1.5二项式定理

《1.5.1 二项式定理》教案教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感､态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法｡教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型:新授课 教具:多媒体､实物投影仪教学过程:一､复习引入:⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++;⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项:4a ,3a b ,22a b ,3ab ,4b ,展开式各项的系数:上面4个括号中,每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,4a 的系数是04C ;恰有1个取b 的情况有14C 种,3a b 的系数是14C ,恰有2个取b 的情况有24C 种,22a b 的系数是24C ,恰有3个取b 的情况有34C 种,3ab 的系数是34C ,有4都取b 的情况有44C 种,4b 的系数是44C , ∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++.二､讲解新课:二项式定理:01()()nnnrn r rn nn n n n a b C a C a b C ab C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式,即展开式应有下面形式的各项:n a ,n a b ,…,n r r a b -,…,n b ,⑵展开式各项的系数:每个都不取b 的情况有1种,即0n C 种,n a 的系数是0n C ; 恰有1个取b 的情况有1n C 种,n a b 的系数是1n C ,……, 恰有r 个取b 的情况有rn C 种,n r r a b -的系数是rn C ,……, 有n 都取b 的情况有nn C 种,n b 的系数是nn C ,∴01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C ab C b n N -*+=+++++∈ ,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫()n a b +的二项展开式,⑶它有1n +项,各项的系数(0,1,)rn C r n = 叫二项式系数,⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项,用1r T +表示,即通项1r n r rr nT C a b -+=. ⑸二项式定理中,设1,a b x ==,则1(1)1n r r n n x C x C x x +=+++++三､讲解范例: 例1.展开41(1)x+.解一: 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x =++++. 解二:4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x ⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++.例2.展开6.解:6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+. 例3.求12()x a +的展开式中的倒数第4项解:12()x a +的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,9129933939911212220T C x a C x a x a -+===.例4.求(1)6(23)a b +,(2)6(32)b a +的展开式中的第3项.解:(1)24242216(2)(3)2160T C a b a b +==,(2)24242216(3)(2)4860T C b a b a +==.点评:6(23)a b +,6(32)b a +的展开后结果相同,但展开式中的第r 项不相同例5.(1)求9(3x 的展开式常数项; (2)求9(3x +的展开式的中间两项 解:∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅, ∴(1)当390,62r r -==时展开式是常数项,即常数项为637932268T C =⋅=; (2)9(3x +的展开式共10项,它的中间两项分别是第5项､第6项, 489912593423T C xx --=⋅=,15951092693T C x --=⋅= 例6.(1)求7(12)x +的展开式的第4项的系数; (2)求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解:7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==,∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-, ∴923r -=,3r =,∴3x 的系数339(1)84C -=-,3x 的二项式系数3984C =. 例7.求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解:(法一)42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅,显然,上式中只有第四项中含x 的项,∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C(法二):42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅ ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=.例8.已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36,求展开式中含2x 项的系数最小值分析:展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式,由展开式中含x 项的系数为36,可得3642=+n m ,从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解:()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=,即218m n +=,()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224m n C C +222288m m n n =-+-,∵218m n +=, ∴182m n =-,∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+,∴当378n =时,t 取最小值,但*n N ∈, ∴ 5n =时,t 即2x 项的系数最小,最小值为272,此时5,8n m ==.例9.已知n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项 解:由题意:1221121()22n n C C ⋅=+⋅,即0892=+-n n ,∴8(1n n ==舍去)∴818(rr rr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr rC x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项,则04316=-r,即0316=-r , ∵r Z ∈,这不可能,∴展开式中没有常数项; ②若1+r T 是有理项,当且仅当4316r-为整数, ∴08,r r Z ≤≤∈,∴ 0,4,8r =,即 展开式中有三项有理项,分别是:41x T =,x T 8355=,292561-=x T 例10.求60.998的近似值,使误差小于0.001.解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++- ,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=, 一般地当a 较小时(1)1n a na +≈+四､课堂练习:1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项.3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开:(1)5(a;(2)5(2. 6.化简:(1)55)x 1()x 1(-++;(2)4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+ 7.()5lg xx x +展开式中的第3项为610,求x .8.求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案:1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3. 2311(2rn r r n r r r r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =,第4项的系数3372280C =5. (1)552(510105a a a a a b =++(2)515328x =.6. (1)552(1(122010x x +=++; (2)1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010x x C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C - 五､小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六､课后作业: 课后习题 七､板书设计(略)。

1.5 二项式定理课前导引情景导入 求二项式102)21(x x +的展开式中的常数项.思路分析:展开式中第r+1项为r r r x x C )21()(10210-,要使得它是常数项必须使x 的指数为0,依据是x 0=1(x解:设第r+1项为常数项,则T n +1=,)21()21()(52201010210r r rr r rx C x x C ∙∙=∙-- 令20-25r=0,得∴T 9=25645)21(8810=C使二项式的展开式的某一项为常数项,就是使这一项不含“变元”,一般采用令变元的指数为零的方法解答这类问题.知识预览1.二项式定理:(a+b)n =)(...*111N n b C b a C a C n n n n n n o n ∈+++-.这个公式所表示的定理叫做二项式定理.2.几个基本概念(1)二项展开式:右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式(2)项数:二项展开式中共有_________项(3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数________(r=_______)叫做二项式系数(4)通项:在二项展开式中的_________叫做二项展开式的通项,用T r+1表示,即通项为展开式的第r+1项:T r+1=__________.答案：(2)n +1 (3)r n C 0,1,2,…,n r r n r n r r n r n b a C b a C --3.在二项式定理中,如果设a =1,b =x ,则得到公式:(1+x )n =_________.若 a =1,b =-x ,则得到公式:(1-x )n =__________________________.答案：n n n n x C x C +++...11 n n n n n n n x C x C x C x C )1(...133221-++-+-。

1.5 二项式定理1. 二项式定理(a + b )n = C 0a n + 0^「匕+…+a n _rb r + •••+ CK (n € N *).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a + b )n 的二项展开式，它一共 n +1项， 其中r b r 叫做二项展开式的第 r + 1项(也称通项)，用T r +1表示，即T r +1= C ；a n 「b.C ；(r = 0,1，…，n )叫做第r + 1项的二项式系数.预习交流1你是如何理解和记忆二项式定理的？提示：二项式定理是一个恒等式， 左边是二项式幕的形式， 右边是二项式的展开式， 各 项的次数都等于二项式的幕的次数为 n ；字母a 按降幕排列，次数由 n 递减到0；字母b 按 升幕排列，次数由0递增到n .2. 二项式系数的性质及应用一般地，(a + b )n 展开式的二项式系数c n , C,，…，c n 有如下性质： ①c = c n -m :②c m + cr 1=c +1；③当 r <呼时，c n <e +1,当 r >畤时，c n +1< c n ；2 2④ c n + c n + c ?+…+ s =理.预习交流2如何说明 c n -c + c—*+•••+ (— 1)n ・C= 0.提示：利用赋值法，令公式中的 a = 1, b =— 1，展开就会得到上式.、二项式定理求3羽+$4的展开式.思路分析：•直接利用二项式定理展开， 注意每一项都符合通项公式, 后再展开.1 1解：解法一：3小 +寸x 4 = c 4(^/x)^j x 0+ d (3^)31 1 12 1 (3 ,：x ) -x 3+ C 4(3 ：x )0「x 4= 81x 2+ 108x + 54 + 三 +孑1 4 3x + 1 43x + 1 4解法二： 3 ；'X + , = --------- = ----------- 2 -----px Q x X12 1+ 108x + 54 + + ~2.x x2110求二项式X +丽的展开式中的常数项. 10),51令20—r = 0得r = 8,所以第9项为常数项，常数项为 C 5。

牛顿成就力学成就1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论。

他将自己的成果归结在《物体在轨道中之运动》（1684年）一书中，该书中包含有初步的、后来在《原理》中形成的运动定律。

[7]《自然哲学的数学原理》（现常简称作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓励和支持下出版于1687年7月5日。

该书中牛顿阐述了其后两百年间都被视作真理的三大运动定律。

牛顿使用拉丁单词“gravitas”（沉重）来为现今的引力（gravity）命名，并定义了万有引力定律。

在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。

[7]由于《原理》的成就，牛顿得到了国际性的认可，并为他赢得了一大群支持者：牛顿与其中的瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒建立了非常亲密的关系，直到1693年他们的友谊破裂。

这场友谊的结束让牛顿患上了神经衰弱。

[7]牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律（牛顿三定律）：第一定律（即惯性定律）任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时（Fnet=0），总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。

第二定律①牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。

力和加速度同时产生、同时变化、同时消逝。

②F=ma 是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。

③根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。

牛顿第二定律的六个性质：①因果性：力是产生加速度的原因。

②同体性：F合、m、a对应于同一物体。

③矢量性：力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。

牛顿一生少年时代1643年1月4日，艾萨克·牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍牛顿老家伍尔索普庄园尔索普（Woolsthorpe）庄园。

在牛顿出生之时，英格兰并没有采用教皇的最新历法，因此他的生日被记载为1642年的圣诞节。

牛顿出生前三个月，他同样名为艾萨克的父亲才刚去世。

由于早产的缘故，新生的牛顿十分瘦小；据传闻，他的母亲汉娜·艾斯库（Hannah Ayscough）曾说过，牛顿刚出生时小得可以把他装进一夸脱的马克杯中。

当牛顿3岁时，他的母亲改嫁并住进了新丈夫巴纳巴斯·史密斯（Barnabus Smith）牧师的家，而把牛顿托付给了他的外祖母玛杰里·艾斯库（Margery Ayscough）。

年幼的牛顿不喜欢他的继父，并因母亲改嫁的事而对母亲持有一些敌意，牛顿甚至曾经写下：“威胁我的继父与生母，要把他们连同房子一齐烧掉。

”[3-4]牛顿1648年，牛顿被送去读书。

少年时的牛顿并不是神童，他成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等。

传说小牛顿把风车的机械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。

老鼠想吃玉米，就不断地跑动，于是轮子不停地转动；又一次他放风筝时，在绳子上悬挂着小灯，夜间村人看去惊疑是彗星出现；他还制造了一个小水钟。

每天早晨，小水钟会自动滴水到他的脸上，催他起床。

他还喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着他刻画的日晷，用以验看日影的移动。

[5]学生时代1654 年，牛顿进了离家有十几公里九龙的金格斯皇家中学读书。

牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书。

随着年岁的增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小实验。