【教材衔接】巩固练12 随机事件与概率-2020年 新高二数学(2019人教版)(解析版)

高中数学：概率总复习（例题、巩固练习、例题和巩固练习详解）【典型例题】要点一：随机事件与概率例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少? (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?举一反三：【变式1】若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐渐增大，有( )A .()n f 与某个常数相等B .()n f 与某个常数的差逐渐减小C .()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小D .()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定要点二：互斥事件与对立事件例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?举一反三：【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：.要点三：古典概型例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：(1)甲中奖的概率P(A)；(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；(3)只有乙中奖的概率P(C)；(4)乙中奖的概率P(D)．举一反三：【变式1】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.【变式2】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.要点四：几何概型例4、从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？举一反三：【变式1】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率．【变式2】已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+．(1)设集合P ＝{-1，1，2，3，4，5}和Q ＝{-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1，+∞)上是增函数的概率：(2)设点(a ，b)是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()f x 在区间[1，+∞)上是增函数的概率．【巩固练习】1．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对2．某校学生毕业后有回家待业，上大学和补习的三种方式，现取一个样本调查结果如图所示，若该校每一个学生上大学的概率为45，则每个学生补习的概率为( )A ．110 B ．225 C ．325D ．153．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4．8，4.85)(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.684．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 87 5．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）。

5.3.5随机事件的独立性课后篇巩固提升夯实基础1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,下列结论正确的为()A.A与B相互独立B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥D.P(AB)=12A,由题意得事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响,所以A与B相互独立,所以A中结论正确.对于选项B,C,由于事件A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故选项B,C中结论不正确.对于选项D,由于A与B相互独立,因此P(AB)=P(A)P(B)=1,4所以D中结论不正确.故选A.2.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A.0.42B.0.28C.0.18D.0.120.6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,由于两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12.故选D.3.某市某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则一名同学投篮得2分的概率为()A.0.5B.0.48C.0.4D.0.32A ,“第二次投进”为事件B ,则得2分的概率为P=P (A B )+P (B B )=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.故选B .4.在某段时间内,甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1),乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1),若在这段时间内两地下雨相互独立,则这段时间内两地都下雨的概率为 ( )A.P 1P 2B.1-P 1P 2C.P 1(1-P 2)D.(1-P 1)(1-P 2)P 1,乙地不下雨的概率为P 2,且在这段时间内两地下雨相互独立,所以这段时间内两地都下雨的概率为P=(1-P 1)(1-P 2).5.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13(两人是否通过测试互不影响),两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13B.23C.12D.1A ,B ,则P (A )=12,P (B )=13,两人中有且只有一人能通过为事件B B+A B , 故所求的概率为P (B B+A B )=P (B )P (B )+P (A )P (B )=(1-12)×13+12×(1-13)=12.故选C .6.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为8081,则此射手的命中率是 ,此射手恰好命中三次的概率是 .3281设此射手每次射击命中的概率为P ,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知该射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-8081=181,则(1-P )4=181,解得P=23.(2)此射手恰好命中三次的概率为P 1=13×23×23×23+23×13×23×23+23×23×13×23+23×23×23×13=3281.7.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.求: (1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率; (2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率; (3)这名学生至少遇到一次红灯的概率.设事件A 为在途中遇到4次红灯,P (A )=(13)4×(1-13)×5=10243.(2)设首次停车前经过3个路口为事件B , 则P (B )=(1-13)3×13=881.(3)设至少遇到一次红灯为事件C , 则其对立事件为全遇到绿灯, 所以P (C )=1-(1-13)5=211243.能力提升1.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过4个十字路口,已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( ) A.13 B.427C.49D.1127解析由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1-13=23,所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是23×23×13=427. 2.端午节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) A.5960B.12C.35D.160A ,B ,C ,至少1人回老家过节为事件D ,则P (D )=1-P (BBB )=1-P (B )P (B )P (B )=1-23×34×45=35.故选C .3.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p ,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( ) A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2p+p (1-p )+p (1-p )2=0.784,整理可得p (2-p+1-2p+p 2)=p (p 2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A 项正确. 4.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12,23,23,若他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为 .A 表示“甲命中”,事件B 表示“乙命中”,事件C 表示“丙命中”,则P (A )=12,P (B )=23,P (C )=23,所以他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为p=P (AB B )+P (A B C )+P (B BC )+P (ABC )=12×23×13+12×13×23+12×23×23+12×23×23=1218=23.5.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是34,甲、乙两人都回答错误．．的概率是112,乙、丙两人都回答正确．．的概率是14.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A ,B ,C ,设乙答对这道题的概率P (B )=x ,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A ,B ,C 是相互独立事件. 由题意,得P (BB )=P (B )P (B )=(1-34)×(1-x )=112,解得x=23, 即乙答对这道题的概率为23.(2)设“甲、乙、丙、三人中,至少有一人答对这道题”为事件M , 丙答对这道题的概率P (C )=y. 由题意得P (BC )=P (B )P (C )=23×y=14,解得y=38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (BBB )=P (B )P (B )P (B )=(1-34)(1-23)(1-38)=596.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P (M )=1-596=9196.。

巩固练13 事件的相互独立性一.选择题1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）＝A．12B．13C．23D．56【答案】D【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，基本事件总数n＝6，A∪B包含的基本事件个数1，2，3，4，6，则概率P（A∪B）56 ．故选D．2．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”【答案】C【解析】袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．从中不放回地摸出3个小球，在A中，“恰有1个红球”和“恰有2个白球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有1个红球”和“至少有1个白球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至多有1个红球”和“至多有1个白球”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；在D中，“至少有1个红球”和“至多有1个白球”能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选C．3．在8件同类产品中，有6件是正品，2件是次品，从这8件产品中任意抽取3件产品，则下列说法错误的是A ．事件“至少有一件是正品”是必然事件B ．事件“都是次品”是不可能事件C ．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件D ．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件【答案】C【解析】在8件同类产品中，有6件是正品，2件是次品，从这8件产品中任意抽取3件产品，在A 中，事件“至少有一件是正品”是必然事件，故A 正确；在B 中，事件“都是次品”是不可能事件，故B 正确；在C 中，事件“都是正品”和“至少一个正品”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误； 在D 中，事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件，故D 正确．故选C ．4．从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为910的是A ．2个都是正品B ．恰有 1 个是正品C ．至少有 1 个正品D ．至多有 1 个正品【答案】C【解析】从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，基本事件总数n 25C ==10，在A 中，2个都是正品的概率P 12331010C ==，故A 错误； 在B 中，恰有 1 个是正品的概率P 211323105C C ==， 在C 中，至少有 1 个正品的概率P 3＝12291010C -=，故C 正确； 在D 中，至多有 1 个正品的概率：P 41123227101010C C C =+=． 故选C ．5．从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”A．是对立事件B．不是互斥事件C．是互斥但不对立事件D．都是不可能事件【答案】A【解析】从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件．故选A．6．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事件共有A．0组B．1组C．2组D．3组【答案】A【解析】对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．③恰有1个白球与恰有1个黄球，这两件事是同一件事，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球是同一事件．故不是互斥事件．④″至少有1个黄球″说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明白球的个数是2，故这两个事件是互斥事件且是对立事件；故选A．7．下列叙述正确的是A．互斥事件定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1C．频率是稳定的，概率是随机的D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小【答案】B【解析】互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误；若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1，故B正确；频率是随机的，概率是稳定的，故C错误；5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故D错误；故选B．二．填空题8．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则P（A+B）＝．【答案】2 3【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，∴P（A）16=，P（B）12=，事件A与事件B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）112 623=+=．故答案为：23．9．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为25，甲获胜的概率为310，则甲不输的概率为．【答案】7 10【解析】依题意，甲不输包含甲获胜和甲乙平局两种情况，所以则甲不输的概率P237 51010=+=．故填：7 10．10．学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为 （结果用数值表示） 【答案】710【解析】学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n 25C ==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m 112322C C C =+=7， 则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p 710m n ==． 故答案为：710． 11．在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为 ． 【答案】67【解析】在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，基本事件总数n 37C ==35， 既有红球又有白球包含的基本事件个数m 333743C C C =--=30， ∴既有红球又有白球的概率为p 306357m n ===． 故答案为：67． 三．解答题12．体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试结果如下：等级 优（86～100分）良（75～85分） 中（60～74分） 不及格（1～59分） 人数 5 21 22 2（1）估计该班学生体育测试的平均成绩；（2）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“优”或“良”的概率．【答案】（1）73.58; （2）1325. 【解析】（1）估计该班学生体育测试的平均成绩为5212229380673050505050⨯+⨯+⨯+⨯=73.58（分）（2）记“测试成绩为优或良”为事件A ，“测试成绩为优”为事件A 1， “测试成绩为良”为事件A 2，则事件A 1，A 2是互斥的．由已知，有()1550P A =，()22150P A =． 因为当事件A 1，A 2之一发生时，事件A 发生，所以由互斥事件的概率加法公式，得任意抽取1名学生测试成绩为“优”或“良的概率为：P （A ）＝P （A 1+A 2）＝P （A 1）+P （A 2）521261*********=+==．。

北京学科专家组 安振平 审定高二数学同步测试（12）— 随机事件的概率一、选择题（每小题5分，共60分）1．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有 （ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 2．对于事件 A,B, 下列命题正确的是 （ ） A ．如果A,B 互斥，那么A ,B 也互斥； B ．如果A,B 不互斥，那么A ,B 也不互斥；C ．如果A,B 互斥，且P(A),P(B) 均大于0，则A,B 互相独立；D ．如果A,B 互相独立, 那么A ,B 也互相独立.3．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取到合格品的概率是2p ，第3次取到合格品的概率是3p ，则 （ ）A ． 2p >3pB ． 2p =3pC ． 2p <3pD ．不能确定4．商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为（ ） A ．421 B ．301 C ．354 D ．4255．进入世界前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国选手，抽签后平均分成甲、乙两组进行比赛，则四名中国选手不都分在同一组的概率为 （ ） A ．3533B ．1817 C ．3534 D ．986．一个口袋有10张大小相同的票，其号数分别为9,,2,1,0 ，从中任取2张，其号数至少有一个为偶数的概率是 （ ）A ．185 B ．187 C ．95 D ．97 7．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间经营实践，发现有如下表给出的关系，为A ．70元B ． 60元C ．50元D ． 40元8．某学生做电路实验，成功的概率是p(0<p<1), 则在3次重复实验中至少失败一次的概率是（ ） A ． 3pB ．3p 1-C ． ()3p 1-D ． ()()()p 1p p 1p p 1223-+-+-9．甲乙两人同时向敌机射击，已知甲击中的概率为0.7, 乙击中的概率是0.5,则击中敌机的概率是 （ ） A ．0.75 B ． 0.85 C ．0.9 D ． 0.9510． 一种零件加工由两道工序组成，第一道工序的废品率是p, 第二道工序的废品率是p, 则零件加工的成品率是 （ ） A ．1－p －q B ． 1－pq C ．1－p －q+pq D ．1－p11．某品牌产品，在男士中有10%使用过，女士中有40%的人使用过，若从男女人数相等的人群中任取一人，恰好使用过该产品，则此人是位女士的概率是 （ ）A ．51B ．52 C ．53 D ．54 12．气象站预报甲地明天晴天的概率为0.3, 乙地明天晴天的概率为0.4, 则甲地或乙地明天晴天的概率为 （ ） A ． 0.7 B ．0.12 C ． 0.68 D ． 0.58 二、填空题（本大题共4小题，每小题４分，共１６分）13．从装有两个白球、两个黑球的袋中任意取出两个球，取出一个白球一个黑球的概率为 .14．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）15．从一筐苹果中任取一个，质量小于250g 概率为0 .25, 质量不小于350g 的概率为0.22,则质量位于[)g 350,g 250范围内的概率是 .16．一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，若第三次（不放回地摸）摸到红球的概率为54，则袋中红球有 个. 三、解答题(共计74分)17．（10分） 袋中有红、白两种颜色的球，作无放回的抽样试验，连抽3次，每次抽一球。

专题12北师大版（2019）第七章概率知识点与基础巩固题——寒假作业12（原卷版）1．随机事件和确定事件(1)在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C …表示． 2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A ∩B 为不可能事件(A ∩B ＝∅)，则称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A ∩B 为不可能事件，而A ∪B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生． 4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0. (4)互斥事件的概率加法公式：①P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)．②P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(A 1，A 2，…，A n 彼此互斥)． (5)对立事件的概率：P (A )＝1－P (A )． 1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数一、单选题1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则A 与B 的关系为（ ） A ．互斥B ．相互对立C ．相互独立D ．相等2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.36D ．0.623．若()1P A B ⋃=，则互斥事件A 与B 的关系是( ) A ．A ，B 没有关系 B ．A ，B 是对立事件 C ．A ，B 不是对立事件D ．以上都不对4．在平面直角坐标系中，从下列5个点：A ()0,0，B ()2,0，C ()1,1，D ()0,2，E ()2,2中任取3个，这三点能构成三角形的概率是（ ）A ．25B ．35C ．45D ．15．在一次随机试验中，三个事件1A ，2A ，3A 的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是（ ）①12A A ⋃与3A 是互斥事件，也是对立事件； ②123A A A 是必然事件；③()230.8P A A ⋃=； ④()120.5P A A ≤∪. A ．4B ．1C ．2D ．36．有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（ ） A ．3110B ．2110C ．110D ．41107．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n ，若随机事件A 包含k 个样本点，则事件A 发生的概率()k P A n=. 其中所正确说法的序号是（ ） A ．①②④B ．①③C ．③④D ．①③④8．袋中装有大小与重量均相同的黑球2个，白球4个.从中不放回的先后任取两个小球，均为白球的概率为（ ） A ．0.5B ．0.4C ．0.3D ．0.29．2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（ ） A ．110B ．310C ．25D ．3510．皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p 是质数，且a ，p 互质，那么a 的()1p -次方除以p 的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集{}2,3,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ） A ．712B ．34C ．23D ．1211．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（ ） A ．710B ．45C ．35D ．31012．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1、2、3、4的正四面体一次，记事件A ={第一个四面体向下的一面为偶数}，事件B ={第二个四面体向下的一面为奇数}，事件C ={两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法错误的是（ ）．A ．()()()P A PB PC == B ．()()()P AB P AC P BC == C ．1()8P ABC =D ．1()()()8P A P B P C =二、填空题13．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.14．我国的旅游资源丰富，是人们假期旅游的好去处，小五现从大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖中任选两处去旅游，则恰好选中青海湖的概率为______.15．从A，B，C，D，E五位条件类似的应聘者中征选2人担任秘书职位，则A被录用的概率为________.16．现有5根单模光纤芯的直径（单位：mμ）分别为9.5，9.6，9.7，9.8，9.9，若从中一次随机抽取2根光纤芯，则它们的直径恰好相差0.3mμ的概率为______．三、解答题17．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三个小球逐个随机的放入三个盒子中，每个盒子放一个球，每只小球的放置是相互独立的（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；（2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率．18．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（1）1张奖券的中奖概率；（2）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.19．有6件产品，其中有2件次品，从中随机抽取3件，求：（1）其中恰有1件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率.20．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩合格的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.（1）求三人都合格的概率；（2）求三人都不合格的概率；（3）求出现几人合格的概率最大.21．某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图(如图).（1）估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数;（2）现将小区居民按照购买量分为两组，即购买量在[)1,3(单位:kg )的居民为A 组，购买量在[]3,6(单位:kg )的居民为B 组，采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查，再从这5户中随机选出3户，求选出的B 组户数为2的概率.22．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准.某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格： 甜品种类 A 甜品 B 甜品 C 甜品 D 甜品 E 甜品 销售总额（万元） 10 5 20 20 12 销售额（千份） 5 2 10 5 8 利润率 0.40.20.150.250.2（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值.） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； （2）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利1x 元，销售一份B 甜品获利2x 元，…，销售一份E 甜品获利5x 元，设123455x x x x x x ++++=，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过x 的概率.。

10.1 随机事件与概率1. 事件类型的判断；2. 随机试验中条件和结果的判断；3. 由频率估计随机事件的概率；4. 概率在生活中的应用；5. 正确理解概率的意义；6. 互斥事件与对立事件的判断、事件的运算；7. 概率加法公式的应用；8. 对立事件概率公式的应用；9. 概率基本性质在实际生活中的应用；10. 列基本事件的常用法；11. 古典概型的判断；12. 古典概型概率的求法；13. 概率与统计的综合问题.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）下列是周期现象的为（ ）①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A ．①②④B ．③④C ．①②D ．①②③2．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）A ．至少一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都没有中靶3．（2022·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）一个射手进行射击，记事件1A =“脱靶”，2A =“中靶”，3A =“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）A ．1A 与2AB ．1A 与3AC ．2A 与3AD ．以上都不对4．（2022·北京昌平·高一期末）北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）A．249B．649C．17D．275．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．19B．318C．29D．5186．（2021·江西·芦溪中学高一阶段练习）有3个兴趣小组，甲、乙两人各自只参加其中一个，每位同学参加各小组的可能性相同，则这两位同学不在．．同一兴趣小组的概率为（）A．12B．23C．13D．347．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）甲忘记了电脑开机密码的前两位，只记得第一位和第二位取自1，2，3（可以相同），则甲输入一次密码就能够成功打开电脑的概率为（）A．19B．16C．13D．128．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气歌”是以“春､夏､秋､冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国古代第五大发明”.从某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有45人，能说出三句或三句以上的有32人，据此估计从该校一年级学生中抽取一人，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的概率约为（）A．0.45B．0.32C．0.23D．0.77二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2021·全国·高一课时练习）（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（）A ．取出的两球标号为3和7B ．取出的两球标号的和为4C ．取出的两球标号都大于3D ．取出的两球标号的和为810．（2022·江西·景德镇一中高一期中）甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法错误的是（ ）A ．甲获胜的概率是16B ．甲不输的概率是12C ．乙输的概率是23D ．乙不输的概率是12 11．（2022·辽宁大连·高一期末）下列说法不．正确的是（ ） A ．若A ，B 为两个事件，则“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对立”的必要不充分条件B ．若A ，B 为两个事件，则()()()P A B P A P B +=+C ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=D ．若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 相互对立12．（2022·江西南昌·高一期末）欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．根据上表，下列结论正确的是（ ）A ．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨 B ．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨C ．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨D ．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为12 第II 卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·全国·高一）将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间Ω=__________. 14．（2022·河南焦作·高一期末）为了迎接春节，小王买了红､黄､紫三种颜色的花各一盆，准备并排摆放在自家阳台上，则红和紫两种颜色的花不相邻的概率为___________.15．（2021·全国·高一课时练习）甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下成和棋的概率为0.5，则甲不输的概率为________．16．（2022·江西·景德镇一中高一期末）某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为716，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是____________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（2022·湖南·高一课时练习）将红、白两个球任意放入Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个盒中（一个盒中只能容纳一个球）.用1A ，2A ，3A 分别表示事件“红球在Ⅰ盒中”“红球在Ⅱ盒中”“红球在Ⅲ盒中”；用1 B ，2B ，3B 分别表示事件“白球在Ⅰ盒中”“白球在Ⅱ盒中”“白球在Ⅲ盒中”.用语言叙述下列事件：(1)11A B ⋃；(2)22A B ⋂；(3)33\A B ； (4)2B ； (5)12A B ⋂.18．（2022·湖南·高一课时练习）一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？19．（2021·全国·高一课时练习）一只不透明的口袋中装有若干个大小一样的红球、黄球与蓝球，若从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33．求：(1)摸出红球或黄球的概率；(2)摸出蓝球的概率．20．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27、9、18，现用分层抽样的方法从三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；(2)现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.①列出所有可能的结果；②求选到的两名运动员来自同一协会的概率.21．（2021·全国·高一课时练习）掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：(1)A∩B，BC及相应的概率(2)A∪B，B+C及相应的概率；(3)记H为事件H的对立事件，求,,,⋃+及相应的概率.D AC B C D E22．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和B公司满意度评分的频数分布表：(1)根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数（结果保留一位小数）；(2)从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；(3)请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．。

精英同步卷：10.1随机事件与概率1、已知集合{}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8A =-----,从集合A 中任取不相同的两个数作为点P 的坐标,则事件“点P 落在x 轴上”包含的基本事件共有( )A.7个B.8个C.9个D.10个2、已知某种彩票发行1000000张,中奖率为0.001,则下列说法正确的是( )A.买1张肯定不中奖B.买1000张一定能中奖C.买1000张也不一定能中奖D.买1000张一定恰有1张能中奖3、下列事件中随机事件的个数为( )①方程2230x x +-=有两个不相等的实根;②异性电荷,相互吸引;③某学生投篮命题.A.0B.1C.2D.34、将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( )A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定5、从12件同类产品中,( 其中有10件正品,2件次品)中,任意取3件的必然事件是( )A.3件都是正品B.至少有1件是次品C.3件都是次品D.至少有1件是正品6、给出下列三个结论: ①集合{}|0x x <是空集是必然事件;②若()y f x =是奇函数,则(0)0f =是随机事件;③若log (1)0a x ->,则1x >是必然事件.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.37、一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球,那么“从中任意摸一个球得到白球”,这个事件是( )A.随机事件B.必然事件C.不可能事件D.不能确定8、从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 459、从12个同类产品(其中10个是正品, 2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( )A. 3个都是正品B.至少有1个是次品C. 3个都是次品D.至少有1个是正品10、下列事件是随机事件的个数是( )①异种电荷,互相排斥②明天天晴③自由下落的物体做匀速直线运动 ④函数0,(a y log x a =>且1)a ≠在定义域上是增函数.A.0 B.1 C.2 D. 311、下列事件中必然事件为_________,不可能事件为_________,随机事件为_________.(1)连续两次抛掷一枚硬币,两次都出现反面向上;(2)甲、乙两位同学进行100米赛跑,甲同学获胜;(3)直角三角形中只有一个角是直角;(4)没有电,电灯泡会发光.12、必然事件出现的概率为__________,不可能事件出现的概率为__________.13、在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品;②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;③在这200件产品中任意选出193件,不全是一级品;④在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小于100.其中__________是必然事件;__________是不可能事件;__________是随机事件.14、下列说法正确的是__________.(填序号)①随机事件A 的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值;②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生;③任意事件A 发生的概率()P A 总满足()01P A <<.15、1.“从自然数中任取两数,其中一个是偶数”,这是__________事件;2.“从自然数中任取连续两数,乘积是偶数”,这是__________事件;3.“从自然数中任取两数,差为12”,这是__________事件. 16给出关系满足的非空集合的四个命题: ①若任取,则是必然事件;②若任取,则是不可能事件;③若任取,则是随机事件;④若任取,则是必然事件.其中不正确的是(把所有不正确的序号都填上).答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：“点P 落在x 轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0,横坐标不为0,因集合A 中有9个非零数,故选C.2答案及解析：答案：C解析：对于A,买1张,可能中奖,也可能不中奖,所以A 选项错误;对于B,买1000张这样的彩票,可能有1张中奖,也可能不中奖,所以B 选项错误;对于C,买1000张也不一定能中奖,所以C 选项正确;对于D,买1000张这样的彩票,可能有1张中奖,也可能有多张中奖,所以D 选项错误.故选C.3答案及解析：答案：B解析：只有③为随机事件,故选B.4答案及解析：答案：B解析：正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.5答案及解析：答案：D解析：A,B 为随机事件,C 为不可能事件,D 为必然事件.6答案及解析：答案：D 解析：∵0x ≥恒成立,∴①正确;奇函数()y f x =只有当0x =有意义时才有(0)0f =,∴②正确;由log (1)0a x ->知,当1a >时,11x ->,即2x >;当01a <<时,011x <-<,即12x <<,∴③是必然事件,正确.故选D.7答案及解析：答案：A解析：一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件，故选A8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：D解析：任意抽取3个的可能情况是:3个正品; 2个正品, 1个次品; 1个正品, 2个次品.由于只有2个次品,不会有3个次品的情况. 3种可能的结果中,都至少有1个正品,所以至少有1个是正品是必然发生的,必然事件应该是“至少有1个是正品”.10答案及解析：答案：C解析：由随机事件的定义可知:②④是随机事件;①是必然事件;③是不可能事件.即随机事件的个数是2.本题选择C选项.11答案及解析：答案：(3);(4);(1)(2)解析：(1)两次都出现反面向上可能发生也可能不发生,为随机事件;(2)甲、乙两位同学进行100米赛跑,甲同学获胜可能发生也可能不发生,为随机事件;(3)直角三角形中只有一个角是直角为必然事件;(4)没有电,电灯泡会发光为不可能事件.12答案及解析：答案：1; 0解析：13答案及解析：答案：④; ②; ①③解析：14答案及解析：答案：①②解析：对干①,由频率与概率的关系可知是正确的;对于②,一次试验中不同的基本事件不可能同时发生是正确的;对于③,任意事件A 发生的概率(),P A 总满足()01P A ≤≤,所以③错误.故说法正确的是①②.15答案及解析：答案：1.随机; 2.必然; 3.不可能解析：根据随机事件,必然事件,不可能事件的定义知(1)随机(2)必然(3)不可能.16答案及解析：答案： ②解析： 因为,所以中的元素都在中,但是中有些元素不在集合中.所以①③④正确.②中,若,则有x,两种可能情况,因此②若任取,则是随机事件.故填②.。

10.1.4 概率的基本性质[A 基础达标]1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90解析：选A.依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.2．(2019·陕西省咸阳市检测(一))某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C .从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( )A ．0.14B ．0.20C ．0.40D ．0.60解析：选A.由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350－0.4＝0.14.故选A.3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910解析：选D.记3个红球分别为a 1，a 2，a 3，2个白球分别为b 1，b 2，从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用A 表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A －表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A －包含的基本事件有1个：(a 1，a 2，a 3)，所以P (A －)＝110.故P (A )＝1－P (A －)＝1－110＝910.4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( )A.12 B.23 C.56D ．1解析：选B.法一：A 包含向上点数是1，3，5的情况，B 包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A ∪B 包含了向上点数是1，2，3，5的情况．故P (A ∪B )＝46＝23.法二：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB ) ＝12＋12－26＝1－13＝23. 5．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A.710B.35C.45D.110解析：选B.法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶然又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为1830＝35.法二：设事件A “摸出的数为偶数”，事件B “摸出的数能被5整除”，则P (A )＝12，P (B )＝630＝15，P (A ∩B )＝330＝110所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.6．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.2.(1)如果B ⊆A ，则P (A ∪B )＝________，P (AB )＝________； (2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝________，P (AB )＝________． 解析：(1)因为B ⊆A ，所以P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，P (AB ) ＝P (B )＝0.2. (2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.2＝0.6.P (AB )＝P (∅)＝0答案：(1)0.4 0.2 (2)0.6 07．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________．解析：因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，5答案：258．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：________．解析：记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500，3 000)范围内的事件分别为A ，B ，C ，D ，因为事件A ，B ，C ，D 互斥，且P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.67，所以P (B ＋C ＋D )＝0.67－P (A )＝0.55. 答案：0.559．已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，大于等于60分且小于等于90分的概率为0.5，求：(1)李明成绩大于等于60分的概率； (2)李明成绩低于60分的概率．解：记A ：李明成绩高于90分，B ：李明成绩大于等于60分且小于等于90分，则不难看出A 与B 互斥，且P (A )＝0.3，P (B )＝0.5.(1)因为“李明成绩大于等于60分”可表示为A ∪B ，由A 与B 互斥可知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.3＋0.5＝0.8.(2)因为“李明成绩低于60分”可表示为A －∪B －，因此P (A －∪B －)＝1－P (A ∪B )＝1－0.8＝0.2.10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A 饮料，编号4，5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件．则10(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.[B 能力提升]11．已知A ，B ，C 两两互斥，且P (A )＝0.3，P (B －)＝0.6，P (C )＝0.2，则P (A ∪B ∪C )＝________．解析：因为P (B －)＝0.6，所以P (B )＝1－P (B －)＝0.4. 所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9. 答案：0.912．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率为1235.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ＋B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率为1735.答案：173513．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．解析：商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A ，“当天商品销售量为1件”为事件B ，“当天商店不进货”为事件C ，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝120＋520＝310.答案：31014．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，则m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n ＝400600＝23. (2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A －表示“生活垃圾投放正确”，从而P (A －)＝400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－0.7＝0.3.[C 拓展探索]15．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y 的所有可能值为900，300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.。