++，即22)1R R =+，解得R =P ABCD -的 外接球的表面积为21643R ππ=． 12．解析：对n N *∀∈，函数()n f x 都不单调，即函数()n f x 存 在极值点，故必存在0(,1)x n n ∈+，使得0001()10,1nn n a f x x a x -'=+=∴=-， 经检验，已知当11n n a n <-<+时，01n x a =-为函数()n f x 的极值点．即12,n n a n +<<+<<，,n b = 所以数列{}n b 的前100项依次为：33336383-21943371,1,,1,2,2,,2,3,3,,3,4,4,,4=-=个个个个，10016219337438307S ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．13．解析：345a b t a ⋅=+==，解得12t =．14．解析：作可行域如图所示，由2z x y =+可得1122y x z =-+表示斜率为12-，纵截距为12z 的直线，作直线12y x =-并平移，当直线过点(1,1)A a --时，直线在y 轴上的截距最大，此时 max 12(1)125z a a =-+⨯-=-=，解得2a =-．15．解析：当1x =时，得各项系数和为(3)81n-=，所以4n =，则展开式中的常数项为2224496C x x ⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭．2x y --O10+=x y a ++16易知(A 下求TC 设线段TC TB -17又因为B ⎛∈ ⎝ (A ∈ （2且AC S ∴△即(2n n 在△可得223m n mn ++=，…② ………………………………10分 联立①②可解得1m n ==，即1BD =．……………………………12分18. 解：（1）ABD △为等腰直角三角形，且90,BAD AB AD ∠=︒∴=，连接AF ，因为点F 是BD 的中点，AF BD ∴⊥，因为侧面ABD ⊥底面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，AF ∴⊥平面BDC ，…………………………………………………………………………………………1分 BC ⊂ 平面,BDC BC AF ∴⊥，…………………………………………………………………………2分设BC 中点为N ，连接DN ，由4BC BG =可知点G 是BN 的中点，又点F 是BD 的中点， 于是//FG DN ，……………………………………………………………………………………………3分,,CD BD BC DN BC FG =∴⊥∴⊥ ，………………………………………………………………4分 ,,,BC AF BC FG AF FG F BC ⊥⊥=∴⊥ 平面AFG ，又MF ⊂平面AFG ，BC MF ∴⊥．……………………………………………………………………5分 （2）连接MN ，FN 是BDC △的中位线，//FN CD ∴，CD ⊂ 平面,ACD FN ⊄平面,//ACD FN ∴平面ACD ，…………………………………………6分 //MF 平面,//ACD FN 平面,ACD MF FN F = ，且MF ⊂平面MNF ，FN ⊂平面MNF ，∴平面//MNF 平面ACD ，又平面MNF 平面AGC MN =，平面ACD 平面AGC AC =，//MN AC ∴，且13GM GN GA GC ==，…………………………………………………………7分 BDC △为等腰直角三角形，且CD BD =，CD BD ∴⊥，//FN CD ，FN BD ∴⊥， 又AF ⊥平面BDC ，FN FD FA ∴、、两两垂直，以F 为坐标原点，以FN FD FA 、、所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设1FD =，从而(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)F D C A B N -，G 是BN 的中点，111111111,,0,,,1,,,,222233663GM G GA GM GA GA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-∴=-=∴==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，易知111,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵E 是AC 的中点，111,,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，11111,,,1,,33322FM FE ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………8分设平面EMF 的法向量为(,,)n a b c = ，则111033311022n FM a b c n FE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，……………………9分解得21,33a cbc =-=，令3c =，(2,1,3)n ∴=- ，…………………………………………10分由（1）可知BC ⊥平面AFG ，即平面MFG 的一个法向量为(2,2,0)BC =，………………11分Bcos ,n BC n BC n BC⋅∴==⋅，易知二面角G MF E --所以二面角G MF E --的余弦值为．19．解：（1）易知123450.50.613, 1.0455t y +++++++====，……………………1分 5152221518.853 1.04ˆ0.3255535i ii ii t y t ybtt ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，…………………………………………………2分 ˆˆ 1.040.3230.08ay bt =-=-⨯=，…………………………………………………………3分 则y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.320.08yt =+，………………………………………………4分 当6t =时，ˆ 2.00y=，即2018年4月份参与竞拍的人数估计为2万人．………………5分 （2）（i ）依题意可得这200人报价的平均值x 和样本方差2s 分别为：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………6分222222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15(5.5 3.5)0.1s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=，…………………………………………………………………………8分（ii ）2018年4月份实际发放车牌数量为3174，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为3174100%15.87%20000⨯=，………………………………………………………………………………9分根据假设，报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且23.5, 1.7μσ==， 1.3σ∴=≈， 又1()()0.1587,( 4.8)0.15872P x P x P x μσμσμσ--<<++==∴=≥≥，………………11分所以可预测2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万．………………………………………………12分 20．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线l 的方程为2y kx p =-（易知l 的斜率必存在），由222x py y kx p ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2331212220,2,2x kpx p x x kp x x p -+=∴+==，…① …………………2分 1212121,1y y k k x x =∴= ，即1212x x y y =，………………………………………………………………3分 又221212()()y y kx p kx p =--，即2241212(1)()0k x x kp x x p --++=，…②将①代入②，整理得4320p p -=，又0p >，解得2p =．…………………………5分亦可由2212121222x x x x y y p p==⋅，得2124x x p =，2342,2p p p ∴=∴=． （2）设切点2111,2x T x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22x py =，得22x y p =，得x y p '=，所以切线斜率11x k p =，切线方程为 2111()2x x y x x p p -=-，将2(0,)M p -代入，得2312x p =，所以22112x y p p==，由对称性易知直线12TT 的方程为2y p =，…………………………………………………………………7分设直线l 的方程为2y kx p =-，设33(,)N x y ，因为点N 为直线12TT 与弦AB 的交点，由22y p y kx p⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得232p x k =，… ③ …………………………………8分 因为,MA MN MB MN λμ==，显然0,0λμ>>，331211MN MNx x x x MA MB λμ∴+=+=+，……………………………………………………………………10分 又123,,x x x 显然同号，33123121211x x x xx x x x x λμ+∴+=+=⋅，…………………………………………11分 由①、③可知，21233122222x x p kpx x x k p+⋅=⋅=，11+2λμ∴=，即11+λμ为定值2．………………………………………………………………12分21．解：（1）由()ax f x xe =，求导得()(1)ax f x ax e '=+，……………………………………1分①当0a =时，()0ax f x e '=>，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，因此函数()f x 无极值；…2分 ②若0a >，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '<，当1x a>-时，()0f x '>， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减；函数()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以函数()f x 存在极小值，极小值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极大值．…………………………3分③若0a <，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '>，当1x a>-时，()0f x '<， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增；函数()f x '在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；所以函数()f x 存在极大值，极大值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极小值．…………………………4分 （2）由题意有ln 1xxe x bx --≥恒成立，即ln 1xx b e x x--≤恒成立，……………………5分 设ln 1()(0)xx g x e x x x =-->，则22221ln 1ln ()x xx x e x g x e x x x-+'=-+=，………………6分 设2()ln x h x x e x =+，下面证明()0h x =有唯一解．易知()h x 单调递增，且(1)0h e =>，所以若()h x 有零点x ，则01x <<， 令()0h x =，可得ln xxxe x=-，(01)x << （※） 注意到ln ln ln (ln ),(01)x xxe f x x x--=-=-<<， 所以方程（※）等价于()(ln )f x f x =-，(01)x <<……………………………………………………8分 又由（1）可知，当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，又当01x <<时，ln (0,)x -∈+∞， 所以方程()(ln )f x f x =-等价于方程ln (01)x x x =-<<，………………………………9分 设函数()ln (01)m x x x x =+<<，则()m x 单调递增，又1110,(1)10m m e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0m x =， 即方程ln x x =-有唯一解0x ，即00ln x x =-，或01x ex =，……………………………………10分 因此方程()(ln )f x f x =-有唯一解0x ，代入得：200ln 0x x +=，所以()0h x =有唯一解0x ， 且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；……………………………………11分 所以()g x 的最小值为000000000ln ()111()1xx x g x e x x x x x -=--=--=， 所以1b ≤．………………………………………………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=，2222sin 3ρρθ∴+=， 又22222cos ,sin ,,33x y x y x y ρθρθρ===+∴+=，即2213x y +=，………………2分所以曲线C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．……………………………………4分（2）不妨设,sin )M ϕϕ，易知121ρρ==，即(0,1),(0,1)A B -，……………………5分010a -=-，解得a =，同理可得b =，……………7分a b ∴+9分显然当0ϕ=或π，即M 或(M 时，a b +=，即a b +的最小值为．23．解：（1）证明：111()()2f x x a x a x a x a a a a a ⎛⎫=-+++++--=+ ⎪⎝⎭≥，…………2分又1122()a a f x x a +=+∴≥≥．……………………………………4分 （2）若(2)3f ≤，即1223a a a-+++≤，又21(1)2a a a a +++=．……………………6分故可如下分类：①若0a <，则1223a a a ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭≤，即1230a a ++≥，即22310a a ++≤， 即1(21)(1)0,12a a a ++∴--≤≤≤，…………………………………………………………7分 ②若02a <<，则1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即11a -≤，所以此时a 无解，………………8分 ③若2a ≥，即1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即123a a +≤，即22310a a -+≤， 即(21)(1)0a a --≤，112a ∴≤≤，所以此时a 亦无解，………………………………9分 综上，112a --≤≤，即11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．……………………………………………………10分。

2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2018•深圳二模）设集合A＝{x|x﹣1＜0}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）2．（5分）（2018•深圳二模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）（2018•深圳二模）某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•东莞市模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3B．0C．3D．65．（5分）（2018•深圳二模）已知点P（1，m）在椭圆的外部，则直线与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切6．（5分）（2018•深圳二模）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．7．（5分）（2018•深圳二模）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A．170B．256C．341D．6828．（5分）（2018•深圳二模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．9．（5分）（2018•深圳二模）已知定义在R上的偶函数f（x）对任意实数x都有f（x﹣4）＝f（x+4），当0≤x ≤4时，f（x）＝x2﹣2x，则f（x）在区间[12，16]上（）A．有最小值f（16）B．有最小值f（15）C．有最小值f（13）D．有最小值f（12）10．（5分）（2018•深圳二模）已知点P1，P2为曲线y＝sinωx﹣cosωx（x∈R）（常数ω＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•深圳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．（5分）（2018•深圳二模）已知对∀n∈N*，关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其中a n（n＝1，2，…，k，…）为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[0.8]＝0，[π]＝3，设，记常数{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）A．310B．309C．308D．307二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2018•深圳二模）已知向量，，若，则实数t＝．14．（5分）（2018•深圳二模）已知a＜0，实数x，y满足，若z＝x+2y的最大值为5，则a＝．15．（5分）（2018•深圳二模）若的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为．16．（5分）（2018•深圳二模）已知A、B、C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A、B相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距公里，且C在A的东偏北30°方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟秒可接收到该信号．（A、B、C、T站均可视为同一平面上的点）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2018•三明模拟）在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且a cos B+b sin B ＝c．（1）求角C；（2）若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．18．（2018•深圳二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BDC均为等腰直角三角形，且∠BAD＝∠BDC＝90°，已知侧面ABD 与底面BDC 垂直，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，点G 在棱BC 上，且BC ＝4BG ，点M 是AG 上的动点． （1）证明：BC ⊥MF ；（2）当MF ∥平面ACD 时，求二面角G ﹣MF ﹣E 的余弦值．19．（2018•深圳二模）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值和样本方差s 2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）； （ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N （μ，σ2），且μ与σ2可分别由（i ）中所求的样本平均数及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．20．（2018•深圳二模）已知实数p＞0，且过点M（0，﹣p2）的直线l与曲线C：x2＝2py交于A、B两点．（1）设O为坐标原点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝1，求p的值；（2）设直线MT1、MT2与曲线C分别相切于点T1、T2，点N为直线T1T2与弦AB的交点，且，，证明：为定值．21．（2018•深圳二模）已知函数f（x）＝xe ax．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝1时，若f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2018•深圳二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线C的参数方程；（2）若点A、B在曲线C上，且点M（异于A、B两点）为曲线C上的动点．在直角坐标系中，设直线MA，MB 在x轴上的截距分别为a，b，求|a+b|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•深圳二模）已知函数（a≠0）．（1）证明：；（2）若f（2）≤3，求实数a的取值范围．2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2018•深圳二模）设集合A＝{x|x﹣1＜0}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，集合B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）（2018•深圳二模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【考点】A5：复数的运算．【分析】求出分子的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵＝，∴．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2018•深圳二模）某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n＝＝10，则甲、乙均被选中包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出甲、乙均被选中的概率．【解答】解：某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，基本事件总数n＝＝10，则甲、乙均被选中包含的基本事件个数m＝＝3，∴甲、乙均被选中的概率为p＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）（2018•东莞市模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3B．0C．3D．6【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝S3＝3，可得3×3+3d＝3，解得d．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝S3＝3，∴3×3+3d＝3，解得d＝﹣2．则S4＝4×3+×（﹣2）＝0，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2018•深圳二模）已知点P（1，m）在椭圆的外部，则直线与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【考点】K4：椭圆的性质．【分析】由P在椭圆的内部，求得m2＞，根据点到直线距离公式，即可判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由点P（1，m）在椭圆的外部，则m2＞，则圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线y﹣2mx﹣＝0的距离d＝＜＜1，∴直线y﹣2mx﹣＝0与圆x2+y2＝1相交，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基础题．6．（5分）（2018•深圳二模）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．1C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱和一个四棱锥的组合体，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱 和一个四棱锥的组合体，V 三棱柱＝×2×1×1＝1，V 四棱锥＝×2×1×1＝，∴该几何体的体积为1+＝． 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 7．（5分）（2018•深圳二模）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（ ）A．170B．256C．341D．682【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1i＝2，满足条件i为偶数，S＝2不满足条件i＞8，执行循环体，i＝3，不满足i为偶数，S＝5不满足条件i＞8，执行循环体，i＝4，满足i为偶数，S＝10不满足条件i＞8，执行循环体，i＝5，不满足i为偶数，S＝21不满足条件i＞8，执行循环体，i＝6，满足i为偶数，S＝42不满足条件i＞8，执行循环体，i＝7，不满足i为偶数，S＝85不满足条件i＞8，执行循环体，i＝8，满足i为偶数，S＝170不满足条件i＞8，执行循环体，i＝9，不满足i为偶数，S＝341此时，满足条件i＞8，退出循环，输出S的值为341．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）（2018•深圳二模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【分析】由题意求出c＝2，再根据焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，求出b＝，即可求出a＝1，根据离心率公式计算即可【解答】解：∵椭圆与双曲线有共同的焦点，∴4+m2﹣m2＝a2+b2，∴双曲线的焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）设F＝（2，0）其渐近线方程为y＝±x，∵焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，∴2×＝2，∴＝，∴b＝，∴a2＝c2﹣b2＝1，∴e＝＝2，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质，考查了运算能力，属于基础题9．（5分）（2018•深圳二模）已知定义在R上的偶函数f（x）对任意实数x都有f（x﹣4）＝f（x+4），当0≤x ≤4时，f（x）＝x2﹣2x，则f（x）在区间[12，16]上（）A．有最小值f（16）B．有最小值f（15）C．有最小值f（13）D．有最小值f（12）【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据f（x﹣4）＝f（x+4）即可得出f（x）＝f（x+8），从而求出f（x）的周期为8，从而得出x∈[12，16]时，f（x）＝f（x﹣16），而根据x∈[12，16]即可得出x﹣16∈[﹣4，0]，据题意可得出f（x）在[﹣4，0]上的最小值为f（﹣1），这样x＝﹣1向右平移16个单位即可得出f（x）在[12，16]上的最小值．【解答】解：f（x﹣4）＝f（x+4）；∴f（x）＝f（x+8）；即f（x）的周期为8；∴x∈[12，16]时，f（x）＝f（x﹣16）；∵x∈[12，16]，∴x﹣16∈[﹣4，0]；当0≤x≤4时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，即x＝1时，f（x）取最小值；根据f（x）是偶函数，x＝﹣1时，f（x）在[﹣4，0]上取最小值；将x＝﹣1向右平移16个单位，即得到f（x）在[12，16]上的最小值f（15）．故选：B．【点评】考查周期函数的定义，偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及图象的平移概念．10．（5分）（2018•深圳二模）已知点P1，P2为曲线y＝sinωx﹣cosωx（x∈R）（常数ω＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用辅助角公式化简，求解相邻两个对称中心以及切线，根据切线互相垂直建立关系即可求解ω的值．【解答】解：曲线y＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣θ），tanθ＝；y′＝ωcosωx+ωsinωx．令ωx﹣θ＝kπ，k∈Z．由k＝0，可得一个对称中心为P1（，0），k＝1时，可得相邻的对称中心为P2（，0），曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为﹣1，∴（ωcosθ+ωsinθ）[cos（π+θ）+ωsin（θ+π）]＝﹣1，∴（ωcosθ+ωsinθ）2＝1，2ω2cos2θ+2ω2sinθcosθ+ω2sin2θ＝1，即2ω2+2ω2×tanθ+ω2tan2θ＝tan2θ+1，解得：ω＝，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为﹣1是解决本题的关键．属于中档题．11．（5分）（2018•深圳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】在PC上取对应的点M′，显然当M′为PC的中点时，AM′⊥PC，计算棱锥的高，利用勾股定理计算球的半径，从而得出球的表面积．【解答】解：在PC上取点M′，使得PM′＝PM，则MN＝M′N，当AM′⊥PC时，AM′取得最小值，即AN+NM′的最小值为AM′，∵M为PD的中点，故而M′为PC的中点，∴PA＝AC＝2，∴PO＝＝，设外接球的半径为r，则r2＝（﹣r）2+1，解得：r＝．∴外接球的表面积为4πr2＝．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，球的表面积计算，属于中档题．12．（5分）（2018•深圳二模）已知对∀n∈N*，关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其中a n（n＝1，2，…，k，…）为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[0.8]＝0，[π]＝3，设，记常数{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）A．310B．309C．308D．307【考点】8E：数列的求和．【分析】根据关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，其f n′（x）＝0（n＜x＜n+1）有解．可得a n的范围，根据定义[x]为不超过实数x的最大整数，设，可得b1，b2，……b n的整数，即可求解数列{b n}的前100项和S100的值．【解答】解：根据关于x的函数f n（x）＝x+（1﹣a n）lnx（n＜x＜n+1）都不单调，∴f n′（x）＝＝0在（n＜x＜n+1）有解．可得：x＝a n﹣1，∴n＜a n﹣1＜n+1∴n+1＜a n＜n+2当n＝1时，可得2＜a1＜3，当n＝2时，可得3＜a2＜4，……101＜a100＜102，设，可得：b1＝b2＝…＝b6＝1，b7＝b8＝…＝b25＝2．b26＝b27＝…＝b62＝3，b63＝b64＝……＝b100＝4．数列{b n}的前100项和为S100＝b1+b2+……+b100＝1×6+2×19+3×37+38×4＝307．故选：D．【点评】本题考查了导数的运用：求单调性，考查新定义的理解和运用，以及数列的求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2018•深圳二模）已知向量，，若，则实数t＝．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【分析】根据向量的数量积和向量的模即可求出．【解答】解：∵向量，，∴•＝3+4t，||＝＝5，∵，∴3+4t＝5，解得t＝，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模，属于基础题14．（5分）（2018•深圳二模）已知a＜0，实数x，y满足，若z＝x+2y的最大值为5，则a＝﹣2．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由图象可知z＝x+2y在点A（﹣1，1﹣a）处取得最大值，此时﹣1+2（1﹣a）＝5，解得a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．（5分）（2018•深圳二模）若的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为96．【考点】DA：二项式定理．【分析】由已知可得n的值，写出二项式的通项，令x的指数为0，可得r的值，则答案可求．【解答】解：在中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为（﹣3）n，结合题意可得（﹣3）n＝81，解得n＝4．∴的展开式的通项公式为：T r+1＝＝（﹣4）r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项为＝96．故答案为：96．【点评】本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．16．（5分）（2018•深圳二模）已知A、B、C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A、B相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距公里，且C在A的东偏北30°方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟400秒可接收到该信号．（A、B、C、T站均可视为同一平面上的点）【考点】J3：轨迹方程．【分析】求出T的轨迹方程，计算|BC|，从而当T，B，C三点共线时|TC|﹣|TA|取得最大值，求出此最大值即可得出答案．【解答】解：由题意可知|TA|﹣|TB|＝200，∴T点轨迹为以A，B为焦点的双曲线的靠近B点的一支，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos30°＝360000，∴BC＝600，∵|TC|﹣|TA|＝|TC|﹣（|TB|+200）＝|TC|﹣|TB|﹣200≤|BC|﹣200＝400，∴当T，B，C三点共线时，|TC|﹣|TA|取得最大值400，故而C站比A站最多迟400秒可接收到该信号．故答案为：400．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2018•三明模拟）在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且a cos B+b sin B ＝c．（1）求角C；（2）若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，结合三角形内角和定理求得C的值；（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理和三角形的面积公式求得线段BD的值．【解答】解：（1）△ABC中，且a cos B+b sin B＝c，由正弦定理得，sin A cos B+sin B sin B＝sin C，∴sin A cos B+sin2B＝sin（A+B），∴sin A cos B+sin2B＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin2B＝cos A sin B，B为锐角，∴sin B＞0，∴sin B＝cos A，∴A+B＝，∴C＝；（2）若B＝，则A＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，如图所示，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos，设AD＝x，由AC＝b，∴3＝b2+x2﹣2×b×x×…①，△ACD的面积为•b•x•sin＝，∴bx＝3…②，由①②解得b＝，x＝3或b＝3，x＝；当b＝，x＝3时，AB＝2，BD＝1；当b＝3，x＝时，不满足题意；综上，线段BD＝1．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与三角形内角和定理，是综合题．18．（2018•深圳二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BDC均为等腰直角三角形，且∠BAD＝∠BDC＝90°，已知侧面ABD与底面BDC垂直，点E是AC的中点，点F是BD的中点，点G在棱BC上，且BC＝4BG，点M是AG上的动点．（1）证明：BC⊥MF；（2）当MF∥平面ACD时，求二面角G﹣MF﹣E的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）证明BC⊥平面AGF即可得出BC⊥MF；（2）建立空间坐标系，设＝λ，根据MF∥平面ACD求出M的位置，求出平面MEF和平面GMF的法向量，从而得出二面角G﹣MF﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点N，连接DN，则DN⊥BC，G是BN的中点，∵F是BD的中点，∴FG∥DN，∴FG⊥BC，∵△ABD是等腰直角三角形，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又侧面ABD⊥底面BDC，侧面ABD∩底面BDC＝BD，∴AF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，∴AF⊥BC，又FG∩AF＝F，∴BC⊥平面AFG，∵MF⊂平面AGF，∴BC⊥MF．（2）解：以D为原点，以DB，DC为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BD＝CD＝2，则A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，0），E（，1，），G（，，0），∴＝（0，2，0），＝（1，0，1），＝（﹣，﹣，1），＝（，，0），＝（﹣，1，），设平面ACD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，0，﹣1），设＝λ＝（﹣，﹣，λ），则＝＝（，，λ），∵MF∥平面ACD，∴，∴＝0，解得λ＝，∴＝（，，），设平面MFE的法向量为＝（x 1，y 1，z 1），则，即，令z 1＝6，可得＝（﹣2，﹣4，6）， 又BC ⊥平面AFG，∴＝（﹣2，2，0）是平面GFM 的一个法向量，∵cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角G ﹣MF ﹣E的余弦值为﹣．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．19．（2018•深圳二模）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i）求这200位竞拍人员报价X的平均值和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N（μ，σ2），且μ与σ2可分别由（i）中所求的样本平均数及s2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据（1）求出P．根据表中数据求解平均值和样本方差s2，由正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，由此可得3.5﹣1.7＜Z＜5.2．P（Z＞5.2）＝＝0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．【解答】解：（1）由题意求出＝3，＝1.04．由，，＝＝那么＝1.04﹣0.32×3＝0.08从而得到回归直线方程为y ＝0.32x +0.08． 当t ＝6时，可得y ＝0.32×6+0.08＝2（万）（2）（i ）根据表中数据求解平均值＝＝3.5．样本方差s 2＝（﹣2）2×+（﹣12）×+0+12×+22×＝1.7．（ii ）P ＝．正态分布N （μ，σ2），可得（3.5，1.72） ∴P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）＝0.6826， 即3.5﹣1.3＜Z ＜4.8．P （Z ＞1.8）＝＝0.1587，∴2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万元．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的正态分布N （μ，σ2），平均数及s 2估值．是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式的合理运用．20．（2018•深圳二模）已知实数p ＞0，且过点M （0，﹣p 2）的直线l 与曲线C ：x 2＝2py 交于A 、B 两点． （1）设O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2＝1，求p 的值；（2）设直线MT 1、MT 2与曲线C 分别相切于点T 1、T 2，点N 为直线T 1T 2与弦AB 的交点，且，，证明：为定值．【考点】K8：抛物线的性质．【分析】（1）设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣p 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组，根据韦达定理和斜率公式即可求出，（2）分别求出T 1、T 2的坐标，可得直线T 1T 2的方程为y ＝4，即可求出N 的坐标，再根据向量的运算即可证明． 【解答】解：（1）设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣p 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组，消y 可得x 2﹣2pkx +2p 3＝0，∴x 1x 2＝2p 3，x 1+x 2＝2pk ，∴y 1y 2＝k 2x 1x 2﹣kp 2（x 1+x 2）+p 4＝p 4，∵直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，k 1k 2＝1，∴＝1，即＝1，解得p＝2，证明（2）由（1）可知x2＝4y，M（0，﹣1），可设直线y＝kx﹣4，由（1）可得y1y2＝16设过点M与x2＝4y的相切的切线的坐标为（x0，x02），∵y′＝x，∴k＝x0＝，解得x0＝±4，∴T1（﹣4，4），T2（4，4），∴直线T1T2的方程为y＝4，由，解得x＝，y＝4，∴N（，4），∵＝（x1，y1+4），＝（，8），＝（x2，y2+4），∵，，∴（x1，y1+4）＝λ（，8），（x2，y2+4）＝μ（，8），∴，，∴y1y2＝（8λ﹣4）（8μ﹣4）＝64λμ+32λ﹣32μ+16＝16∴2λμ﹣λ﹣μ＝0，∴+＝2，故：为定值．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，根与系数的关系，斜率公式，向量的坐标运算，属于中档题21．（2018•深圳二模）已知函数f（x）＝xe ax．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝1时，若f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】（1）f′（x）＝e ax+axe ax＝e ax（1+ax），对a分类讨论即可得出单调性．（2）当a＝1时，f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，化为：bx+1≤xe x﹣lnx．令g（x）＝xe x﹣lnx．g′（x）＝e x+xe x﹣＝u（x），在（0，+∞）上单调递增，u（）＝﹣4＜0，u（）＝﹣2＞0，存在x0使得u（x0）＝0．函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．令直线l，y＝bx+1，假设直线l与曲线g（x）相切于点P（x1，y1）．g′（x1）＝﹣＝b，﹣lnx1＝bx1+1，x1满足+lnx1＝0，x1∈．可得b＝1时，直线l与曲线相切于点P（x1，y1）．g″（x）＞0，因此直线l与曲线相切于唯一切点点P（x1，y1）．即可得出结论．【解答】解：（1）f′（x）＝e ax+axe ax＝e ax（1+ax），①a＝0时，f（x）＝x在R上单调递增．②a＞0时，f′（x）＝e ax（1+ax）＝ae ax（x﹣），∴函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．③a＜0时，f′（x）＝e ax（1+ax）＝ae ax（x﹣），∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）当a＝1时，f（x）﹣lnx﹣bx≥1恒成立，∴b≤，（x＞0）．化为：bx+1≤xe x﹣lnx．令g（x）＝xe x﹣lnx．g′（x）＝e x+xe x﹣＝u（x），在（0，+∞）上单调递增，u（）＝﹣4＜0，u（）＝﹣2＞0，∴存在x0使得u（x0）＝0．∴函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．令直线l，y＝bx+1，假设直线l与曲线g（x）相切于点P（x1，y1）．则g′（x1）＝﹣＝b，﹣lnx1＝bx1+1，x1满足+lnx1＝0，x1∈．则b＝1时，直线l与曲线相切于点P（x1，y1）．g″（x）＝e x（2+x）+＞0，因此直线l与曲线相切于唯一切点点P（x1，y1）．∴b＜1时，bx+1＜xe x﹣lnx＝g（x）．可得b≤1．∴b的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、研究切线方程、函数极值点存在问题、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2018•深圳二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线C的参数方程；（2）若点A、B在曲线C上，且点M（异于A、B两点）为曲线C上的动点．在直角坐标系中，设直线MA，MB 在x轴上的截距分别为a，b，求|a+b|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为，化为：ρ2（1+2sin2θ）＝3，利用极坐标与直角坐标方程的互化可得直角坐标方程与参数方程．（2）点，，可得：A（0，1），B（0，﹣1）．设M（m，n），则+n2＝1.．m≠0．直线AM，BM的方程分别为：y＝x+1，y＝x﹣1．（m≠0，n≠±1）．可得a＝，b＝．可得：|a+b|的最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为，化为：ρ2（1+2sin2θ）＝3，可得x2+y2+2y2＝3，可得：+y2＝1，于是曲线C的参数方程为：（θ为参数）．（2）点，，可得：A（0，1），B（0，﹣1）．设M（m，n），则+n2＝1.．m≠0．直线AM，BM的方程分别为：y＝x+1，y＝x﹣1．（m≠0，n≠±1）．可得a＝，b＝．∴|a+b|＝|+|＝＝≥2．综上可得：|a+b|的最小值为2．【点评】本题考查椭圆极坐标方程与直角坐标方程的互化及其参数方程、直线方程、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•深圳二模）已知函数（a≠0）．（1）证明：；（2）若f（2）≤3，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，根据基本不等式的性质证明即可；（2）得到关于a的不等式，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣a|+|x+a+|≥|x﹣a﹣x﹣a﹣|＝|2a+|，a＞0时，f（x）＝2a+≥2＝2，a＜0时，f（x）＝﹣2a﹣≥2＝2，故f（x）≥2；（2）若f（2）≤3，则|2﹣a|+|2+a+|≤3，故或或，解得：≤a≤1或﹣1≤a≤﹣．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

七校联合体2018届高三第二次联考数学试卷参考答案 一、 选择题二、 填空题13、 2π+ 14、 1 15、 32- 16、 (1,5)-三、 解答题17、解：（1）∵2sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵02πϕ<<∴5336πππϕ<+<∴32ππϕ+= 解得：6πϕ=………4分 （2）由（1）知：6πϕ=∴()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭∵()()2sin 2sin 66ff ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin 6666ππππθθθθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭4cos sin6πθ=82cos 5θ==∴4cos 5θ=…………8分∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴3sin 5θ===……………………10分∴344822sin 22sin 24sin cos 46665525f πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫-=-+===⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…12分18、解：（Ⅰ）由()*21log ,2n n n T n N -=∈，得()122n n n T -=， 所以()()()12*212,2n n n T n N n ---=∈≥，所以()()()()()()111221*221212222,,22n n n n n n n n n n n n T a n N n T ---------====∈≥．又01121a T ===，所以1*2,n n a n N -=∈………………………………………………………………6分（Ⅱ）由1121n n n b a λλ-=-=-，得()122112nn n S n n λλ-=⋅-=---， 所以()()()11121121212n n n n n nS S n n λλλλ++>⇔--+>--⇔>⇔>． 因为对任意的*11,22n n N ∈≤，故所求的l 取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．…………………………………12分 19、解：（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，可知1111,AB D C AB D C = ，则四边形11ABC D 是平行四边形，所以11AD BC 。

6题图2017—2018学年高三第二次联考文科数学 2017．12一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={x|x=2n —l ，n ∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A ∩B=（ ）A ．}1{B ．}41{<<x xC ．{}13,D ．{1，2，3，4} 2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ）A ．i 54 B ．54C ．i 4D ．4 3.设n S 为等比数列{n a }的前n 项和， 47270a a +=，则42SS＝（ ）A ．10B ．9C ．－8D ．－54．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ）A . 6B . 4C . -4D .6-5.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点()11,0F -作x 轴的垂线，垂线与双曲线交于B A ,两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为23，则双曲线的离心率为（ ）A ．23B ．4C ．3D ．26．给出50个数：1，3，5，7，…，99，要计算这50个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( ) A.i ≤50？和p ＝p ＋1 B. i ≤51？和p ＝p ＋1 C. i ≤51？和p ＝p ＋2 D. i ≤50？和p ＝p ＋2 7.设函数y=xsinx+cosx 的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为( )8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润7万元，每吨乙产品可获得利润3万元。

秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若112z =+i , 21z =-i ，则12z z =A ．6B CD 2．已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，则MN = A ．(]1,2-B ．[]1,2-C ．{}0,2D ．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 若输出32y =，则输入x 的值为A ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3-D4．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为A ．13y x =±B ．y x =C ．y =D ．3y x =±5．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．若αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．3π=+βα B ．6π=+βα C ．3π=-βα D ．6π=-βα7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与C 相交于,A B 两 点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为A ．12B 1CD 18．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．18+πB ．182+πC ．16+πD ．162+π 9．已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，则()f x 的单调递增区间是A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．已知函数()f x =e 2x x +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．e ln 2a b +>B ．e ln 2a b +<C ．223a b +<D ．1ab >11P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A B C D 12．已知直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ， 且AB AC =，则()31=+∑i i i x y = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,==a b ()⊥+λa a b ，则实数λ= ． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,… 这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）……15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是 ．（用数字作答） 16．已知等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+，其中n ∈N *．（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式;（2）令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A A C =，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒．（1）证明:11A A A C ⊥；（2）求二面角1A A B C --的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品．（1）求该盒A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)．（ⅰ）求()40P X =；（ⅱ）求X 的分布列和数学期望EX ．20．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，若△MON 是等腰三角形， 求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =e 2x x ax --． （1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭． 参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ．（1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

2018年高三数学二模理科试卷(广州市含答案)
5 c 广东省广州市2=0的位置关系是
A相交B相切c相离D取决于的值
3若1-i(i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px +q=0(p、q∈R)的一个解，则p+q=
A-3 B -1 c 1D 3
4已知函数=f(x)的图象如图l所示，则其导函数=f’(x)的图象可能是
5若函数的一个对称中心是( ,则ω的最小值为
A1B 2c 4D 8
6一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l7的上、下两部分，则截面的面积为
A B
c B
7某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为15万元年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是
A 8 年
B I 年c 12 年D 15 年
9记实数x1，x2,…，xn中的最大数为ax{x1，x2,…，xn} ,最小数为in{x1，x2,…，xn}则ax{in{x+1，x2 - x + 1, -x +6}}=
A B 1 c 3 D
二、填空题本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分
(-)必做题（9-13题）
9某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为 234 现用分层抽样的方法抽出一个容量为。

秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若112z =+i , 21z =-i ，则12z z = A ．6BCD 2．已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，则M N =A ．(]1,2-B ．[]1,2- C ．{}0,2D．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 若输出32y =，则输入xA ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3-D 4．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为A ．13y x =±B ．y x =C ．y =D ．3y x =±5．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大 6．若αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．3π=+βα B ．6π=+βα C ．3π=-βαD ．6π=-βα7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为A ．12B 1CD 18．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 该几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A ．18+π B ．182+π C ．16+πD ．162+π9．已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜，则()f x 的单调递增区间是 A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．已知函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是 A ．e ln 2ab +>B ．e ln 2ab +<C ．223a b +<D ．1ab >11P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A B C D 12．已知直线l与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ，且AB AC =，则()31=+∑iii x y =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,==a b ()⊥+λa a b ，则实数λ= ． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是 ．（用数字作答）16．已知等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+， 其中n ∈N *．（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; （2）令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A AC =，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒． （1）证明: 11A A AC ⊥；（2）求二面角1A A B C --的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． （1）求该盒A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． （ⅰ）求()40P X =；（ⅱ）求X 的分布列和数学期望EX ．20．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，若△MON 是等腰三角形， 求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =e 2xx ax --．（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ． （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

秘密★启用前 试卷类型：A2018年市普通高中毕业班综合测试〔二〕理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设112z =+i , 21z =-i ，那么12z z = A ．6B 2．集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，那么M N =A ．(]1,2-B ．[]1,2-C ．{}0,2D．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 假设输出32y =，那么输入A ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4．假设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，那么C 的渐近线方程为 A ．13y x =±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．3y x =± 5．根据以下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的选项是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．假设αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么 A ．3π=+βαB ．6π=+βαC ．3π=-βαD ．6π=-βα7．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，那么C 的离心率为A ．212-B ．21-C ．312-D ．31-8．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 该几何体的三视图，那么该几何体的外表积是 A ．18+πB ．182+π C ．16+πD ．162+π实际利用外资规模 实际利用外资同比增速9．x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜，那么()f x 的单调递增区间是 A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，那么以下不等式中成立的是A ．e ln 2ab +>B ．e ln 2ab +<C ．223a b +<D ．1ab >11．体积为3P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，那么球O 的体积的最小值为A ．773πB ．2873C ．19193D ．76193π 12．直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ，且AB AC =，那么()31=+∑iii x y =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．13．向量a 与b 的夹角为4π，2,2==a b ()⊥+λa a b ，那么实数λ=． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数〞，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数〞．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数〞都可以看作两个相邻“三角形数〞之和，以下等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是．〔填写所有正确结论的编号〕……15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是．〔用数字作答〕16．等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC ，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 〔一〕必考题：共60分． 17．〔本小题总分值12分〕各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+， 其中n ∈N *．〔1〕证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; 〔2〕令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．〔本小题总分值12分〕如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A AC =， 侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒． 〔1〕证明: 11A A AC ⊥；〔2〕求二面角1A A B C --的余弦值．19．〔本小题总分值12分〕某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，假设4件都为合格品，那么认为该盒产品合格且其余产品不再检验；假设4件中次品数多于1件，那么认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；假设4件中只有1件次品，那么把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品那么认为该盒产品合格，检验出次品那么认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． 〔1〕求该盒A 产品可出厂的概率；〔2〕每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． 〔ⅰ〕求()40P X =；〔ⅱ〕求X 的分布列和数学期望EX ．A 1C 1B 1CBA20．〔本小题总分值12分〕O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =．〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，假设△MON 是等腰三角形， 求直线l 的方程.21．〔本小题总分值12分〕函数()f x =e 2xx ax --．〔1〕假设函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值围；〔2〕假设1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题计分．22．〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．〔1〕求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； 〔2〕假设l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=a 的值．23．〔本小题总分值10分〕选修4－5：不等式选讲函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ． 〔1〕求M ；〔2〕证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

2018年省高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，假设A∩B={0}，那么x+y=〔〕A．B．0 C．1 D．32．假设复数z1=1+i，z2=1﹣i，那么以下结论错误的选项是〔〕A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i3．=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么〔〕A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．84．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率为〔〕A．B．C．D．5．等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，那么=〔〕A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．816．双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，且双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的方程为〔〕A．=1 B．C．=1 D．=1或=17．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+128．设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值围是〔〕A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！〞国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的选项是〔〕A．B．C．D．10．数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足〔2n﹣5〕a n+1=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，n，m∈N+，n＞m，那么S n﹣S m的最小值为〔〕A．B．C．﹣14 D．﹣2811．菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，那么该四面体ABCD外接球的体积为〔〕A．B．8πC．D．36π12．函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，那么下面对函数f〔x〕的描述正确的选项是〔〕A．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕≥B．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕C．∃x0∈〔﹣3，+∞〕，f〔x0〕=﹣1 D．f〔x〕min∈〔0，1〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．将函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g〔x〕的图象，那么φ的最大值是．14．a＞0，b＞0，〔ax+〕6展开式的常数项为，那么a+2b的最小值为．15．函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，关于x的不等式f〔log3x〕＜1的解集为．16．设过抛物线y2=2px〔p＞0〕上任意一点P〔异于原点O〕的直线与抛物线y2=8px 〔p＞0〕交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px〔p＞0〕的另一个交点为Q，那么=三、解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8．〔1〕假设点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；〔2〕假设b=12，求△ABC的面积．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．〔1〕证明：平面ABCD⊥平面EDCF；〔2〕求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为a〔单位：元〕，在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额〔单位：万元〕相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：上一年度销售额/万元[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400〕[400，500〕[500，+∞〕商品单价/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a为了研究该商品购置单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．某经销商下一年购置该商品的单价为X〔单位：元〕，且以经销商在各段销售额的频率作为概率．〔1〕求X的平均估计值．〔2〕该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购置单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率记Y〔单位：元〕表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列与数学期望..20．椭圆C1：〔b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．〔1〕假设M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为〔1，1〕，求直线MN 的斜率；〔2〕假设过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．21．f′〔x〕为函数f〔x〕的导函数，f〔x〕=e2x+2f〔0〕e x﹣f′〔0〕x．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕当x＞0时，af〔x〕＜e x﹣x恒成立，求a的取值围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求直线l和圆C的极坐标方程；〔2〕假设射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|mx+3|﹣|2x+n|．〔1〕当m=2，n=﹣1时，求不等式f〔x〕＜2的解集；〔2〕当m=1，n＜0时，f〔x〕的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值围．2018年省高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，假设A∩B={0}，那么x+y=〔〕A．B．0 C．1 D．3【分析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】解：A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．应选：C．【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念与运算，以与元素与集合的关系．2．假设复数z1=1+i，z2=1﹣i，那么以下结论错误的选项是〔〕A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算与复数模的求法逐一判断得答案．【解答】解：∵z1=1+i，z2=1﹣i，∴z1•z2=1﹣i2=2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．应选：D．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是根底题．3．=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么〔〕A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法那么，计算即可．【解答】解：=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么﹣1×〔m﹣4〕﹣3×m=0；解得m=1；∴=〔1，﹣3〕=〔2，3〕；=1×2+〔﹣3〕×3=﹣7．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是根底题．4．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率为〔〕A．B．C．D．【分析】根据图象的关系，求出阴影局部的面积，结合几何概型的概率公式进展求解即可．【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，那么阴影局部将构成一个直角三角形，那么阴影局部的面积为正方形面积的，那么向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率P=，应选：D．【点评】此题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影局部的面积是解决此题的关键．5．等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，那么=〔〕A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81【分析】等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，可得=3〔a2q+a2〕，化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8=q4×9，代入=q4．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，∴=3〔a2q+a2〕，化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9那么==q4=9．应选：B．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式与其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，且双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的方程为〔〕A．=1 B．C．=1 D．=1或=1【分析】由题意可得c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，可得c=4，即有a2+b2=c2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y=x和直线y=﹣x垂直，可得a=b，解方程可得a=b=2，那么双曲线的方程为﹣=1．应选：A．【点评】此题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以与两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查方程思想和运算能力，属于根底题．7．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的外表积即可．【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径一样为1，圆柱的高为3，几何体的外表积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．应选：B．【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和外表积，解决此题的关键是得到该几何体的形状．8．设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值围是〔〕A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x 可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域〔如图阴影〕变形目标函数可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知当直线经过点A〔﹣2，0〕时，目标函数取最小值﹣4当直线经过点B〔2，0〕时，目标函数取最大值4，故z=﹣2x+y的取值围为[﹣4，4]．应选：B．【点评】此题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！〞国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的选项是〔〕A．B．C．D．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：由中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由S n=2n﹣1得：S n+1=2n+1﹣1=2S n+1，故循环体S=1+2S，应选：C．【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足〔2n﹣5〕a n+1=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，n，m∈N+，n＞m，那么S n﹣S m的最小值为〔〕A．B．C．﹣14 D．﹣28【分析】由等式变形，可得{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5，运用等差数列的通项公式可得a n，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n，讨论n 的变化，S n的变化，僵尸可得最小值．【解答】解：∵〔2n﹣5〕a n=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，+1∴﹣=1，=﹣5．可得数列{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5．∴=﹣5+n﹣1=n﹣6，∴a n=〔2n﹣5〕〔n﹣6〕=2n2﹣17n+30．∴S n=2〔12+22+……+n2〕﹣17〔1+2+……+n〕+30n=2×﹣17×+30n=．可得n=2，3，4，5，S n递减；n＞5，S n递增，∵n，m∈N+，n＞m，S1=15，S2=19，S5=S6=5，S7=14，S8=36，S n﹣S m的最小值为5﹣19=﹣14，应选：C．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，那么该四面体ABCD外接球的体积为〔〕A．B．8πC．D．36π【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】解：如下图，取BD中点F，连结AF、CF，那么AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，∴cos∠AFC=﹣，cos，AF=CF==3，∴AE=2，EF=1，设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，设OO′=x，∵O′B=CF=2，O′F==1，∴由勾股定理得R2=O′B2+OO'2=4+x2=OG2+AG2=〔1+1〕2+〔2﹣x〕2，解得x=，∴R2=6，即R=，∴四面体的外接球的体积为V=πR3==8π．应选：B．【点评】此题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等根底知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．12．函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，那么下面对函数f〔x〕的描述正确的选项是〔〕A．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕≥B．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕C．∃x0∈〔﹣3，+∞〕，f〔x0〕=﹣1 D．f〔x〕min∈〔0，1〕【分析】此题首先要对函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕进展求导，确定f′〔x〕在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈〔a，b〕时，利用f′〔a〕f′〔b〕＜0确定导函数的极值点x0∈〔﹣1，﹣〕从而．得到x=x0时是函数f〔x〕的最小值点．【解答】解：因为函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，定义域为〔﹣3，+∞〕，所以f′〔x〕=e x﹣，易知导函数f′〔x〕在定义域〔﹣3，+∞〕上是单调递增函数，又f′〔﹣1〕＜0，f′〔﹣〕＞0，所以f′〔x〕=0在〔﹣3，+∞〕上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈〔﹣1，﹣〕，那么x=x0为f〔x〕的最小值点，且f′〔x0〕=0，即e=，两边取以e为底的对数，得x0=﹣ln〔x0+3〕故f〔x〕≥f〔x0〕=e﹣ln〔x0+3〕=﹣ln〔x0+3〕=+x0，因为x0∈〔﹣1，﹣〕，所以2＜x0+3，故f〔x〕≥f〔x0〕=＞2+=﹣，即对∀x∈〔﹣3，+∞〕，都有f〔x〕＞﹣．应选：B．【点评】此题外表考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是根底，熟练运用知识点解决问题是关键．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．将函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g〔x〕的图象，那么φ的最大值是．【分析】根据三角函数图象平移法那么，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】解：函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得f〔x+〕=2sin[2〔x+〕+φ]=2sin〔2x+φ+〕的图象，∴g〔x〕=2sin〔2x++φ〕；又g〔x〕是偶函数，∴+φ=+kπ，k∈Z；∴φ=﹣+kπ，k∈Z；又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是根底题．14．a＞0，b＞0，〔ax+〕6展开式的常数项为，那么a+2b的最小值为2．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab=，再由根本不等式求a+2b的最小值．【解答】解：〔ax+〕6展开式的通项为x6﹣2r，由6﹣2r=0，得r=3．∴，即．∴a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=〞．∴a+2b的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用根本不等式求最值，是根底题．15．函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，关于x的不等式f〔log3x〕＜1的解集为〔0，1〕．【分析】利用单调性求解即可．【解答】解：函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，可知f〔x〕时单调递增函数，当x=0时，可得f〔0〕=1，那么不等式f〔log3x〕＜f〔0〕的解集，即，解得：0＜x＜1．故答案为〔0，1〕【点评】此题考查的知识点是对数函数的图象和性质，符合函数的单调性判断，3难度不大，属于根底题．16．设过抛物线y2=2px〔p＞0〕上任意一点P〔异于原点O〕的直线与抛物线y2=8px 〔p＞0〕交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px〔p＞0〕的另一个交点为Q，那么=3【分析】联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．【解答】解：设直线OP方程为y=kx〔k≠0〕，联立方程组，解得P〔，〕，联立方程组，解得Q〔，〕，∴|OP|==，|PQ|==，∴==3．故答案为：3．【点评】此题考查了抛物线的性质，属于中档题．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8．〔1〕假设点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；〔2〕假设b=12，求△ABC的面积．【分析】〔1〕设BM=x，那么AM=2x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．〔2〕由正弦定理得=，从而sinC=，由b=12＞c，得B＞C，cosC=，从而sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC=，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：〔1〕∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，∴设BM=x，那么AN=2x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2﹣2×8×2xcos60°，解得x=4〔负值舍去〕，那么BM=4，∴AM==4．〔2〕在△ABC中，由正弦定理得=，∴sinC===，又b=12＞c，∴B＞C，那么C为锐角，∴cosC=，那么sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC=×=，∴△ABC的面积S=bcsinA=48×=24．【点评】此题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等根底知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．〔1〕证明：平面ABCD⊥平面EDCF；〔2〕求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．【分析】〔1〕推导出AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．〔2〕以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：〔1〕因为AD⊥DE，DC⊥DE，AD、CD⊂平面ABCD，且AD∩CD=D，所以DE⊥平面ABCD．又DE⊂平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF．解：〔2〕由DC∥EF，所以DC∥平面ABFE．又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD．所以四边形ABCD为等腰梯形．又AD=DE，所以AD=CD，由题意得AD⊥BD，令AD=1，如图，以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，那么D〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，F〔﹣，，1〕，B〔0，，0〕，∴=〔，﹣，﹣1〕，=〔0，，0〕，=〔﹣，，1〕．设平面BDF的法向量为=〔x，y，z〕，那么，取x=2，得=〔2，0，1〕，cos＜，＞===．设直线与平面BDF所成的角为θ，那么sinθ=．所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】此题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为a〔单位：元〕，在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额〔单位：万元〕相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：上一年度销售额/万元[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400〕[400，500〕[500，+∞〕商品单价/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a为了研究该商品购置单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．某经销商下一年购置该商品的单价为X〔单位：元〕，且以经销商在各段销售额的频率作为概率．〔1〕求X的平均估计值．〔2〕该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购置单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率记Y〔单位：元〕表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列与数学期望..【分析】〔1〕由统计表和柱状图能得到X的平均估计值．〔2〕购置单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E〔Y〕．【解答】解：〔1〕由题可知：a 0.9a0.85a0.8a 0.75a0.7a商品单价/元频率0.20.30.240.120.10.04X的平均估计值为：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．〔2〕购置单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P〔Y=5000〕=，P〔Y=10000〕==，P〔Y=15000〕==，P〔Y=20000〕==．∴Y的分布列为：Y5000100001500020000PE〔Y〕=+20000×=9375〔元〕．【点评】此题考查学生对频率分布直方图的理解以与分布列的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．20．椭圆C1：〔b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．〔1〕假设M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为〔1，1〕，求直线MN 的斜率；〔2〕假设过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．【分析】〔1〕根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法〞即可求得直线MN的斜率；〔2〕分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．【解答】解：〔1〕抛物线C2：y2=8x的焦点〔2，0〕，那么c=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程：，设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么，两式相减得：=﹣•，由MN的中点为〔1，1〕，那么x1+x2=2，y1+y2=2，∴直线MN的斜率k==﹣，∴直线MN的斜率为﹣；〔2〕由椭圆的右焦点F2〔2，0〕，当直线AB的斜率不存在或为0时，+=+=，当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k〔x﹣2〕，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立，消去y化简整理得：〔1+2k2〕x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，△=〔﹣8k2〕2﹣4〔1+2k2〕〔8k2﹣8〕=32〔k2+1〕＞0，∴x1+x2=，x1x2=，那么m==，同理可得：，∴=〔+〕=，综上可知：是定值．【点评】此题考查椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．21．f′〔x〕为函数f〔x〕的导函数，f〔x〕=e2x+2f〔0〕e x﹣f′〔0〕x．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕当x＞0时，af〔x〕＜e x﹣x恒成立，求a的取值围．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f〔0〕，求出f′〔0〕的值，求出函数的单调区间即可；〔2〕令g〔x〕=af〔x〕﹣e x+x，求出函数的导数，通过讨论a的围，求出函数的最值，从而确定a的围即可．【解答】解：〔1〕由f〔0〕=1+2f〔0〕，得f〔0〕=﹣1．因为f′〔x〕=2e2x﹣2e x﹣f′〔0〕，所以f′〔0〕=2﹣2﹣f′〔0〕，解得f′〔0〕=0．所以f〔x〕=e2x﹣2e x，f′〔x〕=2e x〔e x﹣1〕，当x∈〔﹣∞，0〕时，f′〔x〕＜0，那么函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减；当x∈〔0，+∞〕时，f′〔x〕＞0，那么函数f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增．〔2〕令g〔x〕=af〔x〕﹣e x+x=ae2x﹣〔2a+1〕e x+x，根据题意，当x∈〔0，+∞〕时，g〔x〕＜0恒成立．g′〔x〕=〔2ae x﹣1〕〔e x﹣1〕．①当0＜a＜，x∈〔﹣ln2a，+∞〕时，g′〔x〕＞0恒成立，所以g〔x〕在〔﹣ln2a，+∞〕上是增函数，且g〔x〕∈〔g〔﹣ln2a〕，+∞〕，所以不符合题意；②当a≥，x∈〔0，+∞〕时，g′〔x〕＞0恒成立，所以g〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数，且g〔x〕∈〔g〔0〕，+∞〕，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈〔0，+∞〕，所有恒有g′〔x〕＜0，故g〔x〕在〔0，+∞〕上是减函数，于是“g〔x〕＜0对任意x∈〔0，+∞〕都成立〞的充要条件是g〔0〕≤0，即a﹣〔2a+1〕≤0，解得：a≥﹣1，故﹣1≤a≤0．综上，a的取值围是[﹣1，0]．【点评】此题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以与函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求直线l和圆C的极坐标方程；〔2〕假设射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．【分析】〔1〕直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．〔2〕设M〔〕，A〔〕，B〔ρ3，〕．联立，得，从而ρ2+ρ3=3+3，进而M〔，〕．把M〔，〕代入，能求出a的值．【解答】解：〔1〕∵直线l的参数方程为〔t为参数〕，∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣=0．∵圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣6ρsinθ+14=0．〔2〕在极坐标系中，由可设M〔〕，A〔〕，B〔ρ3，〕．联立，得，∴ρ2+ρ3=3+3．∵点M恰好为AB的中点，∴，即M〔，〕．把M〔，〕代入，得×﹣=0，解得a=．【点评】此题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|mx+3|﹣|2x+n|．〔1〕当m=2，n=﹣1时，求不等式f〔x〕＜2的解集；〔2〕当m=1，n＜0时，f〔x〕的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值围．【分析】〔1〕代入m，n的值，得到关于x的不等式组，解出即可；〔2〕求出A，B，C的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n的不等式，解出即可．【解答】解：〔1〕当m=2，n=﹣1时，f〔x〕=|2x+3|﹣|2x﹣1|，不等式f〔x〕＜2等价于或或，解得：x＜﹣或﹣≤x＜0，即x＜0．所以不等式f〔x〕＜2的解集是〔﹣∞，0〕．〔2〕由题设可得，f〔x〕=|x+3|﹣|2x+n|=，所以函数f〔x〕的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：A〔﹣，0〕，B〔3﹣n，0〕，C〔﹣，3﹣〕，所以三角形ABC的面积为〔3﹣n+〕〔3﹣〕=，由＞24，解得：n＞18或n＜﹣6．【点评】此题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。