第1课时——直线的斜率 - 学案

反思：直线倾斜角的范围？鱼知水恩，乃幸福之源也。

鱼离不开水，人离不开亲人和朋友，当你处于逆境和灾难时，帮助你一臂之力，渡过难关的人，都是你的亲人和朋友。

吃水不忘挖井人，度过苦难，不能忘记援助过你的人。

知恩图报，善莫大焉。

一个人要想获得幸福，必须懂得感恩。

生活需要一颗感恩的心来创造，一颗感恩的心需要生活来滋养。

一饭之恩，当永世不忘。

顺境里给你帮助的人，不能全部称作朋友，但是能够在你逆境时依然愿意援助你，走出困境的人，一定是你要用一生去感谢和珍惜的人。

唐代李商隐的《晚晴》里有这样一句诗：天意怜幽草，人间重晚晴。

久遭雨潦之苦的幽草，忽遇晚晴，得以沾沐余辉而平添生意。

当一个人闯过难关的时候，一定要记住那些支撑你，陪你一起走过厄运的朋友和亲人，这个世界谁也不亏欠谁，帮你是情分，不帮你是本分。

如古人所说：淡看世事去如烟，铭记恩情存如血。

学会感恩父母养育之恩，学会感恩朋友的帮助之情，生活里做一个有情有义的人。

你要知道，父母，永远是你最亲近的人，是最爱你的人，不管他们的方法怎么错误？可是爱你的心，都是一样的。

千万不要因为自己一时的私心，而忘记感恩。

我们常常希望别人都对自己有情有义，可是想得到别人你真情，首先你必须先付出真情。

你帮助别人，不要记在心里，别人帮助你，你要懂得感恩和感动，而不是当做理所当然。

你要知道别人帮你是情分，不帮你是本分。

侍父母，要孝顺，对朋友，要真诚。

不管你生活的精彩或者混沌，孝顺父母，颐养天年。

一父养十子，十子养一父。

在这个美好的时代，中华很多的美德都在逐渐消失，做子孝为天，但是总有一些人，自己活在天堂，硬生生的把父母扔进地狱。

鱼知水恩，乃幸福之源也。

鱼离不开水，人离不开亲人和朋友，当你处于逆境和灾难时，帮助你一臂之力，渡过难关的人，都是你的亲人和朋友。

吃水不忘挖井人，度过苦难，不能忘记援助过你的人。

知恩图报，善莫大焉。

一个人要想获得幸福，必须懂得感恩。

生活需要一颗感恩的心来创造，一颗感恩的心需要生活来滋养。

1. 知识与技能：理解直线的斜率的概念，掌握斜率的计算方法，能够根据直线的斜率和截距写出直线方程。

2. 过程与方法：通过观察、实验、分析等活动，培养学生的观察能力、实验能力和分析能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

二、教学重难点1. 教学重点：直线斜率的计算方法和直线方程的写法。

2. 教学难点：理解斜率的几何意义，灵活运用斜率解决实际问题。

三、教学过程1. 导入新课（1）回顾直线方程的一般形式：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

（2）提出问题：如何计算直线的斜率？如何根据斜率和截距写出直线方程？2. 探究新知（1）观察直线上的两个点，引导学生发现斜率的几何意义。

（2）通过实验，探究斜率的计算方法。

（3）总结斜率的计算公式，并举例说明。

（4）分析斜率的几何意义，引导学生理解斜率与直线的倾斜程度的关系。

3. 应用新知（1）让学生利用斜率计算直线方程，巩固所学知识。

（2）设计实际问题，让学生运用斜率解决实际问题。

4. 总结与反思（1）回顾本节课所学内容，总结斜率的计算方法和直线方程的写法。

（2）反思在学习过程中遇到的问题，提出改进措施。

1. 课堂提问：观察学生对斜率概念的理解程度，以及运用斜率解决问题的能力。

2. 课堂练习：检查学生对斜率计算方法和直线方程写法的掌握情况。

3. 课后作业：布置与斜率相关的实际问题，考察学生运用所学知识解决实际问题的能力。

五、教学资源1. 教学课件：展示斜率的概念、计算方法和应用实例。

2. 教学视频：播放斜率计算的实验过程，帮助学生理解斜率的几何意义。

3. 实物教具：如直尺、量角器等，用于演示斜率的计算方法。

4. 实际问题：收集与斜率相关的实际问题，用于课堂教学和课后作业。

“直线的斜率”的教学设计尝试 探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。

坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量 坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。

()090tan ≠=ααk给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定.确定直线位置几何要素转化为代数化升高量尝试探究形成概念对α取不同的范围进行分析k的取值情况。

3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于α情况由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α的大小k的情况k的增减性4、两点确定直线的斜率已知两点),)(,(),,(21222111xxyxpyxp≠则由这两点确定直线的线率?=k课本上是用坐标法推导的，分两种情况:让学生课前预习，这里用向量法推导①→21pp方向向上②→12pp方向向上1212xxyyk--=让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0=k②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率,比较两种方法解题思路不同.0 xy。

直线的倾斜角和斜率一.学习目标1．理解直线的倾斜角的定义和范围；2．理解直线的斜率的定义和范围；3.掌握过两点的直线斜率的计算公式；4．能用公式和概念解决问题.二.导学探究一：①倾斜角的概念：当直线l 与x 轴 时，取 作为基准， 正向与直线l 之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.注意:当直线与轴x 平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 度.思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？②斜率与倾斜角的关系： 一条直线的倾斜角()2παα≠的 叫做这条直线的斜率.记为k = .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为（1）0α=时，则k （2）090α<<,则k（3）90α=，,则k （4）90180α<<，则k探究二：已知直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p (21x x ≠)，你能计算出该直线的斜率k 吗三.导练1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）︒=30a ； （2）︒=135a ； （3）︒=60a ；（4）︒=90a变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.（1）k =0； （2） k = 1 ； （3） k =3- ； （4）k 不存在.2.求经过两点(2,3)A , (4,7)B 的直线的斜率,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.变式1．已知点)2,1(-P ，点Q 在x 轴上，直线PQ 的倾斜角为︒135，则Q 点的坐标为.变式2．在同一直角坐标系中画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.变式3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.例 3 .已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且o o 13545<<α，试求实数m 的取值范围.变式1．已知直线l 的斜角[0,45](135,180)a ∈，则直线l 的斜率的取值范围是_____ 变式2．已知直线l 的斜率k 满足333≤<-k ，则直线l 的倾斜角θ的范围是 .四.当堂检测1．下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 °或90°D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2．经过(2,0),(5,3)A B 两点的直线的倾斜角 （ ）.A ．45°B ．135°C ．90 °D ．60 °3．过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线的斜率等于1，则m 的值为( ).A.1B.4C.1 或 3D.1 或 44．在平面直角坐标系中，正ABC ∆的边BC 所在直线斜率是0,则AB AC ,所在的直线斜率之和为5．直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为 角；k 的取值范 围6．若三点(2,2)A ,(,0)B a ,(0,)C b (0)ab ≠共线，则11a b+的值等于________.。

《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。

3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。

2. 直线的斜率的概念。

3. 直线的倾斜角与斜率的关系。

4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。

5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。

2. 直线的斜率的概念。

3. 直线的倾斜角与斜率的关系。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。

3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。

6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。

说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。

在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。

六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。

2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。

3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。

七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。

2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。

直线的斜率（1） 导学案学习目标1.通过实例理解直线的斜率，会求过两点的直线的斜率的公式；2.会根据一点和斜率画出直线；3.会根据直线的倾斜程度与直线斜率的大小的关系。

课前准备一.基础知识1.在直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？2.在日常生活中，我们常说这个山坡很陡峭，有时也说坡度，这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢？二.课外资源交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度。

如图，沿着这条道路从A 点前进到B 点，在水平方向前进和距离为AD ，竖直方向上升的高度为DB （如果是下降，则DB 的值为负实数），则坡度DB kAD 上升高度水平距离，坡度0k 表示这段道路是上坡，k 的值越大上坡越陡，如果k 太大，车辆就爬不上去，还容易出事故；0k表示是平路；0k 表示下坡，||k 值越大说明下坡越陡，||k 太大同样也容易出事故。

因此在道路规划铺设时必须充分考虑这一点，那么如何设计道路的坡度，才能避免事故发生？课堂学习一、重点难点1.重点：直线斜率的定义及计算。

2.难点：直线斜率的定义。

二、知识建构引例1.过原点并且与x 轴正方向所成的角为45的直线1l 在平面直角坐标系中的位置确定了。

2.过2,0P 且与x 轴正方向所成的角为120的直线2l 在平面直角坐标系中的位置确定了。

问题1：直线是最常见的图形，在平面内如何确定一条直线？问题2：如何用数学语言刻画直线的方向？在平面直角坐标系中，能否采用类似的方法来刻画直线的倾斜程度？ 给定两点111,P x y ，222,P x y ，12x x ，如何用两点坐标来表示直线12P P 的倾斜程度？ 直线的斜率公式： 。

三、典型例题例1：如图，直线123,,l l l 都经过点(3,2)P ，又123,,l l l 分别经过点12(2,1),(4,2)Q Q ---，3(3,2)Q -，试计算直线123,,l l l 的斜率。

直线的倾斜角和斜率（第一课时）学情分析：从学生的知识储备角度来看，学生通过初中的学习，已经掌握直线的图像及相关性质。

必修一对函数的学习，已经形成较好的数形结合的能力，与此同时，必修四中任意角的三角函数值也为本节课倾斜角与斜率的概念的提出奠定一定的基础。

从学生的认知特点来看，高一学生的抽象逻辑思维能力已经明显占优，但对数学问题抽象化的能力还欠缺，初步接触解析几何，对其中蕴含的思想方法还没有切实的体会，因此在教学过程中注重发挥学生的主动性，尽量让不同层次的学生都经历概念的发生，发展过程。

教学目标：1、知识与技能（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）掌握直线倾斜角和斜率的范围及它们之间的关系。

2、过程与方法（1）让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念；（2）通过对坡角、坡度概念的回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。

3、情感、态度与价值观（1）通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力；（2）过斜率概念的建立，帮助学生进一步理解数形结合思想，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神。

教学重、难点教学重点：直线倾斜角与斜率概念；教学难点：直线与斜率之间的关系。

教学方法启发讲授式与问题探究式．教学中已学生为中心，通过课堂讨论，小组合作的教学模式，鼓励学生勤思善问，以问促思，以问促变，以问促创新能力的提高，发展学生的核心素养。

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

教学过程情景创设——珠港澳大桥话解几图中的桥——珠港澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一，她连接着珠海、香港、澳门三地，给三地的经济、政治、文化交流带来了极大的便利。

其实在数学中也有一座桥梁，这就是直角坐标系，它建立了几何和代数的联系，有了它就可以用代数的方法来研究几何图形，使得几何研究跨入了一个新的领域，这就是我们今天将要开始学习的一门新的学科——解析几何。

《直线的斜率》教学设计【教学内容分析】“直线的斜率”一课是在学生学习了函数，对一些基本初等函数的图象和性质已掌握的前提下，解析几何的第一节课，教师应向学生展示在平面直角坐标系下，数和形的关系，从而揭示解析几何的研究方法和解决的问题，为今后的学习奠定基础。

它学习的内容是基础的，学习的方法是重要的，为今后用代数的方法研究几何问题的学习奠定基础，起到启下的作用。

本节教学的重点是对直线斜率的本质理解与斜率公式．直线的斜率是用来刻画直线的倾斜水准的，在教学中，通过生活中的实例山坡的倾斜水准的刻画，类比得出直线倾斜水准的刻画；另一方面，斜率是通过直线上两点的纵坐标的差与横坐标的差的比来计算的，反映了用代数的方法来研究几何问题的核心思想．在教学中要注重培养学生自觉应用数形结合思想考虑和解决问题．【设计思想】学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。

为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。

本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，由山坡的倾斜水准类比得出直线的倾斜水准。

在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提升教学效率。

让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

【学习目标】1、了解解析几何这门学科及其研究方法；2、理解直线的斜率，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式；3、理解直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率和直线的倾斜角之间的关系；4、使学生感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会研究直线的方向的变化规律，只要研究其斜率的变化规律。

【教学难点】直线的斜率公式的理解【教学方法】讲解法、发现法、讨论法【教学过程】一、问题情景⒈情景1：画出一条直线⒉问题1：对所画图形你知道多少？【设计意图】以问题引领学生去思考、联想、讨论，从而激发学生学习数学的兴趣与欲望。

直线的斜率教案教案标题：探究直线的斜率教学目标：1. 理解斜率的概念及其在直线上的应用。

2. 能够计算直线上任意两点之间的斜率。

3. 能够用斜率计算直线上的某个点的坐标。

4. 学会利用斜率解决实际问题。

教学资源：1. 白板、白板笔和擦除器2. 直尺、量角器和铅笔3. 直线图形和工具（如直线图形卡片、几何软件等）4. 计算器（可选）教学步骤：引入活动：1. 展示两条不同斜率的直线图形（可以利用白板、卡片等），引导学生观察并思考直线的特征。

2. 提问学生，直线有哪些特征？他们是否有相似之处或不同之处？3. 引导学生思考直线的斜率可能与直线的特征有何关系。

概念讲解：4. 通过示范绘制一条直线，引入斜率的定义：直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值称为斜率。

5. 通过数学符号S=(y2-y1)/(x2-x1)表达斜率的计算公式，并解释其中的含义。

6. 提供一些不同斜率的直线示例，引导学生计算其斜率并进行比较。

练习与应用：7. 分发练习题，要求学生计算给定直线上两点之间的斜率。

可以分不同难度级别，逐步深入。

8. 让学生自主或合作展示并解答练习题，然后进行讲解、讨论和纠正。

9. 引导学生利用斜率计算直线上某个点的坐标，让他们在图形上进行实践和验证。

10. 提供一些实际问题，要求学生运用斜率解决，例如两个运动员的速度比较、图形的倾斜度问题等。

11. 让学生展示出他们的解答和解题过程，并进行讲解和讨论。

总结与拓展：12. 总结斜率的概念及其应用，并与学生共同梳理课堂学习的重点。

13. 鼓励学生思考斜率在更复杂问题中的应用，如曲线的斜率、其他学科中的斜率概念等。

14. 提供额外练习或拓展材料，以帮助学生巩固和扩展他们的知识。

评估与反馈：15. 通过观察学生在课堂上的表现、练习题的答案等方式，对学生的学习情况进行评估。

16. 及时给予学生反馈，指出其表现的优点和改进的方面。

17. 鼓励学生在课后进行自主学习和练习，并提供必要的学习资源和指导。

第一课时 直线的倾斜角和斜率（教案）编写：单志民 审核：周莹一问题情景：在平面内，要确定直线的位置，除了要过某点之外，还有直线的倾斜程度。

在平面直角坐标系内，任意画直线，你能把它们分成几类呢？请画图：二．建构数学1.倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，__________________________________________________________________________________________ 规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为00。

倾斜角α的范围是： 。

直线的倾斜程度能用数值来刻画吗？2.斜率：如图（1），已知两点()()1122,,,P x y Q x y ，如果12x x ≠，那么直线PQ 的斜率为 __________________ ； 如图（2），如果12x x =，那么直线PQ 的斜率______。

如图：3.直线的倾斜角α与斜率k 的关系：___________________________________________三 数学运用：例1 如图，直线123,,l l l 都经过点()3,2P ，又123,,l l l 分别经过点()12,1Q --，()24,2Q -，()33,2Q -，试计算直线123,,l l l 的斜率。

由直线123,,l l l 的斜率取值，你发现了什么？例2 经过点()3,2画直线，使直线的斜率分别为：()314； ()425-.回顾反思（1）直线的斜率与两点的顺序有关吗？ 。

（2）已知两点()()1122,,,P x y Q x y ，如果直线PQ 与x 轴不垂直，那么直线PQ 的斜率为 ，如果直线PQ 与x 轴垂直，那么直线PQ 的斜率 。

(3) 当倾斜角α由00增加到0180时，斜率k 是如何变化的？当倾斜角α∈ ，斜率为正值；当倾斜角α∈ ，斜率为负值； 当倾斜角α= ，斜率为0； 当倾斜角α= ，斜率不存在. 例3 （1）判断下列三点是否在同一直线上： ()()()0,2,2,5,3,7D E F 。