人教版初三数学上册垂直于弦的直径课后作业

新人教版数学九年级上册垂直于弦的直径课时练习一、选择题1、如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（）．A、A．CE=DEB、BC=BDC、∠BAC=∠BADD、AC>AD2、⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A、4B、6C、7D、83、在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A、AB⊥CDB、∠AOB=4∠ACDC、AD=BDD、PO=PD4、下面四个判断中正确的是（）.A、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦B、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦C、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦D、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦5、下列命题中，不正确的命题是（）A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦B、平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C、在⊙O中，AB、CD是弦，则AB CDD、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径.6、下列说法正确的是（）A、直径是弦，弦是直径B、半圆是弧C、无论过圆内哪一点，只能作一条直径D、在同圆中直径的长度是半径的2倍7、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A、2B、3C、4D、58、过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A、9cmB、6cmC、3cmD、9、将半径为4cm的圆折叠后圆弧正好经过圆心，问折痕长（）A、cmB、cmC、cmD、cm10、如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（）.A、B、C、D、11、下列命题中，正确的是（）.A、平分一条直径的弦必垂直于这条直径.B、平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.C、弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.D、在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.12、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A、5米B、8米C、7米D、5 米13、⊙O的半径为5cm，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A、1 cmB、7cmC、3 cm或4 cmD、1cm 或7cm14、已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A、2B、8C、2或8D、3二、填空题15、已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为________cm16、在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为________cm.17、在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于________.18、已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的直径________cm.19、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝________厘米.20、半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为________cm.三、解答题21、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长22、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.求：点O到AB的距离23、如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB。

24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ，∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5，OM =4，∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×233=33.答案：B2.如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示. 作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ，AB=12，∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8.∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG ＋OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示. GH=OG -OH=8-6=2.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作B C ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×21=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）. ∴BE=CD=2（m ）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）.∵OE ⊥CD ，∴CF=21CD=21×110=55（米）. 根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值.思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值. （1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=1118（cm ）.（3）解:∵5＜39=1218＜1118＜918=6，∴5＜R ＜6.∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP≤5.。

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习24.1.2垂直于弦的直径一•选择题（共15小题）1 .下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径一定垂直于弦B. 长度相等的弧是等弧C•平行弦所夹的两条弧相等D.相等的圆心角所对的弦相等2. 如图O的半径为6,直径CD过弦EF的中点G,若/ EOD=60,则弦CF的长等于（）A. 6B. 6 —C. 3 —D. 93. 如图，在。

O中，直径AB丄弦CD,垂足为M，则下列结论一定正确的是（）ABA. AC=CDB. OM=BMC.Z A= . / ACDD.Z A=. / BOD4 .如图，AB是。

O 的直径，AB丄CD于E, AB=10, CD=8,则BE%( )A. 2B. 3C. 4D. 3.55. 如图，在O O中，弦AB的长为16cm,圆心O到AB的距离为6cm,则O O截面圆心O 到水面的距离OC 是（10.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一B . 10cm C. 8cm D . 20cm6. 在半径为25cm 的。

O 中，弦AB=40cm,则弦AB 所对的弧的中点到 AB 的距 离是（ ）A . 10cmB . 15cmC. 40cm 7.下列说法中正确的个数有（）① 相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦；③ 圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④ 直径是弦；⑤ 长度相等的弧是等弧.D . 10cm 或 40cmD . 4个8 .如图，O O 过点B C,圆心O 在等腰Rt A ABC 的内部，/ BAC=90, OA=2 BC=8则O O 的半径为（B . 5C.下 D . 69.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=1O,水面宽 AB=16,则B . 5 D . 6的半径是（A . 6cm A . 4千多年，其中有这样一个问题：今有圆材埋在壁中，不知大小•以锯锯之，深一寸，锯道长一尺•问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦AB=1 尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A. 13 寸B. 6.5 寸C. 26 寸D. 20 寸11•如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm 12 .把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm则球的半径长是（）;I\ /\ /* _* I8 CA. 2 cmB. 2.5 cmC. 3 cmD. 4 cm13.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）疋—L_____ 卫A D BA. 6 mB. 8 mC. 10 mD. 12 m14.如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块咼为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（)15.圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现代的数学语言表示是： 如图，CD 为O O 的直径，弦 AB 丄CD,垂足为E, CE=1寸，AB=10 寸，求直径CD 的长”依题意，CD 长为( )二.填空题(共10小题)16.如图，在O O 中，半径0C 丄弦AB,垂足为点D ，AB=12, CD=2则O O 半 径的长为 ___________ .17 .如图，AB 是O O 的弦，OC 丄AB 于点C ,且AB > OC,若OC 和AB 是方程x 2 -11x+24=0的两个根，则O O 的半径OA= _______ .19.在平面直角坐标系中，过三点 A (0, 0), B (2, 2), C (4, 0)的圆的圆 心坐标为 _____________ .B . 12cm C. 16cm D . 20cm △ 寸 A .寸 B. 13 寸 C. 25 寸 D. 26 寸 DA . 8cm320.如图，AB是。

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，O 的半径为10，弦16AB =，点M 是弦AB 上的动点且点M 不与点A B 、重合，则OM 的长不可能是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．92．如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径10m OA =，桥拱的跨度16m AB =，则拱高CD 为（ ）A ．6mB ．8mC ．4mD ．3m3．如图，是一块圆环形玉片的一部分，作外圆的弦AB 与内圆相切于点C ，量得8cm AB =，点C 与AB 的中点D 的距离2cm CD =，则此圆环形玉片的外圆半径为（ ）A ．5cmB ．4cmC ．4.5cmD ．6cm4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y =x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为3a 的值是（ ）A ．22B ．22+C ．23D ．235．如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，弦AB 和CD 交于点E ，则下列说法正确的是（ ）A ．若CD 平分AB ，则CD AB ⊥ B ．若CD AB ⊥，则CD 平分ABC ．若CD 垂直平分AB ，则圆心在CD 上 D ．若圆心在CD 上，则CD 垂直平分AB 6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于C 点，AB =12cm ，AO =8cm ，则OC 长为（ ）cmA ．5B ．4C ．25D ．277．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊙BC 于点D ，AC ＝4，则OD 的长为（ ）A．1B．1.5C．2D．2.5二、填空题OC ，8．如图，AB是O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交O于点D．若3 CD=2，则圆心O到弦AB的距离是．9．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为m．10．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是cm．11．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为点E，⊙CAD=80o，则⊙OCE= ．12．如图，AB 是圆O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，若210AB =O 的半径为 ．三、解答题13．请你用直尺和圆规找出下图碎片的圆心O （保留作图痕迹）14．如图，O 的两条弦//AB CD （AB 不是直径），点E 为AB 中点，连接EC ，ED ． （1）直线EO 与AB 垂直吗？请说明理由；（2）求证：EC ED =．15．如图AB CD ⊥，若4638AH BH CH DH ====，，，，求O 的半径．16．如图，AB是O的直径，AB CD⊥于点E，连接CO并延长交AD于点F，且F恰为AD 的中点．(1)求D∠的度数；(2)证明：E是OB的中点．参考答案1．A【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，过O作OD AB⊥于D，连接OA，根据勾股定理求出OD的值，进而可求出OM的取值范围，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．【详解】解：过O作OD AB⊥于D，连接OA，如图：⊙010A=，AB=16⊙1116822AD AB==⨯=⊙22221086 OD OA AD--=⊙OD OM OA ≤≤即610OM ≤≤故选：A ．2．C【分析】根据垂径定理和勾股定理得出222OA AD OD =+求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知1116822AD AB ==⨯= 在直角AOD △中，根据勾股定理得：222OA AD OD =+ 则()22210810CD =+-解得：16CD =或4根据题中10m OA =，可知16CD =不合题意，故舍去⊙4m CD =．故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于CD 的等式是解题关键．3．A【分析】根据垂径定理求出4cm BC =，然后利用勾股定理求出半径即可．【详解】解：设环形玉片的圆心为O ，连接,OB OD⊙外圆的弦AB 与内圆相切于点C⊙OC AB ⊥⊙点D 为AB 的中点⊙OD AB ⊥⊙点C 在线段OD 上⊙2cm CD = 8cm AB =⊙()2cm,4cm OC OB BC =-=⊙222OC BC OB +=⊙()22224OB OB -+=解得5OB =⊙这个玉片的外圆半径长为5cm故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．4．B【详解】过P点作PE⊙AB于E，过P点作PC⊙x轴于C，交AB于D，连接PO，P A．⊙AE=12AB3P A=2，PE222(3)=1．⊙PD2．⊙⊙P的圆心是（2，a）⊙DC=2⊙a=PD+DC2故选B．5．C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D、AB若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．6．D【详解】解：O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点∴C点是AB的中点，即AC=BC=12AB=6；并且OC⊙AB，在Rt AOC∆中由勾股定理得222AO AC OC=+所以222OC AO AC=-；AO=8cm所以2228628OC=-=所以OC=7故选：D【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.7．C【分析】由OD⊙BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．【详解】解：⊙OD⊙BC⊙CD＝BD⊙OA＝OB，AC＝4⊙OD＝12AC＝2．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．87【分析】延长DO交圆于点E，作OF AB⊥于点F，连接OB，根据相交线定理首先求得圆的半径，然后在Rt OBF△中，利用勾股定理求得OF的长．本题考查了垂径定理和相交弦定理，根据定理求得圆的半径长是关键．【详解】解：延长DO交圆于点E，作OF AB⊥于点F，连接OB．则5OE OC CD =+= 8CE =DC CE AC BC ⋅=⋅282AC AC ∴⨯=⋅ 解得：22AC =则362AB AC ==OF AB ⊥1322BF AB ∴== 在Rt OBF △中2225187OF OB BF -- 79．12.5【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，半径为r m ，连接OA ．根据垂径定理得10m AD =，再由勾股定理求解即可．【详解】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O ，半径是r m ，连接OA ．根据垂径定理，得：110m 2AD AB == 在Rt AOD △中，根据勾股定理，得22210(5)r r =+-解得：12.5r =即该拱桥的半径为12.5m故答案为：12.5． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程进行求解．10．100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．【详解】如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=140 2BD=有222OB OC BC=+222(20)40r r=-+化简得r=50故新管道直径为100cm．故答案为：100．【点睛】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．11．10°【分析】因为弦CD⊙AB，垂足为E，所以DE＝CE，故⊙AEC⊙⊙AED，故⊙ACE＝⊙ADE，⊙CAE＝⊙DAE＝12⊙CAD＝40°，而因为OA＝OC，⊙ACO为等腰三角形，故⊙CAE＝⊙OCA，而根据三角形内角和等于180°，可求出⊙ACE的度数，最后再求出⊙OCE的度数.【详解】⊙CAD＋⊙ACE＋⊙ADE＝180°，⊙ACE＝⊙ADE，解得：⊙ACE＝50°，⊙ACE＝⊙ACO ＋⊙OCE，根据分析可知：⊙ACO＝⊙CAE＝40°，故解得：⊙OCE＝50°－40°＝10°，故答案为10°.【点睛】本题主要考查垂径定理的概念，熟悉垂径定理，然后根据角的运算得出所求角的度数，注意其中圆的半径都相等，可得到等腰三角形，从中来得到角的相等，就如⊙CAE＝⊙OCA.12．32【分析】连接OA ，设半径为x ，用x 表示OC ，根据勾股定理建立x 的方程，便可求得结果．【详解】解：解：连接OA ，设半径为x 将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D23OC x ∴= OC AB ⊥ 1102AC AB ∴= 222OA OC AC -=222()103x x ∴-= 解得，32x = 故答案为32【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．13．图见详解．【分析】在AC 上取点B ，D 连接AB ，CD ，分别作弦AB ，CD 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心O ．【详解】解：如图，点O 即为圆心．【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂径定理的性质是解答此题的关键． 14．（1）直线EO 与AB 垂直．理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；（2）易证EF CD ⊥，由垂径定理可得结论.【详解】解：（1）直线EO 与AB 垂直．理由如下：如图，连接EO ，并延长交CD 于F ．⊙ EO 过点O ，E 为AB 的中点EO AB ∴⊥．（2）EO AB ⊥ //AB CDEF CD ∴⊥．⊙ EF 过点OCF DF ∴=EF ∴垂直平分CDEC ED ∴=．【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.1555【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，过点O 分别作OM AB ⊥于点M ON CD ⊥，于点N ，由矩形的判定及性质得到OM NH =，再根据垂径定理，得M 为AB 的中点，N 为CD 的中点，连接BO ，在Rt OBM △中，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理求线段长是解决问题的关键．【详解】解：过点O 分别作OM AB ⊥于点M ON CD ⊥，于点N ，连接BO ，如图所示：∴由垂径定理，得M 为AB 的中点，N 为CD 的中点4638AH BH CH DH ====，，，∴()1146522BM AB ==⨯+= ()111138222CN CD ==⨯+= 115322HN CN CH ∴=-=-= AB CD ⊥∴四边形HMON 是矩形 ∴52OM NH == ⊙在Rt BOM △中，由勾股定理可得222255552BO BM MO ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭． 16．(1)60D ∠=︒(2)见解析【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）连接AC BC ，，由垂径定理得出CE DE =，由线段垂直平分线的性质得出AC AD =，AC=CD ，从而得出AC AD CD ==，推出ACD 是等边三角形，即可得出结论； （2）证明出OCB 是等边三角形，结合CE OB ⊥得出OE BE =，即可得证．【详解】（1）解：如图，连接AC BC ，AB CD ⊥，AB 为O ☉的直径CE DE ∴=AB ∴垂直平分CD AC AD ∴= F 为AD 的中点，CF 过圆心 CF AD ∴⊥ CF ∴垂直平分AD AC CD ∴=AC AD CD ∴== ACD ∴是等边三角形 60ACD ∴∠=︒ 60D ∠=︒ （2）解：F 为AD 的中点 30FCD ∴∠=︒ 60COE ∴∠=︒ OC OB = OCB ∴为等边三角形 CE OB ⊥ OE BE ∴=，即E 是OB 的中点．。

24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习 (5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B 、C,那么弦BC 的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ，∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5，OM =4，∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×233=33.答案：B2.如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示. 作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ，AB=12，∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8.∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG ＋OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示. GH=OG -OH=8-6=2.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作B C ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×21=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）. ∴BE=CD=2（m ）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）.∵OE ⊥CD ，∴CF=21CD=21×110=55（米）. 根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值.思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值. （1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=1118（cm ）.（3）解:∵5＜39=1218＜1118＜918=6，∴5＜R ＜6.∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP≤5.。

《垂直于弦的直径》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在巩固学生对“垂直于弦的直径”这一概念的理解，能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学逻辑思维能力和空间想象能力。

二、作业内容本节课的作业内容主要围绕以下四个方面展开：1. 基础知识练习：包括直径与弦的概念，垂直关系的判断，通过基础题目帮助学生回顾和巩固所学知识。

2. 经典例题解析：选取几道典型的题目，引导学生分析问题，找出问题中的关键点，运用所学知识解决问题。

3. 拓展应用题：设计一些与生活实际相结合的题目，如测量圆形物体的直径等，让学生在解决实际问题的过程中加深对知识的理解。

4. 自主探究题：设置一些具有挑战性的题目，鼓励学生自主探究，培养其独立思考和解决问题的能力。

三、作业要求1. 基础练习题：要求学生独立完成，并确保答案的准确性。

对于有疑问的地方，可以查阅课本或请教同学、老师。

2. 经典例题解析：要求学生仔细分析题目，找出问题的关键点，并运用所学知识进行解答。

同时，鼓励学生进行多种方法的尝试和比较。

3. 拓展应用题：要求学生将所学知识应用到实际生活中，通过观察、测量、计算等方式解决问题。

在解决问题的过程中，要注意数据的准确性和解题的规范性。

4. 自主探究题：鼓励学生独立思考，尝试多种方法解决问题。

在解决问题的过程中，要注重思维的逻辑性和严密性。

对于有困难的地方，可以与同学讨论或请教老师。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生的完成情况、答案的准确性和解题的规范性进行评价。

同时，要关注学生在解题过程中的思维过程和解题方法的多样性。

2. 评价方式：可以采取自评、互评和教师评价相结合的方式。

自评可以帮助学生反思自己的学习过程和解题方法；互评可以促进学生之间的交流和学习；教师评价可以给出准确的指导和建议。

五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的错误，要及时进行纠正和指导，帮助学生找出错误的原因并加以改正。

2. 对于学生的优秀作业和解题方法，要及时进行表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。

24.1.2 垂直于弦的直径一、单选题1．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB 为4m ，高CD 为1m ，则这个轮子的半径长为（ ）A mBC ．5mD ．52m 2．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D ．小铭说的不对，小熹说的反例存在 3．P 为⊙O 内一点，3OP =，⊙O 半径为5，则经过P 点的最短弦长为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．104．在O 中，直径10AB =，弦DE AB ⊥于点C ，若:4:5OC OA =，则ODE 的周长为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，以点C 为圆心，BC 为半径的圆与AB 相交于点D ，则AD 的长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．6．往水平放置的半径为13cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度24cm AB =，则水的最大深度为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7．如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．48．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A ，B 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB =厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）．A ．1.0厘米/分B ．0.8厘米分C ．12厘米/分D ．1.4厘米/分9．点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm10．如图，在O 中，弦//AB CD ，OP CD ⊥，OM MN =，18AB =，12CD =，则O 的半径为（ ）A．4 B ．C ．D ．11．如图，O 的直径CD 为26，弦AB 的长为24，且AB CD ⊥，垂足为M ，则CM 的长为（ ）A ．25B ．8C ．5D ．1312．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB 长度为300m ，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A ．50mB ．45mC ．40mD ．60m二、填空题 13．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量的弧AB 的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6cm ，AB ＝6.4cm ，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm ．14．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆形木材的直径___________寸；15．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为_____m．16．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．三、解答题18．如图：O内一点p，求作：O中经过点P的最短弦AB．19．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．20．如图，已知AB是O的直径，CD⊙AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求⊙ACD 的周长．21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为10m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面2m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．22．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．参考答案1．D解：连接OB，如图所示：由题意得：OC⊙AB，⊙AD＝BD＝12AB＝2（m），在Rt⊙OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，即（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：OB＝52（m），即这个轮子的半径长为52 m，故选：D．2．D解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．3．C解：在过点P的所有⊙O的弦中，如图，当弦与OP垂直时，弦最短，此时4CP=，得其半弦长为4，则弦长是8，4．D解：:4:5OC OA =，54OA OC ∴=， 又1110522OA AB ==⨯=， 4OC ∴=，在Rt DCO 中，3DC =，又OA 为半径且OA DE ⊥，3,26DC CE DE DC ∴====，ODE ∴的周长为：55616OD OE DE ++=++=， 故选：D ．5．C解：过C 点作CH ⊙AB 于H 点，如下图所示：⊙⊙ACB =90°，⊙A =30°，⊙⊙ABC 、⊙CBH 均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为2， Rt⊙ABC 中，132BC AB ==， Rt⊙BCH 中，1322BH BC ==， 由垂径定理可知：32DH BH ， ⊙2633ADAB BH ，6．B解：连接OA ，过点O 作OD ⊙AB 交AB 于点C 交⊙O 于D ，⊙OC ⊙AB ，由垂径定理可知，⊙AC =CB =12AB=12，在Rt⊙AOC 中，由勾股定理可知： ⊙222213125OC OA AC ，⊙()1358CD OD OC cm =-=-=，故选：B ．7．A解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==， 3OD =，5OA ∴，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=， //OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．8．A解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，⊙AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt⊙AOC中，6OC=（厘米），⊙CD=OC+OD=16（厘米），⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，⊙16÷16=1（厘米/分）．⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．9．B解：如图所示，CD⊙AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=6cm．⊙OC=5，CP=3⊙CD⊙AB，⊙CP=12CD=3cm．根据勾股定理，得OP．故选B．10．C解：连接OA，OC，⊙//AB CD ，OP CD ⊥，⊙OP AB ⊥，⊙18AB =，12CD =，⊙CN =6，AM =9，设O 的半径为x ，⊙OM MN =，=x =-，经检验是方程的根，且符合题意，⊙O 的半径为故选C ．11．B解：连接OA ．⊙直径CD AB ⊥，24AB =， ⊙1122AM BM AB ===, 在Rt AOM 中，13OA =,12AM =,根据勾股定理得：5OM ．则1358CM OC OM =-=-=．故选：B ．12．A解：设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊙AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ，如图所示： 则OA ＝OD ＝250，AC ＝BC ＝12AB ＝150，⊙OC 200（m ），⊙CD ＝OD ﹣OC ＝250﹣200＝50（m ），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．13．4解：如图，连接OA ，⊙CD 是弦AB 的垂直平分线， ⊙1 3.22AD AB ==， 设圆的半径是r ．在直角⊙ADO 中， 3.2 1.6AO r AD DO r ===-，， ．根据勾股定理得，()2223.2 1.6r r =+- ， ⊙4r =故答案为：414．26解：延长DC ，交⊙O 于点E ，连接OA ，如图所示：由题意得CD ⊙AB ，点C 为AB 的中点，1CD =寸，10AB =寸，⊙DE 为⊙O 的直径，⊙5AC =寸，设OA =x 寸，则()1OC x =-寸，⊙在Rt ⊙AOC 中，222AC OC OA +=，即()22251x x +-=，解得：13x =，⊙圆形木材的直径为26寸；故答案为26．15．2解：⊙CD 是中间柱，⊙AC BC =，⊙OC ⊙AB ，⊙AD ＝BD ＝12AB ＝12×12＝6（m ），在Rt⊙AOD 中，由勾股定理得：OD 8（m ），⊙CD ＝OC ﹣OD ＝10﹣8＝2（m ）．故答案为：2．解：如图：连结OC，过O作OE⊙AB，交CD于F，垂足为E，⊙AB=2.4m，OE⊙AB，OA=2m，⊙AE=1.2m，⊙ 1.6=m，⊙水管水面上升了0.4m，⊙OF=1.6﹣0.4=1.2m，⊙CF 1.6=m，⊙CD=3.2m．故答案为：3.2．17．2解：过O点作半径OD⊙AB于E，如图，⊙AE＝BE＝12AB＝12×8＝4，在Rt⊙AEO中，OE3，⊙ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．故答案为：2．解：如图所示：线段AB即为所求O中经过点P的最短弦AB．19．圆的半径为134cm解：连接OC，交AB于E，由切线性质可得OC垂直于直尺两边，且CE=2，⊙AB=8﹣2=6cm，OE⊙AB，⊙BE=12AB=12×6=3cm，设OB=r，⊙（r﹣2）2+9=r2解得r=134，⊙该圆的半径为134cm．20．解：连接OC．⊙AB是O的直径，CD⊙AB，⊙12CE DE CD==．⊙AB=10cm，⊙AO=BO=CO=5cm．⊙BE=OE，⊙1522BE OE OB===cm，5151022AE AB BE=-=-=cm．在Rt⊙COE中，⊙CD⊙AB，⊙OE2+CE2=OC2．⊙CE==．⊙DE=CE=．⊙2CD CE==．在Rt⊙ACE中⊙222AE CE AC+=⊙AC==cm．在Rt⊙ADE中⊙222AE DE AD+=⊙AD=⊙⊙ACD的周长=AD+DC+AC=．21．（1）10米；（2）能，理由见解析解：（1）如图，连接ON，OB．⊙OC⊙AB，⊙D为AB中点，⊙AB=16m，⊙BD=1AB=8m．2又⊙CD=4m，设OB=OC=ON=r，则OD=（r-4）m．在Rt⊙BOD中，根据勾股定理得：r2=（r-4）2+82，解得r=10，即拱桥的半径为10m；（2）⊙CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，⊙CE=4-2=2m，⊙OE=r-CE=10-2=8m，在Rt⊙OEN中，EN=m，⊙MN=2EN=12m＞10m，⊙此货船能顺利通过这座拱桥．22．（1）20米；（2）4米解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊙AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，在Rt⊙OBD中，OB2＝OD2+DB2，⊙R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊙AB于E′，OH⊙F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt⊙OHF′中，HF′16，⊙HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），⊙在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．。

24.1.2垂直于弦的直径同步练习一．选择题1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．13 B．24 C．26 D．285．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 6．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．3D．67．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．A．350 B．700 C．800 D．4008．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）A．5.5 B．6 C．7.5 D．89．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE 的长为（）A．B．8 C．D．10．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．2 C．2D．4二．填空题11．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．12．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝．13．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为．14．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．三．解答题16．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．17．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．18．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案1．解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，BE＝＝＝4，故选：B．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．4．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，设AB＝OB＝OA＝rm，∵点C是的中点，∴OC⊥AB，∴C，D，O三点共线，∴AD＝DB＝rm，在Rt△AOD中，∴OD＝r，∵OD+CD＝OC，∴r+5＝r，解得：r＝（20+10）m，∴这段弯路的半径为（20+10）m故选：D．6．解：作OE⊥AB于点E，∵⊙O的半径为6，弦CD＝6，∴OC＝OD＝CD，∴△DOC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵OA＝6，OE⊥AB，∴AE＝OA•cos30°＝6×＝3，∴AB＝2AE＝6，故选：D．7．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，解得，x＝400，∴2x＝800，答：车轱辘的直径为800mm．故选：C．8．解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB，∴∠ADF＝∠CDB，∴，∴AF＝BC＝12，∵∠DAF＝90°，∴DF＝，∴⊙O的半径为7.5．故选：C．9．解：连结BE，如图，∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．故选：D．10．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODB＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN与Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8∴OC2＝4，∴OC＝2，故选：B．11．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．12．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴P A＝PC＝1，∴S△APC＝＝；如图2，同理：S△APC＝＝；如图3，同理：S△APC＝＝；故答案为：或或．13．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∵AB＝CD，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴P A＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．14．解：连接BE．∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．∵＝5∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．又∵BE2＝BF•BC即：30x2＝60解得：x＝，∴EC2＝FC•BC＝6x2＝12∴EC＝2，∴AC＝AE+EC＝2+2，∵AD•AB＝AE•AC∴AD＝＝＝．故答案为．15．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴AC为直径．∴∠ADC＝90°．∵AE＝DE，DE⊥AB，∴∠DAB＝∠ADE＝45°．∴∠BCF＝∠DAB＝45°．∴BC＝BF＝3．在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，∴EF＝ED＝1．∴AB＝5．∴AC＝＝．∴⊙O半径的长．17．解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．18．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。

垂直于弦的直径课后作业1. 在⊙O 中,AB 为弦,AB OC ⊥于点C ,交⊙O 于点D ，若5=AO ,2=CD ,则弦AB 的长为（ ）A.4B.6C.8D.102.如图,⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,则四边形OACB （ ） A.是正方形 B.是长方形 C.是菱形 D.以上答案都不对3.设P 为半径6cm 的圆内的一点,它到圆心的距离为3．6cm,则经过点P 的最短弦的长度是 ( )．A ．4.8cmB ．7.2cmC ．6.4cmD ．9.6cm4.在直径是20cm 的⊙O 中，∠AOB 是60°，那么弦AB 的弦心距是（ ）5.若圆的半径3,圆中一条弦为52,则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为 .6.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB =16m ，半径OA =10m ，高度CD 为_____m.7.圆中一弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦长为________． 8.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示， 则这个小孔的直径是 mm.9.已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且BF AE =.求证：OF OE =.AB 第2题图第6题图DBAO CBA 8mm第8题图10.已知：如图, ⊙O的直径CD垂直弦AB于P, 且PA=4cm, PD=2cm．求：⊙O的半径长．11.如图，已知：⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为E，又AE=3，EB=7，求O点到CD的距离．12.已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于H，A H=4，B H=6，C H=3，D H=8．求：⊙O 的半径．13. 如图弓形的弦AB=6cm，弓形的高是1cm，求其所在圆的半径.14.某机械传动装置在静止时如图所示，连杆PB与B的运动所形成的⊙O交于点A，测量得PA=4cm，AB=8cm，⊙O的半径是5cm，求点P到圆心O 的距离.。