高二数学教案：相互独立事件同时发生的概率(2)

高二数学相互独立事件同时发生的概率教案一、教学目标：1.了解相互独立事件的意义；2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；3．会用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算一些事件的概率。

二、教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；事件的相互独立性的判定。

三、教学过程：（一）复习引入：1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-2．问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球。

提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）（二）新课讲解：1．相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

例1．（步步高P127例1）说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

2．相互独立事件同时发生的概率：问题1中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。

于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果。

同时摸出白球的结果有32⨯种。

所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

11.3 相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k（1－p ）n －k.3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解： 第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生. 当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ⋅，但A ·B =B A +.●点击双基1.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p 1p 2B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）C.1－p 1p 2D.1－（1－p 1）（1－p 2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A.0B.1C.2D.3解析：由C k5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1， 即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）A.94B.901 C.54 D.95 解析：P =31×61×451=901.答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 解析：P =21×32×43+ 21×31×43+ 21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P =（1－31）（1－31）×31=274. 答案：274●典例剖析【例1】 （2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，于是P （A ）=106= 53，P （A ）=52；P （B ）=104= 52，P （B ）=53. 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·52=256. 答：两人都抽到足球票的概率是256.（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P =1－P （A ·B ）=1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 【例2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=108=54. 显然，事件A ·C 与事件B ·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P （A ·C +B ·D ）=P （A ·C ）+P （B ·D ）=P （A ）·P （C ）+P （B ）·P （D ）=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 【例3】 （2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶. 记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则p =P （A ）=21. 题（1）即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 7（5）=C 57p 5（1－p ）2=C 27（21）7=12821. （2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P 6（5）+P 5（5）+P 4（4）=C 65p 5（1－p ）+C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163. ●闯关训练 夯实基础1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有 A.A 与AB.A 与BC. A 与BD. A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42 解析：P =（1－0.3）（1－0.4）=0.42. 答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P =（53）5+C 45×（53）4×（1－53）=31251053. 答案：312510534.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72. 答案：0.72 培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中， （1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？ 解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C 23·0.82·0.2+C 33·0.83=0.896.∴至少有2天预报准确的概率为0.896.（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.6.（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B .由题意知P （A ）=p 3，P （B ）=p 3，P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B + A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ） =p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P （A ·B + A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6.方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P 由①③得P （B ）=1－89P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0. 解得P （C ）=32或911（舍去）. 将P （C ）=32分别代入③②可得P （A ）=31，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，41，32.（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率. ●教师下载中心 教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A 和事件B 互相独立时，才有P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.A 、B 中至少有一个发生：A +B .（1）若A 、B 互斥：P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则不成立. （2）若A 、B 相互独立（不互斥）.法一：P （A +B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）； 法二：P （A +B ）=1－P （A ·B ）； 法三：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）.① ② ③3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.4.n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率P n （k ）=C k n p k（1－p ）n －k正好是二项式［（1－p ）+p ］n的展开式的第k +1项.拓展题例【例1】 把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m 个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P =m1.这样n 个球放入m 个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式知，1号盒恰有r 个球的概率P n （r ）=C r np r （1－p ）n －r=C r n·（m 1）r ·（1－m 1）n －r =nrn r n mm --⋅)1(C . 解法二：用古典概型.把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r n（m －1）n －r，故所求概率P （A ）=nrn r n mm --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nrn r n m m --)1(C .【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4.2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2.化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0. 所以3P －2≥0， 即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.。

相互独立事件同时发生的概率教案----相互独立事件及其同时发生的概率山西省平遥中学 常毓喜【教学目的】1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；2．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必定性之中的辨证唯物主义思想；【教学重点】用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；【教学难点】互斥事件与相互独立事件的区不；【教学用具】投影仪、多媒体电脑等。

【教学过程】一、提出咨询题有两门高射炮，每一门击中侵犯我领空的美军侦察机的概率均为0.7，假设这两门高射炮射击时相互之间没有阻碍。

假如这两门高射炮同时各发射一发炮弹，那么它们都击中美军侦察机的概率是多少？〔板书课题〕二、探究研究明显，依照课题，本节课要紧研究两个咨询题：一是相互独立事件的概念，二是相互独立事件同时发生的概率。

〔一〕相互独立事件1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时能够在这31个数字中任意选择其中的7个，假如与运算机随机摇出的7个数字都一样〔不考虑顺序〕，那么获一等奖。

假设有甲、乙两名同学前去抽奖，那么他们均获一等奖的概率是多少？〔1〕假如在甲中一等奖后乙去买彩票，那么也中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 〔2〕假如在甲没有中一等奖后乙去买彩票，那么乙中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。

设第1次取出的球是白球叫做事件A ，第2次取出的球是白球叫做事件B 。

〔1〕假设第1次取出的球不放回去，求事件B 发生的概率；〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=74；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=75〕 〔2〕假设第1次取出的球仍放回去，求事件B 发生的概率。

〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=85；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=85〕 相互独立事件：假如事件A 〔或B 〕是否发生对事件B 〔或A 〕发生的概率没有阻碍，如此的两个事件叫做相互独立事件。

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

相互独立事件同时发生的概率（2）一、课题：相互独立事件同时发生的概率(2)二、教学目标：1．能正确分析复杂事件的构成；2．能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率的乘法公式解决一些实际问题。

三、教学重、难点：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和反向思考。

正向思考的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件；反向思考就是转化为求它的对立事件的概率。

四、教学过程：（一）复习：互斥事件、对立事件和相互对立事件的概念。

（二）新课讲解：例1 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。

假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。

根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是[][][]()()()()1()1()1()(10.7)(10.7)(10.7)0.027P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常 工作的概率。

（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

方法一：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0.847P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且 A J 与B J 至少有1个开的情况。

11.3相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为P n（k）p k（1－p）n－k.=C kn3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清A·B，BA⋅的区别.A·B表示事件A与B 同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B 至少有一个发生的对立事件即BA⋅，但A+，因此有A·B≠BA ·B =B A +.●点击双基1.（2019年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p 1p 2B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）C.1－p 1p 2D.1－（1－p 1）（1－p 2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A.0B.1C.2D.3 解析：由C k 5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1，即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） A.94B.901C.54D.95 解析：P =31×61×451=901. 答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.解析：P =21×32×43+21×31×43+21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P =（1－31）（1－31）×31=274. 答案：274 ●典例剖析【例1】（2019年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，于是P （A ）=106=53，P （A ）=52；P （B ）=104=52，P （B ）=53.由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·52=256. 答：两人都抽到足球票的概率是256. （2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P =1－P （A ·B ）=1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519.【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P（A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P（D ）=108=54. 显然，事件A ·C 与事件B ·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P （A ·C +B ·D ）=P （A ·C ）+P （B ·D ）=P （A ）·P （C ）+P （B ）·P （D ）=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 【例3】（2019年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶.记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则p =P （A ）=21. 题（1）即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 7（5）=C 57p 5（1－p ）2=C 27（21）7=12821. （2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P 6（5）+P 5（5）+P 4（4）=C 65p 5（1－p ）+C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163.●闯关训练夯实基础1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有A.A 与AB.A 与BC.A 与BD.A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42解析：P =（1－0.3）（1－0.4）=0.42.答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P =（53）5+C 45×（53）4×（1－53）=31251053. 答案：31251053 4.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.答案：0.72培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，（1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C23·0.82·0.2+C33·0.83=0.896.∴至少有2天预报准确的概率为0.896.（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.6.（2019年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P （A ·B +A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6.方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6.答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.（2019年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P ① ② ③由①③得P （B ）=1－89P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0.解得P （C ）=32或911（舍去）. 将P （C ）=32分别代入③②可得P （A ）=31，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，41，32. （2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率.●教师下载中心教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P （A）·P（B）.2.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）；法二：P（A+B）=1－P（A·B）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.4.n次独立重复试验中某事件发生k次的概率P n（k）=C knp k（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.拓展题例【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m 个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=m1.这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率P n（r）=C rn p r（1－p）n－r=C rn·（m1）r·（1－m1）n－r=nrnrnmm--⋅)1(C.解法二：用古典概型.把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r n （m－1）n －r ，故所求概率P （A ）=n r n r n m m --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nr n r n m m --)1(C . 【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4.2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2.化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0.所以3P －2≥0，即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.。

第周年月日星期姓名相互独立事件同时发生的概率㈡1、甲乙二人同时报考某一大学，甲被录取的概率是0.6，乙被录取的概率是0.7，二人是否被录取互不影响。

⑴甲乙二人都被录取的概率；⑵甲乙二人都不被录取的概率；⑶甲乙二人至少一人被录取的概率。

2、一名工人看管3台机床，在1小时内，甲、乙、丙3台机床不需要工人照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，求在1小时内：⑴没有1台机床需要照看的概率；⑵至少有一台机床不需要照看的概率。

3、某段时间内，甲地下雨的概率是0.3，乙地下雨的概率是0.4，假定甲、乙两地是否下雨彼此无关，那么甲、乙两地都下雨的概率为______________；甲、乙两地都不下雨的概率为______________。

4、第一台车床制造出一级零件的概率为0.7低二台车床制造出一级零件的概率0.8。

在第一台车床上生产1个零件，在第二台车床上生产2个零件，则所有零件均为一级零件的概率是______________。

5、在同一时间内，对同一城市，市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为0.9、0.8，两个气象台预报天气准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率是______________。

6、甲、乙两位同学独立的解同一道数学题，若甲能解对的概率为m ，乙能解对的概率为n ，那么这道数学题能被解对的概率为（ ）A 、m n +B 、mnC 、1mn -D 、1(1m)(1n)---7、设某种产品分2道独立工序生产，第1道工序的次品率为0.1，第2道工序的次品率为0.03，生产这种产品只要有1道工序出次品就将产生次品，则该产品的次品率为（ ）A 、0.873B 、0.13C 、0.127D 、0.038、已知某人射击一次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且每次射击是否击中相互之间没有影响，求：⑴ 在第2次没有击中，其他3次都击中的概率；⑵ 4次射击中只有1次没有击中的概率；⑶ 4次射击中只有2次击中的概率。

重难点创新教学方法：教案内容：人教2007修订版高二数学（选修2-3）第二章第3节第一课时§2.3.1相互独立事件同时发生的概率教案说明的思路：一、教材结构与内容简析：本节内容“相互独立事件同时发生的概率”是高二数学（选修2-3）第二章第3节第一课时的内容，此前学生已学了“等可能事件”、“互斥事件发生的概率”，所以学好本节内容是对前面知识的深化和拓展。

通过本节学习不仅要掌握相互独立事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用,为后继学习独立重复试验等概率知识以及今后升入高一级院校学习相关知识奠定良好基础, 而且更重要的是让学生真正意识到集体的力量大于个人的力量,虚心求教的必要性,养成谦虚求教的良好治学态度,适时地对学生进行德育教育。

概率论是研究随机现象规律性的学科，应用广泛，已渗透到社会生活的方方面面，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学发展提供理论依据。

本节仅限于两个事件相互独立时，研究它们的积事件的概率。

要求学生掌握相互独立事件的概念和计算，为学习后继课程打下基础。

概率这门学科要求对基本概念、基本性质和方法的理解比较强，本节在确定教学目标时，要结合概率知识的特点，教学时，一要使学生理解基本概念和计算方法，二要通过实例体会将复杂事件转化为和或积事件的思考方法。

基本概念搞清楚了，常规计算掌握了，这节课的教学目标就基本达到了。

二．学情分析：认知分析：高二学生此前学生已学了“等可能事件”、“互斥事件发生的概率”，已经具备具备一定数学基底，有学习本节内容的基础，教学应从设疑入手，引导其探索，提出解决问题的方法，重在进一步培养其分析问题、解决问题的能力和创新意识。

能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养。

情感分析：多数学生对数学学习有兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流方面，有待加强。

数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是携学生探究和思考，传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生传授正难则反数学方法。

浙江省杭州第二中学高二数学相互独立事件同时发生的概率一、教材分析1．教材的地位和作用概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支.它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛.相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型.将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法.因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材. 2．课时安排和说明参照课本与教学大纲，10．7节“相互独立事件同时发生的概率”准备安排三个课时.第一课时主要通过探索得出相互独立事件的概念及其概率乘法公式，并能应用公式解决问题.第二课时主要研究n次独立重复试验发生k次的概率.第三课时为习题课，目的是巩固和深化本节知识，提高实践应用能力.本次说课内容为第一课时.3．教学重点和难点教学重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式.为了防止互斥事件对相互独立事件的负迁移作用，避免学生盲目地套用公式，本节课准备突破的教学难点是：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题分解转化为几类基本的概率模型.二、学情分析认知分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了等可能性事件以及互斥事件有一个发生的概率计算方法，这三者形成了学生思维的“最近发展区”.能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.基于以上分析，在学法上，引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式.让每一个学生都能参与研究，并最终学会学习.三、教学目标根据教材分析和学生的认知特点，本节课设置的教学目标为：知识目标：了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 能力目标：进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力；通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力.情感目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣，并从中领会对立统一的辨证思想；结合问题的现实意义，培养学生的合作精神与爱国热情.四、教学方法根据建构主义的教学理论和美国著名心理学家、教育家杜威的“思维五步法”，从发展学生认识问题、探索问题、研究问题的能力角度考虑，本节课准备采用“问题教学法”的思想进行教学设计.即由教师作为“顾问、参谋、设计者”组织教学，学生在问题解决的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构.它由五个基本环节组成：创设情境，提出问题——合作交流，感知问题——类比联想，探索问题——实践应用，解决问题——总结反思，深化拓展.五、教学过程1．创设情境，提出问题：（1）创设情境：（动画）画面背景：擂台.横幅：解题大赛奖品丰厚.比赛双方：诸葛亮VS臭皮匠团队比赛规则：各位参赛选手必须独立解题.团队中有一人解出即为团队获胜.人物：诸葛亮，臭皮匠老大，臭皮匠老二，臭皮匠老三.诸葛亮（手摇羽扇）：依我以往的经验，我解出的把握有80%.臭皮匠老二（垂头丧气）：老大，你的把握有50%，我只有45%，看来这奖品与咱是无缘了.臭皮匠老大：别急，常言道：三个臭皮匠臭死诸葛亮.咱去把老三叫来，我就不信合咱三人之力，攻不下这个擂台！问题：假如臭皮匠老三解出的把握只有40%，那么这三个臭皮匠中有一人解出的把握真能抵得过诸葛亮吗？创设趣味性的问题情境，增强学生的有意注意,调动学生学习的主动性和积极性.根据不同的认知基础和对问题的不同看法，学生们会作出各自不同的判断.（2）提出问题此时不急于加以评判，先拿出歪歪的观点：歪歪：当然啦！设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题；事件C：老三解出问题；事件D：诸葛亮解出问题.那么三人中有一人解出的可能性即()()()()P A B C P A P B P C ++=++ =0.5+0.45+0.4=1.35>0.8=()P D所以，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了. 乖乖：好象挺有道理的哦？ 问题：那么，你认为歪歪说得对吗？在歪歪的说法中有两点是与学生的原有认知矛盾的：1）概率不可能大于1.2）公式()P A B C ++=()P A +()()P B P C +运用的前提是：互斥事件有一个发生.而此问题中“团队中有一人解出”，实质是至少有一人解出，事件A 、B 、C 可以同时发生，公式应用有误.从而引发学生提出问题．．．．：事件A 、B 、C 不互斥，那又是什么关系呢？（3）启发建构：提问：在此问题中，对三个臭皮匠各自解决问题有什么限制条件？（必须独立解决）. 追问：如何理解“独立”？结论：相互独立事件的定义——事件A （或B ）的发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，则称事件A 与B 是相互独立事件.揭示课题：今天这节课，我们就要来研究相互独立事件同时发生的概率. 2．合作交流，感知问题： 研究主题一：相互独立事件（1）启发引导：结合你所感兴趣的问题，举例说明什么叫做两个事件相互独立.学习方式：先由四人小组讨论，然后拿出你们认为最典型的问题（可以是正确的，也可以是一些似是而非的问题）全班交流.教师在这个过程中，要参与到学生的讨论中去.从中发现学生中存在的问题，及时加以引导.这里通过合作交流，广泛举例，让学生充分感知相互独立事件的意义，体验到生活中存在着大量的相互独立事件，认识到研究的必要性.（2）判断：下列事件哪些是相互独立的：① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A ：第一次罚球，球进了. 事件B ：第二次罚球，球进了.② 篮球比赛的“一加一罚球”中， 事件A ：第一次罚球，球进了. 事件B ：第二次罚球，球进了.③ 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件A ：从中任取一个球是白球. 事件B ：第二次从中任取一个球是白球.④ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.事件A ：从中任取一个球是白球.事件B ：第二次从中任取一个球是白球.⑤ 上题中事件A B 与，A B 与，A B 与是否相互独立？这里①②与③④是两组具有对比性的问题.目的是让学生在生疑、质疑的过程中，自觉的运用相互独立事件的意义加以判断，加深对问题的理解.同时通过问题⑤发现相互独立事件的一组性质：若事件A 与B 相互独立，则事件A B 与，A B 与，A B 与也相互独立.3．类比联想，探索问题：研究主题二：相互独立事件同时发生的概率.符号表示：相互独立事件A 与B 同时发生，记作A B（1）公式猜想：互斥事件有一个发生的概率公式为：()()()P A B P A P B +=+.能否猜想相互独立事件A 与B同时发生的概率公式？（2）个例验证：能否结合上面的判断题④，验证一下你的发现？略解： 22224(),(),()555525P A P B P A B ⨯====⨯∴()()()P A B P A P B = （3）补充说明：公式()()()P A B P A P B =是正确的.但通过个例验证的正确性，并不能说明一般情况也成立.只是由于受所学知识的局限，对公式的证明不作要求.研究结果一：相互独立事件A 与B 同时发生的概率公式：()()()P A B P A P B =（4）问题引申：你能依此推广到多少个事件的情形呢？研究结果二：如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这些事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.通过教师的层层引导，把学生的探索逐步引向最近发展区，启发学生运用类比、归纳、猜想等思维方法探求所得结果，体验了知识的形成过程和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内趋力. 4． 实践应用，解决问题：（回顾中国女排圆梦一刻的精彩画面）解说：中国女排经过不懈的努力，终于夺回了阔别十七年的冠军奖杯，这是女排姑娘的骄傲，也是全中国人民的骄傲.现在男排世界杯也正在日本举行，虽然形势不太乐观，但是男排小伙子所表现出来的拼搏精神是有目共睹的.例题 假如经过多年的努力，男排实力明显提高，到2008年北京奥运会时，凭借着天时、地利、人和的优势，男排夺冠的概率有0.7；女排继续保持现有水平，夺冠的概率有0.9.那么，男女排双双夺冠的概率有多大？解:设事件A:女排夺冠,事件B:男排夺冠则男女排双双夺冠的概率为()()()0.90.70.63P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=答: 男女排双双夺冠的概率为0.63.借助热点新闻设计应用问题，可以加强学生的数学应用意识，同时又能激发学生的爱国热情.并通过例题的示范作用，让学生对公式的应用有了初步的认识. 变式一：只有女排夺冠的概率有多大？略解: 只有女排夺冠的概率为()()()0.90.30.27P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=对这一问题，会有部分学生认为概率就是0.9.让学生充分发表自己的意见，让他们在思维冲突的过程中，形成对问题的正确认识：“只有女排夺冠”的本质是相互独立事件女排夺冠而男排未夺冠同时发生.从而使学生意识到分清事件类型是正确解题的关键.追问：只有男排夺冠的概率有多大？男女排都不夺冠呢？这两个问题的提出既是对已有认知的巩固，又可以引导学生发现这四个事件合起来就是一个必然事件，从而为后面的进一步探究作好铺垫. 变式二：只有一队夺冠的概率有多大？略解:只有一队夺冠的概率为()P A B A B +()()()()0.34P A P B P A P B =+=学生根据生活经验，分析“只有一队夺冠”是指只有女队夺冠或只有男队夺冠并不困难.教师引导的关键是只有女队夺冠与只有男队夺冠是一对互斥事件.因此，问题的关键是将所求的事件分解转化为基本的互斥事件与相互独立事件.变式三：至少有一队夺冠的概率多大? 教师引导学生反思得出问题的两种解法：解1：（正向思考）至少有一队夺冠的概率为()P A B A B A B ++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.97=.解2：（逆向思考）至少有一队夺冠的的概率为1()1()()P A B P A P B -=-1(1())(1())10.30.10.97P A P B =---=-⨯= .从不同角度、多种方法求解，可以拓宽学生的思路.并且通过比较，优胜劣汰，优化学生的思维方式.这一环节，由浅入深设置问题链，使学生的思维分层递进，目的是突出本节课的重点；并且通过正反对比，一题多解，不断制造认知冲突，分散、突破教学难点.练习：用数学符号语言表示下列关系：1）A 、B 、C 同时发生：2）A 、B 、C 都不发生：3）A 、B 、C 中恰有一个发生：4）A 、B 、C 中至少有一个发生： 5）A 、B 、C 中至多一个发生：这是由变式二、三延伸出一组相关问题，目的是将几类典型模式抽象出来，有利于学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，为问题的深入研究埋下伏笔.引例的解决（让学生用数学化的语言表述问题）已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.6P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.835由于前面已将问题的难点进行了分解突破，问题的解决已经水到渠成.并且这个问题的解决，为俗语“三个臭皮匠顶个诸葛亮”给出了一种数学解释，实现了生活问题的数学化.同时，也使学生意识到：在力量对比不是十分悬殊的情况下，团队的力量还是大于个人的力量.可以结合问题，对学生进行团队精神的培养. 5． 总结反思，深化认识：教师采用谈话法与学生小结交流.相互独立事件同时发生的概率（1）1． 定义：………… 练习：…………… 变式二：…………… 2． 性质：………… …………… ……………投影屏幕（1）列表对比（2）解决概率问题的关键：（1）分清事件类型（2）分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 6． 作业：（1）巩固型作业：课本137页第4题，第6题，第7题；（2）思维拓展型作业：假设事件A ，事件B 是等可能性事件，且相互独立事件，证明公式()()()P A B P A P B .设计意图：巩固本节知识，为下节课的学习作好铺垫；通过等可能性事件对公式加以证明，培养学生思维的严谨性. 六、设计说明 1. 板书设计：2. 时间安排：课题引入约5分钟，定义的理解约7分钟，公式的探索约3分钟，实践练习约22分钟，小结与作业约3分钟.（注：一节课40分钟） 3. 教学特色：1） 以问题作为教学的主线.在趣味性情境中发现问题，在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法.2） 以课堂作为教学的辐射源.通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所 有学生的学习积极性与主动性.。

课题：相互独立事件同时发生的概率教学目标：知识目标：1）相互独立事件的意义2）相互独立事件同时发生的概率乘法公式能力目标1）理解相互独立事件的意义，注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是两个不同的概率2）掌握相互独立事件同时发生的概率的乘法公式3）能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较复杂事件的概率计算问题德育目标：1）培养学生分析问题、解决问题的能力2）提高学生的科学素质3）培养学生的转化意识重点、难点：重点：1）相互独立事件的概念及相互独立事件同时发生的概率2）“互斥”和“相互独立的区别”及相互独立事件同时发生的概率乘法公式难点：事件的“相互独立性“的判断教学内容：问题探究：(1)判断下列事件是否为互斥事件？是否为对立事件?从一副扑克牌（不含大小王）中任取一张1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”3）“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”（2）先后抛掷一枚均匀的硬币两次，事件A：第一次正面向上事件B:第二次正面向上事件A和事件B是互斥事件吗？（3）甲坛里有3个白球，2个黑球，乙坛里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，事件A：从两个坛子里分别摸一个球，甲坛子里摸出白球事件B : 从两个坛子里分别摸一个球，乙坛子里摸出白球事件A和事件B是互斥事件吗？互斥事件的概率求法？P（A＋B）=P (A)+P(B) P（A）＝1－P（A）新课：相互独立事件同时发生的概率1）相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响（启发学生定义）这样的两个事件叫做相互独立事件。

举例：甲坛里有3个白球，2个黑球，乙坛里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球， 事件A ：“从两个坛子里分别摸出一个球，甲坛子里摸出白球”事件B:“从两个坛子里分别摸出一个球，乙坛子里摸出的白球” 事件A ：“从两个坛子里分别摸出一个球，甲坛子里摸出黑球” 事件B ：“从两个坛子里分别摸出一个球，乙坛子里摸出的黑球”2）结论：如果事件A 和事件B 相互独立，那么A 与B ，A 与B, A 与B 也是相互独立的例题：判断下列事件是否是相互独立事件（1） 甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出1名女生”是否为相互独立事件（2） 抛掷一枚骰子，向上面的数是1或4记为事件A ，向上面的数是1或2或3记为事件B 。

相互独立事件同时发生的概率教案第一篇：相互独立事件同时发生的概率教案相互独立事件同时发生的概率----相互独立事件及其同时发生的概率【教学目的】1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；2．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想；【教学重点】用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；【教学难点】互斥事件与相互独立事件的区别；【教学用具】投影仪、多媒体电脑等。

【教学过程】一、提出问题有两门高射炮，已知每一门击中侵犯我领空的美军侦察机的概率均为0.7，假设这两门高射炮射击时相互之间没有影响。

如果这两门高射炮同时各发射一发炮弹，则它们都击中美军侦察机的概率是多少？（板书课题）二、探索研究显然，根据课题，本节课主要研究两个问题：一是相互独立事件的概念，二是相互独立事件同时发生的概率。

（一）相互独立事件1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时可以在这31个数字中任意选择其中的7个，如果与计算机随机摇出的7个数字都一样（不考虑顺序），则获一等奖。

若有甲、乙两名同学前去抽奖，则他们均获一等奖的概率是多少？（1）如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少？（P=1）1C311）1C31（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少？（P= 2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。

设第1次取出的球是白球叫做事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。

（1）若第1次取出的球不放回去，求事件B发生的概率；（如果事件A发生，则P（B）=45；如果事件B不发生，则P（B）=）77-111_C3C223P（A）=1=，P(B)=1=.C55C44_【思考】①P1、P2、P3之间有何关系？这个关系说明什么问题？__②P1与P(A)、P(B)有何关系？P2、P3与又P(A)、P(B)或P （A）、P(B)有何关系呢？③根据以上问题，你能否归纳出一般的结论？ 4．归纳结论：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

教学设计（主备人：倪照德）教研组长审查签名: 高中课程标准 数学必修第二册（下B）教案执行时间：11.3相互独立事件同时发生的概率（二）一、内容及其解析1、内容：本节内容是在学习了相互独立事件的基础上进一步学习独立重复试验以及n次独立重复试验中某事件恰好发生了k次的概率公式。

2、解析：本课的重点是独立重复试验的概念和n次独立重复试验中某事件恰好发k次的概率计算公式的应用。

并能应用相互独立事件的概率乘法公式和n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式解决一些应用问题。

本课的难点：在实际问题中，识别事件间的相互关系，把实际问题抽象成数学概率模型，判断出相互独立事件或独立重复试验，进而利用相应的概率公式解决问题。

解决应用问题时，应学会分析问题的背景材料，分清事件的构成以及概率的转化，会利用事件间的内在联系把复杂的事件的概率问题转化为简单事件的概率问题。

二、目标及其解析1、目标：1、理解独立重复试验的概念，明确它的实际意义；引出n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，并了解次公式与二项式定理的内在联系。

2、巩固相互独立事件以及独立重复试验的概念；并能应用相互独立事件的概率乘法公式和n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式解决一些应用问题。

2、解析：知道独立重复试验的概念，会应用n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式解决应用问题时，应学会分析问题的背景材料，分清事件的构成以及概率的转化，会利用事件间的内在联系把复杂的事件的概率问题转化为简单事件的概率问题。

三、教学问题诊断分析学生在应用n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式解决应用问题时，可能会产生困难，主要是不会分析问题的背景材料。

在指导学生学习中，要教会学生分析问题，分清事件的构成以及概率的转化，把复杂的事件的概率问题转化为简单事件的概率问题。

四、教学支持条件分析充分准备多种背景材料，帮助学生理解。

五、教学流程六、教学过程设计（一）知识的引入问题1：在投掷一枚硬币一次时，正面向上的概率为ｐ，那么反面向上的概率是多少？问题2：在投掷一枚硬币两次时，第一次反面向上的概率是多少？第二次反面向上的概率又是多少？问题3：投掷一枚硬币n次时，第k次反面向上的概率会是多少？问题4：在投掷一枚硬币n次时，第m次出现正面向上，对第k次出现反面向上的概率有没有影响？问题5：在投掷一枚硬币n次时，其中任何两次之间出现正面或反面的事件是相互独立的还是互斥的？问题6：每次事件的结果出现正面向上或反面向上是互斥事件吗？对立吗？设计意图：通过一系列问题的设计，更好的引入和帮助学生学习分析独立重复试验的概念。

高二数学互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版一. 本周教学内容：互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率二. 本周教学重、难点： 1. 重点：（1）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。

（2）相互独立事件，独立重复试验的概率，相互独立事件的概率乘法公式。

2. 难点：（1）把复杂事件分拆成彼此互斥的简单事件，求简单事件的基本事件数。

（2）判断各事件之间是否独立。

[例1] 在20件产品中，有15件一级品；5件二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？解法一：基本事件总数为320C ，从20件产品中任取3件，其中恰有1件二级品的事件为1A ，恰有2件二级品的事件为2A ，恰有3件二级品的事件为3A ，则)()()()(321A P A P A P A P ++=320353201152532021515C C C C C C C C ++= =228137228222*********=++ 解法二：2281371)(1)(320315=-=-=C C A P A P[例2] 从10个数字0，1，2，……，9中取4个不重复的数字排四位数，能排成一个4位偶数的概率是多少？解：试验结果的总数为39410A A -种情况，设所求事件为A ，因为要求的是偶数，所以个位数字只能取0，2，4，6，8中的任何一个，它需要分两种情况：（1）个位数是0时，其余三位数可从1，2，……，9中选出，共有39A 种；（2）当个位数取2，4，6，8中任何一个时，还需从其余的9个数字中任取3个，共有39A 种。

由于0不能放在首位（而0在首位有28A 种），故以2，4，6，8为个位的四位偶数共有)(42839A A -，于是能排成一个4位偶数的概率为8141)(4)(39410283939=--+=A A A A A A P 。

[例3] 在一只袋子中装有7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个。

相互独立事件同时发生的概率第二课时教学目标：复习相互独立事件的定义和相互独立事件同时发生的概率；了解概率的和与积的互补公式；能利用对立事件、互斥事件的概率简化某些计算．教学过程：[设置情境]有三批种子，其发芽率分别为、和，在每批种子中各随机抽取一粒，求至少有一粒种子发芽的概率．分析：设第一批种子发芽为事件，同样第二、三批种子发芽分别为事件、，设至少有一粒种子发芽为事件，则又其中、互斥，所以又、、相互独立，所以同理可算出等号右边的其他各项．师问：这种计算方法复杂吗，是否可以找到更简单的解法呢？[探索研究]1．概率的和与积的互补公式一般地，对于个随机事件，，…，，事件表示事件，，…，至少有一个发生，表示事件，，…，都发生，即，，…，都不发生．显然与是两个对立事件，由两个对立事件的概率和等于1，可得这个公式叫做概率的和与积的互补公式，它在概率的计算中常用来简化计算．利用这个公式，上面至少有一粒种子发芽的概率为2．例题分析例1 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是．计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率．解：记“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件．由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击中的概率没有影响，因此与是相互独立事件．（l）“两人各射击一次，都击中目标”就是事件发生，因此所求概率为（2）“两人各射击一次，恰有一人击中目标”包括两种情况：甲击中，乙未击中（事件发生）；甲未击中，乙击中（事件发生），因此所求概率为：（3）解法1：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为解法2：“两人都未击中目标”的概率是为因此“至少有一人击中目标”的概率为例2 如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，计算这段线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内、、能够闭合为事件、、，由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是于是这段时间内至少有一个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是[演练反馈]1．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为、、，则此密码能译出的概率为（）A．B． C．D．2．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是，第二台出废品的概率是．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工的零件的2倍，求任意取出的零件是合格品的概率．（由一名学生板演后，教师讲解）3．用某种方法来选择不超过100的正整数，若，那么选择的概率是；若，那么选择的概率是，求选择到一个完全平方数的概率．（学生思考后，教师讲解）[参考答案] 1．A2．解：记“任意取出的零件是合格品”为事件，则“任意取出的零件是废品”为．由于∴3．解：记“选择”为事件，则“选择”为事件，由对立事件的概率和等于1，有：，∴即，选择的概率为，选择的概率为，又由于在不超过100的正整数中完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，其中小于等于50的有7个，大于50的有3个，也就是说，时选择到一个完全平方数的概率为，时选择到一个完全平方数的概率为，故在不超过100的正整数中选择到一个完全平方数的概率是[总结提炼]相互独立事件的概率计算，常与互斥事件的概率计算综合运用，同时还要注意利用对立事件的概率关系简化计算．布置作业1．课本P135习题10．7 4，7．2．有甲、乙、丙三名射手同时射击一个目标，命中的概率分别为、、，试求目标被击中的概率．[参考答案]1．略． 2．板书设计10．7 相互独立事件同时发生的概率（二）（一）设置情境问题（二）概率的和与积的互补公式（三）例题分析例1例2练习（四）小结。