高三数学第二轮三角函数专题复习资料 (4)

高三数学第二轮专题复习系列(4)三角函数一、本章知识结构：二、高考要求1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。

5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。

三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。

3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议应用同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用应用 应用应用本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。

高三数学第二轮复习教案第4讲三角问题的题型与方法（3课时）一、考试内容角的概念的推广，弧度制；任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=1，sin a/cos a=tan a，tan a cot a=1，正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数y=Asi n(ωx+ψ)的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角；正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例。

二、考试要求1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。

6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。

7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。

三、复习目标1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．四、双基透视（一）三角变换公式的使用特点1．同角三角函数关系式(1)理解公式中“同角”的含义．(2)明确公式成立的条件。

三角函数第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念【学习目标】1.了解任意角的概念会用公式求扇形弧长、面积；2.会用三角函数定义求值，能判断三角函数在各象限的符号. 【教学过程】 一、基础自测1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )2.一扇形的圆心角α＝︒60，半径R ＝10 cm ，该扇形的面积为 .3.若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[必备知识] 1.角的概念(1)定义： .(2)分类： (3)终边相同的角： . 2.弧度制的定义和公式(1)定义： .(2)公式： . 3.设角α终边上异于原点的任意一点P (x ，y )，r ＝x 2＋y 2.三角函数 定义 定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin αcos αtan α角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180弧度 sin αcos α tan α二、典例精讲例1（1）已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________. （2）若α为第二象限角，则cos 2α，cos α2，1sin 2α中，其值必为正的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个归纳：巩固练习1:（1）已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.－32C.12D.32（2）设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角例2.扇形周长为20 cm ，这个扇形的面积最大时，扇形的圆心角α为 弧度归纳：巩固练习2（多选）已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2三、达标检测1.若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π162.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α等于( )A.－15B.3715C.3720D.13153.(多选)角α的终边在第一象限，则sinα2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋tan α2⎪⎪⎪⎪tan α2的值为( )A.－1B.1C.－3D.34.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.5.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M ),53(m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.思维导图 三角 函数任意角与弧度制任意角的三角函数角定义弧度制符号角度与弧度互化 特殊角弧度数 扇形弧长、面积三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式【学习目标】1.会用同角基本关系式解决给值求值问题；2.熟记诱导公式并会用诱导公式化简求值. 【教学过程】 二、基础自测1.若sin α＝55，π2<α<π，则αcos = tan α=2.若sin(π＋α)＝12，α∈02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则tan(π－α)等于( ) A ．－12B 3C 3D 33．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan α-=（ ）A ．–2B ．2C ．13- D ．134．sin 1 050°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 [必备知识]1.同角三角函数的基本关系平方关系： 商数关系： 2.公式 角 正弦 余弦 正切 口诀① 2k π＋α(k ∈Z )奇变偶不变，符号看象限② －α ③ π－α ④ π＋α⑤ π2－α⑥ π2＋α⑦ 32π＋α⑧ 32π－α三、典例精讲例1（1）已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α等于( )A.54 B ．－54 C.53 D ．－53（2）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈)4,0(π，则sin θ－cos θ的值为 ．归纳：巩固练习1:（1）已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ= ，tan θ＝ . 例2.（1）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin )22021(πα-等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45（2）已知sin )3(απ+＝1213，则cos )6(απ-等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 归纳：巩固练习2：（1）已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin )2(απ+·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817（2）sin )12(πα-＝13，则cos )1271(πα+＝ .四、达标检测1.已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－8172.已知(0,)απ∈，若2cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．14B 2C ．2D 143.(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sin B ＋C 2＝cos A2 C ．tan(A ＋B )＝－tan C )2(π≠C D ．cos(A ＋B )＝cos C4.sin 4π3·cos 5π6·tan )34(π-的值是 ．5.已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos )23(απ+－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)； (2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．思维导图三角函数第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简求值；2.会用辅助角公式化简求值. 【教学过程】 三、基础自测1.(多选)下面各式中，正确的是( )A.cos π12＝cos π3－cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos )12(π-＝cos π4cos π3＋64 D.3sin α＋cos α＝2sin )3(πα+2.已知tan θ＝2，则tan )4(πθ-＝ .3.cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . [必备知识]两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C α－β：cos(α－β)＝ ；(2)公式C α＋β：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S α＋β：sin(α＋β)＝ ；(4)公式S α－β：sin(α－β)＝ ； (5)公式T α＋β：tan(α＋β)＝ ；(6)公式T α－β：tan(α－β)＝ . (7)(辅助角公式)a sin α＋b cos α＝ .五、典例精讲例1（1）若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin )4(πα+等于( )A.－210B.210C.－7210D.7210（2）已知534cos 23sin 23=+αα，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23B 23C ．45-D ．45归纳：巩固练习1:（1）已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A.－211B.211C.112D.－112（2）若3sin s 2a a +=，则tan()πα+=（ ）A 3B 2C 2D 3例2.已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6归纳：巩固练习2：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ ..六、达标检测1.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( ) A.12 B.33 C.22 D.322.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α，tan β是方程x 2＋12x ＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( ) A.43 B.－2或12 C.12D.－2 3.（多选）已知3cos α－3sin α＝23cos(α＋φ)，则φ的值可能为（ ）A.π6 B.613π C. 6π- D.611π 4.已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 5.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值.思维导图 辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2三角函数第4课时 三角恒等变换【学习目标】1.熟记正弦、余弦、正切倍角公式；2.会用正弦、余弦、正切倍角公式、半角公式化简求值. 【教学过程】 四、基础自测1.sin 15°cos 15°等于( )A.－14B.14C.－12D.122.已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( )A.725B.－725C.2425D.－24253.计算：4tanπ123tan 2π12－3等于( )A.233B.－233C.239D.－239[必备知识]二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T 2α：tan 2α＝ .(4)(降幂公式)sin 2α＝ ，cos 2α＝ . (5)(半角公式)=2sinα，=2cosα.七、典例精讲例1（1）(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59正用、逆用公式变形正弦：正余余正符号同余弦：余余正正符号异（2）已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .归纳：巩固练习1:（1）(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255（2）已知()5sin 26cos 0απα+-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos 24απ⎛⎫ +⎪⎝⎭=（ ）A ．15-B ．15C ．35D ．45例2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于 . 归纳：巩固练习2：若1010)6cos(=+πθ，则)322cos(πθ- 等于 . 八、达标检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.792.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22B.12C.32D.－223.(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是( ) A.－12 B.12C.－2D.24.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值思维导图。

2020届高三二轮复习之三角函数一、化异名为同名即为化简，把一个复杂的式子化成一般形式f （x ）=Asin ()φω+x （以最常考的正弦函数为例），再来研究函数的图像与性质。

化简技巧1：函数有asin 2x-b 或者mcos 2x+n （也就是含二次式）可以往cos2x 方向化简。

（复杂点的可以用提公因式，拼凑等方法）例题1.已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 解：（1） 2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2cos cos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()max f x =，当2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =- 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.化简技巧2：往特殊三角比的值方向化，如sinx+cosx 可以化为2sin （x+4π）； sin2x+3cos2x 可以化为2sin （2x+3π）例题2. 设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （1）求函数y f (x )= 的值域（2）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值. 解：（1）()14cos sin sin cos 222f x x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数， 故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 二、根据图像求函数解析式1. 先看峰值，判断的振幅A 数值，符号根据图像的走势而定2. 看相邻的特殊点之间的距离来判断周期T ，a.相邻两个与x 轴交点的距离为2Tb.相邻两个点，一个是与x 轴交点，另一个是峰值点对应的x 值，之间的距离为4T 3.相邻两对称轴的距离为2T 4.基于以上，代入图像上某个点的坐标可求φ例题3. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ） A. 22 B. 3 C. 6 D. 0答案：C习题巩固一、选择题1．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=2. 若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为（ ）A. 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB. 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C. 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. {}22,ππ- 3．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最小值－21，则该函数解析式为（ ） A ．)63sin(2π-=x y B ．)63sin(21π+=x y C )63sin(21π-=x y D ．)63sin(21π-=x y 4．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 5.函数],[)0)(sin()(b a x M x f 在区间>+=ωϕω上为减函数，则函数],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上（ ）A ．可以取得最大值MB ．是减函数C ．是增函数D ．可以取得最小值－M二、解答题1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求 ()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数()tan(2),4f x x =+π（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，若()2cos 2,2f =αα求α的大小3、已知函数xx x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=. （1）求)(x f 的定义域及最小正周期；（2）求)(x f 的单调递减区间.4、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.5、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值.参考答案一、1-5 DDBAA二、1.（1）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（2）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1. 2、（1）由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π （2）由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα 22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即 3、解（1）：sin 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈ (sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x x f x x x x x -==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=-- 得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==； （2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈ 4、2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-， （1）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （2）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+= 得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.5、（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+. （2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=， ∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.。

第4讲 三角函数的图象与性质[学生用书P77]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且x ≠kπ＋π2，k ∈Z }值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶 性奇函数偶函数奇函数单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋π2，0)(k∈Z)对称中心是(kπ2，0)(k∈Z)常用结论(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．(3)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．()(2)若y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.()(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( )(4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )． ( ) (5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视y ＝A sin x (或y ＝A cos x )中A 对函数单调性的影响； (2)忽视正、余弦函数的有界性； (3)不注意正切函数的定义域．1．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是________． 答案：[2k π－π，2k π]，k ∈Z2．函数y ＝－cos 2x ＋3cos x －1的最大值为________． 答案：13．函数y ＝cos x tan x 的值域是________． 答案：(－1，1)第1课时 三角函数的单调性与最值[学生用书P78]三角函数的定义域(自主练透) 1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）解析：选D.由2x ＋π6≠k π＋π2，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z )． 2．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎨⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎨⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数y 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z3．(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 解析：方法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．方法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }． 方法三：sin x －cos x ＝2sin(x －π4)≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以函数y 的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }． 答案：{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．函数的单调性(多维探究) 角度一 求三角函数的单调区间(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．(2)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是________．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )， 得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)因为y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在R 上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 【迁移探究】 本例(3)中，将x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2改为x ∈[－π，π]，则函数的单调递减区间是________．解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π＋π2≤x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π6≤x ≤2k π＋7π6(k ∈Z )，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在R 上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z )．又x ∈[－π，π]，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．角度二 根据单调性求参数(1)(一题多解)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B ．π2 C.3π4D ．π(2)(一题多解)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.方法二：f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.于是，由题设得f ′(x )≤0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在区间[0，a ]上恒成立．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，a ＋π4，所以a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.(2)方法一：因为x ∈[－π2，2π3](ω>0)， 所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，因为f (x )＝2sin ωx 在[－π2，2π3]上是增函数， 所以⎩⎨⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34. 方法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，需⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω(ω>0)，即0<ω≤34.方法三：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z )，由题意知[－π2，2π3]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z ，ω>0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，π2ω≥2π3，即0<ω≤34.【答案】 (1)C (2)(0，34]已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的3种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A.A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cosx 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.2．(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：选B.由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B.3．若函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， 所以g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．又因为函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，0<a 3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，7π24三角函数的值域(师生共研)(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(3)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1求三角函数的值域(最值)的4种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)形如y ＝t ＋at (a >0，t >0)的可考虑基本不等式．1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，－π3≤x ≤π6，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 3D.3＋1解析：选C.f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为－π3≤x≤π6，所以－π6≤x ＋π6≤π3，故当x ＝π6时，f (x )取最大值为 3.故选C.2．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1的最大值为________．解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0，y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1＝2sin x cos x 3sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 3tan 2x ＋1＝23tan x ＋1tan x≤223＝33，当且仅当3tan x ＝1tan x 时等号成立，故最大值为33. 答案：33[学生用书P80]思想方法系列8 换元法求三角函数的最值(值域)已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是________． 【解析】 记t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，则函数f (x )可转化为g (t )＝－10t 2－10t－12＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2. 因为函数的最大值为2，显然此时t ＝－12. 令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由题意知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，当x ＝－π2时，t ＝－1，g (－1)＝－12，结合g (t )的图象及函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，可得－12≤sin m ≤0，解得－π6≤m ≤0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0对于函数y ＝a sin 2(ωx ＋φ)＋b sin(ωx ＋φ)＋c 的最值或值域问题，可通过换元(令t ＝sin(ωx ＋φ))转化为y ＝at 2＋bt ＋c 的最值或值域问题．用换元法求解此类问题时，需注意换元后“元”的取值范围的变化．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________．解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ， 则t ∈[－2，2]， 且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72. 答案：72[学生用书P377(单独成册)][A 级 基础练]1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( )A ．{x |x ≠π4}B ．{x |x ≠－π4}C ．{x |x ≠k π＋π4(k ∈Z )}D ．{x |x ≠k π＋3π4(k ∈Z )}解析：选D.y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π＋3π4(k ∈Z )．故选D.2．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．[－π2，π2] B ．[0，π] C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选 D.y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2.结合选项中图形知，D 正确．4．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z ) C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )解析：选A.f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选A.5．(2020·昆明市三诊一模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72 解析：选B.方法一：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，ω>0，所以ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3，故选B.方法二：当ω＝2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，满足题意，故排除A ，C ，D ，故选B.6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.答案：＞7．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin＝23.答案：238．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________．解析：方法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，7π5上单调递减，所以a 的最大值为7π5.方法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10， 而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5. 答案：7π59．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．解：令－π2≤2x －π6≤π2，则－π6≤x ≤π3. 令π2≤2x －π6≤3π2，则π3≤x ≤5π6.因为－π12≤x ≤π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2上单调递减． 当x ＝π3时，f (x )取得最大值为1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，所以当x ＝－π12时，f (x )min ＝－32. 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.[B 级 综合练]11．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对于一切x ∈R 恒成立，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )解析：选B.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对于x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数f (x )的最大值，即2×π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，2π)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ π6.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．故选B.12．(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＋1，则下列选项正确的是( )A ．当x ＝π6时，f (x )取得最大值B ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增C ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上单调递减D ．f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π12解析：选C.由题意可知f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.对于选项A ，当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，不是最大值，选项A 错误；对于选项B ，当2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )单调递增，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0不是f (x )的单调递增区间，选项B 错误；对于选项C ，当2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 时，f (x )单调递减，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6是f (x )的单调递减区间，选项C 正确；对于选项D ，由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，所以直线x ＝π12不是f (x )的图象的一条对称轴，选项D 错误．故选C.13．(2021·沈阳市教学质量监测(一))设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是________．解析：当x ∈[0，2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，因为f (x )＝[0，2π]有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋π5<6π，所以125≤ω<2910.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，291014．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.[C 级 提升练]15．(2021·湖北八校第一次联考)若函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，则函数g (x )＝cos x －3sin x 在区间[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值2D ．可以取得最小值－2解析：选 D.f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，g (x )＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3.f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，不妨令a ＋π3＝π2，b ＋π3＝3π2，则a ＋π2＋π3＝π，b ＋π2＋π3＝2π，故g (x )在[a ，b ]上既不是增函数，也不是减函数，g (x )在[a ，b ]上可以取得最小值－2，故选D.16．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( )A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cosB )B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B )C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B )D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )解析：选D.A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，cos A ＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误；当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cosB )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．。

高三数学第二轮专题复习 三角函数 班级 姓名1.cos300︒=( )A.312 C .1232.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B 3C ．22D 33.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是A ．23 B. 43 C . 32D. 3 4.已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=A.5- B .19- C.1955.为了得到函数的图像，只需把函数的图像 A.向左平移个长度单位 B .向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位6.下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 A.sin(2)2y x π=+B.cos(2)2y x π=+C.sin()2y x π=+D.cos()2y x π=+ 7.已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则A. ω=1 ϕ= 6πB. ω=1 ϕ=- 6πC. ω=2 ϕ= 6π D . ω=2 ϕ= -6π8.观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=( )A.()f xB.()f x -C. ()g x D .()g x -9.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A=A .030 B.060 C.0120 D.0150sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+4π4π2π2π10.函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ .11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为 .12.已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .13.在ABC ∆中，4π=A ，1010cos =B .（Ⅰ）求C cos ；（Ⅱ）设5=BC ，求CB CA ⋅的值.14.在ABC ∆中，AB =1BC =，3cos 4C =.（1）求sin A 的值； （2）求CA BC ⋅的值.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． （1）求b 的值； （2）求sinC 的值．16,已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-， 设()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期. （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小17.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；(II) 函数()f x 的单调增区间.18.已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期. (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

2023届新高考数学二轮复习：专题（三角函数的范围与最值）提分练习【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……． 二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A ．11 B ．13C ．15D ．17例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ） A．B．CD例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．43⎤⎥⎣⎦ C ．43⎫⎪⎪⎝⎭D ．43⎫⎪⎪⎣⎭例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．453⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B．1a ≤ C．2≥b D．2≤b 2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．53．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,44．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．233⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．2⎢⎣D ．32⎡⎢⎣二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为710．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ）A ．2AB = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭三、填空题13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=_______． 14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且对于任意的x R ∈都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ…，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______16．（2023ꞏ全国ꞏ高三对口高考）在ABC 中，)(),cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________17．（2023ꞏ高一课时练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________．18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，cos cos 4b C c B -=，43C ππ≤≤，则tan A 的最大值为_______.19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，若120BAC ∠=︒，点D 为边BC 的中点，1AD =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为______.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 22．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.25．（2023秋ꞏ湖南衡阳ꞏ高一衡阳市八中校考期末）设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围是___________.27．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r 米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I （区域ACD ），区域II （区域CBE ）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a 元，乙种花卉每平方米造价是3a 元，设∠BOC =θ，中植花卉总造价记为()f θ，现某同学已正确求得：()()2f arg θθ=，则()g θ=___________；种植花卉总造价最小值为___________.28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2sin cos 0,06f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭对任意12,x x R ∈都有()()12f x f x +≤若()f x 在[]0,π上的取值范围是3,⎡⎣，则实数ω的取值范围是__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，且2sin sin (sin sin )B A A C =+，则ABC 的周长的取值范围为__________． 30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD长的取值范围是_______; 四、解答题31．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；32．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,sin cos 6a b c b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若BD =，求a c +的取值范围．参考答案【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……．二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36【答案】A【答案解析】因为ABC 的内切圆的面积为16π，所以ABC 的内切圆半径为4．设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．因为7cos 25A =，所以24sin 25A =，所以24tan 7A =．因为1sin 2ABC S bc A ==△1()42a b c ++⨯，所以25()6bc a b c =++．设内切圆与边AC 切于点D ，由24tan 7A =可求得3tan 24A ==4AD ，则163AD =．又因为2b c a AD +-=，所以323b c a +=+．所以2532251626333bc a a ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为b c +≥323a +≥即23210016333a a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得21264a a --0≥．因为0a >，所以16a ≥，当且仅当403b c ==时，a 取得最小值． 故选：A ．例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C【答案解析】由题意，4x π=是()f x 的一条对称轴，所以14f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即11,42k k Z ππωϕπ+=+∈①又04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,4k k Z πωϕπ-+=∈②由①②，得()1221k k ω=-+，12,k k Z ∈又()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，所以24128T πππ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭ 即28ππω≥，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=当15ω=时，由①得1115,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即1113,4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ≤ 所以4πϕ=-，此时()sin 154f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,1224x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3315,428x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当1542x ππ-=-即60x π=-时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值【答案】B【答案解析】依题意30,2,90BCA BC A ∠==∠= ，所以1AC AB ==.设OCB α∠=，则30,090ABx αα∠=+<< ，所以()())30,sin 30Aαα++ ，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，所以()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ ，当23090,30αα+== 时，M 取得最大值为13122+=.OA xOB yOC =+ ，所以()()30sin 30,2sin 2cos x y αααα++==，所以()()30sin 302sin 2cos N x y αααα++=+=+12sin 2α=+，当290,45αα== 时，N 有最小值为1故选B. 例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 【答案】D【答案解析】由221a b +=，令sin ,cos a b θθ==， 由()sin cos f x a x b x cx =++，得()cos sin sin cos cos sin f x a x b x c x x c θθ'=-+=-+()sin x c θ=-+，所以()11c f x c '-≤≤+由题意可知，存在12,x x ，使得12()()1f x f x ''=-，只需要21111c c c -+=-≥，即211c -≤-，所以20c ≤，0c =，πsin cos 4a b c a b θθθ⎛⎫++=+=+=+≤ ⎪⎝⎭所以a b c ++故选: D.例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π，作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【答案解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈① 又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈， 由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈② 又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：02883221732ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．433⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．4,33⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【答案解析】在ABC 中，1sin()sin ,sin 2A CB S ac B +==， 故题干条件可化为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 故2cos c a B a =+，又由正弦定理化简得：sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，故B A A -=或B A A -=π-（舍去），得2B A =ABC 为锐角三角形，故02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<tan 1A <<114tan tan (,3tan()3tan 33A AB A A +=+∈- 故选：C例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．45⎡⎢⎣⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【答案解析】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：G 为ABC 的重心，D ∴为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅； 在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； BDC ADC π∠+∠= ，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，C ∴为锐角； 设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a ba b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 0a b >>，03b a ∴<<，由余弦定理得：22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 又C为锐角，cos 1C <<，即cos C的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]【答案】D【答案解析】因为,3A a π==，由正弦定理可得22sin sin sin 3ab cAB B π====⎛⎫-⎪⎝⎭， 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由ABC 的内角,,A B C 为锐角，可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3B B B =++22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选：D.例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．【答案解析】（1）由题意，50,100OA OM ==，则100,2MQ AM BAC π==∠=，设,2MAB NAC πθαθ∠=∠==-．若C ，P重合，1tan tan tan 2αθα=====75MB =，∴75tan tan MB MB AM θθθ<<<<=⋅=，tan NC AN α=⋅=而100100MF CP NC ==-=∴1tan 1001)tan BF MB MF θθ⎫=-=+-≥⎪⎭，当tan 1θ=（符合题意）时取等号，又1)70->， ∴可以修建70米长廊． （2）cos cos AM AN AB AC θα====cos )cos sin sin cos AB AC θθθθθθ++=+=．设sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则212sin cos t θθ=+，即21sin cos 2t θθ-=．AB AC t t+==-1）知tan 2θ<<，而132<<<<θ∃使42ππθ+=且3444πππθ<+<，即112t t t <≤<-≤，∴AB AC t t+=≥-4t πθ==时取等号． 由题意，AB AC DE DF +=+，则玻璃桥总长的最小值为米，∴铺设好亲水玻璃桥，最少需0.3=例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【答案解析】(1)πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：π1sin sin sin sin sin sin sin cos 322B A A B A B A B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin cos 02A B A B =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1sin 02B B =，即tan B =因为()0,πB ∈，所以π3B =， 因为3a =，2c =，由余弦定理得：2222cos 9467b a c ac B =+-=+-=， 因为0b >，所以b =，其中11sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△，所以2ABC S BD AC === 因为点E 为线段BD的中点，所以BE = 由题意得：EA ED DA BE DA =+=+，所以()227028BE EA BE BE DA BE ⋅=⋅+=+= . (2)由（1）知：π3B =，又2c =， 由正弦定理得：2πsin sin sin 3a cA CA ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2sin πsin 3A a A ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭()0,3，()11,4tan A +∈，故()1,4a =，ABC面积为1sin ,222S ac B a ⎛==∈ ⎝ 故ABC面积的取值范围是2⎛ ⎝.【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B ．1a C ．2≥b D ．2≤b 【答案】A【答案解析】设[]cos ,x t x m n ∈=，，因为n m -的最大值为3ππ22T>=，所以[,]x m n ∈时，cos t x =必取到最值，当3π2n m -=时，根据余弦函数对称性得cos 12π22m n m Z nk k ++=⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n mm k +-=-=-==-3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n m n k +-=+=+==-或者cos1π+2π22m n m n Z k k ++=-⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m m k +-=-=-=-=3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m n k +-=+=+=-=由()2212()()2cos 1cos 2cos cos 10f x f x x a b x x b x a ≤⇒-≤-⇒+-+≤，设[]cos ,x t x m n ∈=，时 ()2210t bt a +-+≤对应解为12t t t ≤≤，由上分析可知当1t =，21t ≥或11t ≤-，2t =n m -的最大值为3π2，所以122t t ≤-，即122a +-≤，所以1a ≥.12122b t t -=+≥-或12122b t t -=+≤-+，即2b ≤或2≥-b 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC 中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】C【答案解析】过点O 作,OD AC OE BC ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在ABC 中，AB CB CA =-，则222||||||2AB CA CB CA CB =+-⋅ ，即22||||22CA CB CA CB +-⋅=，21|cos |2CO CA CO CA OCA CD CA CA ⋅=∠=⋅=，同理21||2CO CB CB ⋅= ，因此，()OC AB CA CB OC CB CA CA CB CO CA CO CB CA CB ⋅+⋅=⋅-+⋅=⋅-⋅+⋅ 2222211||||2||||||1222CA CB CA CB CA +-=-+=-，由正弦定理得：||sin ||2sin 2sin sin 4AB B BCA B ACB π===≤∠ ，当且仅当2B π=时取“=”， 所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3. 故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4【答案】Acos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，Z k ∈，(0,)2C π∈ ，3C π∴=．由题cos cos A C a c +=cos cos 2b A Cb a ca +==，故cos cos sin sin 2sin A C bA C A+=，即sin cos sin sin cos 2b C A C A C ⋅+⋅==故()sin sin A C B +==即sin b B =由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ===，故a A =，b B =，又锐角ABC ，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，2π，2sin )sin()]3a b A B A A π∴+=++-1sin )4sin(26A A A A π+=+， (6A π∈ ，2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(4⎤⎦．故选：A ．4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．143⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦【答案】B【答案解析】当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，,6626x πππωπω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以262413312sin 62πωππωπ⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤， 又因函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，所以在(),0x ∈-∞上函数()f x 与()g x 的图象有两个交点，即方程231422x x x ωω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，所以22Δ3612003060102ωωω⎧⎪=->⎪-<⎨⎪⎪⨯+⨯+>⎩，解得3ω>，当233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，当0x ≥时，令()()2sin 6f x g x x x πωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由()()10f x g x -=>， 当562x ππω+=时，73x πω=， 此时，()()7203f xg x π-=-<， 结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：B.5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C【答案解析】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【答案解析】由函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω，令,42x k k Z ππωπ+=+∈，则()14,4k x k Zπω+=∈函数()f x 在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有4个整数k 符合，由()1404k ππω+≤≤，得140101444k k ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1,2,3k =， 即1434144ω+⨯≤<+⨯，131744ω∴≤<，故③正确； 对于①，(0,)x π∈ ，,444x ωωππππ⎡⎫∴+∈+⎪⎢⎣⎭，79,422ππωππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭当,442x ωππ7π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点；当,442x ωππ9π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期2T πω=，由131744ω≤<，则4141713ω<≤，881713T ππ∴<≤， 又88,21713πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()f x 的最小正周期可能是2π，故②正确； 对于④，015x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,，44154x ωωππππ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭,，又131744ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，78,1541515ωππππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 又8152ππ>，所以()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③ 故选：B7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【答案解析】对于A,()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T π< ， 所以在[]0,π上存在12,x x ，且12()1,()1f x f x ==- ，使得()()122f x f x -=，故A 错误； 由图象可知，函数在()0,π可能有两个最大值，故B 错误; 对于选项D,令,6x k k Z πωπ-=∈ ，则函数的零点为1(6x k k Z ππω=+∈ ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω， 函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，所以136196ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得1319[,66ω∈ ，故D 正确； 由对选项D 的分析可知，ω的最小值为136， 当02x π<< 时，11(,)6612x πππω-∈-， 但11(,)612ππ-不是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的子集， 所以函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调进增的，故C 错，故选：D.8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C A A C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A．2⎝ B．32⎛ ⎝C．2⎢⎣D．32⎡⎢⎣【答案】A【答案解析】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB b cC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin sin cos cos sin 3A C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin 326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤a c <+≤故选：A . 二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为7【答案】BCD【答案解析】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =，因为0πC <<，所以sin 0C >，故tan A = 又0πA <<，所以π3A =，故A 错误；对于B ，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为3b c a -=，即3b a c =+，代入上式得222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪⎝+-+⎪⎭⎭⎪⎝，整理得22320c a +-=，解得a =或2a c =-（舍去），则2b c =，所以222b a c =+，故B 正确；对于C ，设,,AB AC BC 边上的高分别是,,CE BF AD ，则由三角形面积公式易得222,,AD BF CE a b c ===，则()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，因为111a b c ++≥111a b c ==，即a b c ==时，等号成立，此时21sin 12S bc A ===，得2b =所以()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯=≤ ⎪⎝⎭C 正确； 对于D ，因为:2:BD DC c b =，所以22c AD AB AB BC b c BD =+=++()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ ，可得22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++，整理得()22227b c b c +=，故12c b +=所以()1222225b c b c b c c b c b ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭57⎛⎫≥=⎪⎪⎭，当且仅当22b c c b =且12c b +=，即7b c ==时，等号成立，所以2b c +≥2b c +D 正确. 故选：BCD.10．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【答案解析】()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122xx xf x x xx ===+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x xf x f x x xπππ++===+++，A 选项正确；B 选项：设()sin 22cos 2xf x t x==+，则()sin 2cos 222x t x t x ϕ-==+≤解得213t ≤，t ≤≤，即max t =，即()f xB 选项正确；C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；D 选项：()()()()()222cos 22cos 2sin 22sin 24cos 222cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'==++，令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k ππ=+或23x k ππ=+，Z k ∈， 当2,33x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增， 所以函数()f x 的极大值点为3π，43π，L ，()13n ππ+-， 又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，即60646067,33a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 选项正确； 故选：ABD.11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13【答案】ACD【答案解析】对于选项A ：。