20届高考数学(文)二轮复习 第3部分 练透基础题提分 第3讲 平面向量

第三讲 平面向量1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律． (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a ·b 运算结果不仅与a ，b 的长度有关而且与a 与b 的夹角有关，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．1． (2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10答案 C解析 因为AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.2． (2013·湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C. －322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322.3． (2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.4． (2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE→＝1，则AB 的长为______．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)． 故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)， BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x . 又AB →·AF →＝2，∴x ＝1. ∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2，∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝⎛⎭⎫22－1×2＋12×4＝ 2.题型一 向量的概念及线性运算例1 (1)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于 ( )A ．3B.13 C ．－3 D ．－13(2)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝________.审题破题 (1)直接根据向量共线的坐标表示求tan α，再用差角公式求tan ⎝⎛⎭⎫α－π4；(2)寻找点C 满足的条件． 答案 (1)C (2)3解析 (1)∵a ∥b ，∴cos α＝－2sin α.∴tan α＝－12，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－12－11＋⎝⎛⎭⎫－12＝－3. (2)方法一 |OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0， 不妨假设点C 在AB 上，且∠AOC ＝30°.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(0，3)，C 点坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以存在m ＝34，n ＝14使假设成立，此时mn＝3.方法二 由条件|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，可建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴的直角坐标系，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)． 由OC →＝mOA →＋nOB →，得OC →＝(m ，3n )． 又因为∠AOC ＝30°，点C 在∠AOB 内，可得3n m ＝tan 30°＝13，n m ＝13，即m n ＝3.反思归纳 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.变式训练1 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →(m ，n >0)，则1m ＋4n的最小值为( )A ．2B ．4 C.92D ．9答案 C解析 MO →＝AO →－AM →＝AB →＋AC →2－1m AB →＝⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →.同理NO →＝⎝⎛⎭⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－1n AC →＋12AB →， 即⎝⎛⎭⎫12－1m －λ2AB →＋⎝⎛⎭⎫12－λ2＋λn AC →＝0，由于AB →，AC →不共线，根据平面向量基本定理12－1m－λ2＝0且12－λ2＋λn＝0，消掉λ即得m ＋n ＝2， 故1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝12⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥12(5＋4)＝92. 题型二 平面向量的数量积例2 (1)已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.(2)(2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．审题破题 (1)利用公式|a |2＝a ·a 直接计算；(2)利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积． 答案 (1)7 (2)[1,4]解析 (1)|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2－10a·b ＋b 2＝25×12－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＋32＝49， 所以|5a －b |＝7.(2)如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN →＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →) ＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1. ∴AM →·AN →∈[1,4]．反思归纳 向量的数量积计算有三种方法：(1)利用向量数量积的定义，计算两个向量的模及夹角；(2)根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；(3)建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进行运算．变式训练2 (1)(2012·天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________.答案 23解析 由题意知BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，且AB →·AC →＝0， 故BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.(2)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 题型三 平面向量与三角函数的综合例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．审题破题 求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题．(1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值．注意利用换元法令t ＝sin x ＋cos x 时，要确定t 的取值范围．(2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x ·cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1， 且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2，∴当t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22.即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π， ∴π2<x ＋π4<54π，∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a·b |a|·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 反思归纳 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．变式训练3 (2013·辽宁)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.典例 (1)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2B. 3C. 2D ．1(2)(2012·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ等于( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析 (1)如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1.又∵a ·b ＝－12，∴|a |·|b |·cos ∠AOB ＝－12，∴cos ∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°， ∴O 、A 、C 、B 四点共圆． ∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ， ∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°， ∴|OA →|＝12|OC →|，∴|OC →|＝2|OA →|＝2.(2)BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →)＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝－32，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝12.答案 (1)A (2)A得分技巧 (1)解决本题关键是将向量a ，b ，c 的起点移至同一点C ，得到四点A 、O 、B 、C 共圆．(2)向量坐标化，利用向量的坐标运算是解题的突破点．阅卷老师提醒 (1)树立数形结合意识、向量是数形结合的载体，充分挖掘条件的几何意义． (2)拓宽思维层面，对向量的数量积运算的三种方法要灵活运用．1． △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在CB→上的投影的长度为( )A. 3B ．3C ．－ 3D ．－3答案 A解析 由OA →＋AB →＋AC →＝0， 得AB →＋AC →＝AO →.又O 为△ABC 外接圆的圆心，OB ＝OC ， ∴四边形ABOC 为菱形，AO ⊥BC . 由|OA →|＝|AB →|＝2，知△AOC 为等边三角形．故CA →在CB →上的投影的长度为|CF →|＝2cos π6＝ 3.2． 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝⎛⎭⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.3． (2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则 ( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2∵PB →·PC →≥P0B →·P 0C →恒成立， ∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立． 即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.4． 已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 3 2解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.5． (2013·课标全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________. 答案 2解析 ∵c ＝t a ＋(1－t )b ， ∴c ·b ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝t ×1×1×cos 60°＋(1－t )×12 ＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0. ∴t ＝2.6． (2013·浙江)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于______． 答案 2解析 ①当x ＝0时，|x ||b |＝0；②当x ≠0时， |b |2＝(x e 1＋y e 2)2 ＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2＋y 2＋3xy . ∴|x ||b |＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝ 1⎝⎛⎭⎫y x 2＋3⎝⎛⎭⎫y x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≤2. 由①②知|x ||b |的最大值为2.专题限时规范训练一、选择题1． (2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选项易知C 满足题意． 2． (2013·辽宁)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为AB→|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 3． 已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 B解析 由a ⊥(a －2b )得|a |2＝2a ·b ， 由b ⊥(b －2a )得|b |2＝2a ·b ，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.4． 设向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(3sin θ，1)，且a ∥b ，则cos 2θ等于( )A ．－13B ．－23 C.23 D.13答案 D解析 ∵a ∥b ，∴3sin 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－23＝13.5． 等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0]答案 D解析 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤2，BP →·AM →＝(x －2，y )·(1,1)＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值范围是[－2,0]．6． 如图，已知点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)的值为( )A.19 B ．－19C.16D ．－16答案 D解析 ∵点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝33，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3，∴(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝OA→2＋OA →·OC →＋OA →·OB →＋OB →·OC →＝⎝⎛⎭⎫332＋3×⎝⎛⎭⎫332cos 2π3＝－16.7． 已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2答案 C解析 OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，设A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α，其中α是参数，消掉α， 即(x －2)2＋(y －2)2＝2，这是一个以点(2,2)为圆心、2为半径的圆，作出图象如图所示，从图中可知两向量OA →，OB →夹角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π12，5π12. 8． 在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足P A →＋xPB→＋yPC →＝0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，2x ＋y 的值为( )A ．－1B ．1C ．－32D.32答案 D解析 由题意知S 1S ＝λ1＝12，即S 1＝12S .所以S 2＋S 3＝S －S 1＝12S ，两边同除以S ，得S 2＋S 3S ＝12，即λ2＋λ3＝12，所以12＝λ2＋λ3≥2λ2λ3，所以λ2·λ3≤116，当且仅当λ2＝λ3＝14，此时点P 位于EF 的中点，延长AP 交BC 于D ，则D 为中点，由P A →＋xPB →＋yPC →＝0，得xPB →＋yPC →＝－P A →＝AP →， AP →＝PD →＝12(PB →＋PC →)＝12PB →＋12PC →， 所以x ＝12，y ＝12，所以2x ＋y ＝32，选D.二、填空题9． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.答案 －16解析 利用向量数量积的运算求解． 如图所示，AB →＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →， ∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16.10．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.11．(2013·四川)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.12．(2012·安徽)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．答案 －98解析 由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3. 此时设a ＝λb (λ<0)，则有|2a －b |＝|2λb －b |＝3，∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|.又由a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，知 当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小．有：a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－⎝⎛⎭⎫－4λ－1λ－4≥－98⎝⎛⎭⎫当且仅当λ＝－12时取“＝”， ∴a ·b 的最小值为－98.三、解答题13．在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，求角A 、B 、C 的大小．解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bc cos A ＝3bc ，所以cos A ＝32.又A ∈(0，π)，因此A ＝π6.由3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，得cb ＝3a 2.于是sin C ·sin B ＝3sin 2A ＝34.所以sin C ·sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝34， sin C ·⎝⎛⎭⎫12cos C ＋32sin C ＝34， 因此2sin C ·cos C ＋23sin 2 C ＝3，sin 2C －3cos 2C ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0<C <5π6，所以－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0，或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3，故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6，或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， ∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.。

第3讲平面向量「考情研析」1。

考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题,难度为中低档． 2.考查平面向量的数量积,以选择题、填空题为主，难度为低档;向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.核心知识回顾1.平面向量的数量积（1)若a，b为非零向量,夹角为θ，则a·b＝□，01|a｜｜b｜·cosθ.(2)设a＝（x1，y1)，b＝（x2，y2），则a·b＝错误!x1x2＋y1y2.2．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1），b＝（x2,y2),则（1)a∥b⇔错误!a＝λb（b≠0）⇔错误!x1y2－x2y1＝0。

(2)a⊥b⇔错误!a·b＝0⇔错误!x1x2＋y1y2＝0.3．利用数量积求长度(1）若a＝（x,y),则｜a|＝错误!错误!＝错误!错误!。

(2)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则｜错误!｜＝错误!错误!。

4．利用数量积求夹角若a＝(x1，y1），b＝(x2,y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝错误!错误!＝错误!错误!。

5．三角形“四心"向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，则(1）O为△ABC的外心⇔错误!｜错误!｜＝｜错误!｜＝｜错误!｜＝错误!.(2)O为△ABC的重心⇔错误!错误!＋错误!＋错误!＝0.（3)O为△ABC的垂心⇔□03错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!。

（4）O为△ABC的内心⇔错误!a错误!＋b错误!＋c错误!＝0。

热点考向探究考向1 平面向量的概念及运算例1 （1）已知向量a＝(1,2)，b＝（－2,3），若m a－n b与2a ＋b共线（其中m,n∈R且n≠0)，则错误!＝( )A．－2 B．2C．－错误! D.错误!答案A解析因为m a－n b＝（m＋2n,2m－3n），2a＋b＝（0,7），m a －n b与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即错误!＝－2.故选A。

专题 平面向量【训练目标】1、 理解向量的概念及相关的特殊向量的概念；2、 掌握向量的线性运算（加法，减法，数乘）；3、 掌握向量的共线和垂直的充要条件（几何表示，坐标表示），并能熟练的使用向量的共线定理。

4、 掌握向量的坐标运算，特别是坐标运算的解题思想；5、 掌握向量的数量积公式及数量积的运算律。

【温馨小提示】一般情况下，高考会考一道向量题目，当然还有一些可能会在其它题目中以条件的形式给出，纯向量题目比较简单，本专题涉及题型面广，能帮助大家拿下这5分。

【名校试题荟萃】1、（吉林省汪清县第六中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知向量a ，b 满足1=a ，7+=a b ，()3,1=-b ，则a ，b 的夹角等于（ ）A ．3πB ．6π C ．23π D ．56π 【答案】A2、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）在ABC ∆中，2CM MB =u u u u r u u u r ，0AN CN +=u u u r u u u r u r，则（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】由2CM MB =u u u u r u u u r 可知点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，0AN CN +=u u u r u u u r u r 可知点N 是线段AC 的中点，结合图像可知：。

3、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（文）试卷）已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则等于（ ）A ．19 B ．19-C ．36-D ．16-【答案】D 【解析】由于点O 是边长为1的正三角形的中心，则两两的夹角都是120o ，且模长均为33，则；4、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知向量)2,1(=AB ，，则ABC ∆的面积为（ ）A.53B.4C.23D.2 【答案】D5、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）设向量a r ，b r满足||2a =r ，，则|2|a b +=r r（ ）A ． 6B ．32C ． 26D ．42 【答案】D 【解析】解法一：将3a b +=r r两边平方，根据数量积的运算性质求出a b ⋅r r ，再代入计算即可；解法二：可以,a b r r为边作出平行四边形，由于，则2a b +r r 是以,b a b +r r r为边的平行四边形的对角线，再根据勾股定理可求得结果。

平面向量（四）平面向量的数量积平面向量的应用一、平面向量数量积1.已知两个非零向量a、b，我们把|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b（中间的·为点乘，作数量积运算时·不可以省略）。

那么a·b=|a||b|cosθ|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.2.我们规定：零向量与任意向量的数量积为0.3. 数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.即平面向量的数量积是一个数量.二、平面向量数量积的一些性质（以下a、b、c都是非零向量）1. a⊥b=0⟺a·b=0；2.|a·b|≤|a||b|；3.a·a（常常记作a²）=|a|2或|a|=√a·a；4.要注意的几点性质：（1）a·b=b·a（交换律）（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；一般地，a(b·c)=（a·b）c不成立.因为b·c是一个数量，a(b·c)表示一个和a共线的向量；同理（a·b）c也表示一个和c共线的向量，但是，a和c 不一定共线，所以，一般情况下，a (b·c)≠（a·b）c.（3）a·(b+c)=a·b+a·c.（分配律）（4）a·b=a·c不能推出b=c.(分配率不适用)三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【以下a、b都是非零向量，其中a=（x1，y1）b=（x2，y2）】1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.a·b=x1x2+y1y22. a⊥b=0⟺a·b=0⟺x1x2+y1y2=03. a∥b=0⟺x1y2-x2y1=04. a=（x1，y1），则|a|=√x12+y125. cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2√x1+y1·√x2+y2（θ是a与b的夹角）四、基础练习1.已知向量a=（1，-1），b=（2，x）.若a·b=1，则x=（）A.-1B.-12C. 12D.12.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则向量a与b的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a-b）·b=（）A.-1B.0C.1D.24.设向量a，b满足|a+b|=√10，|a-b|=√6，则a·b=（）A.1B.2C.3D.55.已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影长为___________.6.已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）= -6，且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.平面向量（四）平面向量的数量积平面向量的应用基础练习参考答案1.D2.C3.B4.A5.16.60°五、平面向量在平面几何中的应用 【以下a 、b 都是非零向量，其中a=（x 1，y 1）b=（x 2，y 2）】1.线平行、点共线、相似问题：a ∥b =0⟺a=λb ⟺x 1y 2-x 2y 1=02.垂直问题：a ⊥b =0⟺a·b=0⟺x 1x 2+y 1y 2=03.夹角问题：cosθ=a·b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 1+y 1·√x 2+y 2（θ是a 与b 的夹角）4．线段长度问题：a=（x 1，y 1），则|a |=√x 12+y 12；若A =（x 1，y 1）B =（x 2，y 2），|AB|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2. 六、拓展已知点O,N,P 在△ABC 所在平面内，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O ，N ，P 三点依次是△ABC 的（ ） A.外心、内心、垂心 B.外心、垂心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 答案：C三角形的五心：1.外心 （1）三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

1.7.3 平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D.0解析：因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2. 答案：C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.5解析：∵|a ＋b |＝10，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.① 又∵|a －b |＝6，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝6.② ①－②，得4a ·b ＝4，即a ·b ＝1. 答案：A3．(2019·西安三模)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，x )，若a ＋b 与a 垂直，则x 的值为( ) A ．7 B.－7 C.12D.－12解析：a ＋b ＝(3，x ＋1)，∵a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝6＋x ＋1＝0，∴x ＝－7. 答案：B4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：∵A (1,3)，B (4，－1)，∴AB →＝(3，－4)． 又∵|AB →|＝5，∴与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A5．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3解析：由题意可知，AN →＝13NC →，所以AC →＝4AN →.又AP →＝mAB →＋29AC →，即AP →＝mAB →＋89AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋89＝1，解得m ＝19.答案：A6．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3 解析：由|a ＋b |＝|a －b |可知a ⊥b ，设AB →＝b ，AD →＝a ，作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b ，设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ，∴∠AOD ＝π3，∴∠DOC ＝2π3.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3.答案：D7．(2019·沙坪坝区校级期中)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2 B.－1 C.1D.2解析：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1，则a ＝(1,1)，b ＝(0，－1)，c＝(2,1)．∵向量c ＝λa ＋b ，∴(2,1)＝λ(1,1)＋(0，－1)，∴2＝λ，1＝λ－1，实数λ＝2.答案：D8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D.－3152解析：∵A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，∴AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝31010，∴向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|·cos〈AB →，CD →〉＝5×31010＝322.答案：A9．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22B.12 C ．0D.－1解析：∵a ⊥b ，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0， 即2cos 2θ－1＝0.∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝0. 答案：C10．已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( ) A ．0 B.12 C.32D.1解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12|a |，∴|t a －b |＝t 2a 2－2t a ·b ＋b 2＝t 2a 2－t |a |＋1. 设x ＝t |a |，x >0， ∴|t a －b |＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＝32.故|t a －b |的最小值为32. 答案：C11．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B.－23C.56D.－56解析：由已知得向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，则3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，解得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.答案：B12．在△ABC 中，已知|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.269解析：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0，因为E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.答案：B 二、填空题13．已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝__________.解析：由向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，得a ·b ＝－24＋3m ＝0，∴m ＝8. 答案：814．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝ . 解析：由a ＝(－2，－6)，得|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝210×10×cos 60°＝10.答案：1015．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ . 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 答案：3 216．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为 . 解析：如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得 λ＝2.答案：2。