2018年中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型一分类讨论思想针对演练

第二部分题型研究题型一数学思想方法类型三方程与函数思想针对演练1. 甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg，甲搬运5000 kg 所用的时间与乙搬运8000 kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运x kg货物，则可列方程为( )A.5000x－600＝8000xB.5000x＝8000x＋600C.5000x＋600＝8000xD.5000x＝8000x－6002. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第2题图3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，AE⊥AB交BC于点E.若S△ABC＝m2＋9n2，S△ADE＝mn，则m与n之间的数量关系是( )第3题图A. m＝3nB. m＝6nC. n＝3mD. n＝6m4. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M 的坐标为(a ，b )，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x ( )A ．有最大值，最大值为－92B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为－925. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )6. 若3x 2m y m 与x 4－n y n －1是同类项，则m ＋n ＝________．7. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.8. 设直线y ＝kx ＋k －1和直线y ＝()k ＋1x ＋k (k 是正整数)与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018的值是________.9. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？(2)房价定为多少时，宾馆的利润最大？答案1. B 【解析】甲每小时搬运x kg 货物，则乙每小时搬运(x ＋600)kg 货物，根据题意得5000x ＝8000x ＋600，故选B. 2. B 【解析】由题意设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝(9－x )，∵BE ∶EC ＝2∶1，∴CE ＝13BC ＝3，∴在Rt △E C H 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.3. A 【解析】∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵AD ⊥BC ，AE ⊥AB ，∴∠BEA ＝∠BAD ＝60°，∠EAC ＝∠C ＝30°，设DE ＝a ，则AE ＝CE ＝2a ，∴BC ＝6a ，∴S △ABC ＝6S △ADE ，即m 2＋9n 2＝6mn ，∴()m －3n 2＝0，∴m ＝3n . 4. B 【解析】∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为(a ，b)，∴N 点的坐标为(－a ，b )．又∵点M 在反比例函数y ＝12x的图象上，点N 在一次函数y ＝x ＋3的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a b ＝－a ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12a ＋b ＝3，∴二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x ＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵二次项系数为－12＜0，∴函数有最大值，最大值为92. 5. B 【解析】根据题意可知，需分两种情况讨论：①当P 在AB 上时，x 的取值范围是0＜x ≤3，此时点D 到PA 的距离等于AD 的长度4，∴y 关于x 的函数图象是一条平行于x 轴的直线；②当P 在BC 上时，x 的取值范围是3<x ≤5，∵∠BAP ＋∠DAE ＝∠BAP ＋∠APB ，∴∠DAE ＝∠APB ，又∵∠B ＝∠DEA ＝90°，∴△ABP ∽△DEA ，∴DE AB ＝AD AP ，∴y 3＝4x ，∴y ＝12x ，∴y 关于x 的函数图象是双曲线的一部分，由k ＝12可得函数在第一象限，且y 随x 的增大而减小．综合①②可知B 选项正确．第5题解图6. 3 【解析】根据同类项的概念得，⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝4m －n ＝－1，解得m ＝1，n ＝2，∴m ＋n ＝3. 7. 10 【解析】在函数表达式y ＝－112(x －4)2＋3中令y ＝0，得－112(x －4)2＋3＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)，∴铅球推出的距离是10 m.8. 20184038 【解析】∵方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1y ＝()k ＋1x ＋k 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，∴两条直线的交点为()－1，－1，两直线与x 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k ＋1，0，∴S k ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k－－k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018＝12×(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12017－12018＋12018－12019)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12019＝20184038. 9. 解： (1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为(180＋40－20)×(50－4010)＝9200(元)；(2)设房价增加x元时，利润为w，则w＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x2＋34x＋8000＝－110(x－170)2＋10890，当x＝170时，房价为170＋180＝350(元)，w最大为10890. 即当房价定为350元时，宾馆的利润最大．。

分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：xy 4-=． 点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

专题复习(一) 数学思想方法类型1 整体思想解题策略：整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值． 2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出． 这种思想可以应用到各种类型的题之中． 例1.（2018•云南）已知x +＝6，则x 2+＝（ ）A ．38B ．36C ．34D ．32例2．（2018•衡阳）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果△CDM 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是 ．例3．(2016·菏泽)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为(D )A ．36B ．12C ．6D ．3提示：设B(a ，b)，则有ab ＝6，∴S △OAC －S △BAD ＝12OC 2－12BD 2＝12(OC ＋BD)(OC －BD)＝12(OC ＋BD)(AC －AD)＝12ab ＝12×6＝3.故选D .一．选择题（共4小题）1．（2018•沙坪坝区）已知m 2﹣2m ＝1，则代教式3m 2﹣4m +3的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．52．（2018秋•綦江区期末）若a ﹣b ＝﹣2，ab ＝3，则代数式3a +2ab ﹣3b 的值为（ ） A ．12B ．0C ．﹣12D ．﹣83．（2018•沙坪坝区）若2y ﹣3x ＝7，则代数式5﹣2y +3x 的值为（ ） A ．﹣12B ．﹣2C ．2D ．124．（2018•沙坪坝区）若3a 2﹣a ﹣2＝0，则5+2a ﹣6a 2的结果为（ ） A ．10B ．﹣2C ．3D ．15．（2018•渝中区）如图，在△ABC中，直线ED垂直平分线段BC，分别交BC、AB于点D点E，若BD＝3，△AEC 的周长为20，则△ABC的周长为（）A．23B．26C．28D．306．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°7．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．38．（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．2二．填空题（共2小题）9（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1＝0，则代数式m2+的值等于．10．（2016•凉山州）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则＝．11．（2019•沙坪坝区）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．参考答案一．选择题（共4小题）1．D；2．B；3．B；4．D；5．B；6．C；7．D；8．D；二．填空题（共2小题）9．9；10．10；11．﹣π；题型2 分类讨论思想常见的六种类型：1．方程：若含有字母系数的方程有实数根，要考虑二次项系数是否等于0，进行分类讨论．2．等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角进行分类解决．3．直角三角形：在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时，若没有指明直角边和斜边，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理即可求解．4．相似三角形：若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论．5．一次函数：已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求k的值，常分直线交坐标轴于正半轴和负半轴两种情况讨论；确定反比例函数与一次函数交点个数，常分第一、三象限或第二、四象限两种情况讨论．6．圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论．(2017·孝感)已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为30°或150°．【思路点拨】先根据等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理分别求出∠OAC和∠OAD的度数，再根据点D位置的不确定性进行分类讨论，求出∠COD的度数．1．(2017·济宁)如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥O B.点P从A出发，在⊙O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是(D)A ．①B ．④C ．②或④D ．①或③ 2．(2017·滨州)在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C(点C 在原点的右侧)，并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝1x相交于点A ，B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为(A )A ．23＋3或23－3B .2＋1或2－1C ．23－3D .2－13．(2017·潍坊)点A ，C 为半径是3的圆周上两点，点B 为AC ︵的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为(D )A .5或2 2B .5或2 3C .6或2 2D .6或2 34．(2017·鹤岗)△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC5．(2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝53或125时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 6．(2017·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)，动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为32类型3 化归思想解题策略：化归的思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”的解题方法．化归思想常见的六种类型：1．在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程．2．多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决．3．立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化．4．一般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题．5．化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解．6．转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的．(2017·贵港)如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，3(结果保留π)【思路点拨】连接OD，根据点C为OA的中点可得∠CDO＝30°，继而可得∠DOC＝60°，求出扇形AOD 的面积，最后用S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD)即可求出阴影部分的面积．1．(2017·山西)如图是某商品标志的图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A．5πcm2B．10πcm2C．15πcm2D．20πcm2第1题图第2题图2．(2017·福建)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于108度．3．(2017·赤峰)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：如图，作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16(cm)，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12(cm)．∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6(cm)．∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292.∵17＝289<292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．类型4数形结合思想解题策略：数形结合思想常见的四种类型：1．实数与数轴：实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了．2．在解方程(组)或不等式(组)中的应用：利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题更直观、形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解．3．在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．4．在几何中的应用：对于几何问题，我们常通过图形找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等．例 1. （2017•黄石）已知关于x 的不等式组恰好有两个整数解，求实数a 的取(2017·十堰)如图，直线y ＝3x －6分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上位于直线上方的一点，MC ∥x 轴交AB 于C ，MD ⊥MC 交AB 于D ，AC ·BD ＝43，则k 的值为(A )A ．－3B ．－4C ．－5D ．－6【思路点拨】 分别过点C ，D 作CE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥y 轴于点F.由已知条件可求出点A ，点B 的坐标，再由tan ∠OBA ＝OAOB 即可求出∠OBA 的度数．设M(x ，y)，在Rt △BDF 和Rt △CEA 中，分别用含x ，y 的代数式表示出BD ，CA 的长，再由AC·BD ＝43，可求出xy 的值 ，则k 值即可求出．1．(2017·孝感)如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 的内心，连接OB ，OC ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是(B )2．(2017·白银)如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 以每秒2 cm 的速度从点A 出发，沿AB →BC 的路径运动，到点C 停止．过点P 作PQ ∥BD ，PQ 与边AD(或边CD)交于点Q ，PQ 的长度y(cm )与点P 的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示．当点P 运动2.5秒时，PQ 的长是(B )A ．2 2 cmB ．3 2 cmC ．4 2 cmD ．5 2 cm 3．(2017·河北)在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中AB ＝2，BC ＝1，如图所示．设点A ，B ，C 所对应数的和是p.(1)若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？ (2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO ＝28，求p. 解：(1)以B 为原点，点A ，C 分别对应的数为－2，1， p ＝－2＋0＋1＝－1；以C 为原点，点A ，C 分别对应的数为－3，－1， p ＝0＋(－1)＋(－3)＝－4.(2)p ＝(－28－1－2)＋(－28－1)＋(－28)＝－88.类型5 方程、函数思想解题策略：方程与函数思想是一种重要的数学思想：(1)在某些图形的折叠问题中，求线段长时，通常利用勾股定理建立方程模型来解决问题；(2)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决．(2017·宿迁)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm .点P 在边AC 上，从点A向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1 cm /s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是(C )A ．20 cmB ．18 cmC ．2 5 cmD ．3 2 cm【思路点拨】 根据P ，Q 两点的运动方向和运动速度用含t 的式子表示出PC ，CQ 的长度，进而用勾股定理表示出PQ 2，根据二次函数的性质在0≤t ≤2的范围内求出PQ 2的最小值，则PQ 的最小值即可求出．1．(2017·衢州)如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于(B )A .35B .53C .73D .54第1题图 第2题图2．(2017·泰安)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm /s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为(C )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2。

走进2018年中考数学专题复习第六讲数学思想方法【专题分析】著名的生物学家达尔文曾经说过:“最有价值的知识,就是关于方法的知识”.数学思想方法是数学知识的灵魂,是数学知识、数学技能的本质体现,是解决数学问题的金钥匙,具有“四两拨千斤”之效.因此掌握基本的数学思想方法,不仅是学习数学的基本要求,而且能够使数学能力不断提高,从而在中考中取得好成绩.安徽中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类思想等.在中考复习备考阶段,应系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三,预计2018中考仍将对数学思想方法进行重点考查.【知识归纳】1.整体思想:整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决.2.分类思想:体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.分类的原则:①分类中的每一部分是相互独立的;②一次分类按一个标准;③分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复,也不遗漏.3.转化思想:在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.4.数形结合思想:从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形).数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决.5.方程思想:用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及实际生活中有着广泛的应用.6.构造思想:用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,构造函数或几何图形,运用函数性质或图形性质分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.运用构造思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质.【题型解析】题型1: 整体思想例题：（2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．方法指导：整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.求代数式的值,一般是在知道字母取值的条件下进行的,但有些代数式,字母的值不知道或不易求出时,灵活变形,采用整体代入的方法,往往使问题简便获解.题型2: 分类思想例题：（2017甘肃天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x==1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE =S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．方法指导：在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.题型3: 转化思想例题：（2017山东烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（）A．34.14米B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt△DFB′中，B′F=，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣=20，∴DF≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD的高度约为35.7米，故选C．指导：转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机.题型4: 数形结合思想（2017青海西宁）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB 方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】分两部分计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变，示出S△AMN 的关系式，S△AMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数．【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B 点时运动同时停止，∴N到C的时间为：t=3÷2=1.5，分两部分：①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，∴DC+CN=2x，∴BN=6﹣2x，∴S=y=AM•BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x，△AMN故选A．方法指导：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

专题复习（一）数学思想方法问题题型概述数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。

因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。

初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等。

结合中考走向，我们重点就以下几种思想方法进行赏析强化。

【题型例析】 类型1：整体思想整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼与它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密的联系这的量作为整体来处理运用的思想方法。

【例题】．（1）(2015•湖南株洲,第13题3分)因式分解：2(2)16(2)x x x ---＝ 。

【解析】本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式(2)x -，然后还要注意彻底分解，2(16)x -仍可以利用平方差公式分解。

答案为：(2)(4)(4)x x x --+ （2）（2015•广东梅州,第18题，7分）已知，求代数式的值.考点：整式的混合运算—化简求值．. 专题：计算题．分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：原式=a 2﹣2a +1+2ab +b 2+2a =（a +b ）2+1， 把a +b =﹣代入得：原式=2+1=3．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则整体运用是解本题的关键．【变式练习】（1）（2015福建龙岩13，3分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π= 2π．考点：代数式求值．分析：根据整体代入法解答即可．解答：解：因为4a﹣2b=2π，所以可得2a﹣b=π，把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．点评：此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算．（2）（2015•甘南州第23题 4分）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015= 2015 ．考点：因式分解的应用．分析：首先根据a2﹣a﹣1=0得到a2﹣a=1，从而利用a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015代入求值即可．解答：解：∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1，∴a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015=a﹣a+2015=2015，故答案为：2015．点评：本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．类型2：分类讨论思想（1）代数问题中的分类讨论针对代数中的有些问题，需要对整体问题进行分解，从不同的角度、不同的范围和不同的思路进行分类，把问题既不重复，不遗漏的分成几种情况进行分析，化整为零，各个击破的解题策略，这样使问题得以轻松解决。

第二部分题型研究题型一数学思想方法 种类四转变思想针对操练1. 我们解一元二次方程 3x 2－ 6x ＝ 0 时，能够运用因式分解法，将此方程化为3x ( x －2) ＝ 0，从而获得两个一元一次方程：3x ＝ 0 或x － 2＝ 0，从而得 到原方程的解为x 1＝0，x 2＝ 2. 这类解法表现的数学思想是()A. 转变思想B. 函数思想C. 数形联合思想D.公义化思想2. 已知2－21 1 a ＋b a b ＝－，－＝，则的值为()6 a b2a －b1 123A. －2B. 3C. － 3D. － 23. (2017 温州 ) 我们知道方程2的解是 x ＝ 1， x ＝－ 3. 现给出另一个方程x ＋2x － 3＝ 012(2 x ＋ 3) 2＋2(2 x ＋ 3 ) － 3＝ 0. 它的解是 ()A. x 1＝ 1， x 2＝ 3B. x 1＝ 1，x 2＝－ 3C. x 1＝－ 1， x 2＝ 3D. x 1＝－ 1， x 2＝－ 34. 如图， 点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC ＝2AE ，直角三角形 FEG 的两直角边EF 、 EG 分别交 BC 、 DC 于点 M 、 N . 若正方 形 ABCD 的边长为 a ，则重叠部分四边形 EMCN的面积为 ( )2 212A. 3aB. 4a5 242C. 9aD. 9a第 4题图5.如图，在大长方形ABCD中，放入六个同样的小长方形，则图中暗影部分面积( 单2位： cm) 为()第 5题图A. 16B. 44C. 96D. 1406.2 3 2的值为() 设 m＋ m－1＝0，则代数式m＋2m＋2017A. 2016B. 2017C. 2018D. 20207. 如图，△ ABC经过平移获得△ A′ B′ C′，若四边形 ACDA′的面积为 6 cm2,则阴影部分的面积为________cm2.第 7题图8.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55 寸、 10 寸和 6 寸，A和B 是这个台阶的两个相对端点， A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去吃爽口的食品，则它所走的最短路线长度是_________寸．第 8题图a 1x ＋b 1y ＝c 1x ＝ 33a 1x ＋2b 1y ＝ 5c 19. 三个同学对问题“若方程组的解 是，求方程组a x ＋b y ＝ c2 y ＝ 43a x ＋2b y ＝ 5c22 222的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目仿佛条件不够，不可以求解”；乙说：“它们的系数有必定的规律，能够试一试”；丙说：“能不可以 把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，经过换元代替的方法来解决”．参照他们的议论，你以为这个题目的解应当是________ ．10. 如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，点 M ，N 在边 BC 上，且∠ MAN ＝45°. 若BM ＝ 1， CN ＝ 3，求 MN 的长．第 10题图答案1. A111a ＋b22. C 【分析】∵ ( a ＋ b ) ( a －b ) ＝－ 6， a － b ＝ 2，∴ a ＋ b ＝－ 3，∴ a －b ＝－3.3． D 【分析】令y ＝ 2 ＋ 3，则原方程变形为2＋ 2 y －3＝ 0，解得y 1＝ 1， 2＝－ 3，x y y因此 2x ＋3＝ 1 或 2x ＋ 3＝－ 3，解得 x 1＝－ 1， x 2＝－ 3.4. D 【分析】如解图，过E 作 BC 和 CD 的垂线，垂足分别为 G ，H ，则△ EGM ≌△ EHN ，22∴重叠部分四边形EMCN 的面积等于正方形 EGCH 的面积， ∵EC ＝ 2AE ，∴CE ＝ 3AC ，EG ＝ 3AB2 4 2＝ 3a ，∴正方形EGCH 的面积为9a .第4题解图5. B 【分析】设小长方形的长和宽分别为y＋ 3x＝ 14，解得x＝ 2 x，y，则由图形得，y＋ x－ 2x＝6 y＝ 8则暗影部分面积为14×10－6×2×8＝140－ 96＝ 44.6. C 【分析】∵2 2m＋ m－1＝0，∴ m＋ m＝1，则322 2m ＋2m＋2017＝ m( m＋ m)＋ m＋20172＝ m＋ m＋2017＝1＋2017＝2018.7. 6 【分析】∵由平移性质得，△ABC的面积等于△A′B′C′的面积，∴暗影部分的面积等于四边形ACDA′的面积等于6 cm 2.第7题解图8. 73 【分析】立体图形转变成平面图形，睁开后变成长方形，依据题意得，∠C＝90°，BC＝3×( 10＋6)＝ 48，∴ AB＝2 2 2 2AC＋ BC＝55 ＋48 ＝ 73.第8题解图x＝ 53a1x＋ 2b1y＝ 5c19.【分析】将方程组变成y＝ 103a2x＋ 2b2y＝ 5c23 25a 1x ＋ 5b 1y ＝c 1321113，设＝ ， ，则原方程组转变成 a m ＋b n ＝ c ，再依据方程组25x m5y ＝na 2m ＋b 2n ＝c 2 5a 2x ＋ 5b 2y ＝ c 23a 1x ＋b 1y ＝c 1x ＝ 3 m ＝ 35x ＝3x ＝ 5的解是 ，因此得出 ，即，解得，.a 2x ＋b 2y ＝c 2y ＝ 4n ＝ 42y ＝ 10y ＝ 4510. 解：把△ ABM 绕点 A 逆时针旋转 90°获得的△ ACG ，连结 NG ，如解图，第 10 题解图∴∠ BAM ＝∠ GAC ， AM ＝ AG ，∴△ ABM ≌△ ACG .∵∠ MAN ＝45°， ∠ BAC ＝90°，∴∠ GAN ＝∠ MAN ＝45°，∴△ MAN ≌△ GAN .∴ MN ＝NG ，∴∠ BCA ＋∠ ACG ＝90°.2 2在 Rt △ GCN 中， NG ＝ CN ＋ CG ＝ 10 ，∴ MN ＝NG ＝ 10.。

浙江省2018年中考二轮复习：题型研究针对演练汇编目录浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型1分类讨论思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型2数形结合思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型3方程与函数思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型4转化思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型5整体思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型02二次函数性质综合题类型1二次项系数确定型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型02二次函数性质综合题类型2二次项系数不确定型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型1图象类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型2最值类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型3几何类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型4抛物线类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型1新法则运算学习型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型2新概念学习型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型3新解题方法型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型1动点问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型2平移变换问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型3折叠问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型4旋转变换问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型5类比拓展探究问题针对演练含答案题型一 数学思想方法 类型一 分类讨论思想针对演练1. 已知直角三角形两边的长a 、b 满足|a －2|＋b 2－3＝0，则第三边长为_________．2. 若关于x 的方程kx 2＋2(k ＋1)x ＋k －1＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 3. 已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是_________．4. A ，B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是________．5. 如果四个整数中的三个分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是________．6. (2017襄阳)在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为1和2，则∠BAC 的度数为________．7. 如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，那么满足条件的点P 共有________个．第7题图8. 书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．9. 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD·DC，则∠BCA 的度数为________． 10. (2017杭州)已知△ABC 的三个顶点为A(－1，－1)，B (－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m>0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m 的值为________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF(点E 、F 分别在边AC 、BC 上)当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为________．第11题图12. (2017鄂州)如图，AC ⊥x 轴于点A ，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，点D 为AC 与反比例函数y ＝kx 的图象的交点，若直线BD 将△ABC 的面积分成1∶2的两部分，则k 的值为________．第12题图13. 如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C(3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第13题图答案1. 1或7 【解析】由非负数的性质知，a －2＝0且b 2＝3，∴a ＝2，b ＝3，①当a 为斜边时，则由勾股定理得，第三边为1；②当a 为直角边时，则由勾股定理得，第三边为7.2. k≥－13 【解析】当k ＝0时，方程为2x －1＝0，x ＝12，方程有实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，方程要有实数根，则[2(k ＋1)]2－4k(k －1)≥0，即k≥－13，综上所述，k 的取值范围是k≥－13.3. 15°或75° 【解析】①当点E 在正方形ABCD 外部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°＋60°）2＝15°；②当点E 在正方形ABCD 内部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°－60°）2＝75°.4. 2或2.5 【解析】①相遇前：120t ＋80t ＋50＝450，解得t ＝2；②相遇后：120t ＋80t －50＝450，解得t ＝2.5.5. 3或4或5 【解析】①当数据为2，2，4，6时，中位数为3；②当数据为2，4，4，6时，中位数为4；③当数据为2，4，6，6时，中位数为5.6. 15°或105° 【解析】⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，∴OA ＝OB ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形，∠OAB ＝60°，∵弦AC ＝2，∴∠OAC ＝45°.如解图①，此时∠BAC＝∠BAO－∠CAO＝60°－45°＝15°；如解图②，∠BAC ＝∠BAO＋∠CAO＝60°＋45°＝105°.第6题解图7. 6 【解析】当以AB 为斜边时，∠APB ＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB＝90°时，与y 轴有一个交点；当∠PBA＝90°时，与x 轴，y 轴各有1个交点．∴满足条件的点P 共有6个．8. 248或296 【解析】设第一次购书原价为a 元，则第二次购书原价为3a 元，易知第一次购书原价必然不超过100元，否则两次付款必然大于229.4，故分类讨论如下： ①若a≤100且3a≤100，显然a ＋3a≤200＜229.4，舍去；②若a≤100且100＜3a≤200，则a ＋0.9×3a＝229.4，解得a ＝62，所以两次购书原价和为4a ＝4×62＝248元；③若a≤100且3a ＞200，则a ＋0.7×3a ＝229.4，解得a ＝74, 所以两次购书原价和为4a ＝4×74＝296元．综上所述：两次购书的原价和为248元或296元．9. 65°或115° 【解析】①如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，△ABD ∽△CAD ，∠BCA ＝∠BAD ＝90°－25°＝65°；②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，∠BCA ＝∠CDA ＋∠CAD＝90°＋∠B ＝90°＋25°＝115°.图①图②第9题解图10. 0.5或4 【解析】依题可得：有两种可能，即AC 、AB 中点落在反比例函数y ＝3x 的图象上．①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 的图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 的图象上，代入得－2＝3m －2，∴－2m ＋4＝3，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x 的图象上，代入得1＝3m －1，∴m －1＝3，∴m ＝4.所以m为0.5或4. 11. 1.8或2.5 【解析】有两种情况：①若CE∶CF＝3∶4，如解图①所示．∵CE ∶CF ＝AC∶BC，∴EF ∥AB.由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cosA ＝0.6，AD ＝AC·cosA ＝3×0.6＝1.8；②若CF∶CE＝3∶4，如解图②所示．∴△CE F∽△CBA，∴∠CEF ＝∠B.由折叠性质可知，∠CEF ＋∠EC D ＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠ECD，∴AD ＝CD.同理可得：∠B＝∠FCD，CD ＝BD ，∴此时AD ＝BD ＝12×5＝2.5.综上所述，AD 的长为1.8或2.5.第11题解图①第11题解图②12. －8或－4 【解析】如解图，过点C 作CM⊥AB 于点M ，在Rt △CBM 中，BC ＝23，∠ABC＝60°，∴BM ＝3，CM ＝3，∴S △ABC ＝12A B ·CM ＝12AC ·AO ＝6，∵BD 将S △ABC 分成1∶2的两部分，则AD ＝13AC 或AD ＝23AC ，∵点D 在反比例函数y ＝k x 上，∴k ＝－13AC ·OA ＝－4或k ＝－23AC ·OA ＝－8.第12题解图 13. 解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， ∵直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)， 又∵抛物线经过A ，B ，C 三点，点C 的坐标为(3，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2c ＝3， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1.设点Q 的坐标为(1，m)，则AQ ＝4＋m 2，BQ ＝1＋（3－m ）2，AB ＝10.当AB ＝AQ 时，10＝4＋m 2，解得m ＝±6， ∴点Q 的坐标为(1，6)或(1，－6)；当AB ＝BQ 时，10＝1＋（3－m ）2，解得m 1＝0，m 2＝6， ∴点Q 的坐标为(1，0)或(1，6)，但当点Q 的坐标为(1，6)时，点A ，B ，Q 在同一条直线上，∴舍去； 当AQ ＝BQ 时，4＋m 2＝1＋（3－m ）2，解得m ＝1， ∴点Q 的坐标为(1，1)．∴抛物线的对称轴上存在点Q(1，6)，(1，－6)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ 是等腰三角形．第二部分题型研究题型一数学思想方法类型二数形结合思想针对演练1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有( )第1题图A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③2. 若m、n(其中n＜m)是关于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是( )A. m＜a＜b＜nB. a＜m＜n＜bC. b＜n＜m＜aD. n＜b＜a＜m3. (2017凉山州)小明和哥哥从家里出去买书，从家出来走了20分钟到一个离家1000米的书店，小明买了书后随即按原速返回；哥哥看了20分钟书后，用15分钟返回家．下面的图形中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系( )m<0的图象分别交x轴、y轴于点M，N，线段MN上两点在x轴的垂4. 如图，函数y＝mx－4m()足分别为A1，B1，若OA1＋OB1>4，则△OAA1的面积S1与△OBB1的面积S2的大小关系是( )第4题图A. S1>S2B. S1＝S2C. S1<S2D. 不确定5. 如图，已知函数y＝x＋b和y＝ax＋3的图象交点为P，则不等式x＋b>ax＋3的解集为_________．第5题图6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，…，12n 的矩形彩色纸片(n 为大于1的整数)．请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算12＋14＋18＋…＋12n ＝________.第6题图7. 如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______．第7题图8. 如图，矩形ABCD 的长AD ＝5 cm ，宽AB ＝3 cm ，长和宽都增加 x cm ，那么面积增加y cm 2. (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)当增加的面积y ＝20 cm 2时，求相应的x 是多少？第8题图9. (2017丽水)如图①，在△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A －C －B 运动，点Q 从点A 出发以a(cm/s)的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ 的面积为y(cm 2)，y 关于x 函数图象由C 1，C 2两段组成，如图②所示．(1)求a 的值；(2)求图②中图象C 2段的函数表达式；(3)当点P 运动到线段BC 上某一段时，△APQ 的面积大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围．第9题图答案1. B 【解析】∵b 2－4ac>0，∴4ac<b 2；当x ＝－1时，y<0，即a －b ＋c<0，∴a ＋c<b ；∵x＝－b2a>1，a ＜0，∴－b<2a ，2a ＋b>0.故正确的有①③. 2. D 【解析】∵1－()x －a ()x －b ＝0，∴1＝()x －a ()x －b ，设y 1＝1，y ＝()x －a ()x －b ，画出图象得，n<b<a<m.第2题解图3. D 【解析】根据题意，从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书，离家距离没有变化，是一条平行于x 轴的线段．4. A 【解析】设A(a ，am －4m)，B(b ，bm －4m)，结合图象知，S 1＝12a(am －4m)，S 2＝12b(bm －4m)，S 1－S 2＝12am(a －4)－12bm(b －4)＝12m ×(a 2－4a －b 2＋4b)＝12m[(a ＋b)×(a－b)－4(a －b)]＝12m(a －b)(a ＋b －4)，∵OA 1＋OB 1＝a ＋b ＞4，∴S 1－S 2＝12m(a －b)(a ＋b －4)＞0，∴S 1＞S 2.5. x>16. 1－12n 【解析】由正方形的边长为1，得正方形的面积为1，正方形减去未贴彩色纸片部分的面积即是已贴彩色纸片部分的面积，12＋14＋18＋…＋12n ＝1－12n .7. 6 【解析】如解图，分别过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，则S △BOM S △AON ＝19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OB OA 2，∴OB OA ＝13，∵S △AOC ＝2×S △AON ＝9，∴S △ABC ＝23×9＝6.第7题解图 8．解：(1)由题意可得：(5＋x)(3＋x)－3×5＝y ，化简得y ＝x 2＋8x.故y 与x 的函数关系式为y ＝x 2＋8x ；(2)把y ＝20代入解析式y ＝x 2＋8x 中得x 2＋8x －20＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－10(舍去)．∴当边长增加2 cm 时，面积增加20 cm 2.9. 解：(1)如解图①，过点P 作PD⊥AB 于点D.9题解图①∵∠A ＝30°，PA ＝2x ， ∴PD ＝PA·sin30°＝2x·12＝x ，∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax ·x ＝12ax 2.由图象得，当x ＝1时，y ＝12，则12a ·12＝12， ∴a ＝1；(2)如解图②，当点P 在BC 上时，PB ＝5×2－2x ＝10－2x.第9题解图②∴PD ＝PB·sinB ＝(10－2x)·sinB ， ∴y ＝12AQ ·PD ＝12x ·(10－2x)·sinB.由图象得，当x ＝4时，y ＝43，∴12×4×(10－8)·sinB ＝43，∴sinB ＝13， ∴y ＝12x ·(10－2x)·13＝－13x 2＋53x ；(3)令12x 2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当x ＝2时，函数y ＝12x 2的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝2，x 2＝3.∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型三 方程与函数思想针对演练1. 甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg ，甲搬运5000 kg 所用的时间与乙搬运8000 kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运x kg 货物，则可列方程为( )A.5000x －600＝8000xB. 5000x ＝8000x ＋600C.5000x ＋600＝8000xD.5000x ＝8000x －6002. 如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH 的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第2题图3. 如图，在△ABC 中， AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， AD ⊥BC 于点D ，AE ⊥AB 交BC 于点E.若 S △ABC ＝m 2＋9n 2，S △ADE ＝mn ，则m 与n 之间的数量关系是( )第3题图A. m ＝3nB. m ＝6nC. n ＝3mD. n ＝6m4. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x 上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M的坐标为(a ，b)，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x( )A ．有最大值，最大值为－92B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为－925. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )6. 若3x 2m y m与x 4－n y n －1是同类项，则m ＋n ＝________．7. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.8. 设直线y ＝kx ＋k －1和直线y ＝()k ＋1x ＋k(k 是正整数)与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018的值是________.9. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)房价定为多少时，宾馆的利润最大？ 答案1. B 【解析】甲每小时搬运x kg 货物，则乙每小时搬运(x ＋600)kg 货物，根据题意得5000x ＝8000x ＋600，故选B. 2. B 【解析】由题意设C H ＝x ，则DH ＝EH ＝(9－x)，∵BE ∶EC ＝2∶1，∴CE ＝13BC ＝3，∴在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.3. A 【解析】∵AB＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C＝30°，∵AD ⊥BC ，AE ⊥AB ，∴∠BEA＝∠BAD＝60°，∠EAC ＝∠C＝30°，设DE ＝a ，则AE ＝CE ＝2a ，∴BC ＝6a ，∴S △ABC ＝6S △ADE ，即m2＋9n 2＝6mn ，∴()m －3n 2＝0，∴m ＝3n.4. B 【解析】∵M，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为(a ，b)，∴N 点的坐标为(－a ，b)．又∵点M 在反比例函数y ＝12x的图象上，点N 在一次函数y ＝x ＋3的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a b ＝－a ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12a ＋b ＝3，∴二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x ＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵二次项系数为－12＜0，∴函数有最大值，最大值为92.5. B 【解析】根据题意可知，需分两种情况讨论：①当P 在AB 上时，x 的取值范围是0＜x≤3，此时点D 到PA 的距离等于AD 的长度4，∴y 关于x 的函数图象是一条平行于x 轴的直线；②当P 在BC 上时，x 的取值范围是3<x≤5，∵∠BAP ＋∠DAE＝∠BAP＋∠APB，∴∠DAE ＝∠APB，又∵∠B＝∠DEA＝90°，∴△ABP ∽△DEA ，∴DE AB ＝AD AP ，∴y 3＝4x ，∴y ＝12x，∴y 关于x 的函数图象是双曲线的一部分，由k ＝12可得函数在第一象限，且y 随x 的增大而减小．综合①②可知B 选项正确．第5题解图6. 3 【解析】根据同类项的概念得，⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝4m －n ＝－1，解得m ＝1，n ＝2，∴m ＋n ＝3.7. 10 【解析】在函数表达式y ＝－112(x －4)2＋3中令y ＝0，得－112(x －4)2＋3＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)，∴铅球推出的距离是10 m.8. 20184038 【解析】∵方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1y ＝()k ＋1x ＋k的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，∴两条直线的交点为()－1，－1，两直线与x 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k ＋1，0，∴S k ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫1－k k －－k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，则S1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018＝12×(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12017－12018＋12018－12019)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12019＝20184038. 9. 解：(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为(180＋40－20)×(50－4010)＝9200(元)；(2)设房价增加x 元时，利润为w ，则w ＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x 2＋34x ＋8000＝－110(x －170)2＋10890，当x ＝170时，房价为170＋180＝350(元)，w 最大为10890. 即当房价定为350元时，宾馆的利润最大．第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型四 转化思想针对演练1. 我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x(x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A. 转化思想B. 函数思想C. 数形结合思想D. 公理化思想2. 已知a 2－b 2＝－16，a －b ＝12，则a ＋b a －b 的值为( )A. －12B. 13C. －23D. －323. (2017温州)我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3.现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0.它的解是( )A. x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝1，x 2＝－3C. x 1＝－1，x 2＝3D. x 1＝－1，x 2＝－34. 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N.若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A. 23a 2B. 14a 2C. 59a 2D. 49a 2第4题图5. 如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积(单位：cm 2)为( )第5题图A. 16B. 44C. 96D. 1406. 设m 2＋m －1＝0，则代数式m 3＋2m 2＋2017的值为( ) A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 20207. 如图， △ABC 经过平移得到△A′B′C′， 若四边形ACDA′的面积为6 cm 2,则阴影部分的面积为________cm 2.第7题图8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是_________寸．第8题图9. 三个同学对问题“若方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，求方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．10. 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN＝45°.若BM ＝1，CN ＝3，求MN 的长．第10题图 答案1. A2. C 【解析】∵()a ＋b ()a －b ＝－16，a －b ＝12，∴a ＋b ＝－13，∴a ＋b a －b ＝－23.3．D 【解析】令y ＝2x ＋3，则原方程变形为y 2＋2y －3＝0，解得y 1＝1，y 2＝－3，所以2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3，解得x 1＝－1，x 2＝－3.4. D 【解析】如解图，过E 作BC 和CD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则△EGM≌△EHN，∴重叠部分四边形EMCN 的面积等于正方形EGCH 的面积，∵EC ＝2AE ，∴CE ＝23AC ，EG ＝23AB ＝23a ，∴正方形EGCH 的面积为49a 2.第4题解图5. B 【解析】设小长方形的长和宽分别为x ，y ，则由图形得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝14y ＋x －2x ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8，则阴影部分面积为14×10－6×2×8＝140－96＝44.6. C 【解析】∵m 2＋m －1＝0，∴m 2＋m ＝1，则m 3＋2m 2＋2017＝m(m 2＋m)＋m 2＋2017＝m 2＋m ＋2017＝1＋2017＝2018.7. 6 【解析】∵由平移性质得，△ABC 的面积等于△A′B′C′的面积， ∴阴影部分的面积等于四边形ACDA′的面积等于6 cm 2.第7题解图8. 73 【解析】立体图形转化为平面图形，展开后变为长方形，根据题意得，∠C ＝90°，BC ＝3×()10＋6＝48，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝552＋482＝73.第8题解图9. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10 【解析】将方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2变为 ⎩⎪⎨⎪⎧35a 1x ＋25b 1y ＝c 135a 2x ＋25b 2y ＝c 2，设35x ＝m ，25y ＝n ，则原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧a 1m ＋b 1n ＝c 1a 2m ＋b 2n ＝c 2，再根据方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，所以得出⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧35x ＝325y ＝4，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10.10. 解：把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到的△ACG，连接NG ，如解图，第10题解图∴∠BAM ＝∠GAC，AM ＝AG ， ∴△ABM ≌△ACG.∵∠MAN ＝45°， ∠BAC ＝90°， ∴∠GAN ＝∠MAN ＝45°， ∴△MAN ≌△GAN. ∴MN ＝NG ，∴∠BCA＋∠ACG＝90°.在Rt△GCN中，NG＝CN2＋CG2＝10，∴ MN＝NG＝10.第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型五 整体思想针对演练1. 已知：a －b ＝35，b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于________．2. 如图，已知△ABC 的周长为20，一半径为1的圆紧贴三角形外侧旋转一周所经过的路程为________．第2题图3. 已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，则阴影部分的面积为________．第3题图4. 角α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已给出，在计算115(α＋β＋γ)的值时，全班得出23.5°、24.5°、25.5°这样三种不同结果，其中确定有正确的答案，那么α＋β＋γ＝________．5. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝55x ＋4y ＝7，求代数式x ＋y 的值等于________．6. 已知1x ＋1y ＝2，则2x －3xy ＋2yx ＋xy ＋y的值为________．7. 计算(1－12－13－14－15)(12＋13＋14＋15＋16)－(1－12－13－14－15－16)(12＋13＋14＋15)的结果是________．8. 如图，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中AB ＝2，则这个三角形的面积是________．第8题图9. 如图，△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为________．第9题图10. 分解因式：(x 2－3x ＋2)(x 2－3x －4)－72.11. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？12. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，P 是BC 上一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的长．第12题图 答案1. －225 【解析】可将ab ＋bc ＋ca 当作整体去求解，不用分别求出a 、b 、c 的值．∵a－b ＝35，b －c ＝35，∴a －c ＝65，则有(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2＝5425，即a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝2725，又∵a2＋b 2＋c 2＝1，∴ab ＋bc ＋ac ＝－225.2. 20＋2π 【解析】⊙O 在△ABC 的三个顶点处所转过的圆心角度数和为360°×3－90°×2×3－180°＝360°.所以总长度为L ＝20＋2π.3.3π2【解析】将五个扇形的圆心角度和作为整体，∵五个扇形的圆心角的和＝(5－2)×180°＝540°，r ＝1，∴S 阴影部分＝540×π×12360＝3π2.4. 352.5° 【解析】将a ＋β＋r 看作整体．设0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴90°＜α＋β＋γ＜360°，∴6°＜115(α＋β＋γ)＜24°.∵23.5°、24.5°、25.5°中有正确答案，∴115(α＋β＋γ)＝23.5°，∴α＋β＋γ＝352.5°.5. 43 【解析】将(x ＋y)作为整体，方程组中的两个方程相加得：9x ＋9y ＝12，∴9(x ＋y)＝12，即x ＋y ＝43.6. 13 【解析】∵1x ＋1y ＝2，∴x ＋y ＝2xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy （x ＋y ）＋xy ＝xy 3xy ＝13.7. 16 【解析】设12＋13＋14＋15＝a ，则原式＝(1－a)·(a＋16)－(1－a －16)a ＝16＋56a －a 2－56a ＋a 2＝16.8. 12 【解析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得a 2＋b 2＝22，即(a ＋b)2－2ab ＝4，又∵a＋b＝6，∴(6)2－2ab ＝4，∴ab ＝1，∴S ＝12ab ＝12.9. 13 【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，则△BCE 的周长＝BC ＋EC ＋EB ＝BC ＋EC＋EA ＝B C ＋AC ＝13.10. 解：设x 2－3x ＝a ， 则原式＝(a ＋2)(a －4)－72 ＝a 2－2a －80 ＝(a －10)(a ＋8)＝(x 2－3x －10)(x 2－3x ＋8)＝(x －5)(x ＋2)(x 2－3x ＋8)．11．解：设甲、乙、丙三种货物的单价各为x 、y 、z 元， 由题意可得：3x ＋7y ＋z ＝3.15 ①， 4x ＋10y ＋z ＝4.20 ②，三个未知数，2个方程，故考虑将x ＋y ＋z 当作整体来解答． ②－①得x ＋3y ＝1.05 ③， ③×3得3x ＋9y ＝3.15 ④， ②－④得x ＋y ＋z ＝1.05，答：购甲、乙、丙各1件，共需1.05元．12. 解：由已知条件并不能求得PE 、PF 的长，我们把PE ＋PF 的值看成一个整体．由题设条件可知：△BPE∽△BDC，∴PE DC ＝BP BD ， ∵△CPF ∽△CAB ， ∴PF AB ＝CP CA， 又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC ＝6，AC ＝BD ＝AB 2＋AD 2＝62＋82＝10， ∴PE ＋PF AB ＝BP ＋CP AC ＝810，∴PE ＋PF ＝4.8.第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型一 二次项系数确定型针对演练1. 已知抛物线y ＝x 2＋px ＋q 的顶点M 为直线y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋m －1的交点．(1)用含m 的代数式来表示顶点M 的坐标；(2)若m ＝6，当x 取值为t －1≤x≤t＋3时，二次函数y 最小值＝2，求t 的取值范围；(3)将抛物线y ＝x 2＋px ＋q 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，与抛物线y ＝(x －3)2＋2重合，求p 、q 的值．2. 已知抛物线y ＝x 2－2bx ＋c.(1)若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b ，c 的值；(2)若b ＋c ＝0，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1，请说明理由； (3)若c ＝b ＋2且抛物线在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b 的值．3. 已知抛物线y ＝x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)．(1)若抛物线与x 轴有交点，求m 的值；(2)在(1)的条件下，先作y ＝x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y ＝2x ＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n 2－4n 的最大值和最小值．4. 如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，－2)，抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－2与直线x ＝－2交于点P.(1)当抛物线经过点C 时，求它的表达式；(2)抛物线上有两点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，若－2≤x 1＜x 2，y 1＜y 2，求m 的取值范围；(3)设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线上有两点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，若x 1＜x 2≤－2，比较y 1与y 2的大小；(4)当抛物线与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．第4题图答案1. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋12y ＝－x ＋m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －33y ＝m 3；即顶点M 坐标为(2m －33，m 3)；(2)∵m＝6，∴二次函数图象的顶点为(3，2)，∴抛物线为y ＝(x －3)2＋2， ∴函数y 有最小值为2，∵当x 取值为t －1≤x≤t＋3时，二次函数y 最小值＝2， ∴t －1≤3，t ＋3≥3， 解得0≤t≤4；(3)平移后的抛物线为y ＝(x －3)2＋2，其顶点坐标为(3，2)， 平移前的抛物线为y ＝x 2＋px ＋q ，其顶点坐标为(－p 2，4q －p24)由题意可知：将(－p 2，4q －p24)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后与(3，2)重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－p2＋1＝34q －p 24－2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝8，故p 、q 的值分别为－4，8.2. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2bx ＋c ∴a ＝1，∵抛物线的顶点坐标为 (2，－3)，∴y ＝(x －2)2－3，∵y ＝(x －2)2－3＝x 2－4x ＋1， ∴b ＝2，c ＝1；(2)由y ＝1得x 2－2bx ＋c ＝1，∴x 2－2bx ＋c －1＝0， ∵b ＋c ＝0， ∴c ＝－b ，∵Δ＝4b 2－4(c －1)＝4b 2＋4b ＋4＝(2b ＋1)2＋3＞0， ∴存在两个实数，使得相应的y ＝1；(3)由c ＝b ＋2，则抛物线可化为y ＝x 2－2bx ＋b ＋2，其对称轴为x ＝b ，①当x ＝b≤－2时，则有抛物线在x ＝－2时取最小值为－3，此时－3＝(－2)2－2×(－2)b ＋b ＋2，解得b ＝－95，不合题意；②当x ＝b≥2时，则有抛物线在x ＝2时取最小值为－3，此时－3＝22－2×2b＋b ＋2，解得b ＝3，符合题意．③当－2＜b ＜2时，则4（b ＋2）－4b 24＝－3，化简得：b 2－b －5＝0，解得：b 1＝1＋212(不合题意，舍去)，b 2＝1－212.综上：b ＝3或1－212.3. 解：(1)抛物线与x 轴有交点，则一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)＝0，Δ＝(m ＋1)2－2(m 2＋1)＝－m 2＋2m －1＝－(m －1)2，∵方程有实数根，∴－(m －1)2≥0， ∴m ＝1；(2)由(1)可知y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， 图象如解图所示：第3题解图平移后的解析式为y ＝－(x ＋2)2＋2＝－x 2－4x －2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋n y ＝－x 2－4x －2消去y 得到x 2＋6x ＋n ＋2＝0， 由题意Δ≥0， ∴36－4n －8≥0， ∴n ≤7，∵n ≥m ，m ＝1， ∴1≤n ≤7，令y′＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴n ＝2时，y ′的值最小，最小值为－4， n ＝7时，y ′的值最大，最大值为21， ∴n 2－4n 的最大值为21，最小值为－4. 4. 解： (1)∵抛物线经过点C(－1，－2)，∴－2＝1＋2m ＋m 2－2， ∴m ＝－1，∴抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x －1； (2)抛物线的对称轴为直线x ＝m ， 当x≥m 时，y 随x 的增大而增大； 点M ，N 均在直线x ＝－2的右侧，∴直线x ＝－2必须在直线x ＝m 右侧或与之重合． ∴m ≤－2.(3)当x ＝－2时，y P ＝4＋4m ＋m 2－2＝(m ＋2)2－2. ∴y P 的最小值为－2，此时m ＝－2，∴当x ＜－2时，y 随x 的增大而减小， ∵x 1＜x 2≤－2， ∴y 1＞y 2；(4)∵y＝(x －m)2－2，∴抛物线的顶点在直线y ＝－2上．当x ＝0时，y ＝m 2－2.当x ＝2时，y ＝m 2－4m ＋2. ∵抛物线与线段AB 有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≤2m 2－4m ＋2≥2 或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≥2m 2－4m ＋2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≥0m 2－4m ＋2≥20＜m ＜2， 解得：－2≤m≤0或2≤m≤4.第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型针对演练1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A 、B(点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B.(1)求点A ，B 的坐标；(2)若抛物线在－2≤x≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3. 已知二次函数y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k(x 2＋x －1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．考向 2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18) 针对演练1. (2012杭州)当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2. (2015杭州)设函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)．(1)当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值．第2题图3. (2011杭州)设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．4. 已知函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2(k 为常数)．(1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)当k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点；(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k 值；若不存在，请说明理由．5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)．(1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)； (2) 在x>0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．6. 关于x 的函数y ＝2kx 2＋(1－k)x －1－k(k 是实数)，探索发现了以下四条结论： ①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；④当k≠0时，函数图象总经过两个定点． 请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8，①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A(－6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向下，B(10，0)；如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2；第1题解图①②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向上，B(－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2或x≤－2. 2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A(0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m＝1，∴B(1，0)；(2)易知抛物线y ＝mx 2－2mx －2的对称轴为x ＝1， 当m ＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2， ∴－m －2＝－3，∴m ＝1， 当m ＜0时，抛物线开口向下，y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18.。

方法技巧专题二分类讨论思想训练当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．一、选择题1．⊙O中，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为( )A．50° B．80°或50°C．130° D．50°或130°2．[2016·荆门]已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为()A．7 B．10C．11 D．10或113．[2017·聊城]如图F2－1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()图F2－1A．2个 B．3个C．4个 D．5个二、填空题4．[2017·西宁]若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．5．[2016·西宁]⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．图F2－27．[2016·江西]如图F2－2是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．8．[2017·齐齐哈尔]如图F2－3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是_______ _．图F2－39．[2016·鄂州]如图F2－4，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△AP B为直角三角形时，AP＝________．图F2－410．[2016·荆门] 如图F2－5，已知点A(1，2)是反比例函数y＝k x图象上的一点，连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是________．图F2－511．[2017·义乌]如图F2－6，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点，若使P ，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________．图F2－6参考答案1．D 2.D 3.B4．y＝x或y＝－x5．75°或15°6．2 3或4 3或6[解析] ①当∠ABC＝60°时，如图①，求得CP＝2 3或4 3；②当∠ACB＝60°时，如图②，此时CP＝6.7．5 2或4 5或5[解析] 如图所示．①当点P在AD边上时，△AEP是等腰直角三角形，底边PE＝2AE＝5 2；②当点P在BC边上时，P1E＝AE＝5，BE＝AB－AE＝8－5＝3，∴P1B＝P1E2－BE2＝4.∴AP1＝AB2＋P1B2＝82＋42＝4 5；③当点P在DC边上时，P2A＝P2E，底边AE＝5.综上所述，等腰三角形AEP的底边长为5 2或4 5或5.8．10或4 13或2 73[解析]∵AB＝AC＝10，BC＝12，底边BC上的高是AD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD＝12BC＝12×12＝6，∴AD＝102－62＝8.∴用这两个三角形拼成平行四边形，可以分三种情况：(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是82＋122＝4 13.(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是62＋162＝2 73.综上所述，这个平行四边形较长的对角线的长是10或4 13或2 73.9．3或3 3或3 7 [解析] 如图，分类讨论如下：(1)当∠APB＝90°时，以AB为直径作⊙O，与直线l交于点P1，P2，则AP1＝3，AP2＝3 3；(2)当∠PAB＝90°时，AP3＝3 3；(3)当∠ABP＝90°时，BP4＝3 3，AP4＝AB2＋BP42＝62＋（3 3）2＝3 7.综上所述，当△APB为直角三角形时，AP＝3或3 3或3 7.10．(－5，0)或(－3，0)或(3，0)或(5，0)①11．x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2 [解析] 分三种情况：①如图①，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；②如图②，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，②∴MC⊥OB，∵∠AOB＝45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC＝OC＝4，∴OM＝4 2，当M与D重合时，即x＝OM－DM＝4 2－4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图③，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，③则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N为圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN 为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4 2时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，使P，M，N构成等腰三角形，此时，满足条件的点P恰好有三个．综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.故答案为x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.。