过2点与直线相切的圆的分析与图解

直线和圆相切的考点分析一、知识解读:判定直线与圆相切的方法：1、定义法:直线和有且只有一个公共点，就说直线与圆相切。

2、d、R法则：设圆心到直线的距离是d，圆的半径是R，则当d=R时，直线与圆相切。

3、切线的判定定理:过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线.在应用判定定理时,关键有两个：一是直线要经过圆上的某点,而是直线与过该点的半径垂直.必要时,要构造半径作为解题的辅助线。

二、考点例析:考点1、考d、R法则例1、在平面直角坐标系中，以点(2，3）为圆心,2为半径的圆必定( ）A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切（2008年南昌市)分析：根据坐标系的知识，知道,圆心到y轴的距离是d y=2，到x轴的距离是d x=3，由于圆的半径R=2，所以,d y=R，所以,y轴与圆相切，这样，我们就可以排除B和D；因为，d x=3＞R=2，所以，x轴与圆相离，因此，选项A是正确的。

解：选则A。

例2、如图1所示,在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥,90C =∠，且AB AD BC >+,AB 是⊙O 的直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定 （2008年内江市）分析：圆的圆心位置已经确定，圆的半径已经确定，现在缺少的条件是，圆心到直线CD 的距离。

只需过圆心做出圆心到直线的距离,后根据dR 法则就可以判断直线CD 与圆的位置关系了。

因此，如图2所示,过点O 作OE⊥CD，垂足是E,又因为，∠C=90°，所以,OE∥BC，因为，点O 是圆的圆心,所以,OE 是梯形的中位线,所以，OE=21（AD+BC ）， 因为,AB ＞AD+BC, 所以，21 AB ＞21（AD+BC ）, 即OA ＞OE ，所以，直线与圆不相切，是相交。

解：选择C 。

考点2、判定静止直线是圆的切线例3、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,过点D 作DE⊥AC 于点E ．求证:DE 是⊙O 的切线。

2.5直线与圆的位置关系【推本溯源】1.回顾一下点与圆的位置关系，那么直线与圆有几种关系呢？点在圆内，点在圆上，点在圆外；直线与圆的位置关系：2.2.点与圆的位置关系我们是用点到圆心距离与半径比较，那直线与圆的位置关系怎么表示出来？设圆心到直线的距离为r当d ＜r 时，相交；当d=r 时，相切；当d ＞r 时，相离。

同样地，当相交时，d ＜r ；当相切时，d=r ；当相离时，d ＞r 。

3.如右图，经过圆O 的半径OD 外端点D ，作直线l ⊥OD ，直线l 的关系？∵l ⊥OD ∴OD=r ∴直线与l 相切因此，经过半径外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。

注：①直线与圆有一个交点；②直线与过交点的半径垂直。

几何语言：∵l ⊥OD ，OD 是半径∴直线与l 相切4.如图，直线l 是圆O 的切线，切点为D ，直线l 与半径OD 有怎样（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线（如右图l 1）；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；（如右图l 2）．（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

（如右图l 3）的关系？l ⊥OD用反证法；假设l 与OD 不垂直，过圆心O 作OD ′⊥l ，垂足为D ′∵直线l 是圆O 的切线∴点O 到直线l 的距离等于半径∵点D ′在圆上，这样切线会和圆有两个交点，与题目相切矛盾∴l ⊥OD因此，圆的切线垂直于经过切点的半径。

5.（1）做一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？可得圆心O 是三个内角平分线得交点。

（2）画出右图▲ABC 里面最大的圆因此，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.这个三角形是圆的外切三角形。

如图：▲ABC因此，三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径之积的一半。

过两点且圆心在直线上的圆的方程过两点且圆心在直线上的圆的方程在解析几何中，我们经常遇到求解圆的方程的问题。

其中一个常见的问题是，给定两个点，并且已知圆心在直线上，我们需要找到过这两点的圆的方程。

本文将从简到繁地介绍这个问题，帮助我们更深入地理解这个概念。

1. 圆的方程简介在开始探讨该问题之前，让我们先来回顾一下圆的方程。

一般来说，圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。

- 标准方程：圆的标准方程一般形式为$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$是圆的圆心坐标，$r$是圆的半径。

- 一般方程：圆的一般方程一般形式为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$D、E和F$是常数。

2. 过两点的圆的方程现在让我们来考虑一个更具体的问题：给定两个点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，并且已知圆心在直线$l$上。

我们需要找到一个过这两点的圆的方程。

为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行操作：步骤1：找到直线$l$的方程我们需要找到过圆心的直线$l$的方程。

这可以通过使用两点式或点斜式来完成。

假设直线$l$的方程为$ax + by + c = 0$。

步骤2：找到圆心的坐标由于已知圆心在直线$l$上，我们可以假设圆心的坐标为$(h, k)$。

步骤3：找到圆的半径由于圆的半径是两点之间的距离，我们可以使用两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$来找到圆的半径。

步骤4：建立圆的方程现在我们可以使用已知的圆心和半径来建立圆的方程。

根据标准方程的形式，我们可以得到$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$。

步骤5：化简圆的方程将圆的方程展开并化简，最终我们可以得到一般方程的形式。

这可以通过代入圆心坐标和半径的值，并化简方程的形式来完成。

3. 个人观点和理解在解决这个问题的过程中，我深刻地意识到对几何概念的理解是解决问题的关键。

证明直线与圆相切有如下三种途径:
1.定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
即:若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和圆心,说明直线垂直于经过这点的半径;若直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直线的垂线段,然后说明这条线段的长等于圆的半径．
.O
A l
将上页思考中的问题反过来,如果l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?
一定垂直
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
切线的性质：
1.切线和圆只有一个公共点.
2.切线和圆心的距离等于半径.
3.切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
切线的性质３、４、５可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.
1.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在圆
上,∠CAB=30°.
求证:DC 是⊙O 的切线.
.A B D
C O 方法引导
当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连接圆心与公共点,再证明
连线垂直于直线,这是证明切线的一种方法.
练习。

与二直线相切园弧的画法与二直线相切园弧的画法序言：在几何学中，与二直线相切园弧的画法是一个引人入胜的主题。

它既有几何性质的探索，又有艺术上的美感。

通过学习并掌握与二直线相切园弧的画法，我们可以深入理解圆的性质与几何关系，同时也能够提高我们的绘画技巧。

本文将以从简到繁、由浅入深的方式，详细探讨与二直线相切园弧的画法，帮助读者全面、深刻和灵活地理解这一主题。

第一部分：基础知识与准备工作1、了解二直线与圆的关系在开始探讨与二直线相切园弧的画法之前，我们首先需要了解二直线与圆的关系。

在平面几何中，如果一条直线与圆相交，那么我们可以得到不同的交点。

当这条直线与圆相切时，意味着它只与圆相交于一个点，这个点即为切点。

对于与二直线相切园弧的画法，我们可以利用这个性质来构建画图的基础。

2、准备绘画工具和材料在进行与二直线相切园弧的画法之前，我们需要准备绘画工具和材料。

这包括绘图纸、铅笔、尺子、圆规和特制的圆弧模板等。

确保准备齐全的绘画工具和材料，有助于我们更好地进行画图过程。

第二部分：初级画法：与一直线相切的园弧1、确定直线和圆的位置我们选择一条直线作为给定的直线L，并在绘图纸上画出直线L。

我们选择一个固定的点作为圆心，并确定圆的半径。

将圆心放置在直线L的一侧，使得圆与直线的距离等于半径的长度。

2、确定切点为了确定切点的位置，我们需要使用圆规和尺子。

我们在直线L上选择一个点，记作A。

我们以A为圆心，利用圆规调整半径的长度，画出一个圆弧。

圆弧与直线L相交于两个点，我们记作B和C。

接下来，我们以A为圆心，以BC为半径，画出两个圆弧。

这两个圆弧与直线L 相交于四个点，我们将这四个点标记为D、E、F和G。

我们以D和F 为切点，以得到以D和F为切点的两个切线。

3、画出园弧在有了切点D和F之后，我们可以使用圆规和尺子，以切点作为圆心，切线长度为半径，画出两个园弧。

4、总结与回顾初级画法中，我们通过先确定直线和圆的位置，然后确定切点以及相应的切线，最后以切点为圆心，切线长度为半径，画出了与一直线相切的园弧。

过圆上两切点的直线方程好嘞，今天咱们来聊聊一个看似有点儿复杂，但其实挺有趣的数学问题——过圆上两切点的直线方程。

哎呀，别一听“直线方程”就打哈欠啊，咱们轻松一点，慢慢说，听着可有意思了。

想象一下，你在公园的长椅上晒太阳，突然发现一只小鸟在树枝上叽叽喳喳，突然有个想法，咱们来画个圆。

圆在生活中无处不在，篮球、盘子、甚至你喝的饮料瓶，都是圆的。

圆心就是圆的中心，半径就是从圆心到圆上任意一点的距离。

简单吧？这时候，咱们的圆上可以找到一些特别的点，叫做切点，听起来是不是有点高级？其实就是圆和一条直线相交的那一瞬间，直线就像是给圆穿上了漂亮的外衣。

你可能会问，为什么要关心切点呢？这就好比在跟朋友约会的时候，总希望找到一个合适的地点，不远不近，恰到好处。

切点就是这样的位置，它们是连接圆和直线的桥梁。

那咱们来找找这条穿越切点的直线方程是什么样的。

先别急，咱们得先了解一下切点的坐标。

假设咱们的圆的方程是 ( (x a)^2 + (yb)^2 = r^2 )，这里的 ( (a, b) ) 是圆心的位置，( r ) 是半径。

简单点儿说，想象你在一个坐标系里，圆心在( (a, b) )，这个圆就像是你种的一个花圃，四周围绕着你美丽的花朵。

找到两个切点，咱们用数学公式来帮助自己。

一般来说，切点的坐标可以通过一些公式得出，不过这就像是个小秘密，不想让太多人知道。

你可以假设两个切点分别是( P_1(x_1, y_1) ) 和 ( P_2(x_2, y_2) )。

这两个点就像是你最好的朋友，他们总是伴随着你，让你在任何时候都能找到快乐。

咱们来建立这条线的方程。

想象一下，咱们把这两位朋友牵在一起，形成了一条线。

直线的方程一般可以表示为 ( y = mx + c )，其中 ( m ) 是斜率，( c ) 是截距。

要找出这条线的斜率，咱们可以用切点的坐标进行计算，简单的公式就能给你答案。

这样，咱们就得到了这条直线的神秘方程。

具体的步骤可能有点复杂，咱们不必过于纠结。