2019精品教育3.1不等关系与不等式教案

不等关系与不等式教案教学设计3．1.1 不等关系与不等式整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|Ac|＋|Bc|＞|AB|，如下图．|AB|＋|Bc|＞|Ac|、|Ac|＋|Bc|＞|AB|、|AB|＋|Ac|＞|Bc|.|AB|－|Bc|＜|Ac|、|Ac|－|Bc|＜|AB|、|AB|－|Ac|＜|Bc|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v表示速度，则v≤40/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b ＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)c．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化答案：A解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.例2比较下列各组数的大小(a≠b)．(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b 2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a －b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.∴a4－b4＜4a3(a－b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．解：xy－1＝x－yy.∵x＞y，∴x－y＞0.当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋b＋－ab＝b－a b b＋＞0，于是a ＋b＋＞ab.又ab≥10%，因此a＋b＋＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，＞0，则a ＋b＋＞ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( )A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 c．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定答案：A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4 ＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )A．3B．2c．1D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．c 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)2－2＋5和－2＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．参考答案：1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．2．解：(1)(2－2＋5)－(－2＋5)＝2－2＋5＋2－5＝2.∵2≥0，∴(2－2＋5)－(－2＋5)≥0.∴2－2＋5≥－2＋5.(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1.3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2＝1＋x＋x24－(x＋1)＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.由x＞0，得1＋x2＞1＋x.4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.则(ab)a－b＞1.于是aabb＞abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.。

3．1 不等关系与不等式（第一课时）大冶一中柯尊胜一、教学目标（1）通过实例，明确不等量关系的存在．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．（2）学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；在实际问题中抽象出不等关系，培养学生的抽象思维能力，正确运用数学语言的表述能力；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二．教学的重点与难点重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值．理解不等式的基本性质，并能用以解决简单的数学问题。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系．三、教学方法以广泛的相关事例为指导，辅以信息技术手段，采用问题式引导探究，并与讲解演练相结合，在实例中抽象，在抽象中提升。

四、教学基本流程创设情景，由实例引入新课用不等式表示不等关系不等式的基本性质及简单应用小结，用不等式表示不等关系、不等式基本性质五、教学过程实际问题中的不等关系引例1 今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；引例2 限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：．引例3 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2．5%，蛋白质的含量p应不少于2．3%，用不等式可以表示为________．几何中的不等关系1、两点间直线段最短。

2、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。

3. 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与两点的距离|AB|是什么关系？实数的基本不等关系1、正数大于零、负数小于零；2、非负数大于或小于零、非正数不大于零；3、实数的平方不小于零，实数的绝对值大于或等于零；4、“同号积为正，异号积为负。

3、1、1不等关系与不等式（第一课时）教学目标：1、知识与技能目标：（1）、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。

（2）、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小。

2、过程与方法目标：（1）教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。

（2）设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性。

3、态度情感与价值观目标：（1）通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。

（2）培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。

进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。

教学重点：实数（代数式）大小比较的基本方法：作差法。

教学难点：判断差的符号难点突破方法：1、结合实例强化2、小组合作探究教法：“自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练”四环节教学法学法：尝试、探究、讨论、总结、运用教具：投影仪板书设计：黑板中央板书课题，左侧依次书写定义、实数（代数式）大小的比较法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小结和作业。

教学过程：1、新课引入：现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？如：（1）天气预报说：今天早晨最低温度为22℃，今天白天的最高温度为30℃，若用t表示气温，那么用数学表达式可写成22℃≤t≤30℃（2）上一章学习的等比数列中规定q≠0（3）根号a中，a的取值范围是什么？a非负实数，即a≥0（4）提问两同学的身高问题，让全体同学比较其大小关系。

如A＞B2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）问题一：不等式的定义用不等号连接两个解析式（以表示它们之间的不等关系）所得的式子，叫做不等式．不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．（强调“≥、≤”的读法中的“或”引出问题二）问题二：2≥2，这样写正确吗？（“≥“的含义是什么？）这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b ，同样a≤b即为a＜b或a=b。

§不等式与不等关系【教课目的】1．知识与技术：经过详细情形，感觉在现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，理解不等式（组）的实质背景，掌握不等式的基天性质；2．过程与方法：经过解决详细问题，学会依照详细问题的实质背景剖析问题、解决问题的方法；3．神态与价值：经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用，培育谨慎的思想习惯。

【教课要点】用不等式（组）表示实质问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）关于刻画不等关系的意义和价值。

【教课难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教课过程】1.课题导入在现实世界和平时生活中，既有相等关系，又存在着大批的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还常常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超出或许多于等来描绘某种客观事物在数目上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下边我们第一来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.解说新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前面路段行驶时，应使汽车的速度v不超出40km/h，写成不等式就是：v 40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应许多于%，蛋白质的含量 p应许多于%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%p2.3%问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的随意一点，则 d |AB|。

问题2：某种杂志原以每本元的价钱销售，能够售出 8万本。

据市场检查，若单价每提升元，销售量便可能相应减少2000本。

若把抬价后杂志的订价设为x元，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢解：设杂志社的订价为x元，则销售的总收入为 (8 x0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”能够表示为不等式(8 x0.2)x 20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。

3.1.1不等关系与不等式教案教学目标：1．掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，2．学会比较两个代数式的大小.教学重点：实数的大小比较的基本方法：作差法。

教学过程1、不等式的概念用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R2、实数大小比较的依据实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两个点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，若点A在点B的右方，则点A表示的实数a就大于点B表示的实数b，即a>b,这时，b应加上一个正数才能得到a，即a-b是一个正数，故比较两个实数的大小，只要考虑它们的差就可以了，对两个实数有如下的性质：如果a>b,则a-b为正数，若a<b,则a-b为负数，如果a=b，则a-b=0，反之亦然，即有：3、对于任意两个数a和b，在a>b，a=b，a<b三种关系中，有且只有一种关系成立4、 例题：例1．比较x x -2和2-x 的大小例2．当p 、q 都为正数且1=+q p 时，试比较代数式2)(qy px +与22qy px +的大小归纳总结 ：（1）、（2）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要补充例题：例3．比较lgx 2与（lgx ）2的大小。

例4．已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与ab 的大小。

5、 巩固练习： 1、若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( ) A a ＞ab ＞ab 2 B 2＞ab ＞a C ＞a ＞ab 2 D ab ＞ab 2＞a 2、下列不等式中，恒成立的是 （ ）A.a 2>0B.lg(a 2+1)>0C.0||>a a D.2a >0 3、已知a,b ∈R,b a≥0,a+b<0则( )A.a ≤0,b<0B. a ≥0,b>0C. a<0,b<0D. a>0,b>04、已知x<0，那么，x 2,2x,x 的大小关系是 （ ）A. x 2>2x>xB. x >x 2>2xC. x <x 2<2xD. 2x<x <x 25、已知ab<0，b-a<0,则不等式a 1 b1成立6、设A=(a 2+b 2)(c 2+d 2),B=(ac+bd)2，则A B7、设a<b<0,则b a 1 a1 8、已知a,b ∈R,且ab ≠0，则不等式ab-a2 b 2成立9 、比较a 4-b 4与4a 3(a-b)的大小10、已知x>y ，且y ≠0，比较y x 与1的大小11、设a=x 2+1-2x,b=x 2+16-8x,且3<x<4，比较a 与b 的大小12、 已知0<a<b,a+b=1,，比较b 与a 2+b 2的大小小结：求差比较，关键是差的符号的判定，而差的符号的判定关键是作差以后的变形，变形的主要方法是分解和配方 课堂练习：第63页练习A 、B 。

2019-2020年高中数学 3.1不等关系与不等式教案 新人教B 版必修5 教学目标1．了解现实世界和日常生活中存在的不等关系； 2．了解不等式和不等关系的实际背景； 3．掌握常用不等式的基本性质； 4． 会将一些基本性质结合应用。

教学重点理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由教学难点正确理解现实生活中的不等关系，并能从实际的不等关系中抽象出具体的不等式 教学过程从实际问题谈起在现实生活中，存在着许许多多的不等关系。

例1． 限速40km/h 的路标，指示司机前 方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h.写出不等式。

例2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中的脂肪含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%, 写成不等式组就是例3．某钢铁厂要把长度为4000m 的钢管截成500m 和600m 两种。

按照生产的要求，600m 钢管的数量不能超过500m 钢管的3倍。

写出满足关系的不等式。

5006004000300x y x y x y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩+≤≥≥≥一、常用不等式的基本性质(1),;(2);(3),0;(4),0;a b b c a c a b a c b c a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 证明：（1） ,0,0()()00a b b c a b b c a b b c a c a c >>⇒->->⇒-+->⇒->⇒>（2）0()()0()()0a b a b a b c c a c b c a c b c⇒>⇒->⇒-+->⇒+-+>⇒+>+（3）,00,0()00a b c a b c a b c ac bc ac bc>>⇒->>⇒->⇒->⇒>（4）,00,0()00a b c a b c a b c ac bc ac bc><⇒-><⇒-<⇒-<⇒<思考P81 让学生明确此类问题的证明要从“小处”入手。

§不等式与不等关系【教学目标】1 .知识与技能：通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式〔组〕的实际背景,掌握不等式的根本性质；2 .过程与方法：通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法：3 .情态与价值：通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯.【教学重点】用不等式〔组〕表示实际问题的不等关系,并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题.理解不等式〔组〕对于刻画不等关系的意义和价值.【教学难点】用不等式〔组〕正确表示出不等关系.【教学过程】L课题导入在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下而我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.2.讲授新课1〕用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行装时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是：v<40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于％,蛋白质的含量p应不少于％,写成不等式组就是一一用不等式组来表示f < 2.5%'p> 2.3%问题1：设点A与平面夕的距离为d,B为平面.上的任意一点,那么问题2：某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,假设单价每提升元,销售量就可能相应减少2000本.假设把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢r-2 5解：设杂志社的定价为X元,那么销售的总收入为〔8-一^二x0.2〕x万元,那么不等关系“销售的总收入0.1仍不低于20万元〞可以表示为不等式r-2 5〔8--^^x0.2〕x>20〔问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.根据生产的要求,600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍1怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢解：假设截得500 mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系：〔1〕截得两种钢管的总长度不超过4000mm;〔2〕截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍：〔3〕截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示：500x +600y <4000;3x >〕,；x>0;>• > 0.3 .随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2、课本P74的练习1、24 .课时小结用不等式〔组〕表示实际问题的不等关系,并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题.5 .作业课本P75习题［A组］第4、5题〔第2课时〕【教学目标】1 .知识与技能：掌握不等式的根本性质,会用不等式的性质证实简单的不等式：2 .过程与方法：通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法:3 .情态与价值：通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理水平.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证实简单的不等式：>【教学难点】利用不等式的性质证实简单的不等式.【教学过程】L课题导入在初中,我们已经学习过不等式的一些根本性质.请同学们回忆初中不等式的的根本性质.〔1〕不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变：即假设= 4土〔2〕不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变：即假设 a > b,c > 0 = ac > be〔3〕不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.即假设 a > Ac v 0 = ac < be2.讲授新课1、不等式的根本性质：师：同学们能证实以上的不等式的根本性质吗证实：1 ) :(a + c) — (b + c)=a —b>0,/. a + c>b + c2 ) (a + c) - (b + c) = a - b > 0 f a + c>b + c.实际上,我们还有a>Z?,Z?>c = a>c,(证实：:aAb, b>c,a -b>0, b-c>0.根据两个正数的和仍是正数,得(a -b) + (b -c)>0, 即 a —c>0>a>c.于是,我们就得到了不等式的根本性质：(1) a>b.b>c=>a >c(2) a>b^>a+c>b + c(3) a > b,c > 0 = ac > be(4) a > h.c <0=> ac < bei2、探索研究思考,利用上述不等式的性质,证实不等式的以下性质：(1) a > b,c > d = a + c > b + d ；(2 ) a > b > O.c > d > 0 => ac > bd ；(3) a>b>O,ne Nji >\=>a n >b n\>Ja > >/b o证实：1) ; a>b.「・ a + c>b+c. (T) .c>d,b + c>b+d. (2)由①、②得 a + c>b + d.a > b,c >0=> ac> be2) => ac > bdc > d,b > 0 = be > bd3)反证法)假设出?扬,那么：假设正(干="<"这都与矛盾,yja = y/b => a = h［范例讲解］: /例1、.>〃>0,右〈0,求证 c c —>—O a b证实：以为4>.>0,所以ab>0,」->.. ab下白 1 f 1 nn 1 1「/if ci x —> bx — , L|-— > 一ab ab h a由c<0 ,得一 > 一 a b3) 随堂练习1课本P74的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：.(1)(6 + VI) 2 6+2收(2)(V3-V2 ) 2 ( V6 -1) 2：(3) , -J—.V5-2 ---------------- V6-V5 ,⑷当a>b>0 时,log j a log)b5 2答案：⑴V(2) < (3) < (4) <［补充例题】例2、比拟(a + 3) (a—5 )与(a + 2) (a—4)的大小.)分析：此题属于两代数式比拟大小,实际上是比拟它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要).根据实数运算的符号法那么来得出两个代数式的大小.比拟两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.解：由题意可知：(a + 3) (a— 5 ) — (a + 2) (a—4)=(a2—2a —1 5 ) — (a2—2a— 8 )=-7 <0(a + 3) (a— 5 ) < (a + 2) (a—4)随堂练习21、比拟大小：(1) (x+ 5 ) (x+7 )与(x+ 6 ) 2(2) /+5x + 6与2/+5x + 94 .课时小结本行课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证实了一些简单的不等式,还研究了如何比拟两个实数(代数式〕的大小一一作差法,其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式:第二步：判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论：第三步：得出结论5 .作业课本P75习题［A组］第2、3题；［B组］第1题。

第三章不等式概述不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准，在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.1．内容与课程学习目标本章主要学习描述不等关系的数学方法，一元二次不等式的解法及其应用，线性规划问题，基本不等式及其应用等，通过学习，要使学生达到以下目标：（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（3）从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题.2．教学要求（1）基本要求①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题.②理解并掌握不等式的基本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.③理解一元二次不等式的概念；通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系.④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程.⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域.<<<<<<精品资料》》》》》⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法.⑦了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算术平均数，几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.（2）发展要求①体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用.②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决.（3）说明①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.②淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用.③突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形.3. 教学内容及课时安排建议3.1不等式与不等关系（约2课时）3.2一元二次不等式及其解法（约2课时）3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（约2课时）3.3.2简单的线性规划问题（约2课时）3.4基本不等式：2ba ab +≤（约2课时）<<<<<<精品资料》》》》》3.1 不等关系与不等式教案 A第1课时教学目标一、知识与技能通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.教学重点和难点教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系；并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.教学关键：将实际问题的不等关系转化为数学中不等式问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法.教法与学法导航教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.学习方法：从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、主题探究，合作交流1. 用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不v .超过40km/h，写成不等式就是40<<<<<<精品资料》》》》》<<<<<<精品资料》》》》》引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示.3.2,5.20000≥≥p f问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤. 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥. 问题3：某钢铁厂要把长度为4 000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍. 怎样写出满足所有上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000300.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，， 三、拓展创新，应用提高1. 试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2. 教材第74页的练习 第1、2题.四、小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.五、课堂作业教材第75页习题 3.1A 组 第4、5题.第2课时教学目标一、知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.教学重点和难点教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式.教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式.教学关键：学生会用不等式的性质证明简单的不等式和比较两个数的大小.教学突破方法：通过问题解决情景的设置、投影错例展示的方式，解决学生对不等式的理解.教法与学法导航教学方法：采用探究法，遵循从具体到抽象的原则.学习方法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的基本性质，设计较典型的问题，总结解题的规律.教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课关于不等式的几个基本事实0;0;0.a b a ba b a ba b a b>⇔->⎧⎪=⇔-=⎨<⇔-<⎪⎩在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质，请同学们回忆初中不等式的的基本性质.1. 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a b a c b c>⇒±>±；2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若,0a b c ac bc>>⇒>；3. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若,0a b c ac bc><⇒<.二、主题探究，合作交流1. 不等式的基本性质<<<<<<精品资料》》》》》<<<<<<精品资料》》》》》师：同学们能证明以上不等式的基本性质吗？证明：（1）()()0a c b c a b +-+=->，∴a c b c +>+；（2）()()0>-=---b a c b c a ，∴c b c a ->-．实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>.（证明：∵a ＞b ，b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0．）根据两个正数的和仍是正数，得（a －b ）＋（b －c ）＞0，即a －c ＞0， ∴a ＞c ．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>；（2）,a b b c a c >>⇒>；（3）a b a c b c >⇒+>+；（4）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<.例1 已知0,0,a b c >><求证c c a b>. 证明：因为0a b >>，所以ab >0,10ab>. 于是11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>. 由c <0 ，得c c a b >. 例2 比较（a ＋3）（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.解：由题意可知：（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）＝－７＜0∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）2. 探索研究思考：利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（5）d b c a d c b a +>+⇒>>,；（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0；<<<<<<精品资料》》》》》（7）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n ；（8）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n .证明：（5）∵ a ＞b ， ∴ a ＋c ＞b +c ． ①∵ c ＞d ， ∴ b ＋c ＞b ＋d ． ②由①②得 a ＋c ＞b ＋d ．（6）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,. （7）同学们自己证明.（8）反证法）假设n n b a ≤， 则：n n n n a b a b a b a b⎧<⇒<⎪⎨=⇒=⎪⎩这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．三、知识巩固，练习提高例3 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=.∵0≠x ， ∴02>x . 从而22)1(+x >124++x x . 例4 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则b a －c 与a b －d的大小关系为________． 解析：b a －c －a b －d ＝b 2－bd －a 2＋ac (a －c )(b －d )＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d ). 因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0，b －a ＜0，又－c ＞－d ＞0，则有－ac ＞－bd ，即ac ＜bd ，则bd －ac ＞0，所以（b ＋a ）（b －a ）－（bd －ac ）＜0，所以b a －c －a b －d ＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d )＜0， 即b a －c ＜a b －d..答案：ba－c＜ab－d.课堂练习：教材第74页的练习第3题.四、小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.五、课堂作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第1题.教案 B第1课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质.教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小.教学过程一、导入新课章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.二、提出问题1.回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与不等式的异同，怎样利用<<<<<<精品资料》》》》》<<<<<<精品资料》》》》》不等式研究及表示不等关系？2. 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，你能举出一些实际例子吗？三、应用示例例1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则40901000,5,6,N ,x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩，，即. 49100,5,6,N .x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩， 例2．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．四、小结上面的例子表明，我们可以用不等式（组）来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用（<>≤≥≠、、、、）表示不等关系. 老师进一步画龙点睛，指出不等式是研究不等关系的重要数学工具．五、练习教材第74页 练习第 1、2题．六、提出新问题怎样比较两个实数的大小？七、作业教材第75页习题3.1 A 组第4、5题； B 组第1、2题．第2课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，<<<<<<精品资料》》》》》 及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣. 教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质. 教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小. 教学过程一、提出问题不等式是研究不等关系的重要数学工具，我们都了解哪些不等式的性质呢？1.请学生回答等式有哪些性质？2.不等式有哪些基本性质？这些性质都有何作用？二、探究不等式的性质性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）.证：∵b a >，∴0>-b a ，由正数的相反数是负数.0)(<--b a ，0<-a b ，a b <.性质2：如果b a >，c b >，那么c a >（传递性）.证：∵b a >，c b >，∴0>-b a ，0>-c b .∵两个正数的和仍是正数，∴+-)(b a 0)(>-c b .∵0>-c a ，∴c a >.由对称性，性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <.性质3：如果b a >，那么c b c a +>+（加法单调性）反之亦然.证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ，∴c b c a +>+.从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(.性质4：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+（相加法则）.证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>. 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-（相减法则）.<<<<<<精品资料》》》》》证：∵d c < ∴d c ->-；d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->->. 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---.d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0. 性质5：如果b a >且0>c ，那么bc ac >.如果b a >且0<c ，那么bc ac <（乘法单调性）.证：c b a bc ac )(-=-.∵b a >，∴0>-b a .根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a ，即：bc ac >；0<c 时0)(<-c b a ，即：bc ac <.性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）.证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,. 推论：如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则）. 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >. 性质7：如果0>>b a , 那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.性质8：如果0>>b a ，那么n n b a >(N 1)n n ∈>且. 证：（反证法）假设n n b a ≤，则： n n n n a b a b a b a b⎧⎨⎩<⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >. 三、应用实例例1 比较大小<<<<<<精品资料》》》》》①已知0>>b a ，0<c 求证：bc a c >； 解：∵0a b >>， ∴ab >0,10ab>. ∴11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>. ∵c <0 ，∴c c a b >. ②231-和10. 解：∵23231+=-， ∵02524562)10()23(22<-=-=-+. ∴231-<10. 例2 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小.解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a .∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a .例3 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=.∵0≠x ， ∴02>x . 从而22)1(+x >124++x x . 小结：比较大小的步骤：“作差－变形－定号－结论”.例4 已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．<<<<<<精品资料》》》》》解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+- 2(3)(32)(3)x x x x =-+-+-=(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1）当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；（2）当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3）当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +. 说明：实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．四、课堂练习1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->-. 证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->-.2．||||,0b a ab >>， 比较a 1与b 1的大小.解：a 1-b 1ab a b -=，当0,0>>b a 时，∵||||b a >即b a >，0<-a b ，0>ab ， ∴0<-ab a b ，∴a 1<b 1.当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <，0>-a b ，0>ab ，∴0>-ab a b ，∴a 1>b1.<<<<<<精品资料》》》》》 3．若0,>b a ， 求证：a b a b >⇔>1. 解：01>-=-aa b a b .∵0>a ， ∴0>-a b ，∴b a <.0>-⇒>a b a b .∵0>a ，∴01>-=-ab a a b ， ∴1>a b .五、课堂小结1.不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式;2. 如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法.六、布置作业教材第75页习题3.1 A 组第2、3题； B 组第2、3题.。

3.1不等关系与不等式（1）
一、教学目标：
1．知识与技能：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
(3)
a b
a b
b a
a b a
a b b
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭。