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线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
线性代数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（）A. -4B. -8C. 4D. 82. 设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与β的点积为（）A. 32B. 14C. 22D. 43. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}\]，则矩阵A的秩为（）A. 1B. 2C. 3D. 04. 设A为3阶方阵，且A的行列式为0，则A（）A. 可逆B. 不可逆C. 有逆矩阵D. 没有逆矩阵5. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}\]，则AB-BA=（）A. \[\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\]B. \[\begin{bmatrix}-2 & 0\\-2 & 0\end{bmatrix}\]C. \[\begin{bmatrix}2 & 0\\2 & 0\end{bmatrix}\]D. \[\begin{bmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{bmatrix}\]二、填空题（每题5分，共20分）6. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}\]，则AB=（）。
7. 设向量α=(1,2,3)，β=(2,3,4)，则向量α与β的叉积为（）。
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。
答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。
答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
试 卷 一一（33%）填空题（E 表示单位矩阵）：1． 设),(21=α，),(11-=β，则=T αβ ； =999)(βαT ；2． 设矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=031130021A ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=700650432B ，则行列式=-1AB ；3． 若向量组⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11123321321k ααα,,，则当参数k 时，321ααα,,线性相关；4． 22⨯矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的伴随矩阵*A = ；5． 设矩阵A 及E A +均可逆，1-+-=)(E A E G ，则=-1G ；6． 分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O E E A 的逆矩阵为 ； 7． 设56⨯是A 矩阵。
若齐次线性方程组θ=Ax 的解空间是2维的，则齐次线性方程组θ=x A T的解空间是 维的；8． 与向量T ),,(101=α，T ),,(111=β均正交的一个单位向量为 ； 9． 已知矩阵⎪⎭⎫⎝⎛=k M 3412，T MM A =，则当数k 满足条件 时，A是正定的；10． 若实对称矩阵A 有两个不同的特征值, 且O E A A =+-232则当参数k 满足条件 时，矩阵kA E +是正定的。
二（12%）求矩阵方程B X XA +=2的解，其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123101300010113B A , 三（12%）设3阶方阵A 有特征值11-和二重)(，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11011121αα,是其相应于特征值1 的特征向量，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1003α是其相应于特征值1-的特征向量。
1.求9999AA 及。
2. 若3阶实对称矩阵B 的特征值也是11-和二重)(，证明：A 与B 必定相似。
四（12%）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++++=-+-=+++=+++132324321432x p x x x q x px x 25x 5x 3x x 0x x x x 43214321)( 1． 问：当参数q p ,满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。
五（12%）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=203102131111A 。
1. 求一;)(,,224==⨯B O AB B 且秩使得矩阵2.问：是否存在秩大于2的矩阵C 使得O AC =？为什么？六（12%）设实对称矩阵.相似与⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=42440003101B k A1. 求参数的值k ；2. 求一正交矩阵.,B AQ Q Q T=使得 七（7%）证明题：1． 设21λλ, 是矩阵A 的两个互异的特征值，21ηη,是A 的属于1λ的线性无关的特征向量，3η是A 的属于2λ的特征向量。
证明：321ηηη,,线性无关。
2． 已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，矩阵A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量（注：A ，B 的特征值未必相同）。
证明BA AB =．试 卷 二一． （24%）填空题：1． 假设矩阵10010002A λ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，则n A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
2． 假设向量组A ：111,,111t t t αβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当参数t 满足条件 时，向量组A的秩为1； 时A 的秩为2； 时A 的秩为3。
3． 若向量11b η⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵11120120a A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征向量，则(),a b =()。
4． 设矩阵11a A b ⎛⎫=⎪⎝⎭，0110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且22()()A B A B A B +-=-，则参数,a b 满足条件 。
5． 若矩阵30431100A x ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵Λ相似，则x 满足条件 。
6． 若1a A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵，则,,a b c 满足条件 。
7． 若对满足条件234A A E O +-=的实对称矩阵A ， aE A +都是正定矩阵，则实数a 必定满足条件 。
二． （8%）求矩阵1111111111x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的行列式det()A 的值。
三．（15%）已知矩阵1111212A pp ⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭，向量313,11b q η⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1． 若η是线性方程组Ax b =的解，试求,p q 的值，并求这时Ax b =的通解； 2． 若Ax b =有无穷多组解，但η不是Ax b =的解，求,p q 的值。
四．（15%）解矩阵方程 2XA X B =+。
其中301012003A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
五． （15%）设二次型22212312313(,,)22f x x x x x x x x =+++1． 写出二次型f 的矩阵；2． 求正交变换X QY =将f 化成标准形，并写出相应的标准形。
六． （12%）设3阶矩阵A 的特征值是2（二重）和4，且()101Tα=，()010Tβ=是A 的相应于特征值2的特征向量，()101Tγ=-是A 的相应于特征值是4的特征向量。
求矩阵A 及(2)n A E -。
七． （5%）已知矩阵122A x ⎛⎫=⎪⎝⎭，311B y ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
问：当参数,x y 满足什么条件时，矩阵方程AX B =有解，但BY A =无解？八． （6%）证明题：1． 已知向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示。
若向量组123,,βββ的秩为2，证明：12,αα线性无关。
2． 设2阶方阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，且2a d +=，1ad bc -=。
若,b c 不全为零，证明：A 不与任何对角阵相似。
试 卷 三一． （27%）填空题1． 若矩阵45a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2003B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且AB BA =，则,a b 的值分别为 ； 2． 设对任意列向量a X b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，23456a b c AX a b c ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则矩阵A = ；3． 设３阶方阵()123A ααα=， ()2313123B αααααα=---。
若A 的行列式3A =，则矩阵B 的行列式B = ；4． 设A 为n 阶可逆方阵，2n 阶矩阵E A B OA ⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为 ； 5． 齐次线性方程组1233230x x x ++=的一个基础解系为 ；6． 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则参数t 的取值范围是 ；7． 若2a b A c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭是正交矩阵, 则参数,,a b c 的值分别为 ； 8． 假设３阶矩阵A 的特征值为2,1,1-。
则行列式1A A -+的值为 ；9． 若实二次型,f g 的矩阵分别为1012001012A a B b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，则,f g 的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数,a b 满足 。
二（14%）假设n 阶矩阵A 满足223A A E O +-=。
1． 证明矩阵A 及A E +均可逆，并分别求1A -及1()A E -+； 2． 证明：若A E ≠，矩阵3A E +肯定不可逆。
三（14%）假设矩阵111111A λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，112b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。
已知线性方程组Ax b =有无穷多组解。
试求参数λ的值，并求方程组的通解（要求用Ax b =的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。
四（15%）已知矩阵03401013A a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵。
1． 求参数a 的值，并求A 的特征值及相应的特征向量；2． 求一可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角阵，并写出相应的对角阵； 3． 问：是否存在正交矩阵Q ，使得1Q AQ -为对角阵？试说明你的理由。
五（12%）已知矩阵021010001A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵111210B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2003D ⎛⎫= ⎪⎝⎭求矩阵X ，使得2DXA DX B =+。
六（12%）假设3维向量12100,1a b αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1231112,1,112c βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
已知向量组12,αα与向量组123,,βββ等价。
1． 求123,,βββ的秩及其一个最大线性无关组，并求参数,,a b c 的值； 2． 令矩阵()()12123,,,,A B ααβββ==，求满足AX B =的矩阵X 。
七（6%）假设n 阶矩阵A 满足22A A =。
1． 证明：关于矩阵的秩有等式(2)()R E A R A n -+=，并且A 相似于对角阵； 2． 若()R A r =，试求行列式A E +的值。
试 卷 四一．（30%）填空题 1. 设100110011A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 则1(2)A E -+= ；2. 若矩阵A 满足2A O =，则E A +的逆矩阵1()E A -+= ；3. 若向量组()()()12311,11,11,t t t ααα===的秩为2，则参数t 满足条件 ；4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1,2,3，矩阵*2B E A =-，其中，*A 是A 的伴随矩阵，则B 的行列式B = ； 5. 110A x ⎛⎫=⎪⎝⎭相似于对角阵的充要条件是x 满足条件 ； 6. 若10022312A x -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与03B y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则(),x y = ； 7. 设(1,1,0),(1,0,1)T T --是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量。
若A 不可逆，则A 的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为 ；8. 3元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2, 已知123,,ααα是它的3个解向量,其中123(1,1,1),(2,4,6)T T ααα=+=,则该方程组的通解是 ； 9. 若4阶矩阵,A B 的秩都等于1，则矩阵A B +的行列式A B += 。
二．（10%）计算下述行列式111+11111+11111111x x D x x =--的值。
三． （15%）设线性方程组 1231231233032314x x x x x x x x x λμ++=⎧⎪++=-⎨⎪-++=⎩。
问：当参数,λμ取何值时, 线性方程组有唯一解？当参数,λμ取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解（用向量形式表示）。
