下载文档原格式
正弦定理 (1)导学案【学习目标】1.了解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。
4.激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐【学习重点】正弦定理的证明和应用【学习难点】正弦定理在解三角形时的应用思路.【学习过程】一、预习案1、知识链接：1）关于ABC∆几个常见的结论：设ABC∆中角,,A B C的对边分别为,,a b c，则有：①A+B+C＝②若A为最小角，则060A<≤；若A为最大角，则60180A≤<③BABAba sin____sin___⇔⇔>2）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边,,a b c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．2、预习检测：在直角三角形中，如右图，在Rt∆ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc=，sinbBc=，又sin1cCc==，从而在直角三角形ABC中，边=c_________=_________=_________．二、探究案探究1：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？如右图，锐角三角形中，上述关系式是否成立？如右图，钝角三角形中，上述关系式是否成立？从上面的探究过程中，可得到以下定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinaA sinbB sincC．思考：正弦定理有哪些基本变形？试写下来：探究2：分析正弦定理的结构，你能得出正弦定理可解决哪两类解三角形问题？1、C Abc2、三、课堂检测题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角1． 已知在,30,45,10 ===∆︒C A c ABC 中，求a【随堂记录】：题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角2． 在23,30,6,===∆a A b ABC 中,求B（要注意可能有两解） 【随堂记录】：3． C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【随堂记录】：四、巩固训练（一）当堂练习1.在ABC ∆中，5,15,135===a C B ,则此三角形的最大边长为_____.____,6,3,60.2=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，3.已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B .（二）课后作业：P 18 1、2、3五、反思总结1．知识小结：2．我的收获：3．我的疑惑：。
1.1.1正弦定理班级： 姓名： 编者： 高二数学备课组 问题引航2. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
自主探究在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.大角对 边，小角对 边。
2.在ΔABC 中，C B A ∠-=∠+∠π,即 =+)sin(B A sin ,也就是互补的两个角的正弦值 。
3.①在Rt ΔABC 中，∠C=900, A c sin = ,B c sin = ，即sin a A = = 。
② 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则CD = = ，即sin a A = ，同理得 ，故有sin aA = 。
③ 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则CD= = ，即sin a A = ，故有sin a A= 。
互动探究一．新课导入，推导公式.（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是：二．典例解析例1．在∆ABC 中，已知c =10，∠030=A ，∠0120=C ，求b 。
例2．在ΔABC 中,,316,16==b a ∠030=A ，求∠B 。
当堂检测1.已知在ΔABC 中,0075,60,18=∠=∠=C B a ，求b .2.在ΔABC 中，350,150,300===∠b c B ，则ΔABC 的形状是（ ）。
A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形或等腰三角形知识拓展中，三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则三角形三边长分别为： 。
作业4页练习题1，2题.自我评价）Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差。
1.1正弦定理和余弦定理第1课时 正弦定理预习案【学习目标】1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形,培养学生应用能力. 2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用. 3．引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.【重点】：正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用. 【难点】：正弦定理的推导及应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。
2.三角形内角和定理是： 。
勾股定理的内容是：Rt △ABC 中，若a,b 为直角边，c 为斜边，则 。
3.三角形面积公式： 。
Ⅱ.教材助读1. 在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则sinA= ,cosA= ,tanA= .2. 正弦定理：_________sin ==Aa，观察正弦定理的结构，它有什么特点？ 3. 正弦定理文字语言叙述为： 。
4．一般地，把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素。
已知三角形的 求 的过程叫做解三角形。
5．应用正弦定理解三角形可分为两类： （1）已知三角形的 与一边，求其他的边和角；（2）已知三角形的 与其中一边的对角，求其他的边和角。
【预习自测】1. 正弦定理适用的范围是（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 在△ABC 中一定成立的等式是（）A ．asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在△ABC 中，.___,30,10,105=︒==︒=b C c A 则 4．在△ABC 中，.____,30,8,4=︒===B A b a 则【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：利用构造三角形外接圆，证明正弦定理；正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数？探究二：正弦定理有哪几种变式?探究三：证明C ab S ABC sin 21=∆，除此之外，你还有其他的结果吗？【归纳总结】1.正弦定理适用于 三角形.2.可以证明 = = = =2R （R 为△ABC 的外接圆半径）.3.正弦定理的三个等式： ， ， ，每个式子中有 个量, 如果知道其中 个可以求出 （知三求一）.4.正弦定理可解决两类问题： （1） ; （2） 。
课题： 正弦定理【学习目标】1.掌握正弦定理的内容2.会用正弦定理解三角形第一环节：导入学习（约3分钟）a ,sin sin sin ABC A B C b c A B C==在直角三角形中，角C 为直角，角、、对应的边分别为a,b,c,则sinA=______,sinB=_______,sinC=________.所以那么，对于一般三角形，以上关系是否存在呢？第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和他所对的角的 相等，即a s i n s i n s i nbcA B C == 2. 三角形的三个角A ，B ，C 和它所对的边a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做3. 正弦定理可以解决哪些解三角形的问题（1）（2）类型1已知两角和一边，求其它 1.?,20,ABC a A =≈例已知在三角形中＝30，Ｃ＝45，求B ，b ，c(sin1050.966)类型2：已知两边及一边的对角，解三角形 ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a例2.已知下列各三角形中两边及一边的对角，先判断是否有解，有解的作出解答 （1）a=7,b=8,A=105(2) a=10,b=20,A=80(3)b=10,c=65 ,C=60 (4) a=（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）1.,ABC A C a b 已知在中，＝60，Ｂ＝45，ｃ＝20，求，2.3c 1,ABC B C b 中，=０，=45，=求及三角形外接在三角形圆的半径3.在∆ABC 中，A=45，a=2, b=2,求B ，C ，c第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）（1）定理的表示形式：sin sin a b A B =sin c C ==++=++2sin sin sin a b cR A B C；或=2sin a R A ，=2sin b R B ，=2sin c R C (0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:。
1．1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理1．掌握正弦定理及基本应用．(重点)2．会判断三角形的形状．(难点)3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 正弦定理阅读教材P2～P3探究下面第5行，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理适用于任意三角形．( )(2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立．( )(3)在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝23，则B＝60°.() 【解析】(1)√.正弦定理适用于任意三角形．(2)√.由正弦定理知asin A＝bsin B，即b sin A＝a sin B.(3)×.由正弦定理可知asin A＝bsin B，即2sin 30°＝23sin B，所以sin B＝32，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2 解三角形阅读教材P3“思考”上面倒数第二行～P4例2，完成下列问题．1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________.【解析】 由正弦定理得：32sin 60°＝ACsin 45°，所以AC ＝32×sin 45°sin 60°＝2 3.【答案】 2 32．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________.【解析】 由正弦定理得：3sin π3＝3sin B ，所以sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π2.【答案】 π23．在△ABC 中，A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于_________________． 【解析】 AC 边上的高为AB sin A ＝c sin A ＝2sin 45°＝ 2. 【答案】2[小组合作型]已知两角及一边解三角形(1)在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A.322 B.322C.32D.62(2)在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________. 【精彩点拨】 (1)可先由角A ，B 求出角C ，然后利用正弦定理求b . (2)直接利用正弦定理求解．【自主解答】 (1)因为A ＝75°，B ＝60°，所以C ＝180°－75°－60°＝45°.因为c ＝3，根据正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝3×3222＝322.(2)由正弦定理知：ACsin B＝BCsin A，则ACsin 45°＝12sin 60°，解得AC＝4 6.【答案】(1)A (2)4 6已知两角及一边的三角形解题方法：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[再练一题]1．在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.【解析】∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得ABsin C＝ACsin B，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2.【答案】 2已知两边及一边的对角解三角形(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.(2)在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，求B，C和c.【精彩点拨】(1)由正弦定理的特点，直接求解．注意三角形解的个数问题．(2)先利用正弦定理求角B，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c.【自主解答】(1)由正弦定理，得asin A＝bsin B.把A＝π6，a＝1，b＝3代入，解得sin B＝32.因为b＞a，所以B＞A，结合题意可知B＝π3或2π3.【答案】π3或2π3(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又a ＝23，b ＝6，a <b ， ∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3.综上B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[再练一题]2．在△ABC 中，c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b .【解】 ∵a sin A ＝csin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22，∴A ＝π4或34π.又∵c >a ，∴C >A ，∴A ＝π4， ∴B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6×sin5π12sinπ3＝3＋1.[探究共研型]正弦定理的主要功能探究1 已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理．【提示】 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，∠BAC ＝∠BDC ，在Rt △BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即asin A ＝2R ，同理bsin B ＝2R ，csin C＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R .探究2 由asin A＝2R，bsin B＝2R，csin C＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？【提示】由asin A＝2R，bsin B＝2R，csin C＝2R可以得到的变形：sin A＝a2R ，a＝2R sin A；sin B＝b2R，b＝2R sin B；sin C＝c2R，c＝2R sin C，由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【精彩点拨】解决本题的关键是利用sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin B cos C求解．【自主解答】法一：根据正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝22.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等．2．已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三边之间的关系，再给出判断．[再练一题]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝a cos C，试判断△ABC的形状.【解】∵b＝a cos C，由正弦定理，得sin B＝sin A cos C．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sin A cos C.∴cos A sin C＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cos A＝0，A＝π2，即△ABC是直角三角形.1．在△ABC中，若sin A>sin B，则有( ) A．a<b B．a≥bC．a>b D．a，b的大小无法判定【解析】因为asin A＝bsin B，所以ab＝sin Asin B.因为在△ABC中，sin A>0，sin B>0，所以ab＝sin Asin B>1，所以a>b.【答案】 C2.在△ABC中，若c＝2a cos B，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不等边三角形【解析】由正弦定理知c＝2R sin C，a＝2R sin A，故sin C＝2sin A cos B＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B ＝cos A sin B ， 即sin(A －B )＝0，所以A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形． 【答案】 B3．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，B ＝60°，则BC ＝________. 【解析】 利用正弦定理BC sin A ＝ABsin C， 而C ＝180°－(A ＋B )＝75°，故BC ＝AB ·sin A sin C ＝3sin 45°sin 75°＝3－ 3.【答案】 3－ 34．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得15sin 60°＝10sin B，∴sin B ＝33，∵b <a ，∴B <A .故角B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.【答案】 63。
正弦定理在锐角三角形中探究正弦定理：1. △ABC 中，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB的高CD ，从而sinA= ，sinB= 两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 = 化作比式得=同理可得 = = （正弦定理）注意：正弦定理指出了三角形的三边与 之间的关系。
2、定理变形：(1)a= ,b= ,c= (2)sinA= ,sinB= ,sinC= (3)a:b:c=3、利用正弦定理可以解决的问题：已知两角和任意一边，解三角形—— 唯一解 已知两边和其中一边的对角—— 常见：大一小二 基础练习题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆例3 CB b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆六、巩固训练1.在ABC ∆中，5,15,13500===A C B ,则此三角形的最大边 长为_____.____,6,3,60.2=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，3.已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B . 4.______,4,13,60====∠∆︒b c a A ABC 则中，若在.5.______,sin 2=∠=∆C B c b ABC 则中，若在 6、在△ABC 中，一定成立的是A 、cos cos a A bB = B 、sin sin a A b B =4.在△ABC中，若∠A=600，∠B=450，3a=求△ABC的面积。
【探究】1.正弦定理的其他证法：“外接圆法”证明正弦定理步骤1在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。
作CH⊥AB垂足为点H 2探究三角形常用面积公式：对于任意ABC∆，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2A B C a aS h h∆=表示a边上的高）.②11sin sin____________22A B CS ab C ac B∆===.。
1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：。
必修五正弦定理【学习目标】1.掌握正弦定理的内容及正弦定理的证明方法。
2.记住正弦定理的公式，会用正弦定理解决三角形中的问题。
3.能够运用正弦定理初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。
【重点和难点】教学重、难点：熟记正弦定理的条件和结论，并能够运用正弦定理解决三角形中的问题。
【使用说明及学法指导】1.先预习课本P 1-P 4内容，然后开始做导学案。
2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。
预习案一．问题导学1.正弦定理对任意三角形都适合吗？2.正弦定理的基本作用是什么？二．知识梳理1、正弦定理：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 == =2R(其中R 是△ABC 的外接圆的半径)。
2、正弦定理的另外三种形式：（1）a =___________, b=___________, c=___________；（2）sinA=_________, sinB=_________, sinC=_________；（3）a :b:c=__________:___________:___________；3、一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a ,b,c 叫做_________,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做______________.三.预习自测1、已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶22、在△ABC 中，已知,75,60,800===C B a 则b=__________.3、在△ABC 中，已知9,12,45a b A ︒===,则B=_________. 四.我的疑问：探究案一． 合作探究探究1.已知两角及一边解三角形例1、在△ABC 中，已知45,30,20===C A a ，求B,b,c 。
变式一：在△ABC 中，b B A c 求边,60,45,3 ===。
