望子成龙学校高二数学下期期末摸拟题

2023-2024学年度高二下学期期末考试数学模拟试卷一、单选题1．设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若偶函数满足，当时，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在梯形ABCD 中，，，，E 为的中点，F 为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（ ）A ．斜率为2的一条直线B ．斜率为的一条直线C ．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）D ．斜率为的一条直线，且除去点（,6）7．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（）A ．B C Da ∈R 23a <<()()160a a +-<2822810A A A 2922910A A A 282289A A A 292299A A A ()f x ()()20f x f x ++=()0,1x ∈()12xf x =+72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2745434()312,1,log ,1aa x a x y x x ⎧-+<=⎨≥⎩R a 10,3⎛⎫⎪⎝⎭10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦11,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭AB DC AD DC ⊥22AD AB DC ===BC DC AE AF ⋅58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭83,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦623y x -=+12-3-12-3-138．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）A ．3B．C ．D ．二、多选题9．已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ）A ．A 市2023年地区生产总值比B 市2023年地区生产总值多B ．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为C ．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为D ．若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变10．数列满足，下列说法正确的是（ ）A ．可能为常数列B ．数列可能为公差不为0的等差数列C ．若，则D ．若，则的最大项为11．如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形内运动（包含边界），点在线段上运动（不包括端点），则（）A ．异面直线与不可能垂直B ．当时，点M O ABC ()22AC AB AB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=sin sin B C +=m 35753240% 5.92%70% 4.58%{}n a 144n n n a a a +=-{}n a 1{}n a 13a =1011652i i a ==-∑123a ={}n a 3a M ABCD E PQ PM BQ PM MD ⊥C ．该八面体被平面所截得的截面积既有最大值又有最小值D三、填空题12．已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ．13．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为．14．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O 为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为百米.四、解答题15．如图，在直角中，PO ⊥OA ，PO =2OA ，将绕边PO 旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C 为的中点．(1)求证：；(2)设直线PC 与平面PAB 所成的角为，求．16．某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．(1)若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；(2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3CDE ()31,316nx n n x +⎛⎫-∈≤≤ ⎪⎝⎭N n 2Γ:4y x =F l M Γ,30MN l NFM ⊥∠=︒M ,CE DF ,OC OD ,C D AB ,AB CD ,E F AB ,OCE ∠ODF ∠1AB =POA POA POB 90AOB ∠=︒ AB PC AB ⊥ϕsin ϕ2313X X次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．17．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若时，证明：当时，恒成立．18．已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km ；地在地的北偏西，相距4km ．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s 后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s ）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．(1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；(2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？19．某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n 粒种子，其中发芽种子的数量为X ．(1)要使的值最大，求n 的值；(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X 的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．①当随机变量X 为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．注：马尔科夫不等式为：设X 为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．2023-2024学年度高二下学期期末考试数学模拟试卷参考答案1．A()()1ln 1f x a x x =--+()f x 2a ≤1x >()1e xf x -<A B C A B C B 30︒P A P B 13BA x AB AB y P C B A P (10)P X =()E X ()D X 0λ>()2()()D X P X E X λλ-≥≤|()|X E X λ-≥80%(0.8,1)n ()E X 0λ>()()E X P X λλ≥≤【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案.【详解】由，得，因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故选：A ．2．B【分析】依据相邻捆绑法和不相邻插空法，结合排列数公式，即可求解.【详解】先捆绑2个小品节目，再和4个音乐节目、4个舞蹈节目排列，然后插入2个话剧节目，不同的排法数为．故选：B.3．C【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.【详解】由已知可得，即是函数的一个周期，所以.故选：C 4．C【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.【详解】函数在上单调递减，解得.故选：C.5．D【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，()()610a a -+<16a -<<()2,3()1,6-23a <<16a -<<2922910A A A ()()()()()()204204f x f x f x f x f x f x ++=⇒+++=⇒+=4T =()f x 171152122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()312,1,log ,1a a x a x y x x ⎧-+<=⎨≥⎩R 310,01,312log 1,a a a a a -<⎧⎪∴<<⎨⎪-+≥⎩1153a ≤<AE AF ⋅x则，，，，，，所以，因为的取值范围是，所以的取值范围是.故选：D ．6．C【分析】根据方程成立的条件知，故它表示的直线中要去除一点.【详解】方程成立的条件知，当时，方程变形为，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6），故选:C 7．C【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案.【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，依题意，，整理得，即，而，解得，故选：C 8．D【分析】设，，，，由题设条件得到的关系：，()0,0A ()2,0B ()1,2C ()0,2D 3,12E ⎛⎫⎪⎝⎭()(),201F x x ≤≤()33,1,,2,222AE AF x AE AF x ⎛⎫==⋅=+ ⎪⎝⎭x []0,1AE AF ⋅ 72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦623y x -=+3x ≠-623y x -=+3x ≠-3x ≠-()623y x -=+3-,a e ea a '2e 2ea '()223a ea a ea a ea a ea -=-⎧⎨+=+''''⎩123(1)121e e e e ++=--22210e e +-=01e <<e =AB c =AC b =BAO θ∠=CAO α∠=b c m αθ、、、、cos cos 2b c mAO θα+=由是三角形的外心可得，，对，消去AO ，利用基本不等式求得m 的范围.【详解】如图所示：设，，，，由得，化简得，由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，，代入上式得，∴.根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，，代入得，∴，当且仅当“”时，等号成立.故选：D.9．ABD【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可.【详解】由图中统计数据，可得市2023年地区生产总值比B 市2023年地区生产总值多，故A 正确；因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故B 正确；因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故C 错误；若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D 正确.故选：ABD 10．AD【分析】令，确定方程的解判断A ；利用等差数列定义计算判断BCD.O ABC cos 2cAO θ=cos 2b AOα=b c +=AB c =AC b =BAO θ∠=CAO α∠=()22AC AB AB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=2cos cos 2b c c AO b AO m AO c bθα⋅⋅+⋅⋅=⋅cos cos 2b c mAO θα+=O ABC O cos 2cAO θ=cos 2b AOα=22bc mAO =22bcm AO =AO ABC sin 2b B AO =sin 2cC AO=sin sin B C +=b c +=222223222222b c b c bc m AO AO b c ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=≤==+⎛⎫b c =A 1140% 4.4⨯=40% 5.92%1170%7.7⨯=70%10.1%1n n a a a +==【详解】对于A ，令，由，可得，解得，A 正确；对于B ，若数列为公差不为0的等差数列，由，得，则不会是非零常数，B 错误；对于C ，，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，则，C 错误；对于D ，，则，即，当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D 正确.故选：AD 11．BD【分析】对于A ，当M 与点重合时垂直，故A 错；对于B ，由探求出M 的运动轨迹即可求解；对于C ，截面为正方形或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量将截面等腰梯形面积表达式求出来即可利用导数工具研究面积的最值，进而即可判断求解；对于D ，先求出最长棱的正方体的外接球，再求正八面体的内切球，当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断.【详解】连接，相交于点O ，则由正八面体性质可知O 为中点，且面，所以是正四面体对于A ，当M 与点重合时，因为，1n n a a a +==144n n n a a a +=-244a a =-2a =1{}n a 144n n n a a a +=-144n na a +=-111n n a a +-=2441144(1)4nn n n n na a a a a a -+-=--1111114422422422n n n n n n a a a a a a +====+------1{}2n a -121011110(1)11116521(1),222222i n i n n a a =++=+-===--∑123a =13125(1)2424n n n a -=-+-=-42225252n a n n =+=+--2n ≤2n a <3n ≥2n a >{}n a {}n a 3a B PM MD ⊥ABCD ,AC BD PQ PO ⊥ABCD PO P ABCD -==B 2PQ PO ==所以，所以，故A 错；对于B ，取中点G ，因为，所以，取中点，连接，则，且，故面，所以如图，M 点在高为2的圆锥底面圆周上，即M 点在为以为圆心直径为所以M 点的运动轨迹为圆心直径为，其中分别为中点，且，所以，即点M，故B 对；对于C ，由题意以及正八面体结构性质可知当E 与O 重合时，八面体被平面所截得的截面是正方形，当E 与O 不重合时，八面体被平面所截得的截面是等腰梯形，如图，四边形为被平面所截得的截面，连接中点、，则为等腰梯形的高，设为h ，取中点V ，连接,则由题意可求得，且O 在上，过R 作交于点K ，则由等面积法得，显然当S点由K 往V 靠近时等腰梯形的上底边和高均在增大，当截面为正方形截面面积最大为16，222PMBQ PQ +=PM ⊥BQ BD PM MD ⊥122GM PD ==OD 1O 1GO 1//GO PO 112GO PO ==1GO ⊥ABCD 1GO =1O OD =1O OD = ROS ,R S ,CD AD RS OD ===12π2ROS l =⨯=CDE ABCD CDE TCDU CDE TU CD ，S R SR TCDU AB ,,PV VR PR 4PV PR VR ===VR RK PV ⊥PV VR PO RK PV ==== TCDU TU SR ABCD当S 点由K 往P 靠近（不包含S 与K 、P 重合时）时，则，在此过程中设，则，且由题意，所以，故由正弦定理得：，因为所以，又，所以截面面积为，所以，，则，所以在上单调递减，无最小值，h ∈,,PSRPRS SRP ∠=α∠=β=θππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221cos 23PV PR VR PV PR +-θ== sin θ=sin sin PK h θ==αsin sin h PS β==βθsin α==cosα==()1sin sin sin cos cos sin sin 3βθαθαθααα=+=+=+=π2tan6TU PS β===43==()()4·823TU h S h f h ⎛+=== ⎝()83f h ⎫=='⎝t ⎛=∈ ⎝()23232332t f h t t t t ⎫⎫+⎪⎪=-=-≤=⎪⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭'803⎛=-< ⎝()f h ()f h故被平面所截得的截面面积无最小值，故C 错；对于D ，过正八面体的两顶点P ，Q 和中点去截正八面体以及其内切球，则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r ）截面图如图所示，其中四边形为菱形，棱长为正四面体是正四面体，所以由等面积法得，故正方体均可在该八面体内自由转动，故D 正确.故选：BD.12．4、8、12、16（任选一个为答案）【分析】根据二项式定理展开上述式子，找到满足题意的关于的取值规律，即可求出答案.【详解】根据二项式定理展开可得，因为展开式中含有常数项，所以，由此可得当为4的倍数时，即可满足题意，又因，故可取4、8、12、16.故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案）13．【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：CDE ,AB CD P ABCD -=PO P ABCD -=11222r r ⨯⨯=⨯⨯⇒=R r===n ()()341C 11C rrr n r r r n rr nn T x x x ---+=-=-404n r n r -=⇒=n 316n ≤≤n 13F FH NM ⊥H M M x ,NM HM ()112MN MH NH +==--=过点作于点，显然抛物线的焦点为，准线为，由抛物线定义有，结合得，而，所以.故答案为：.14【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，由点O 为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，则，又，则∽，有，即有，，求导得，由，得当时，，函数时，，函数递减，因此当.F FH NM ⊥H 2Γ:4y x =()1,0F :l =1x -MF MN =30NFM ∠=︒180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=13x ,AE BE x CE x x ,AE BE 90AEB ∠= ,AB CD ,CE DF O AB 11,22AC x BC x =-=+CE AB ⊥Rt ACE Rt ECB V 2CE AC BC =⋅DF CE ==()ππf x x x =102x <<()πf x '=()0f x '=x =0x <<()0f x '>()f x 12x <<()0f x '<()f x x =max ()f x =15．(1)证明见解析【分析】（1）本题首先易证PO ⊥平面AOB ，可得PO ⊥A B ，再证AB ⊥平面POC ；（2）根据线面夹角可知，利用空间向量计算处理．【详解】（1）证明：由题意知：，∴PO ⊥平面AOB ，又∵平面AOB ，所以PO ⊥A B ．又点C 为的中点，所以OC ⊥AB ，，所以AB ⊥平面POC ，又∵平面POC ，所以PC ⊥A B ．（2）以O 为原点，，，的方向分别作为x ，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，．设平面PAB 的法向量为，则取，则可得平面PAB 的一个法向量为，所以．sin cos ,n PC ϕ=u uu r r ,PO OA PO OB ⊥⊥0OA OC ⋂=AB ⊂ AB 0⋂=PO OC PC ⊂OA OB OP2OA =()2,0,0A ()0,2,0B ()0,0,4P )C ()2,2,0AB =-()2,0,4AP =-)4PC =-u u u r (),,n a b c =220,240,n AB a b n AP a c ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩1c =2a b ==()2,2,1n =sin cos ,n PC n PC n PCϕ⋅====u u u r r u u u r r u uu r r16．(1)分布列见解析，(2)．【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值；（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到.【详解】（1）由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4，则，，，所以的分布列为：234所以．（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”．，．当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则；当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则8316729X m A =m 8,9,10m =B =()9P A ()8P A 9(|)P B A 8(|)P B A ()P B X ()2242339P X ==⨯=()122143C 339P X ==⨯⨯=()1114339P X ==⨯=X XP4949194418()2349993E X =⨯+⨯+⨯=m A =m 8,9,10m =B =()192214C 339P A =⨯⨯=()228224C 39P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭5559511(|)C ()(33P B A ==；故．即乙获得奖励的概率为．17．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.【详解】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.（2），且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证18．(1)在以为焦点的双曲线右支上，(2)炮击的方位角为北偏东.551458551211(|)C ()C ()11()3333P B A =+⨯⨯=⨯()()()()()()()989988P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯557414148161193933729⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭167291x >1e 21ln 0x x x --++>()f x (0,)+∞11()ax f x a x x'-=-=0a ≤1()0ax f x x-'=<()f x (0,)+∞0a >1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 0a ≤()f x (0,)+∞0a >()f x 1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a ≤1x >111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>()0g x >11()e 2x g x x-'=-+()()h x g x '=121()e x h x x -'=-()h x '(1,)+∞0()(1)e 10h x h ''>=-=()()g x h x ='(1,)+∞0()(1)e 210g x g ''>=-+=()g x (1,)+∞0()(1)e 21ln10g x g >=-++=P ,A B ()221045x y x -=≥A 30【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程；（2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向.【详解】（1）依题意，，又，即，故在以、为焦点的双曲线右支上，设双曲线方程为，则且，所以，所以双曲线方程为.（2）因为且，所以，所以，因为，所以点在线段的垂直平分线上，因为中点，所以直线的方程为，由 （1） 知点还在上，由，解得（负值已舍去），所以， 因此，故炮击的方位角为的北偏东.4PB PA -=P ()3,0A ()3,0B -C P BC BC P AP k ()3,0B -()3,0A 11243⨯=4PB PA -=P ()3,0A ()3,0B -()22221,0x y a b a b -=>()0x ≥3c =24a =5b =()221045x y x -=≥120ABC ︒∠=4BC =cos 60C y BC ︒==3cos 605C x BC ︒=--=-(C -PB PC =P BC BC k ==BC (D -PD )4y x =+P ()221045x y x -=≥)224145y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩8x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(P PA k ==tan PAx ∠=60PAx ︒∠=A 3019．(1)(2)①证明见解析；②45【分析】（1）由题意可得，计算可求；（2）①法一：设的分布列为，其中，，记，则对任意，利用计算可证结论；法二：由马尔科夫不等式，得，计算可证结论．②，则，，进而可得，结合切比雪夫不等式，可得，求解即可.【详解】（1），由题意有，解得，由于为整数，故．（2）①证法1：设的分布列为，其中，，记，则对任意，．证法2：由马尔科夫不等式，得．②，则，．由题意，，即，，也即．由切比雪夫不等式，有，从而，，估计的最小值为45．11n =1010101010911010101010111C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n nn --+---⎧≥⎨≥⎩n X (),1,2,,i i P X x p i n === (0,)(1,2,,)i p i n ∈+∞= 11ni i p ==∑()E X μ=0λ>()2222(||)i i i i i x x x P X p p μμμμλλ-≥-≥--≥=≤∑∑22[()](|()|)E X E X P X E X λλ--≥≤~(,0.9)X B n ()0.9E X n =()0.09D X n =|0.9|0.1X n n -<20.0910.8(0.1)nn -≥101010(10)0.90.1n nP X C -==1010101010911010101010111C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n nn --+---⎧≥⎨≥⎩9110099n ≤≤n 11n =X (),1,2,,i i P X x p i n === (0,)(1,2,,)i p i n ∈+∞= 11ni i p ==∑()E X μ=0λ>()()()2222222222111()(||)i i i ni i i ii ii x x i i x D X P X p p x p x p μμμμμλμμλλλλ-≥-≥-≥=--≥=≤≤=--=∑∑∑∑()22222[()]()(|()|)[()]E X E X D X P X E X P X E X λλλλ≥--≥=-≤=~(,0.9)X B n ()0.9E X n =()0.09D X n =0.81Xn<<0.8n X n <<0.10.90.1n X n n -<-<|0.9|0.1X n n -<20.09(|()|0.1)1(|()|0.1)1(0.1)nP X E X n P X E X n n -<=--≥≥-20.0910.8(0.1)nn -≥45n ≥n。

本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+52023-2024学年高二数学下学期期末试卷模式考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：新高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞2．已知复数(12)(1)2i z i +−=−+，则||(z = ) AB ．2CD ．33．若点(1,1)P −在角α的终边上，则sin()(4πα+= )A ．1−B． C ．0 D ．14．在直三棱柱111ABC A B C −中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．283πBC ．163π D5．设两个单位向量a ，b 的夹角为θ，若a在b 上的投影向量为13b ，则cos (θ= )A ．13−B ．13C． D．36．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )（参考数据：3 1.10ln ≈，10 2.30ln ≈，11 2.40)ln ≈A ．2033年B ．2034年C ．2035年D ．2036年7．已知1F ，2F 分别为双曲线22126x y −=的左，右焦点，直线l 过点2F ，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心分别为1O ，2O ，则△12OO O 面积的取值范围是( ) A． B．C．)+∞ D． 8．已知01a b <<<，e 为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是( ) A ．a b ae be <B ．b a ae be <C ．alna blnb >D ．b a a b <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法错误的是( )A ．事件A 的概率P （A ）必满足0P <（A ）1<B ．事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则( )A ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B ．设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V = D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为215a π11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是( )A ．312123122221n n b b b b a a a a n ⋅…=+B ．1849既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b +++…+<D ．*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得m p q b a a =+成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲组样本数据(1i x i =，2，…，6)，如下表所示：= ． 13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则||2||MF NF +的最小值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin()cos()sin cos ,(0,||)222f x x x πππωϕωϕωϕ=+−+><的最小正周期为π，且()f x 图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()()2sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者． （1）小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程； 第x （天) 1 2 3 4 5 6 7 用时y （秒)105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ， ，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1ˆi β==，ˆˆv u αβ=− 参考数据：721140ii x ==∑，71994i i i x y ==∑17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DEBF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,2)D ，直线:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且直线DA 与DB 的斜率之积为13−，（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线//l l ′，直线l ′与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线DM 与DN 的斜率之和为1，求l ′与l 之间距离的取值范围．19．已知函数2cos ()x xf x x −=，(0,)x ∈+∞． （1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点； （2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值； （3）设()i i g x k x b =+，1i =，2，若对任意的[2x π∈，)+∞，12()()()g x f x g x 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符2023-2024学年高二数学下学期期末试卷答案合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【分析】由题知B A ⊆，再根据集合关系求解即可． 【解答】解：因为A B A = ， 所以B A ⊆，因为{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<， 则2a ，所以实数a 的取值范围是[2，)+∞． 故选：D ．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 2．已知复数(12)(1)2i z i +−=−+，则||(z = ) AB ．2CD ．3【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式，即可求解． 【解答】解：2(2)(12)5111112(12)(12)5i i i iz i i i i −+−+−=+=+=+=+++−，则||z = 故选：A ．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 3．若点(1,1)P −在角α的终边上，则sin()(4πα+= )A ．1−B． C ．0 D ．1【分析】由任意角的三角函数求出sin α，cos α，再由两角和的正弦公式代入即可得出答案． 【解答】解：因为点(1,1)P −在角α的终边上，则sin α=，cos α==所以sin()sin coscos sin0444πππααα+=+==． 故选：C ．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．在直三棱柱111ABC A B C −中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．283πB ．27C ．163π D 【分析】作出图形，找到球心，解三角形求出半径，再根据球的表面积公式，即可求解． 【解答】解：如图，设上下底面中心分别为E ，F ， 取EF 的中点O ，连接BO ，BF ，则三棱柱111ABC A B C −外接球的半径R OB =，根据题意易知23BF =1OF =， 222247133R OB BF OF ∴==+=+=，∴三棱柱111ABC A B C −外接球的表面积为22843R ππ=． 故选：A ．【点评】本题考查正三棱柱的外接球问题，属基础题．5．设两个单位向量a ，b 的夹角为θ，若a在b 上的投影向量为13b ，则cos (θ= )A ．13−B ．13C ． D【分析】根据投影向量的定义可得13||||a b b b b b ⋅⋅=，结合向量的数量积运算求解即可． 【解答】解： a在b 上的投影向量为13b ，∴13||||a b b b b b ⋅⋅=， ∴211||33a b b ⋅== ， ∴1||||cos 3a b θ=，1cos 3θ∴=． 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．6．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )（参考数据：3 1.10ln ≈，10 2.30ln ≈，11 2.40)ln ≈A ．2033年B ．2034年C ．2035年D ．2036年【分析】设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，且4000(110%)12000n y =⋅+>，解不等式可得答案．【解答】解：设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元， 由题得4000(110%)12000n y =⋅+>，即1.13n >， 则 1.13nln ln >，33111.11110ln ln n ln ln ln >=≈−，又*n N ∈，则12n =．所以所求年份大约是2035年． 故选：C ．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．已知1F ，2F 分别为双曲线22126x y −=的左，右焦点，直线l 过点2F ，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心分别为1O ，2O ，则△12OO O 面积的取值范围是( )A． B．C．)+∞ D． 【分析】先根据切线长定理判定两个内切圆的横坐标值，再设△12AF F 的内切圆半径为1r ，根据图形性质计算得△12OO O面积的解析式12112)OO O S r r =+ ，再利用函数单调性即可求得△12OO O 面积的取值范围．【解答】解：设圆1O 与1AF ，2AF ，12F F 分别切于点M ，N ，P ，由双曲线定义知，12||||2AF AF a −=，∴12||||||||2AM MF AN NF a +−−=||||AM AN = ，11||||MF F P =，22||||NF F P =，∴12||||F P F P −12||||2F P F P c +=∴12|||F P F P c a ==−，即点P 为双曲线的右顶点，1O P x ⊥ 轴，1O2O12O F 平分21AF F ∠，22O F 平分21BF F ∠，∴1222O F O π∠=， 设△12AF F 、△12BF F 的内切圆半径分别为1r ，2r ，12O O x ⊥ 轴，∴2122||2r r PF ⋅==，||OP =∴12121112()||)2OO O S r r OP r r =+⋅=+ ，设直线AB 倾斜角为α，又AB 为双曲线右支上两点，又渐近线方程为y=，∴由题意得2(,)33ππα∈，∴121(,)63O F Fππ∠∈，∴121tan O F F∠，即1(3r∈，又12112)OO OS rr=+在单调递减，在单调递增，当1r=时，122OO OS=，此时取得最小值，当1r=12OO OS=，当1r=时，12OO OS=，∴12OO OS∈．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．8．已知01a b<<<，e为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是()A．a bae be<B．b aae be<C．alna blnb>D．b aa b<【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数()xf x xe=，()xeh xx=，()t x xlnx=，()lnxg xx=，根据这些函数在(0,1)上的单调性可得结果．【解答】解：因为01a b<<<，e为自然对数的底数，对于A，设()xf x xe=，01x<<，则()()0xf x x e′=+>，()f x在(0,1)上单调递增，故f（a）f<（b），即a bae be<，故A正确；对于B，设()xeh xx=，01x<<，则2(1)()0xe xh xx−′=<在(0,1)上恒成立，故()h x在(0,1)上单调递减，故h（a）h>（b），即a be ea b>，故b aae be<，故B正确；对于C，设()t x xlnx=，01x<<，则()1t x lnx′=+，当1(0,)xe∈时，()0t x′<，当1(xe∈，1)时，()0t x′>，故()t x在1(0,)e上单调递减，在1(e，1)上单调递增，故t（a）与t（b）得大小关系不确定，故C错误；对于D，设()lnxg xx=，01x<<，则21()0lnxg xx−′=>，故函数()g x在(0,1)上单调递增，所以g （a ）g <（b ），即lna lnba b<，化为blna alnb <，即b a lna lnb <，即b a a b <，故D 正确． 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，依题意合理构造函数，并判断出所构造的函数的单调性是解决问题的关键，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法错误的是( )A ．事件A 的概率P （A ）必满足0P <（A ）1<B ．事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【分析】根据概率的定义和性质逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于A ，由概率的基本性质可知，0P （A ）1 ，故A 错误； 对于B ，事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是随机事件，故B 错误； 对于C ，由题意可知，估计此药有明显的疗效的可能性为380100%76%500×=，故C 正确； 对于D ，某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，可能有5张中奖，故D 错误． 故选：ABD ．【点评】本题主要考查了概率的定义和性质，属于基础题．10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则( )A ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B ．设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V = D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为215a π【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB ∆为等边三角形，设球心为G （即为PAB ∆的重心），即可求出PAB ∆的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D ． 【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB ∆为等边三角形， 又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB ∆的重心），所以23PGPO ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==， 所以212r r =，故A 正确；设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误； 设圆锥的体积为1V，则23113V a a π==， 内切球的体积2V，则3324)3V a π==， 所以1294V V =，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D，则sin3OD a π==，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，则PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，则PEG POD ∆∆∽， 所以GE PG OD PD ==，解得GE =， 所以平面PST截内切球截面圆的半径r 所以截面圆的面积为2215a r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查圆锥的内切球与外接球问题，属中档题．11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是( )A ．312123122221n n b b b b a a a a n ⋅…=+B ．1849既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b +++…+<D ．*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立 【分析】利用累加法分别求出n a ，n b ，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可． 【解答】解：三角形数构成数列{}:1n a ，3，6，10，…，易发现212a a −=，323a a −=，434a a −=，…，1(2)n n a a n n −−= ， 累加得，1(1)(2)2342n n n a a n −+−=+++…+=，(1)(2)2n n n a n +∴= ， 显然11a =满足上式， (1)2n n n a +∴=， 正方形数构成数列{}:1n b ，4，9，16，…，易发现213b b −=，325b b −=，437b b −=，…，121(2)n n b b n n −−=− ， 累加得1(22)(1)2n n n b b +−−=， 2(2)n b n n ∴= ， 显然11b =满足上式，2n b n ∴=，对于A ，22(1)1n n b n na n n n ==++， 3121231231222223411n n b b b b n a a a a n n ⋅⋅⋅…⋅=×××…×=++，故A 正确； 对于B ，令(1)18492nn n a +==，得(1)3698n n +=， 606136603698×=< ，616238443698×=>，(1)3698n n ∴+=无正整数解，即1849不是三角形数，令21849nb n ==，43n ∴=，即1849是正方形数，故B 错误； 对于C ，22114112()412121n b n n n n ==<=−−−+， ∴2212311111115111111511332331()2()2()434577921214521202120nb b b b nn n n n +++…++++…+<+−+−+…+−+−−<−+++，故C 正确；对于D ，取m p q ==，且*m N ∈， 令2(1)(1)22m m m m m +−=+，有1mm m b a a −=+，故*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立，故D 正确． 故选：ACD ．【点评】本题主要考查了数列的应用，考查了归纳推理，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲组样本数据(1i x i =，2，…，6)，如下表所示：1x2x3x4x5x6x2 3 3 4 6 6若乙组样本数据23i i y x =−，则乙组样本数据的平均数y = 5 ，乙组样本数据的方差2s =乙． 【分析】根据题意，求出乙组数据，结合平均数和方差定义计算，即可得答案． 【解答】解：根据题意，乙组样本数据如下表所示：1y2y3y4y5y6y1 3 3 5 9 9则乙组样本数据的平均数1(133599)56y =×+++++=， 乙组样本数据的方差()()()()()()222222212815353555959563s =−+−+−+−+−+−=乙． 故答案为：5；283． 【点评】本题考查样本数据平均数、方差的计算，注意平均数和方差的计算公式，属于基础题． 13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 17 个不同的对数值．【分析】分所取得两个数中是否含有1分为两类，再利用排列的计算公式、对数的运算法则和性质即可得出．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时log 10a =，2a =或3或4或7或9． ②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个， 分别作为底数与真数可有2520A =个对数，其中3924log log =，2439log log =，4923log log =，2349log log =，综上可知：共可以得到201417+−=个不同的对数值． 故答案为：17．【点评】本题考查计数原理的应用，熟练掌握对数的运算法则和性质、排列的计算公式是解题的关键．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则||2||MF NF +的最小值为 3+【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线:1l x my =+，与抛物线联立方程组可求得111||||MF NF +=，进而根据基本不等式求||2||MF NF +最小值即可． 【解答】解：由抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =， 得到第一象限交点(1,2)在抛物线2:2(0)C y px p =>上，所以222p =， 解得2p =，所以2:4C y x =，则(1,0)F ，设直线:1l x my =+，与24y x =联立得2440y my −−=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以124y y m +=，124y y =−，所以212|||4(1)MN y y m −=+， 由抛物线的定义，21212221221212122()41111441()||||111144()316x x m y y m y y MF NF x x x x x x m m y y ++++++=+====+++++++++，所以112||||||2||(||2||)()33||||||||NF MF MF NF MF NF MF NF MF NF +=++=+++， 当且仅当||1MF =，||1NF =+故答案为：3+【点评】本题考查求抛物线的方程，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin()cos()sin cos ,(0,||)222f x x x πππωϕωϕωϕ=+−+><的最小正周期为π，且()f x 图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()()2sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间． 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的周期性及对称性即可得解； （2）先利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性即可得解． 【解答】解：（1）已知()sin()cos()sin cos cos sin sin cos sin()22f x x x x x x ππωϕωϕωϕωϕωϕ=+−+=+=+， 因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，故2ω=，又因()f x 图象关于直线6x π=对称，所以262k ππϕπ×++，k Z ∈，则,6k k Z πϕπ=+∈，又||2πϕ<， 所以6πϕ=，所以()sin(2)6f x x π=+；（2）由（1）得2()sin(2)6g x x sin x π=++11cos 22cos 2222xx x −++⋅12cos 21sin(2)126x x x π−+=−+， 令222262k x k πππππ−+−+ ，得,63k x k k Z ππππ−++∈，所以函数()g x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ−++∈．【点评】本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角恒等变换，属中档题．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者． （1）小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程； 第x （天) 1 2 3 4 5 6 7 用时y （秒)105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ， ，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=− 参考数据：721140ii x ==∑，71994i i i x y ==∑【分析】（1）先求出,x y ，套公式求出ˆb和ˆa ，得到回归方程； （2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5，分别求出其对应的概率，利用概率的加法公式即可求解．【解答】解：（1）由题意，根据表格中的数据，可得11(1234567)4,(105844939352315)5077x y =++++++==++++++=， 可得71722179941400ˆ14.5287i ii ii x yxybxx ==−−===−−∑∑，所以ˆˆ108a y bx =−=，因此y 关于x 的回归方程为：14.5108y x =−+；（2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5， (3)0.60.70.70.294P X ==××=，(4)0.40.50.70.70.60.30.50.70.60.70.30.50.224P X ==×××+×××+×××=，(5)0.60.70.30.50.50.60.30.50.30.50.60.30.50.50.70.40.50.50.70.70.40.50.30.50.70.40.50.70.30.50.1675P X ==××××+××××+××××+××××+××××+××××=，0.2940.2240.16750.6855P =++=小明获胜．【点评】本题考查了线性回归方程的计算以及互斥事件的概率加法计算，属于中档题． 17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DEBF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．【分析】（1）法()i 过点G 作BD 的垂线，由题意可得//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ，进而可证得平面//GQH 平面BCF ，再证得线面的平行；法()ii 由题意建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由向量的数量积为0，可得向量垂直，再证得线面的平行；（2）由空间向量求出直线与平面的法向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成的角的正弦值，由题意可得λ的值．【解答】（1）证明：法()i 过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则//GQ BF ， 连接QH ，则12DQ λ=，且由DH λ=，所以2DH DQ =，//QH BC ，又因为QH ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ， 又GQ QH Q = ，所以平面//GQH 平面BCF ， 又因为HG HQG ⊂， 所以//HG 平面BCF ；法()ii 因为112BDCD ==，12DE BF ==，如图，以D 为原点，分别以DC ，DB ，DE 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，由题意可得(2C ，0，0)，(0B ，1，0)，(2A −，1，0)，E，F ， (2,1,0)BC =−，BF =，(2,AE =−，EF = ， 设平面BCF 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n BC n BF ⋅= ⋅=，即111200x y −= = ，取11x =，解得1(1,2,0)n =， 因为2DC EF ==，EG DH λ==，所以,22DH DC EG EF λλ== ，2EG EF λ=，解得(H λ，0，0)，(0,)2G λ+，(,,)2GH λλ=−−， 所以10n GH ⋅=，且GH ⊂/平面BCF ，所以//GH 平面BCF ；（2）设平面AEF 的法向量为2222(,,)n x y z =， 则由2200n AE n EF ⋅= ⋅=，即22222200x y y −= +=，令21z =−，解得2n =1)−，所以2n GH ⋅=++=，||GH=，||n =，所以2cos n <，GH >=，设直线GH 与平面AEF 所成的角为θ， 则2sin |cos n θ=<，||GH >= ， 解得1λ=．【点评】本题考查线面平行的证法及空间向量的方法求线面所成角的正弦值，属于中档题．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,2)D ，直线:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且直线DA 与DB 的斜率之积为13−，（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线//l l ′，直线l ′与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线DM 与DN 的斜率之和为1，求l ′与l 之间距离的取值范围．【分析】（1）联立方程组，根据13DA DB k k =−，利用韦达定理可求a ，从而得解；（2）设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，联立方程 组，根据1DM DN k k +=，利用韦达定理可得42m k =−，由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值． 【解答】解：（1）设1(A x ，1)kx ，2(B x ，2)kx ，由题意，可知2b =，则椭圆222:14x y C a +=， 联立方程组22214y kxx y a=+= ，整理可得：2222(4)40a k x a +−=，显然△0>，且120x x +=，2122244a x x a k −=+， 因为13DA DB k k =−，即12122213kx kx x x −−⋅=−， 化简得21212(31)6()120k x x k x x +−++=，所以22224(31)1204a k a k −+⋅+=+， 解得212a =，所以椭圆22:1124x y C +=； （2）由直线//l l ′，设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，设3(M x ，3)kx m +，4(B x ，4)kx m +， 联立方程组221124y kx m x y =+ +=，整理可得：222(13)63120k x kmx m +++−=， 则△222222364(31)(4)12(124)0k m k m k m −+−=−+>，可得22124m k + ，① 且342631kmx x k −+=+，234231231m x x k −=+， 又因为1DM DN k k +=，即3434221kx m kx m x x +−+−+=， 化简得3434(21)(2)()0k x x m x x −+−+=，则2223126(21)(2)03131m kmk m k k −−−+−=++， 化简得(2)(42)0m k m −−−=，因为2m ≠±，所以42m k =−， 结合①可知04k <<，l ′与l之间距离d = 设22441()1k k g k k −+=+，则222(21)(2)()(1)k k g k k −+′=+， 当12k =时，()0g k ′=， 则当1(0,)2k ∈，()0g k ′<，则()g x 单调递减，当1(,4)2k ∈，()0g k ′>，则()g x 单调递增，所以1()()02min g x g ==，又(0)1g =，(4)g =所以49()17g x <，所以d ∈．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，平行线间的距离公式的应用，用导函数的性质可得函数值域的求法，属于中档题． 19．已知函数2cos ()x xf x x−=，(0,)x ∈+∞． （1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点； （2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值； （3）设()i i g x k x b =+，1i =，2，若对任意的[2x π∈，)+∞，12()()()g x f x g x 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值．【分析】（1）设()cos h x x x =−，求导分析单调性，可得存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，进而可得答案．（2）求导得3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=，分析()f x ′的符号，进而可得()f x 的单调性，即可得出答案．（3）分析当2b π<−时，0b 时，当2b π=−时，20b π−< 时，12k k +的最大值，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：设()cos h x x x =−， 则()sin 1h x x ′=−−， 因为1sin 1x − ， 所以()0h x ′ 恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又因为()066h ππ−>，()10h ππ=−−<， 所以存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，所以()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点， （2）3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=， 设()sin 2cos m x x x x x =−−，()1sin cos 1cos (tan )m x x x x x x x ′=+−=+−， ()cos cos sin m x x x x x ′′=−+， 当(0,)x π∈上，sin 0x x >，()0m x ′′>，()m x ′单调递增， 又(0)10m ′=>，所以()m x 在(0,)π上的单调递增，因为()02m π=，所以当(0,)2x π∈时，()0m x <，()f x 单调递减，当(2x π∈，)π时，()0m x >，()f x 单调递增，所以()f x 在(0,)π上有最小值2()2f ππ=−．（3）由（1）可知，[2x π∈，)+∞时，()0f x <，由（2）可知2x π=为()f x 的极小值点，且[x π∈，)+∞时，222cos 112x x x x x πππ−−−−−>− ， 所以[2x π∈，)+∞时，()f x 在2x π=取到最小值2π−，2b π<−时，10k >，存在1(x m ∈，)+∞使得1()0g x >与1()()f x g x 矛盾，0b 时，20k <，存在2(x m ∈，)+∞使得22()g x π<−与2()()f x g x 矛盾，当2b π=−时，令10k =，则12()g x π=−，满足题，此时1k 取得最大值，再过点2(0,)π−作函数()f x 的切线，设切点为(P t ，())f t ，则2()()f t b f t t +′=，解得32t π=， 所以切线方程为2829x y ππ=−， 当2b π=−时，2k 的最大值为289π−，又因为3(2x π∈，)+∞时，33sin 2cos 22cos ()x x x x x x f x x x −−−′=， 设322cos ()x xx x ϕ−=， 4442sin 3cos 233()0x x x x x x xx x x x ϕ−++−++−′=<=<，所以()x ϕ单调递减， 即3222cos 8()9x x f x x π−′，所以20π−< 时，12k k +取得最大值289π，接下来证明当[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ， 先证：32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ，[2x π∈，3]2π恒成立， 2284()1sin 3x xq x x ππ′=−++， 2164()cos 3x q x x ππ′′=−+，216()sin 3q x x π′′′=−， 当[2x π∈，3]2π时，()q x ′′′单调递增， 216()1023q ππ′′′=−+<，2316()1023q ππ′′′=+>，216()03q ππ′′′=>， 所以存在唯一的1(2x π∈，)π使得()0q x ′′′=，且(2x π∈，1)x 时，()0q x ′′′<，()q x ′′单调递减，1(x x ∈，3)2π时，()0q x ′′′>，()q x ′′单调递增， 因为2()023q π′=>，1()03q π′=−<，3()02q π′=， 所以存在唯一的3(2x π∈，)π使得()0q x ′=，且(2x π∈，3)x 时，()0q x ′>，()q x 单调递增， 3(x x ∈，3)2π时，()0q x ′<，()q x 单调递减， 又因为()29q ππ=，3()02q π=，所以当[2x π∈，3]2π时，32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ， 当3[2x π∈，)+∞时，228442()1sin (1)1sin 0333x x x x q xx x πππ′=−++=−++ ， 所以()0q x ， 综上所述，[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ， 当3(2x π∈，)+∞，332sin 2cos 22cos 8()9x x x x x x f x x x π−−−′= ， 所以当20b π−< 时，2k 的最大值为289π，即12k k +的最大值为289π．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题．。

望子成龙学校高二数学下期期末摸拟题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 2.已知直线0x y a ++=与圆224460x y x y +-++=有交点,则实数a 的取值范围是A ．[]2,2- B ． ()2,2- C ．⎡⎣ D ． (],2-∞-[)2,+∞3.直线31y kx b y x ax =+=++与曲线相切于点(2，3)，则k 的值为( ).A ． 5B ． 6C ． 4D ． 94.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ） A ． ①和② B ． ②和③ C ． ③和④ D ． ②和④ 5. 101()x x+展开式中的常数项为（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第5项或第6项D ．不存在6.“5a>”是“函数3()f x x ax =-在区间（1,2）上递减”的（ ）条件A ．充分不必要B .充要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要7．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ）A ．54B ．45C ．5×4×3×2D ．5×48．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是13，乙解决这个问题的概率是14，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是（ ）A ．712 B ．112C ．1112 D ．129.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =交于点A 、B ，则△ABM 的周长为（ ） A.16 B.12C.8D.410.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()221a b c bc-+=-，且4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 ( )A ．35B ．34C ．32D ．2411．已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A.1C.2D.312.已知函数()f x 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如下表，函数'()y f x =的大致图像如下图所示，则函数()y f x =在区间[2,4]-上的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二.填空题:（本大题共4小题， 每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.）13.极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+6π)=2，则极点在直线l 上的射影的极坐标是__________．． 14已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，直线x y =与抛物线C 相交于A,B 两点，若)2,2(p 是AB 的中点，则抛物线C 的方程为___________ ___.15..已知7=+y x ，则y x x y 392++-的最大值是16.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没影响．有下列结论：(1)他第3次击中目标的概率是0.9；(2)他恰好击中目标3次的概率是1.09.03⨯；(3)他至少击中目标1次的概率是41.01-．其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)．三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题满分12分)将函数sin cos cos sin (0,0)y x x ωϕωϕωϕπ=-><<的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，得到函数()y f x =的图像。

人教版2023-2024学年高二下学期数学期末期末质量检测试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）(){}ln 1M x y x ==-12,0N y y x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭M N ⋂=A ．B ．C ．D ．∅()1,+∞()()1,22,⋃+∞R2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）{}n b n n S 32b =76b =9S =A ．B ．36C ．D ．1836-18-3．随机变量，且，则（ ）()~10,X B p ()2E X =()23D X -=A ．6.4B ．12.8C ．25.6D ．3.24．若函数在上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）()2ln 1f x x a x =-+()1 ,2A ．B ．C ．D ．[]0,2(),2-∞[)8,+∞(],2-∞5．《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小明每人只能选择看其中的一场电影，则两位同学选择的电影不相同的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．161213236．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式()f x R ()21f =-x ∈R ()()0f x xf x '+<的解集是（ ）()()112x f x ++>-A ．B ．C ．D ．(),1-∞(),2-∞()1,+∞()2,+∞7．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 为（ ）A ．B ．C ．10D ．2010-20-8．如图，一个椭圆形花坛分为A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域，现需要在该花坛中栽种多种A ．156B ．1449．已知函数是定义在()f x R ()()21f f x ->+13．在正项等比数列中，，是的两个根，则.{}n a 2a 10a 23610x x -+=2610111a a a ++=14．二项式，则该展开式中的常数项是 ，二项式系数最大项是第 项.1231()2x x -15．已知函数，则.410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．函数.对于，都有，()()323,ln f x x x a g x x x =-+=[]12210,3,,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x >则实数的取值范围是.a 17．若对任意，函数满足，且当时，都有，,R m n ∈()f x ()()()f m f n f m n =+m n >()()f m f n <则函数的一个解析式是 ．()f x 18．已知函数是定义域为的奇函数，则 ，关于的不()2211x ax f x x x =++-()1,1-=a m 等式的解集为 ．()()210f m f m +->三、解答题19．已知．()5250125(34)1(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ (1)求的值；012345a a a a a a -+--+(2)求的值．2345a a a a +++20．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.{}n a n n S ()21n n S n a =+2132a a =(1)求的通项公式；{}n a (2)若,求数列的前项和.2nn n a b ={}n b n n T 21．已知函数．31()443f x x x =-+(1)求曲线的图象在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f (2)若方程有3个不同的根，求实数k 的取值范围．()f x k =22．已知曲线在点处的切线与直线垂直.()e 1x f x ax =+-()()1,1f ()1e 10x y --+=(1)求实数；a (2)求函数在上的最大值与最小值.()f x []1,2-23．已知函数.()32,f x x ax a =-+∈R(1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间；2x =-()f x a (2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围．()f x 1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦a答案：1．C由不等式，可得，所以，10x ->1x >(){}{}()ln 111,M x y x x x ∞==-=>=+因为，所以，0x ≠122y x =+≠所以，12,0N y y x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭{}()()2,22,y y ∞∞=≠=-⋃+所以.M N ⋂=()()1,22,∞⋃+ 2．B 解：，()()19379993622b b b b S +⨯+⨯=== 3．A 由，()102E X p ==⇒0.2p =因为，所以，()~10,0.2X B ()()100.210.20.16D X =⨯⨯-=所以.()()2344 1.6 6.4D X D X -==⨯= 4．D 由已知，在区间上恒成立，()20a f x x x '=-≥()1,2即在区间上恒成立，即，，22a x≤()1,2()m n2i 2a x≤()1,2x ∈所以2a ≤ 5．D因为每个人选择方案有3种，可知2个人不同的选择方案有种；239=且三位同学选择的电影相同的选择方案有种；3所以三位同学选择的电影不相同的概率为.32193P =-= 6．A 设，则 ，()()g x xf x =()22(2)2g f ==-对任意，，恒成立，即在上单调递x ∈R ()()0f x xf x '+<()()()0g x f x xf x ''∴=+<()g x R减，由可得，，解得，即解集为.()()112x f x ++>-(1)g(2)g x +>12x ∴+<1x <(),1-∞ 7．D根据的展开式中，二项式系数的和为 ．2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭232,5nn =∴=而 的展开式中，通项公式为，522()()n x x x x -=-()5215C 2r r r r T x -+=⋅-⋅令，求得 ，可得展开式中的系数为，523-=r 1r =3x ()15C 210⋅-=- 8．A除B 区域外，其他区域的种法分三类：第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A 区域选红色，有种不同的C D E F 44A 种法;第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，C D E F C ，F 同色或D ，E 同色，A 区域有2种选法，有种不同的种法;3314322C A C 第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，C D E F C ，F 同色且D ，E 同色，A 区域有3种选法，有种不同的种法．22423C A 综上可得，共有（种）不同的种法．433122443222A 2C A C 3C A 156++= 9．D 因为和在上均单调递增，2y x =21y x =-+[)0,∞+所以在上单调递增．()221f x x x =-+[)0,∞+因为是定义在上的偶函数，()f x R 所以可化为，()()21f f x ->+()()21f f x ->+所以，解得．21x ->+31x -<< 10．D二项式展开式的通项为，（其中且81ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()388821881C C rr r r r r r T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭08r ≤≤），N r ∈对于，有232y x x =++2y ¢=对于，有，故ln()y x =-1y x '=如上图，中，当()1y a x =+a 所以.][(,10,1a ∞⎤∈--⋃⎦由韦达定理得，21021012,3a a a a +==由于为正项数列，{}n a 故，621033a a a ==.261022106101111236313a a a a a a a a =+++=++=+故63+14．7552-二项式的通项公式为：，1231()2x x -4121212*********()()()(1)22r r r r rr r r x T C C x x ---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅当时，即时，常数项为：，41203r -=9r =9129912155()(1)22C -⋅⋅-=-因为，所以二项式系数最大项是第项，12172+=7故；552-715．2因为，所以.410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭所以.112211122222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.216．e 4a >+ 因为，，所以，()323f x x x a=-+[0,3]x ∈()()23632f x x x x x =='--所以时，，时，，02x <<()0f x '<23x <<()0f x '>即在上单调递减，在上单调递增，所以，()f x []0,2[]2,3()()min 24f x f a ==-因为，，所以，()ln g x x x =21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1ln g x x ='+所以时，，时，，211e e x <<()0g x '<1e e x <<()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增，又，，()g x 211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2212e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()e e g =所以，()max eg x =对于，都有，则，[]12210,3,,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x >()()min max f x g x >所以，即.4e a ->e 4a >+故e 4a >+17．（答案不唯一）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 由题意，可取，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭函数是减函数，满足时，都有，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭m n >()()f m f n <因为，()()()111222m n m nf m f n f m n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数满足题意.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为.（答案不唯一）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭18． 110,3⎛⎫ ⎪⎝⎭因为是奇函数，所以，()f x ()()22221111x ax x ax f x f x x x x x -=+=-=---+--+-则由的任意性可得，x 1a =所以，则．()22322111x x x f x x x x =+=+--()()()()()2242222226142311x x x x x f x x x---==--'因为，所以，则在上单调递减．()1,1x ∈-()230,0x f x -<'<()f x ()1,1-由，得，()()210f m f m +->()()()2112f m f m f m >--=-则，解得．1121m m -<<-<103m <<故；.110,3⎛⎫ ⎪⎝⎭19．(1)32-(2)1008（1），则，原式化为，1t x =+令3431x t +=+5250125(31)t a a t a t a t +=++++ 令501251(31)32t a a a a =-⇒-+=-+--=- （2）,5250125(31)t a a t a t a t +=++++ 令，,则001t a =⇒=14415C (3)115a t t t ==115a =又令501251(31)1024t a a a a =⇒+=++++= 234510241511008a a a a +++=--=20．(1)12n n a +=(2)13322n n n T ++=- （1）当时,,解出,又,则；1n =1121S a =+11a =2132a a =232a =当时,由两式相减得,两边同时除以2n ≥()()()1121,211,n n n n S n a S n a ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩()1110n n n a na +--+=()1n n -即,即,1101(1)n n a a n n n n +-+=--11111(1)1n n a a nn n n n n +-=-=----2n ≥利用上述等式有,,13211111221122n n a a a a n n n n --+⋅⋅⋅+-=-+⋅⋅⋅+-----3n ≥因此,即,,21111n a a n n -=---12n n a +=3n ≥当时,,满足,因此；1,2n =11a =232a =12n n a +=12n n a +=（2）由（1）可知,,则,112n n n b ++=234123412222n n n T ++=+++⋅⋅⋅+两边同时乘以得,,123412123122222n n n n n T +++=++⋅⋅⋅++错位相减得,23122231212111111112222222222n n n n n n n T ++++++=++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-（1）函数，()e 1x f x ax =+-则，()e x f x a'=+因为曲线在点处的切线与直线垂直，()e 1x f x ax =+-()()1,1f ()1e 10x y --+=所以，()1e 1f '=-所以，e e 1a +=-解得；1a =-（2）由（1）可知，，，()e 1x f x x =--[]1,2x ∈-则，令得，，()e 1x f x '=-()0f x '=0x =当时，，即在上单调递减；()1,0x ∈-()0f x '<()f x ()1,0-当时，，即在上单调递增，()0,2x ∈()0f x ¢>()f x ()0,2所以当时，取得极小值，也是最小值，0x =()f x ()00f =又因为，，()11e f -=()212e 3e f =->所以函数在上的最大值为，()f x []1,2-2e 3-综上所述，函数在上的最大值为，最小值为．()f x []1,2-2e 3-023．(1)；的增区间是和，减区间是；12a =()f x (),2-∞-()2,+∞()2,2-(2)5539a <≤ （1），，得，()23f x x a ='-()2120f a ='--=12a =当时，，得或，12a =()23120f x x '=-=2x =-2x =的变化情况如下表所示，()(),,x f x f x 'x (),2∞--2-()2,2-2()2,∞+()f x +0-0+()f x '增区间极大值18减区间极小值14-增区间即.5539a <≤。

2021-2022学年广东省广州市成龙中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=log3x，x0∈，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】计算出满足不等式1≤f（x0）≤2成立的x的范围，根据区间的长度之比求出概率即可．【解答】解：由log33=1，log39=2，故不等式1≤f（x0）≤2成立的概率p==，故选：C．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查几何概型问题，是一道基础题．2. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于: ( )A. B. C. D.参考答案：A略3. 袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是A. B. C. D.参考答案：D【分析】通过条件概率相关公式即可计算得到答案.【详解】设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而，，故，故选D.【点睛】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.4. 已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0参考答案：D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题．【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为 k==﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为 y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故选 D．【点评】本题考查求线段的中垂线所在的直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5. 设函数则a等于（）A.-1B.1C.-2 D.2参考答案：C略6. 已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D7. 椭圆与双曲线有公共焦点，则椭圆的离心率是A B C D参考答案：B8. 对数列，如果存在及常数，使成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论：①若是等比数列，则为1阶递归数列；②若是等差数列，则为2阶递归数列；③若数列的通项公式为，则为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是 ( )A．0 B．1 C．2D．3参考答案：D略9. 不等式成立的必要不充分条件是（）A．B．C．D．参考答案：C10. 定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:①; ②; ③; ④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A．① ②B．③ ④C．② ④D．① ③参考答案：D等比数列性质,,①;②;③;④.选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．参考答案：+【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面?空间，点?点或直线，直线?直线或平面，平面图形?平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．12. .有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．参考答案：1和3.根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和；（1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；所以甲的说法知，甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是和.13. 若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1<t<4，且t≠；②若C为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<.其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上) 参考答案：①②略14. 已知，则的值为__________.参考答案：8略15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体是由半球和长方体组成的组合体；V球=．【解答】解：该几何体是由半球和长方体组成的组合体；其中半球的体积为V1=×=；长方体的体积为V2=2×2×3=12，则该几何体的体积为V=V1+V2=．16. 如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为．参考答案：略17. 设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα= ．参考答案：【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】求出倾斜角的正切函数值，利用同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．即：=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角与同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

数学2024届新高三开学摸底2023高二下学期期末试题及答案解析数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）第二部分（非选择题共110分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2A =，()(){}120B x x x =++≤，则A B = （）A.∅B.[]2,1-- C.[]22-,D.{}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集.【详解】由(1)(2)0x x ++≤，得21x -≤≤-，所以{}21B x x =-≤≤-，因为{}0,1,2A =，所以A B = ∅，故选：A2.复数()2i R,0z b b b =+∈≠，则z z ⋅的虚部是（）A.b iB.2b - C.0D.2b 【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解作答.【详解】复数()2i R,0z b b b =+∈≠，则2i z b =-，因此2()(42)i 2i z z b b b +-⋅==+，所以z z ⋅的虚部是0.故选：C3.某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：身高范围（单位：cm ）[)145,155[)155,165[)165,175[)175,185[]185,195学生人数54040105根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（）A.165 B.167C.170D.173【答案】B 【解析】【分析】根据给定的频率分布表，求出各分组区间的中间值与对应频率积的和作答.【详解】由数表知，身高在区间[)[)[)[)[]155,165,165,175,175,185,185,195145,155,内的频率依次为：0.05,0.4,0.4,0.1,0.05，则1500.051600.41700.41800.11900.05167x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以该地区高三学生的平均身高约为167cm .故选：B 4.已知π4cos 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（）A.725B.825C.925D.1625【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果.【详解】因为π4cos 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2s s in 2πco 2x x ⎛⎫-⎝=⎪⎭πcos 22x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πcos 24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π2cos 14x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭24721525⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故选：A5.()3212x x -+的展开式中，3x 的系数为（）A.20B.20- C.15- D.15【答案】B 【解析】【分析】化简后利用二项展开式的通项计算得到答案.【详解】()()632112x x x--+=，其展开式的通项为：()616C 1rrr r T x -+=⋅⋅-，取3r =得到3x 的系数为()336C 120⋅-=-．故选：B ．6.某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（）A.72B.36C.18D.24【答案】B 【解析】【分析】按照1,1,2把4人分层三组，将分好的三组对应三个项目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意：分2步进行：①四名同学在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试，且每个项目至少有一名同学报名，可以把四名同学分成三组，人数分别为1,1,2，有24C 6=种分组方法；②将分好的三组对应三个项目，有33A 6=种对应方法，则四名同学所有可能选择的方案有6636⨯=种.故选：B7.已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，直线x c =与C 的一个交点为P ，213PF PF =，则C 的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的定义结合213PF PF =可求得,a c 关系即可得出答案.【详解】由213PF PF =，得点P 在双曲线的右支上，则12222PF PF PF a -==，所以21,3PF a PF a ==，在21Rt F PF 中，21,3PF a PF a ==，故122F F c ====，所以ca=即双曲线C .故选：C8.桌上放着4张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（）A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】C 【解析】【分析】根据题目信息进行合情推理，能求出结果.【详解】①的正面是小写字母，无论①的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；②的正面是大写字母，如果②的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；③的正面是3，如果③的背面是小写字母，也无法说明命题是假命题；④的正面是6，若④的背面是大写字母，则判断命题为假.综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是②④.故选：C.9.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若4BA AC ⋅=-，ABC 的面积为()22cos cos cos cos sin cos b c A C bc B Aa A A +=+（）A.1+ B.1C.4D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据数量积及面积公式列方程求得π3A =，利用正弦定理及两角和正弦公式化简式子，代入计算求解即可.【详解】因为4BA AC ⋅=-，所以cos(π)4cb A ⋅-=-，即cos 4bc A =，114sin sin 2tan 22cos ABC S bc A A A A==⨯⨯==，所以tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =，所以()()()22cos cos cos cos cos (cos cos )cos (sin cos sin cos )sin cos sin cos sin sin cos b c A C bc B A bc A b C c B bc A B C C B a A A a A A A A A +++==+++()()cos sin()cos sin cos 4sin sin cos sin sin cos sin cos 3122bc A B C bc A A bc AA A A A A A A A+====+++.故选：D10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1CP CD CC λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈．在满足条件的P 中随机取一点，1B P 与AD 所成角小于等于π4的概率为（）A.12B.π3C.23D.π4【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示出1B P，设1B P 与AD 所成角为θ，则11cos B P DA B P DAθ⋅=⋅，依题意可得cos 12θ≤≤，即可得到()2211λμ+-≤，再根据几何概型的概率公式计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,1,0C ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()1,0,0A ，()11,1,1B ，所以()0,1,0CD -= ，()10,0,1CC = ，()1,0,0DA = ，()11,0,1B C =--，因为1CP CD CC λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以()()()0,1,00,0,10,,CP λμλμ=-+=-，所以()()()111,0,10,,1,,1B P B C CP λμλμ=+=--+-=---，设1B P 与AD 所成角为θ，则11cos B P DA B P DA θ⋅==⋅ ，因为1B P 与AD 所成角小于等于π4，则cos 12θ≤≤，即12≤≤，所以()22112λμ++-≤，即()2211λμ+-≤，因为[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，目标式子为()2211λμ+-≤，如下图所示，满足()2211λμ+-≤的(λ，μ)为图中扇形COB 中的点，又21π1π44COB S =⨯=，111OABC S =⨯=，所以π4COB OABC S P S ==，即在满足条件的P 中随机取一点，1B P 与AD所成角小于等于π4的概率为π4.故选：D11.椭圆()222210,0,x y a b a b a b +=>>≠任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：2222x y a b +=+，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆()()()222430x y r r -+-=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆2213y x +=的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（）A.()1,9 B.[]1,9 C.()3,7 D.[]3,7【答案】D 【解析】【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆关系即可求解.【详解】由题意可知：与椭圆2213y x +=相切的两条互相垂直的直线的交点P 的轨迹为圆P ：224x y +=，圆心()0,0,2,P r =由于P 在圆()()()222:430C x y r r -+-=>，圆心()24,3,C r r =，故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为5PC ==，故25237r r r -≤≤+⇒≤≤.故选：D12.设n a 表示集合{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅的子集个数，2log n n b a =，()()1cos ki k i ib x f x a ==∑，其中*N k ∈.给出下列命题：①当1k =时，7π,08⎛⎫⎪⎝⎭是函数1π24f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的一个对称中心；②1k =时，函数1π24f x ⎛⎫-⎪⎝⎭在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()2f x 的值域是33,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；④对任意的实数x ，任意的正整数k ，()1k f x <恒成立.其中是真命题的为（）A.①③ B.②④C.①③④D.②③④【答案】C 【解析】【分析】根据子集个数确定数列通项公式，求得()()1cos 2kk ii ix f x ==∑，对于①②根据余弦函数的图象与性质判断即可，对于③根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可，对于④根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可.【详解】由集合{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅的子集个数为2n 知，2n n a =，所以2log 2nn b n==，()()1cos 2kk ii ix f x ==∑，所以()11cos 2f x x =，所以1π1π2cos 2424f x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，得π3π,Z 28k x k =+∈，当1k =时，函数1π24f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称中心为7π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，故①正确；因为ππ44x -<<，所以3πππ2444x -<-<，令π3ππ2,444z x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则1cos 2y z =在3ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，所以函数1π24f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故②错误；()2221111113cos cos 2cos (2cos 1)(cos 2424228f x x x x x x =+=+-=+-，所以当cos 1x =时，2()f x 取最大值34，所以当1cos 2x =-时，2()f x 取最小值38-，即函数()2f x 的值域是33,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故③正确；()()()111cos cos 1111222kkki k ii k i i i ib x ix f x a ====≤≤≤-<∑∑∑，故④正确；综上，真命题为①③④.故选：C【点睛】关键点点睛：第一个关键点要掌握余弦函数的图象与性质及复合函数的值域求解，第二个关键在于利用三角函数的有界性对不等式放缩，再结合等比数列前n 项和进一步放缩判断.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.【答案】94【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.12．如图，,BC DE 是半径为3的圆O 的两条直径，2BF FO = ，则FD FE ⋅=__________．【答案】8-【解析】由题意可得，1FO = ，3OD =,()()()()FD FE FO OD FO OE FO OD FO OD⋅=+⋅+=+⋅- 228FO OD =-=- ,故答案为:8-.13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．【答案】5【解析】设区域代号为x ，种植密度为1y ，单株产量为2y ，则{}1,2,3,4,5,6,7,8x ∈，由图象可得种植密度1y 是区域代号x 的一次函数，故设1y kx b =+，{}1,2,3,4,5,6,7,8x ∈，由已知函数1y kx b =+的图象经过点()1,2.4,()8,4.5，所以 2.44.58k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得0.32.1k b =⎧⎨=⎩，所以10.3 2.1y x =+，由图象可得单株产量2y 是区域代号x 的一次函数，故可设2y mx n =+，{}1,2,3,4,5,6,7,8x ∈，观察图象可得当1x =时，2 1.28y =，当8x =时，20.72y =，所以1.280.728m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得0.081.36m n =-⎧⎨=⎩，所以20.08 1.36y x =-+，所以总产量()()()0.3 2.10.08 1.360.024m x x x =+-+=-()210119x x --当5x =时，函数()m x 有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456.故答案为：5.14．已知函数()()ln 0a f x x a x a =->，()e x g x x =-，若()2e x ∈1,时，()()f xg x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____.【答案】(]0,e 【解析】()e xg x x =-，则()e 1x g x '=-，则0x >时，()e 10xg x '=->，()g x 单调递增.()2e x ∈1,时，()()f x g x ≤恒成立，即ln e a x x a x x -≤-恒成立，则ln e ln e a x a x x x -≤-在()21,e 上恒成立，则ln a x x ≤即ln x a x≤在()21,e 上恒成立，令()ln x k x x=，()2e x ∈1,，则()2ln 1()ln x k x x -'=则当()1,e x ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减；当()2e,e x ∈时，()0k x '>，()k x 单调递增.则当e x =时()k x 取得最小值e(e)e ln ek ==，则e a ≤则实数a 的取值范围是(]0,e 故答案为：(]0,e 15．在数列{}n a 中各项均为正数，且211n n n a a a ++-=(1,2,3,)n =¼，给出下列四个结论：①对任意的2n ，都有1n a >②数列{}n a 不可能为常数列③若102a <<，则数列{}n a 为递增数列④若12a >，则当2n 时，12n a a <<其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】对于①，在数列{}n a 中，211n n n a a a ++-=，则()111n n n a a a ++-=，又对于任意的N n *∈都有0n a >，则110n a +->，即11n a +>，即对于任意的2n ≥，都有1n a >，故①项正确；对于②，不妨设数列{}n a 可能为常数列，则1n n a a +=，又211n n n a a a ++-=，则2n n n a a a -=，则2n a =，即12a =时，数列{}n a 为常数列，故②项错误；对于③，2111112(2)n n n n n n a a a a a a +++++-=-=-又102a <<，则22202a a <-<，即212a <<，同理，当2n ≥，都有2n a <，即2111112(2)0n n n n n n a a a a a a +++++-=-=->，即1n n a a +>，即数列{}n a 为递增数列，故③项正确；对于④，12a >，则2222a a ->，即22a >，同理，当2n ≥，都有2n a >，又2111112(2)0n n n n n n a a a a a a +++++-=-=-<，即数列{}n a 为递减数列，即当2n ≥时，12n a a <<，故④项正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，1sin 3B =，且______．在①2222a b c -+=，②1AB BC ⋅=- ，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin 3A C =，求b ．【解析】（1）若选①:因为2222a b c -+=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B ==；若选②:因为10AB BC ⋅=-<，即cos 0AB BC ac B ⋅=-< ，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos B ==，又cos AB BC ac B ⋅=-，得1cos ac B ==则1sin 2ABC S ac B ==（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB AC ==，则229sin sin sin sin sin 423b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==．17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为211,x s ，考核成绩的平均数和方差分别为222,x s ，试比较1x 与221,x s 与22s 的大小.（只需写出结论）【解析】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人,所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是50.510=.从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.所以X 可取0,1,2，则()022224C C 10C 6P X ===，()112224C C 21C 3P X ===，()202224C C 12C 6P X ===，所以X 的分布列为X012P162316所以()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=；（3）由题可得()119689888892918790929090.310x =⨯+++++++++=，()219389.589.588908991.59190.59190.310x =⨯+++++++++=，()()()2222119690.38990.39090.3 6.2110s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦ ()()()2222219390.389.590.39190.3 1.8110s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦ ，所以12x x =；2212s s >.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且12PF FC =.(1)求证：平面AEF ⊥平面PCD ；(2)求平面AEF 与平面AEP 所成角的余弦值；(3)若棱BP 上一点G ，满足2PG GB =，求点G 到平面AEF 的距离.【解析】（1）如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 为x 轴，y 轴，过D 作AP 平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,2P ，()1,0,1E ，()3,2,0B ，所以()0,2,0DC = ，()2,2,2PC =-- ，因为12PF FC =，所以13PF PC = ，所以()()14242,2,22,0,2,,3333DF ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭ ，即424,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以224,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,0,1AE =-，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z = ，则22403330n AF x y z n AE x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令1x z ==，则1y =-，所以()1,1,1n =-，平面PCD 的法向量为(),,m a b c = ，则202220m DC b n PC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1a =，则1c =-，所以()1,0,1m =-，所以()()1101110n m ⋅=⨯+⨯-+⨯-= ，所以n m ⊥ ，所以平面AEF ⊥平面PCD.（2）易知平面AEP 的一个法向量()0,1,0u =，设平面AEF 与平面AEP 所成角为θ，则cos 3n u n uθ⋅==⋅ ，所以平面AEF 与平面AEP所成角的余弦值为3.（3）因为棱BP 上一点G ，满足2PG GB =，所以23PG PB =，所以()()222420,0,21,2,2,,33333AG AP PG AP PB ⎛⎫=+=+=+-=⎪⎝⎭，所以点G 到平面AEF 的距离0n AG d n ⋅==.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1A --，长轴长为.(1)求椭圆C 的方程及其焦距；(2)直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点,M N ，直线,AM AN 分别与直线4x =-交于点,P Q ，O 为坐标原点且OP OQ =，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）由题得222,411a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩a b c ∴===所以椭圆C 的方程为22182x y +=，焦距为2c =.（2）如图，直线:l y kx m =+与椭圆方程22182x y+=联立，化简得222(41)8480k x kmx m +++-=，2212816320k m ∆=-+>，即22820k m -+>.设1(M x ,1)y ，2(N x ,2)y ，则122841km x x k -+=+，21224841m x x k -=+．直线MA 的方程为11112)2y y x x ++=++，则112(1)(4,1)2y P x -+--+，直线NA 的方程为2211(2)2y y x x ++=++，则222(1)(4,1)2y Q x -+--+，因为OP OQ =，所以112(1)12y x -+-++222(1)12y x -+-+=0，所以121211122kx m kx m x x +++++=-++，所以1212(21)(23)()480k x x k m x x m +⋅++++++=，把韦达定理代入整理得(21)(4)0,21m k m k m k -+-=∴=-或4m k =，当21m k =-时，直线方程为21,1(2)y kx k y k x =+-∴+=+，过定点(2,1)--，即点A ，不符合题意，所以舍去.当4m k =时，直线方程为4y kx k =+，(4)y k x ∴=+过定点(4,0)-.所以直线l 经过定点.20．已知函数()2e (1)axf x x =-.(1)若1a =，求()f x 在()()0,0f 处切线方程；(2)求()f x 的极大值与极小值；(3)证明：存在实数M ，当0a >时，函数()y f x M =-有三个零点.【解析】（1）当1a =时，()2e (1)xf x x =-，2()e (1)x f x x '=-，所以02(0)e (01)1k f '==-=-，又02(0)e (01)1f =-=，所以切线方程为1(0)-=--y x ，即10x y +-=.（2）()2)e (1)2(1e (1)(2)e ax ax axx x x x a f x a a '=--+-=-+，当0a =时，()2(1)0f x x '=-=，解得1x =，故1x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故1x =时，()f x 的极小值为(1)0f =，无极大值；当0a >时，令()0f x '=，解得11x =，221x a=-，故当21x a<-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当211x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 的极大值为2222224e (1)e a a f a a a --⎛⎫-== ⎪⎝⎭，极小值为(1)0f =；当a<0时，令()0f x '=，解得11x =，221x a=-，故当1x <或21x a>-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当211x a<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 的极大值为2222224e (1)e a a f a a a --⎛⎫-== ⎪⎝⎭，极小值为(1)0f =；综上，当0a =时，()f x 的极小值为(1)0f =，无极大值；当0a ≠时，()f x 的极大值为2224e(1)a f a a--=，极小值为(1)0f =.（3）当0a >时，由（2）知，()f x 在2(,1)a -∞-和(1,)+∞上单调递增，在2(1,1)a-上单调递减，且1x <时，()210e ()ax f x x =->恒成立，x →+∞时，()2e (1)ax f x x =-→+∞，又()f x 的极大值为2224e(1)a f a a--=，极小值为(1)0f =，所以存在实数224e 0a M a-<<时，函数()y f x M =-有三个零点.21．已知A 为有限个实数构成的非空集合，设{},i j i j A A a a a a A +=+∈，{},i j i j A A a a a a A -=-∈，记集合A A +和A A -其元素个数分别为A A +，A A -.设()n A A A A A =+--.例如当{}1,2A =时，{}2,3,4A A +=，{}1,0,1A A -=-，A A A A +=-，所以()0n A =.(1)若{}13,5A =,，求()n A 的值；(2)设A 是由3个正实数组成的集合且(){},0A A A A A '+=∅= ，证明：()()n A n A '-为定值；(3)若{}n a 是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意*N n ∈，设{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，()n n b n A =.已知121,2a a ==，且对任意*N ,0n n b ∈≥，求数列{}n a 的通项公式.【解析】（1）当{}13,5A =,时，{}2,4,6,8,10A A +=，{}4,2,0,2,4A A --=-，A A A A +=-，所以()0n A =，（2）设{},,A a b c =，其中0a b c <<<，则{}{}00,,A A a b c '== ,，()()()n A n A A A A A A A A A ''''-=+--+-'--()()A A A A A A A A ''''=+-+----因0222a a a b b b c c <<<+<<+<，{}{}2,2,2,,a b c a b b c a c A A +=+++U ，因()A A A +=∅ ，所以2b a ≠，2c b ≠，2c a ≠，c a b ≠+，又{}{}{},0,,2,2,2,,A A b c a a b c a b b c a c ''+=+++ ，0a c +≠，a c a +≠，所以4A A A A ''+-+=，因0c b a a b c -<-<-<<<<，0a c a b b a c a -<-<<-<-，0b c c b -<<-，{}{}0,,,,,A A a b a c b a c a b c c b -=------ ，{}{}{},,,0,,,,,,,A A a b a b c c a b a c b a c a b c c b ''-=--------- 因2b a ≠，2c b ≠，2c a ≠，c a b ≠+，所以a b a ≠-，a c a ≠-，b c b ≠-，a c b ≠-，0b c -≠，0b c -≠，b c c -≠，b c c-≠-所以6A A A A ''---=()()2n A n A -'=-所以()()n A n A '-为定值.（3）{}331,2,A a =()*3N a ∈，若*334,N a a ≥∈，则3334122a a a <+<+<，3333121121a a a a -<-<-<<-<-,故{}333331,2,2,2,3,4A a a a A +++=，{}3333331,02,2,11,,1,A a A a a a -=-----，此时()3333331b n A A A A A ==+--=-，不符合题意，故33a =，猜想n a n =，下面给予证明，当3n ≤时，显然成立，假设当n k ≤，*N k ∈时，都有k a k =成立，即{}1,2,3,,k A k =⋅⋅⋅，此时{}2,3,4,,2k k A A k =⋅⋅⋅+，{}1,2,3,,0,1,2,,1k k A A k k k k =---⋅⋅-⋅- ，故22121k k A k A k +=-+=-，()11121k k A A k k k =----+=-，()0k k b n A ==，符合题意，{}111,2,,,k k A k a ++=⋅⋅⋅，*1N k a +∈则{}{}111112,3,4,,22,3,,k k k k k A A k a a k a +++++=⋅⋅⋅++++ ，{}{}111111,2,3,,0,1,2,,11,2,,0,1,,1k k k k k A A k k k k a a a +++++=---⋅⋅⋅----- ，若12k a k +≥+，{}{}1112,3,4,,22,3,,k k k k a a k a +++⋅⋅⋅+++ 的元素个数小于{}{}1111,2,3,,0,1,2,,11,2,,0,1,,1k k k k k k k a a a +++---⋅⋅⋅---- 的元素个数则有()()1111110k k k k k k k k k k k b n A A A A A A A A A n A ++++++==+--<+--==，不符合题意，故11k a k +=+，综上，对于任意的*N n ∈，都有n a n =故数列{}n a 的通项公式n a n =.。

2023-2024学年四川省高二下册期末数学（理）模拟试卷一、单选题二、填空题②函数()y f x x =-有且只有1个零点；③存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；④对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>；其中的真命题有___________.三、解答题答案：根据函数()f x 的单调性及极值点，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，再作出直线y x =，易知直线y x =与()f x 的图象有且只有1个交点，即函数()y f x x =-有且只有1个零点，故②正确．根据()f x 的图象可知，若要存在正实数k 使得()f x kx >恒成立，则()f x 要存在过原点且斜率为正的切线，假设()f x 存在过原点且斜率为正的切线，切点为0002,ln x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线斜率为0202x x -，则切线方程为()00020022ln x y x x x x x ---=-，∵切线过原点，故000022ln x x x x ---=-，整理得000ln 40x x x --=，令()ln 4F x x x x =--，则()ln F x x '=-，∴在()01，上，()()0F x F x '>，单调递增，在()1+∞，上，()()0F x F x '<，单调递减，∴()()10F x F < ，∴()0F x <恒成立，即方程000ln 40x x x --=无解，即()f x 不存在过原点且斜率为正的切线，故不存在正实数k 使得()f x kx >恒成立，故③错误；由()()1212x x f x f x >=，可知12202x x ><<，，要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->，()f x 在()2+∞，上单调递增，即证()()124x f f x >-，又()()12f x f x =，∴证()()224x f f x >-，即证()()()402f x f x x >-∈，，．令()()()()()224ln ln 4024h x f x f x x x x x x=--=--+-∈-，，，则()2228(2)0(4)x h x x x '--=<-，∴()h x 在()02，上单调递减，∴()()2h x h >=0，∴124x x +>，故④正确．故②④．17【详解】（1）若1m =-，则{21}{22}B x m x m x x =<<-=-<<∣∣，{13}A x x =≤< ∣{12}A B x x ∴⋂=≤<∣28(2)014kmm k --⋅=+整理得：时，,M N 中一点与2P 重合，故舍去，。

高二期末联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（ ）A.1C.3D.52.若，则下列三角函数值一定为负值的是（ ）A.B.C.D.3.在中，内角的对边分别为，则（ ）A.C.D.14.设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）B.C. D.5.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ）A.诗经组中位数为3，众数为2B.论语组平均数为3，方差为1C.春秋组平均数为3，众数为2()43i 5i z +=z =tan 0θ<sin θcos θsin2θcos2θABC V ,,A B C π,,,,2,13a b c A b c ===CA AB ⋅= 1-F 2:8C y x =()00,P x y C P y A 3PF PA =cos FPA ∠=1313-D.礼记组中位数为3，极差为46.如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（）C. D.7.函数的部分图象如图所示，则（ ）A.B.C.在区间共有8097个零点D.的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称8.在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限上的一点，为在轴上的投影，则的最大值为（ ）A.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目P ABCD -PA ⊥,ABCD AD ∥,BC AB BC ⊥4,5,2AB PA BC ===PC AD 45910()()(0,ππ)f x x ωϕωϕ=+>-<<π4ϕ=()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x []2024π,2024π-()f x 3π8y xOy M ln xy x=N M x sin MON ∠1e 12e要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均为正数，则使得“”成立的充分条件可以为（）A.B.C.D.10.如图，棱长为2的正方体中，，则下列说法正确的是（）A.时，平面B.时，四面体的体积为定值C.时，，使得平面D.若三棱锥的外接球表面积为，则11.已知函数，其中实数，且，则（ ）A.当时，没有极值点B.当有且仅有3个零点时，C.当时，为奇函数,a b a b >11a b<34a b ->-22a b b ab a+>+()()22ln 2024ln 2024a b +>+1111ABCD A B C D -11,,,(0,1)BP BB BQ BC λμλμ==∈λμ=11C B ∥1D PQ 12λ=1APQD 12μ=()0,1λ∃∈1A Q ⊥1D PA P CBD -41π434λ=()3233a f x x ax axb =--+,a b ∈R 0a >1a =()f x ()f x 5,93b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭113b a =()1f x +D.当时，过点作曲线的切线有且只有1条三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某果园中芒果单果的质量（单位：）服从正态分布，若从该果园中随机挑选4个芒果，则恰有2个单果的质量均不低于100的概率为__________.13.已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，则的最大值为__________.14.在锐角中，依次为三个内角的对边，已知，求的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校.某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.（1）求在魏公村下车的人数的分布列及期望；（2）已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率.16.（本小题满分15分）数列的前项和为，当时，，数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）记数列，数列的前项和为，求.17.（本小题满分15分）如图，是半圆的直径，依次是半圆弧上的两个三等分点，将沿翻折到,3a m b ∞⎛⎫∈++⎪⎝⎭()0,A m ()f x M g ()2100,N σg {}1n a -2313123100n a a a a ++++< n ABC V ,,a b c ,,A B C 2222b c a +=cos A 1316X {}n a n 12,3,5n S a a ==2n (11211)n n n S S S n n n -+=+-+{}n b 3n an b ={}n b n n n c a b =⋅{}n c n n T n T AB O ,M N »AB ONB V ON，使得，得到四棱锥.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若是的极大值点，求的值；（2）用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数.注：若，当时，，当时，.19.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率上的点到.（1）求的方程；（2）过的直线与交于，记关于轴的对称点为.①试证直线恒过定点；②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围.ONP V 12PB BM ==P AMNB -BP ⊥PAM A PM N --()()()2e 1,ln 2xf x x axg x x =---=-+0x =()f x a {}Max ,m n ,m n ()()(){}Max ,h x f x g x =()h x ()2e 1x x m x x--=x ∞→+()m x ∞→+0x →()1m x →()2222:10x y E a b a b +=>>e =E ()0,2Q E Q l E ,A B A y C BC P ,B C 2y =11,B C 1111,,PBB PB C PCC V V V 123,,S S S 132S S S +高二期末联考数学参考答案及解析一､选择题1.A 【解析】.故选A.2.C 【解析】与异号，又.故选C.3.C 【解析】由题意可得..故选C.4.D 【解析】由抛物线定义可知2，即有，解得，所以为原点，从而.故选D.5.B 【解析】对于A 数据为：时，满足中位数为3，众数为2，但不满足每位选手的失分不超过6分，故A 错误；对于B ，假设有一位同学失7分，则方差与方差为1矛盾，假设不成立，故B 正确；对于C ，数据为：1，2，2，2，2，时，满足平均数为3，众数为2，但是不满足每位选手失分不超过6分，故C 错误；对于D ，数据为：，满足中位数为3，极差为4，但最大值超过6分，故D 错误.故选B.6.A 【解析】（或补角）为异面直线与所成的角，平面，又平面，，.故选A.()()()()5i 43i 5i 1520i 3443i 5i,i,143i 43i 43i 2555z z z-++=∴====+∴==++- sin tan 0,sin cos θθθθ=<∴cos θsin22sin cos ,sin20θθθθ=∴<CA AB CA AB ⋅=()cos πcos 1A bc A -=-=-002PPF x x =+=+0023x x +=01x =0y O =1cos cos 3FPA PFO ∠∠=-==-1,2,2,2,2,4,6,7,8,922(73) 1.610s -=…2,2,3,5,93,3,3,3,3,3,3,3,7,7AD ∥,BC PCB ∠∴PC AD PA ⊥ ,ABCD PA BC ∴⊥,,AB BC PA AB A BC ⊥⋂=∴⊥,PAB BC PB ∴⊥PC ∴===cos PCB ∠∴==7.D 【解析】对于A ，由题图可知，，从而，且位于单调递增区间，结合，可知，故A 不正确；对于B ，由图可得，解得，，又，所以，所以，故，故B 错误；对于，共有8096个零点，故C 不正确；对于D ，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为，显然的定义域为全体实数，所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称.故D 正确.故选D.8.B 【解析】由题意设，设，，则，故，对任意的，则，令函数，其中，则.当（时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，故故选B.()01f ϕ==-sin ϕ=0x =ππϕ-<<π4ϕ=-ππ2π,84k k ω⋅-=∈Z 162k ω=+k ∈Z π48T >04ω<<2ω=()ππππ2224424f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()ππππππC,202π,,,2024π448282k k f x x x k x k ⎛⎫=-=⇔-==+∈-+⎪⎝⎭Z (11)2024π,4048404844k ---………()f x 3π8()3π3πππ228842g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()g x ()f x 3π8y ()ln xy f x x==(0M x ())()001f x x >()0,MN f x OM ==01x >sin MNMON OM∠==()ln 1,0xx f x x>=>0ln x x MN OM ===()2ln x g x x=1x >()()222ln 12ln (ln )(ln )x x x x x g x x x '--==x ∈()0g x '<()g x )x ∞∈+()0g x '>()g x min ()2e g x g==max (sin )MON ∠=二､多选题9.AD 【解析】对于A ，因为，故，故A 选项正确；对于B ，取，此时满足0，但，B 选项错误；对于C ，取，满足，所以C 选项错误；对于D ，由可知，，因为，所以，故D 选项正确.故选AD.10.ABD 【解析】对于A 选项，时，，，又平面，平面，故平面，故A 正确；对于B 选项，时，的面积为定值；而点是边上的点，且平面点到平面的距离即为直线到平面的距离为定值，四面体的体积为定值，故B 正确；对于C 选项，时，以为坐标原点，分别为轴为正向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，记平面的法向量为，则，即，故可取，又时，，即不存在，使得平面，故C 不正确；对于D 选项，平面于点，且的外接圆半径球的半径；故由有：，故D 正确.故选ABD.0,b a ab ab ab><a b >2,4a b ==1>a b <1,12a b ==22,a b b ab a a b +>+<()()22ln 2024ln 2024a b +>+22a b >,0a b >a b >λμ=1BP BB λ= 1,BQ BC PQ μ=∴∥11C B PQ ⊂1D PQ 11C B ⊄1D PQ 11C B ∥1D PQ 12λ=1AD P V Q 1BC 1BC ∥1,APD ∴Q 1AD P 1BC 1AD P ∴1APQD 12μ=D 1,,DA DC DD,,x y z ()()()()112,0,0,0,0,2,2,2,2,2,0,2A D P A λ()1,2,1Q ()()12,0,2,0,2,2AD AP λ=-=()11,2,1A Q =-- 1D PA ()000,,n x y z = 10AD n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000220220x z y z λ-+=⎧⎨+=⎩()1,,1n λ=-- ()11,2,1,A n =--∥1A ()20,1λ=∉()0,1λ∈1A Q ⊥1D PA PB ⊥CBD B CBD V r =R =2222BP r R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭222419332,,2161624BP R r BP λ⎛⎫=-=-=∴=∴= ⎪⎝⎭11.BCD 【解析】当时，，则，当时，，当或时，，所以分别是函数的极大值点和极小值点，选项A 错误；当时，，当，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增.当有且仅有3个零点时，且得得，选项B 正确；当时，，所以为奇函数，选项C 正确；不在曲线上.设过点的曲线切线的切点为，过点的曲线切线的方程为，又点在的切线上，有，即，设，当或时，单调递减，当时，单调递增，，易知与只有一个交点，选项D 正确.故选BCD.1a =()32133f x x x x b =--+()()()22331f x x x x x =--=-+'13x -<<()0f x '<1x <-3x >()0f x '>1,3x x =-=()f x ()3233a f x x ax axb =--+()()()13f x a x x =+-'13x -<<()0f x '<1x <-3x >()0f x '>()f x ()1,3-(),1∞--()3,∞+()f x ()10f ->()30f <5390a b a b ⎧+>⎪⎨⎪-+<⎩5,93b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭113b a =()3143a f x x ax +=-()1f x +()()0,0,3af b b m A m =<+<∴ ()f x ()0,A m ()f x 320000,33a x x ax ax b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()0,f b =∴()0,A m ()f x (()322000000323)3a y x ax ax b ax ax a x x ⎛⎫---+=---⎪⎝⎭()0,A m ()f x ()3220000003233a m x ax ax b ax ax a x ⎛⎫---+=--- ⎪⎝⎭230023m b x x a --=()()()()2323200022,,222133g x x x g x x x g x x x x x =-=-='=--0x <1x >()()0,g x g x '<01x <<()()0,g x g x '>()111,,,333a m b g m b a ∞-⎛⎫=∈++∴> ⎪⎝⎭()0g x m b y a -=三､填空题12.【解析】由题可知，若从该果园中随机挑选4个芒果，则恰有2个单果的质量均不低于100g 的概率为.故答案为.13.99 【解析】由已知，可得-，所以，设数列的前项和为，则，若100，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为99.故答案为99.14. 【解析】，同理：看作常数，上式可以看作关于的函数，故只需求分母的取值范围，令，解法一：，当单调递增，当单调递减；当，又，代入.故答案为.解法二：令，令，则，因为，当38()11002P M = (2)224113C 1228⎛⎫⎛⎫⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭381211233n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭13n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭{}n a n n S 23111331111122113333313nn n nS n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++++=⨯+=+- ⎪⎝⎭- n S <111003n n +-<113x y x =+-100n S <n 12⎡⎢⎣222222222223023202a c a b b c a b a b b +->⇒++-=->⇒<22222222230.cos 222a b c a a a b c c A bc bc +-+->⇒<∴===a b ()2223222a a f b b ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭()22f b ='()()22,0,ba fb f b >'<()()22,0,b a f b f b <'>()222max ,0,()2b a f b f b a '===2,f f a ⎫⎫==⎪⎪⎪⎪⎭⎭()222,2a f b a <…()21cos 2a A f b ⎡=∈⎢⎣12⎡⎢⎣()2223222a a f b b ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭2b x =2==()22222y x a x a x x =-=-时，取最大值，当或时，取，即，代入.故答案为.四､解答题15.解：（1）的可能取值为，由题意知每个人在魏公村下车的概率均为，且相互不影响，所以，，12345.（2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车，，，.16.解：（1）由时，，知数列是等差数列，由，知数列的公差为1，则，，2x a =y 4a 22a x =232ay 434a 222a <()222f b a <…()21cos 2a A f b ⎡=∈⎢⎣12⎡⎢⎣X 0,1,2,3,4,51615,6X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()()5515C 0,1,2,3,4,566kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X P312577763125777612507776250777625777617776()56E X =A B ()1514131276666666618P A =⨯+⨯+⨯+⨯=()1116318P AB =⨯=()()()17P AB P B A P A ==∣2n …11211n n n S S S n n n -+=+-+n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭123,412S S ==n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()11121n S S n n n =+-⋅=+()2n S n n ∴=+当时，，且也满足上式，，，由为定值，知数列是等比数列.（2）易见，则则两式相减得，化简得.17.解：（1）如图1，连接，设，连接，由是依次是半圆弧上的两个三等分点，所以，又是全等的等边三边形，四边形及均为菱形，由，得，在中，是的中点，且，所以，在中，是的中点，且，所以，又，所以平面.（2）法一：如图2，由为半圆的直径，在半圆弧上，所以∴2n …121n n n a S S n -=-=+13a =21n a n ∴=+213n n b +∴=23121393n n n n b b +++=={}n b ()21213n n n n c a b n +==+()35721335373213,n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()()57921239335373213213,n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ()3572123833232323213n n n T n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ()192498132n n n T ++-=OM 1BM ON O ⋂=1PO ,M N »AB 60AOM MON NOB ∠∠∠=== ,,,OA OB OM ON OAM OMN ONB ===V V V OMNB AMNO BM =112,OA OB MN PO BO PB ======PAB V O AB PO OA OB ==PA PB ⊥PMB V 1O BM 111PO O M O B ==PM PB ⊥PA PM P ⋂=PB ⊥PAM AB O M ,MA MB ⊥由（1）得平面，又平面，所以，又，，所以平面，所以二面角的大小等于二面角的大小与的和，由平面，所以平面，作于，由，得为的中点，连，因为平面，所以，又，则平面，又平面，所以，故即为的平面角.在中，，在中，分别为的中点，所以，设二面角的大小为，所以法二：由，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，BP ⊥PAM MA ⊂PAM PB MA ⊥MB PB B ⋂=AM ⊥PMB APM N --1OPM N --90 AM ∥,ON AM ⊥PMB 1NO ⊥PMB 1O HPM ⊥H 11PO O M =H PM HN PM ⊂PMB 1NO PM ⊥111NO O H O ⋂=PM ⊥1NO H HN ⊂1NO H PM HN ⊥1O HN ∠1O PM N --1Rt NHO V 1112O N ON ==PMB V 1,H O ,PM BM 112O H PB ==HN =A PM N --θ11sin cos O H O HN HN θ∠===MA MB ⊥M Oxyz ()())0,2,0,,1,0A B N-32P ⎫⎪⎪⎭，设平面的法向量，由，即，取，则则，由（1）平面，所以可取平面的法向量，设二面角的大小为，则.18.解：（1），由是的极大值点，则，解得当时，，当时，，令，则所以在上单调递减，则，即，此时在上单调递增；当时，令3332,,,222AP MP NP ⎫⎫⎫=-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭PMN ()1,,n x y z =1100MP n NP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 302302x z x y z +=++=1x =y z ==(1n =PB ⊥3,2PAM BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ PAM (2n ==-121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅A PM N --θsin θ==()e 2xf x x a =--'0x =()f x ()00f '=1,a =1a =()e 21xf x x =--'0x <()e 1xf x x >--'()e 1xx x ϕ=--()e 10,xx ϕ=-<'()x ϕ(),0∞-()()00x ϕϕ>=()0f x '>()f x (),0∞-0ln2x <<()()e 21,xh x x h x =--'=，则故即单调递减，又所以当时，单调递减，故当时，是的极大值点.（2）I ：当时，，，此时无零点；II ：当时，，①若，即时，，此时不是的零点；②若，即时，，此时是的零点.III ：当时，零点个数等于零点个数.显然是的一个零点.e 2x -()0,h x '<()h x ()f x '()00,f '=0ln2x <<()f x 1a =0x =()f x 21x -<<-()0g x >()()()()max ,0h x f x g x g x ⎡⎤=>⎣⎦…()h x 1x =-()()110,12eg f a -=-=-+()10f ->12ea >-()()()()1max 1,110h f g f ⎡⎤-=--=->⎣⎦1x =-()h x ()10f - (1)2ea -…()()()()1max 1,110h f g g ⎡⎤-=--=-=⎣⎦1x =-()h x 1x >-()()0,g x h x <()f x 0x =()f x当时，可转化为，令，则，由（1）知，，所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，的图象如下：①当或或时，有1个零点；②当或时，有2个零点；③当时，无零点.综合I ，II ，III 得，当或时，有2个零点；当或或时，有3个零点；当或时，有4个零点.19.解：（1）由的离心率，，设上的点，则，0x ≠()0f x =()()2e 1,1,00,x x a x x ∞--=∈-⋃+()2e 1x x p x x--=()()()22e2e 1xx x x x p x x ----='()()21e 1x x x x ⎡⎤--+⎣⎦=e 1x x >+()p x ()1,0-()0,1()1,∞+()()min ()1e 2,p x p p x ==-12ea -…e 2a =-1a =()p x e 21a -<<112ea <<-()p x e 2a <-()f x 12ea >-e 2a <-()h x e 2a =-12ea =-1a =()h x e 21a -<<112ea <<-()h x E e =1,2c b a ==222:4E x y a +=E (),M x y 22222||(2)34MQ x y y y a =+-=--++11422a y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭……，①当，即时，的最大值为，由，则，又，所以，所以此时椭圆的方程为②当，即时，的最大值为，由，即，解得，不合题意.综上可知，的方程为.（2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为，，则，由得，，即222216||333MQ y a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭121232a a --……43a …2||MQ 2163a +2163a +2=24a =0a >2a =E 24x +21;y =1223a ->-403a <<2||MQ 221134422a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221134422a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=2324640a a +-=440,3a ⎛⎫=-±⎪⎝⎭E 2214x y +=l l 2y kx =+()()1122,,,A x y B x y ()11,C x y -22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()221416120k x kx +++=()22Δ(16)48140k k =-+>23,4k >，直线方程为，当时，，故直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线方程为也过.故直线恒过定点.②由题意知，此时的斜率一定存在.由及，所以121212122216124,,14143k kx x x x x x x x k k +=-=+=-++BC ()212221y y y y x x x x --=-+0x =()()()21212211221221212122y y x x kx x kx x y x y y y x x x x x x -++++=-==+++1212211222122423kx x kx x x x kx x =+=+=+-l 10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l BC 0x =10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l 10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l k ()111122212,2PBB PB C S S y x S S ==-==V V ()112311131,2222PCC x x S S y x +⨯==-V 120x x >()120k x x +<()()2211132122223y x y x S S S x x -+-+=⨯+22111223kx x kx x x x --=⨯+，因为，令，所以在上单调递增.故的取值范围为.()22121212*********x x x x k k x x x x x x ⎡⎤+=-⨯=-+-=⎢⎥++⎣⎦22216381113142314k k k k k ⎛⎫⎛⎫--+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭234k >234t k t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭1328111314S S S t +⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭3,4t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭132S S S +51,3⎛⎫⎪⎝⎭。

2024版高二下册数学模拟试卷专业课试题部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 已知集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y=x³B. y=3xC. y=x²D. y=lnx3. 若向量a=(2,3)，b=(1,2)，则2a+3b的结果为（）A. (7,8)B. (8,7)C. (1,8)D. (8,1)4. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，则a4的值为（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 若复数z满足|z1|=|z+i|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 直线y=x上B. 直线y=x上C. 直线x=0上D. 直线y=0上二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 任意两个等差数列的通项公式一定相同。

（）3. 若矩阵A的行列式为0，则A一定不可逆。

（）4. 在同一平面直角坐标系中，两个向量的数量积等于它们的模的乘积。

（）5. 函数y=2x+3的图像是一条过原点的直线。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²4x+c，若f(x)在x=2处有最小值，则c=______。

2. 若向量a=(1,2)，b=(2,3)，则a与b的夹角θ的正切值为______。

3. 等差数列{an}的公差为3，且a1=4，则a5=______。

4. 设复数z满足z²=34i，则|z|=______。

5. 在三角形ABC中，a=8, b=10, C=120°，则三角形ABC的面积S=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述矩阵乘法的运算规律。

2. 请写出等差数列的通项公式，并说明其推导过程。

3. 什么是函数的单调性？如何判断一个函数的单调性？4. 请解释实数指数幂与对数之间的关系。

2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试卷01(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)命题范围：第五章一元函数的导数及其应用----第八章成对数据的统计分析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(22-23高二下·江西赣州·阶段练习)已知f x =x2+2xf 1 ，则f1 =()A.0B.-4C.-2D.-32.(22-23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X=2的值为()A.15B.110C.310D.353.(2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若1+x148的展开式中共有m个有理项，则m的值是()A.1B.2C.3D.44.(22-23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为()A.30B.36C.20D.265.(22-23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为()A.3000B.5000C.7000D.140006.(22-23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有10件，其中有2件次品；第二箱内有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是()A.790B.16C.740D.7207.(22-23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排5名医生到A、B、C三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为()A.150B.210C.240D.1808.(22-23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.49二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(22-23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,yC.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10.(22-23高二下·江苏泰州·期末)关于二项式2x 2-1x5的展开式，下列说法正确的有()A.含x 5的项的系数为-80B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大11.(22-23高二下·山东淄博·期末)事件A ，B 的概率分别为：P A =12，P B =13，则()A.若A ，B 为互斥事件，P A +B =56B.P A +B >56C.若A ，B 相互独立，P AB =13D.若P B A =13，则A ，B 相互独立第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(22-23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X ~N 90,δ2 ，且P X <60 =0.1，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．13.(22-23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：x 1234y31.652.57291.9求得y 关于x 的回归直线方程为y=20x +12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.14.(22-23高二下·北京昌平·期中)已知函数f x =e x ,(x >0)-x ,x ≤0，若直线y =kx +1与曲线y =f (x )有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.(22-23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X的分布列为：X56789P0.1a0.2b0.3(1)若E X =385，求a、b的值；(2)记事件A：X≥7；事件B：X为偶数.已知P B A=16，求a，b的值.16.(2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个更合理？17.(22-23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入y (单位：万元)进行统计，得到以下数据：月份x 34567营业收入y1012111220(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数r 说明营业收入y 与月份x 的相关程度；(2)试用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并预测当x =8时该专营店的营业收入.r =ni =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 ni =1(y i -y )2 ，b =ni =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 =ni =1x i y i -nx y n i =1x 2i -nx 2a =y -b x，10≈3.162.以上各式仅供参考)18.(22-23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dPχ2≥x00.0500.0100.001 x0 3.841 6.63510.82819.(22-23高二下·山东淄博·期末)已知函数f x =2x3-3ax2+1a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若对∀x∈0,+∞，f x ≥0恒成立，求a的取值范围．2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试卷01(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)命题范围：第五章一元函数的导数及其应用----第八章成对数据的统计分析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(22-23高二下·江西赣州·阶段练习)已知f x =x2+2xf 1 ，则f1 =()A.0B.-4C.-2D.-3【答案】D【分析】先求导函数，把x=1代入求得f 1 ，然后求得f1 =-3.【详解】由已知f x =2x+2f 1 ,f 1 =2+2f 1 ，则f 1 =-2，即f x =x2-4x，所以f1 =-3．故选：D．2.(22-23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X=2的值为()A.15B.110C.310D.35【答案】B【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，P X=2=C22C25=110.故选：B3.(2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若1+x148的展开式中共有m个有理项，则m的值是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可得解.【详解】1+x 1 48的展开式通项为T r+1=C r8x r4，r=0,1,2,⋯,8，当r=0,4,8时，T1,T5,T9为有理项，故m=3.故选：C.4.(22-23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为()A.30B.36C.20D.26【答案】D【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果.【详解】记该同学罚球命中的次数为X ，则X ∼B 10,0.6 ，∴E X =10×0.6=6，∴该同学得分的数学期望为6×5+10-6 ×-1 =30-4=26.故选：D .5.(22-23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为()A.3000B.5000C.7000D.14000【答案】C【分析】根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为85分，得到正态曲线关于x =85对称，根据60分以下的人数约15%，高于110分的所占的比例也是15%，根据正态曲线的对称性，即可得到结果.【详解】∵考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为85分，∴正态曲线关于x =85对称，∵60分以下的人数约15%，∴高于110分的所占的比例也是15%，∴数学成绩在85分至110分之间的考生人数所占百分比约50%-15%=35%，所以数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为20000×35%=7000(人).故选：C6.(22-23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有10件，其中有2件次品；第二箱内有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是()A.790B.16C.740D.720【答案】C【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】设事件A i 表示从第i i =1,2 箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P B =P A 1B +P A 2B =P A 1 ⋅P (B |A 1)+P A 2 ⋅P (B |A 2)=12×210+12×320=740，即取出的零件是次品的概率为740.故选：C .7.(22-23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排5名医生到A 、B 、C 三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为()A.150B.210C.240D.180【答案】A【分析】先将5名医生分为三组，确定每组的人数，然后将这三组医生分配到A 、B 、C 三个社区，利用分步计数原理可得结果.【详解】将5名医生分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，再将这三组医生分配到A 、B 、C 三个社区，由分步计数原理可知，不同的安排方法种数为C 25C 23A 22+C 35A 33=15+10 ×6=150.故选：A .8.(22-23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.49【答案】B【分析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y ,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，根据马尔可夫不等式可得0≤p ≤110，再根据二项分布求得P A =3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，求导判断单调性即可求得最大值.【详解】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得p =P X ≥100 ≤E X 100=10100=110，∴0≤p ≤110，因为Y ~B (3,p )，所以P A =P Y =1 =C 13p 1-p 2=3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，则f (p )=9p 2-12p +3=3(3p -1)(p -1)，∵0≤p ≤110,∴3p -1<0,p -1<0，即f (p )>0，∴f (p )在0,110上单调递增.∴f (p )max =f 110 =3×110×1-110 2=2431000，即P (A )max=2431000.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(22-23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,yC.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好【答案】ABD【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.【详解】对A ：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A 正确；对B ：由a =y -b x ，故线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,y，故B 正确；对C ：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，故C 错误；对D ：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：ABD .10.(22-23高二下·江苏泰州·期末)关于二项式2x 2-1x5的展开式，下列说法正确的有()A.含x 5的项的系数为-80B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大【答案】BC【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.【详解】二项式2x 2-1x5的展开式的通项公式为T r +1=C r 52x 2 5-r -1xr =C r 5⋅25-r ⋅-1 r x 10-52r，对于A ，令10-52r =5，得r =2，所以含x 5的项的系数为C 25⋅23⋅-1 2=80，所以A 错误，对于B ，二项式系数和为25=32，所以B 正确，对于C ，令10-52r =0，得r =4，所以常数项为C 45⋅2⋅-1 4=10，所以C 正确，对于D ，因为二项式2x 2-1x5的展开式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即C 25=C 35=10，所以D 错误，故选：BC11.(22-23高二下·山东淄博·期末)事件A ，B 的概率分别为：P A =12，P B =13，则()A.若A ，B 为互斥事件，P A +B =56B.P A +B >56C.若A ，B 相互独立，P AB =13 D.若P B A =13，则A ，B 相互独立【答案】AD【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A 选项；利用和事件的关系判断B 选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C 选项；利用条件概率公式，求解事件A 与B 的积事件，根据独立事件关系确定A 、B 的独立性可判断D .【详解】选项A ：若A ，B 为互斥事件，则P (AB )=0，所以P A +B =P A +P B -P (AB )=12+13-P (AB )=56，故A 正确；选项B ：P A +B =P A +P B -P (AB )=12+13-P (AB )≤56，故B 错误；选项C ：若A ，B 相互独立，所以P AB =1-P AB =1-P A ⋅P B =1-12×13=56，故C 错误；选项D ：因为P B A =P (AB )P (A )=13，所以P (AB )=P B |A ⋅P (A )=13×12=16=P (A )⋅P (B )，则A ，B 相互独立，故D 正确；故选：AD .【点睛】关键点点睛：通常判断两个事件是否相互独立，常用以下两种方法：1、事件独立性的定义：如果事件A 和事件B 相互不影响，则称事件A 和事件B 是相互独立的；2、乘法原理：如果事件A 和事件B 是相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(22-23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X ~N 90,δ2 ，且P X <60 =0.1，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．【答案】120【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得P X >120 =0.1，乘以总人数即可得出答案．【详解】由X ~N 90,δ2 ，得正态分布曲线的对称轴为x =90，因为P X <60 =0.1，所以P X >120 =0.1，则数学成绩为优秀的人数是1200×0.1=120，故答案为：120．13.(22-23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：x1234y31.652.57291.9求得y 关于x 的回归直线方程为y =20x +12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.【答案】0.105/21200【分析】分别计算出四个数据的估计值，即可求得残差，继而求得残差的平均数，根据方差公式即可求得答案.【详解】根据y =20x +12，分别将x =1,2,3,4代入求得y 分别为：32,52,72,92，则4个残差为-0.4,0.5,0,-0.1，残差的平均数为0，故残差的方差为s 2=14[(-0.4-0)2+(0.5-0)2+(0-0)2+(-0.1-0)2]=0.105，故答案为：0.10514.(22-23高二下·北京昌平·期中)已知函数f x =e x ,(x >0)-x ,x ≤0 ，若直线y =kx +1与曲线y =f (x )有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是【答案】-1<k ≤1【分析】找到直线y =kx +1与y =e x 相切时的斜率k =1以及y =kx +1与y =-x 平行时的斜率k =-1，通过转动直线即可得到k 的范围.【详解】y =kx +1过定点(0,1)，f x =e x 求导有f x =e x ，f 0 =1，且f 0 =1，y =e x 在(0,1)处的切线斜率为1，要满足y =kx +1与曲线f (x )有且仅有一个公共点，当直线y =kx +1与y =-x 平行时，此时k =-1，转动直线y =kx +1可知-1<k ≤1.故答案为：-1<k ≤1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.(22-23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X 的分布列为：X56789P 0.1a 0.2b0.3(1)若E X =385，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X ≥7；事件B ：X 为偶数.已知P B A =16，求a ，b 的值.【答案】(1)a =0.1，b =0.3；(2)a =0.3,b =0.1.【分析】(1)由随机变量分布列的性质和E X =385联立方程，解出即可；(2)由事件A ：X ≥7,可得P A =0.5+b ，又事件B ：X 为偶数,得P AB =P X =8 =b ，再根据条件概率可求得a ,b 的值.【详解】(1)由随机变量分布列的性质,有0.1+a +0.2+b +0.3=1, 得a +b =0.4，即b =0.4-a ,又E X =5×0.1+6×a +7×0.2+8×b +9×0.3=0.5+6a +1.4+80.4-a +2.7=7.8+2b =385，解得b =0.3,a =0.1.(2)由事件A ：X ≥7,得P A =P X =7 +P X =8 +P X =9 =0.2+b +0.3=0.5+b ，又事件B ：X 为偶数,得P AB =P X =8 =b ，所以P B A =P AB P A=b 0.5+b =16,解得b =0.1.由(1)知a +b =0.4,所以a =0.3.所以a =0.3,b =0.1.16.(2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个更合理？【答案】(1)分布列见解析；(2)选n=19更合理，理由见解析.【分析】(1)由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；(2)购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，令一部分为备件不足时额外购买的费用，结合(1)分别求出n=19、n=20时费用的期望即可下结论.【详解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04；P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16；P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08；P(X=22)=0.2×0.2=0.04；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×100+300×0.2+600×0.08+900×0.04=2044元，当n=20时，费用的期望为：20×100+300×0.08+600×0.04=2048元，因为2044<2048，所以选n=19更适合.17.(22-23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入y(单位：万元)进行统计，得到以下数据：月份x34567营业收入y 1012111220(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数r 说明营业收入y 与月份x 的相关程度；(2)试用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并预测当x =8时该专营店的营业收入.r =n i =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 n i =1(y i -y )2 ，b =n i =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 =ni =1x i y i -nx y n i =1x 2i -nx 2 a =y -b x ，10≈3.162.以上各式仅供参考)【答案】(1)r ≈0.79，营业收入y 与月份x 的相关程度很强(2)线性回归方程为y =2x +3，当x =8时该专营店的营业收入为19万元【分析】(1)计算出x 、y ，5i =1x i -x y i -y 、5i =1x i -x 2 、5i =1y i -y 2 ，代入r 可得答案；(2)用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并代入x =8可得答案.【详解】(1)x =3+4+5+6+75=5，y =10+12+11+12+205=13，5i =1(x i -x ) (y i -y )=3-5 10-13 +4-5 12-13 +5-5 11-13+6-5 12-13 +7-5 20-13 =20，5i =1x i -x 2 =3-5 2+4-5 2+5-5 2+6-5 2+7-5 2=10，5i =1y i -y2 =10-13 2+12-13 2+11-13 2+12-13 2+20-13 2=64，所以r =5i =1x i -x y i -y5i =1x i -x 2 5i =1y i -y 2 =2010×64≈0.79，因为r ≈0.79∈0.75,1 ，说明营业收入y 与月份x 的相关程度很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2)由(1)，b =5i =1x i -x y i -y5i =1x i -x 2 =2010=2，a =y -b x =13-2×5=3，所以y 关于x 的线性回归方程为y =2x +3，当x =8时该专营店的营业收入为y =2×8+3=19万元.18.(22-23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +dP χ2≥x 00.0500.0100.001x 0 3.841 6.63510.828【答案】(1)有(2)分布列见解析，数学期望为1【分析】(1)根据表中的数据利用公式χ2=n ad -bc 2a +bc +d a +c b +d 求解χ2，再根据临界值表进行判断即可，(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，而ξ∼B 3,13，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得ξ的概率分布和数学期望.【详解】(1)提出假设H 0：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.由列联表中的数据可得：χ2=20050×70-50×30 2100×100×80×120=253≈8.333，因为当H 0成立时，P χ2≥6.635 ≈0.010，这里的χ2≈8.000>6.635，所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3.因为ξ∼B 3,13，所以P ξ=k =C k 313 k 23 3-k ，其中k =0，1，2，3，故ξ的概率分布表为：ξ0123P 8274929127所以E ξ =0×827+1×49+2×29+3×127=1，所以随机变量ξ的数学期望为1.19.(22-23高二下·山东淄博·期末)已知函数f x =2x 3-3ax 2+1a ∈R ．(1)讨论f x 的单调性；(2)若对∀x ∈0,+∞ ，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,1【分析】(1)首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性；(2)参变分离可得a ≤23x +13x 2对∀x ∈0,+∞ 恒成立，令F x =23x +13x2，x ∈0,+∞ ，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【详解】(1)f x =2x 3-3ax 2+1定义域为R ，f x =6x 2-6ax =6x x -a ，当a >0时，令f x >0，得x >a 或x <0，令f x <0，得0<x <a ，函数的单调递增区间是-∞,0 和a ,+∞ ，单调递减区间是0,a ；当a <0时，令f x >0，得x >0或x <a ，令f x <0，得a <x <0，函数的单调递增区间是-∞,a 和0,+∞ ，单调递减区间是a ,0 ；当a =0时，f x =6x 2≥0恒成立，函数在-∞,+∞ 单调递增.综上可知，当a >0时，函数的单调递增区间是-∞,0 和a ,+∞ ，单调递减区间是0,a ；当a <0时，函数的单调递增区间是-∞,a 和0,+∞ ，单调递减区间是a ,0 ；当a =0时，函数的单调递增区间是-∞,+∞ ，无减区间.(2)若函数f x =2x 3-3ax 2+1≥0，对∀x ∈0,+∞ 恒成立，即a ≤23x +13x2对∀x ∈0,+∞ 恒成立，令F x =23x +13x2，x ∈0,+∞ ，则F x =23-23x 3=2x 3-1 3x 3，当0<x <1时F x <0，当x >1时F x >0，所以F x 在区间0,1 上单调递减，在区间1,+∞ 上单调递增，所以F x 在x =1处取得极小值即最小值F x min =F 1 =1，所以a ≤1，即实数a 的取值范围为-∞,1 .。