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小学1-6年级数学『应用题解题公式大全』一、植树问题1.非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数＝段数＋1＝全长÷株距+1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)2.封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数3.延申问题：正方形、三角形等植树，上楼梯问题，敲钟问题，锯木头问题等。
小学1-6年级数学『应用题解题公式大全』二、盈亏问题(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数三、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间1、关注多次相遇问题：第一次相遇是一个全程，后面的每一次相遇是两个全程。
2、相遇的中点问题：两个人或者车相差距离是中点距离*2四、追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间五、流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2小学1-6年级数学『应用题解题公式大全』六、浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量七、利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)八、牛吃草问题同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”⑵草的生长速度=(对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数－较少天数)⑶原来的草量=对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数⑷吃的天数=原来的草量除以(牛的头数－草的生长速度)⑸牛的头数=原来的草量除以吃的天数+草的生长速度。
最新版苏教版1—6年级小学数学奥数公式一、青蛙爬井问题公式解法爬到井口天数=（总距离－变前距离）÷变后距离+1（注意：结果为小数：去小数后再加1）若为复合形式：变前距离=每一次上爬距离变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬和下滑的天数和特别注意：（若休息时间单独占天数，保持既不上爬也不下滑的状态）变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬、休息和下滑的天数和二、店主损失问题店主损失＝商品进价+找给顾客钱数其他都是扰乱题的因素！思维发散：如果问题问的是，买商品的人得到多少钱？就应该是85加售价15元的汽水，100元。
顾客收益＝商品售价+找给顾客钱数三、鸡兔同笼问题鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数) ÷(兔脚数－鸡脚数)兔数＝(总脚数－鸡脚数×总头数) ÷(兔脚数－鸡脚数)史上最简单最牛的鸡兔同笼的新解法题目：鸡兔同笼，头15、脚40，问几鸡几兔？我们家的鸡和兔都是经过严格训练的，当我吹哨，所有的鸡兔都抬起两只脚。
鸡只有2脚，只能一屁股坐在地上。
现在站在地上的只有兔子了，每只兔子是用2条腿站着的。
现在还剩10条腿，可以算出兔子有5只了！！！！！40 — 15=25 25 — 15 =10 10÷ 2 = 5兔数=（总脚数— 2倍总头数）÷ 2鸡数=总头数—兔数四、行程问题基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和追及问题：追及时间＝追及路程÷速度差追及路程＝速度差×追及时间速度差＝追及路程÷追及时间（时钟问题属于行程问题中的追及问题。
钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。
第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同〞的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似〞的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 〔一〕、“裂差〞型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：〔1〕分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
〔2〕分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接〞 〔3〕分母上几个因数间的差是一个定值。
〔二〕、“裂和〞型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：〔1〕11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 〔2〕2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的比照：裂差型运算的核心环节是“两两抵消到达简化的目的〞，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消〞型的，同时还有转化为“分数凑整〞型的，以到达简化目的。
一、常用公式1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)；6. 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；7.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．二、常用技巧1. 1001abcabc abc =⨯；2. 10101ababab ab =⨯；3.··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=， ··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=；4. 1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤．一、前n 项和【例 1】 222213519++++【巩固】 222222222221245781011131416++++++++++公式法计算例题精讲知识点拨【例 2】 计算：36496481400+++++【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++【巩固】 计算：333313599++++=___________．【例 4】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【例 5】 计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯= 。
小学数学1--6年级公式大全1、每份数×份数＝总数; 总数÷每份数＝份数；总数÷份数＝每份数2、 1倍数×倍数＝几倍数；几倍数÷1倍数＝倍数；几倍数÷倍数＝1倍数3、速度×时间＝路程；路程÷速度＝时间；路程÷时间＝速度4、单价×数量＝总价；总价÷单价＝数量；总价÷数量＝单价5、工作效率×工作时间＝工作总量；工作总量÷工作效率＝工作时间；工作总量÷工作时间＝工作效率6、加数＋加数＝和；和－一个加数＝另一个加数7、被减数－减数＝差；被减数－差＝减数；差＋减数＝被减数8、因数×因数＝积；积÷一个因数＝另一个因数9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学数学图形计算公式1、正方形： C=周长、S=面积、a=边长周长＝边长×4 C=4a ；面积=边长×边长S=a×a2、正方体： V=体积 a=棱长表面积=棱长×棱长×６ S表=a×a×6 ；体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3、长方形： C=周长、 S=面积、a=边长周长=(长+宽)×2 ；C=2(a+b)；面积=长×宽；S=ab4、长方体： V=体积、s=面积 a=长、b=宽、 h=高(1)表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 、S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高、V=abh5、三角形： s=面积、 a=底、 h=高面积=底×高÷2 s=ah÷2 ；三角形高=面积×2÷底；三角形底=面积×2÷高6、平行四边形： s=面积、 a=底、 h=高面积=底×高 s=ah7、梯形：s=面积、 a=上底、 b=下底、 h=高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形：S=面积、 C=周长、圆周率=π、 d=直径、 r=半径(1)周长=直径×π=2×π×半径 C=πd=2πr(2)面积=半径×半径×π9、圆柱体：v=体积、h=高、s=底面积、r=底面半径、c=底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高10、圆锥体：v=体积、 h=高、 s=底面积、 r=底面半径体积=底面积×高÷3和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数；(和－差)÷2＝小数和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)植树问题1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数; 株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1); 株距＝全长÷(株数＋1) 2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数; 株距＝全长÷株数盈亏问题(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)长度单位换算1公里＝1千米；1千米=1000米；1米=10分米；1分米=10厘米；1米=100厘米；1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷；1公顷=10000平方米；1平方米=100平方分米； 1平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米1公顷＝10000平方米；1亩＝666.666平方米体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米；1立方分米=1000立方厘米；1立方厘米＝1000立方毫米1立方分米=1升；1立方厘米=1毫升；1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000 千克；1千克=1000克；1千克=1公斤；1公斤 = 2市斤人民币单位换算1元=10角；1角=10分；1元=100分时间单位换算1世纪=100年；1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时；1时=60分；1分=60秒；1时=3600秒定义定理公式三角形的面积＝底×高÷2、公式S= a×h÷２正方形的面积＝边长×边长、公式S= a×ａ长方形的面积＝长×宽、公式S= a×b平行四边形的面积＝底×高、公式S= a×ｈ梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2、公式S=(a+b)h÷２内角和：三角形的内角和＝180度。
旗开得胜1一、常用公式1. (1)1232n n n ⨯+++++=L ； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=L ；3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=L L ； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L ；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)；6. 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；7. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．公式法计算知识点拨旗开得胜2二、常用技巧1. 1001abcabc abc =⨯；2. 10101ababab ab =⨯；3.··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=，··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=；4.1111111111123321n n n ⨯=L L L L 123123个个，其中9n ≤．一、前n 项和【例 1】 222213519++++L【考点】公式法之求和公式 【难度】2星 【题型】计算【解析】 222213519++++L2222222(12319)(2418)=++++-+++L L222119203941296=⨯⨯⨯-⨯+++L （）12470910196=-⨯⨯⨯例题精讲旗开得胜32470285=-2185=【答案】2185【巩固】 222222222221245781011131416++++++++++【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式22222222(1216)(3691215)=+++-++++L2222222221617335611(1216)3(12345)96614964951001⨯⨯⨯⨯=+++-⨯++++=-⨯=-=L 【答案】1001【例 2】 计算：36496481400+++++L【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式222267820=++++L()2222222221232012345=++++-++++L11202141561166=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 2870552815=-=【答案】2815旗开得胜4【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式()333333333123414152414=++++++-+++L L()()223331515181274⨯+=-⨯+++L22576002784=-⨯⨯ 8128=【答案】8128【巩固】 计算：333313599++++=L ___________．【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空【解析】 与公式()()222333112124n n n n ++++=++=L L 相比，333313599++++L 缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．原式()()333333312310024100=++++-+++L L()2233331100101212504=⨯⨯-⨯+++L旗开得胜522322111001012505144=⨯⨯-⨯⨯⨯ ()22250101251=⨯-⨯12497500=【答案】12497500【例 4】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空【解析】 原式()212320061232006+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1232006=+++⋅⋅⋅+()12006200612=⨯⨯+2013021=【答案】2013021【例 5】 计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯=L 。
一、常用公式1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)；6. 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；7.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．二、常用技巧1. 1001abcabc abc =⨯；2. 10101ababab ab =⨯；3.··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=， ··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=；4. 1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤．一、前n 项和【例 1】 222213519++++【巩固】 222222222221245781011131416++++++++++公式法计算例题精讲知识点拨【例 2】 计算：36496481400+++++【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++【巩固】 计算：333313599++++=___________．【例 4】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【例 5】 计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯= 。
一、常用公式1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4.()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++= ；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)；6. 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；7. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．二、常用技巧1. 1001abcabc abc =⨯；2. 10101ababab ab =⨯；3.··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=， ··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=； 4. 1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤．知识点拨公式法计算一、前n 项和【例 1】 222213519++++【考点】公式法之求和公式【难度】2星【题型】计算【解析】222213519++++ 2222222(12319)(2418)=++++-+++ 222119203941296=⨯⨯⨯-⨯+++ （）12470910196=-⨯⨯⨯2470285=-2185=【答案】2185【巩固】222222222221245781011131416++++++++++ 【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算 【解析】 原式22222222(1216)(3691215)=+++-++++2222222221617335611(1216)3(12345)96614964951001⨯⨯⨯⨯=+++-⨯++++=-⨯=-= 【答案】1001【例 2】 计算：36496481400+++++【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算 【解析】 原式222267820=++++()2222222221232012345=++++-++++11202141561166=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 2870552815=-=【答案】2815【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++ 【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】 原式()333333333123414152414=++++++-+++()()223331515181274⨯+=-⨯+++22576002784=-⨯⨯ 8128=【答案】8128【巩固】 计算：333313599++++= ___________． 【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空 【解析】 与公式()()222333112124n n n n ++++=++=相比，333313599++++ 缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．原式()()333333312310024100=++++-+++例题精讲()2233331100101212504=⨯⨯-⨯+++ 22322111001012505144=⨯⨯-⨯⨯⨯ ()22250101251=⨯-⨯12497500=【答案】12497500【例 4】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空 【解析】 原式()212320061232006+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1232006=+++⋅⋅⋅+()12006200612=⨯⨯+2013021= 【答案】2013021【例 5】 计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯= 。
【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++ =2+10025=10325=2550××（）（方法二）根据12398991005050++++++= ，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ×−（）， 所以，第102项321021205=+×=（-）；由“项数=(末项−首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499−÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+−×5(281)1=+−×32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
二、年龄问题年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；三、归一问题归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；四、植树问题五、鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
六、盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
七、牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
一、青蛙爬井问题公式解法爬到井口天数=（总距离－变前距离）÷变后距离+1（注意：结果为小数：去小数后再加1）若为复合形式：变前距离=每一次上爬距离变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬和下滑的天数和特别注意：（若休息时间单独占天数，保持既不上爬也不下滑的状态）变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬、休息和下滑的天数和二、店主损失问题店主损失＝商品进价+找给顾客钱数其他都是扰乱题的因素！思维发散：如果问题问的是，买商品的人得到多少钱？就应该是85加售价15元的汽水，100元。
顾客收益＝商品售价+找给顾客钱数三、鸡兔同笼问题鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数) ÷(兔脚数－鸡脚数)兔数＝(总脚数－鸡脚数×总头数) ÷(兔脚数－鸡脚数)史上最简单最牛的鸡兔同笼的新解法题目：鸡兔同笼，头15、脚40，问几鸡几兔？我们家的鸡和兔都是经过严格训练的，当我吹哨，所有的鸡兔都抬起两只脚。
鸡只有2脚，只能一屁股坐在地上。
现在站在地上的只有兔子了，每只兔子是用2条腿站着的。
现在还剩10条腿，可以算出兔子有5只了40 — 15=25 25 — 15 =10 10÷ 2 = 5兔数=（总脚数—2倍总头数）÷ 2鸡数=总头数—兔数四、行程问题基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和追及问题：追及时间＝追及路程÷速度差追及路程＝速度差×追及时间速度差＝追及路程÷追及时间（时钟问题属于行程问题中的追及问题。
钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。
每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。
一、常用公式1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++−=++++−++−++++=；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q −−=++⋅⋅⋅+=−(1q ≠)； 6. 平方差公式：()()22a b a b a b −=+−；7. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b −=−+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．二、常用技巧1. 1001abcabc abc =⨯；2.10101ababab ab =⨯；3. ··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=，··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=；4. 1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤．一、前n 项和【例 1】 222213519++++【巩固】 222222222221245781011131416++++++++++公式法计算例题精讲知识点拨【例 2】 计算：36496481400+++++【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++【巩固】 计算：333313599++++=___________．【例 4】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【例 5】 计算：2004200320032002200220012001200021⨯−⨯+⨯−⨯++⨯= 。
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系,能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起,最后再与前面的数相乘，使得运算简便.例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= (去8数，重点记忆)711131001⨯⨯=(三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率：a ×b =b ×a乘法结合率：（a ×b ） ×c =a ×（b ×c ）乘法分配率：（a +b ） ×c =a ×c +b ×c积不变规律：a ×b =（a ×c ） ×(b ÷c )=（a ÷c ） ×(b ×c )二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即:()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家)． 例如:a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×"时，去括号后,括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后,括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变;括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×"．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．小数乘除法速算巧算教学目标 知识点拨例题精讲一，乘5、15、25、125【例 1】计算：2.1257.532⨯⨯【巩固】计算：0.1250.250.564⨯⨯⨯二,乘9、99、999三，乘11、111、101四,其它乘法五，除法【例 2】已知1.08 1.2 2.310.8÷÷=÷□，其中□表示的数是 .六，乘除混合【例 3】20.357 1.1 1.3 1.7 1.9 3.80.51 6.57.7⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷÷÷÷。
本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。
要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。
一、基本运算律及公式一、加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。
即：a ＋b ＝b ＋a其中a ，b 各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a ＋b ＋c ＝（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）其中a ，b ，c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a －b －c ＝a －c －b ，a －b ＋c ＝a ＋c －b ，其中a ，b ，c 各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a ＋（b －c ）＝a ＋b －ca －（b ＋c ）＝a －b －ca －（b －c ）＝a －b ＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a ＋b －c ＝a ＋（b －c ）a －b ＋c ＝a －（b －c ）a －b －c ＝a －（b ＋c ）二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一知识点拨教学目标分数加减法速算与巧算个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）【例 1】11410410042282082008+++=_____【例 2】 如果111207265009A +=，则A =________（4级）模块一：分组凑整思想 【例 3】 11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++【例 4】 1111222233318181923420345204520192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例 5】 分母为1996的所有最简分数之和是_________【巩固】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。
