2020中考数学多边形与平行四边形专题复习(含解析)

多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。

2020年中考数学人教版专题复习：多边形与平行四边形考点梳理多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例精析典例1 若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】180°×（n–2）=720°，解得n=6．故选B．典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.拓展1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或17 2．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形平行四边形的性质平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．典例精析典例3 在Y ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A ．3∶4∶3∶4B ．5∶2∶2∶5C ．2∶3∶4∶5D ．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，∠B =∠D ，∴在Y ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A ．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键． 拓展3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为 A ．4，4，8，8B ．5，5，7，7C ．5.5，5.5，6.5，6.5D ．3，3，9，9平行四边形的判定平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面． 典例精析典例4 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线的交点是O ，直线EF 过O 点，且平行于AD ，直线GH 过O 点且平行于AB ，则图中平行四边形共有A ．15个B ．16个C ．17个D ．18个【答案】D【解析】平行四边形有：AEOG ，AEFD ，ABHG ，GOFD ，GHCD ，EBHO ，EBCF ，OHCF ，ABCD ，EHFG ，AEHO ，AOFG ，EODG ，BHFO ，HCOE ，OHFD ，OCFG ，BOGE ． 共18个． 故选D ． 拓展Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y YY Y Y4．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形同步测试1．下面四个图形中，是多边形的是2．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是A．3 B．4 C．5 D．63．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加A．180°B．360°C．(n–2)·180°D．n180°4．平行四边形一定具有的性质是A．四边都相等B．对角相等C．对角线相等D．是轴对称图形5．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B= A．100°B．120°C．135°D．150°6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG=EF，其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AB =10 cm ，AD =8 cm ，AC ⊥BC ，则OB =_________cm ．8．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________． 9．如图，某人从点A 出发，前进5 m 后向右转60°，再前进5 m 后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A 时，共走了__________m ．10．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，则的度数为__________．11．如图，在平行四边形ABCD 中，若AB =6，AD =10，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长．Y ABCD BD A A '1248∠=∠=︒A ∠'12．如图，在ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE ，F 为CD 边上一点，且满足∠DFA =2∠BAE ．（1）若∠D =105°，∠DAF =35°．求∠FAE 的度数； （2）求证：AF =CD +CF ．13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 的中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF =EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF ． （1）求证：四边形DBCF 是平行四边形； （2）若∠A =30°，BC =4，CF =6，求CD 的长．Y14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．。

第22讲多边形与平行四边形1. (2019，河北)下列图形为正多边形的是(D)A. B. C. D.【解析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．2. (2015，河北)如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝24°.第2题图【解析】正三角形的每个内角的度数是180°÷3＝60°，正方形的每个内角的度数是360°÷4＝90°，正五边形的每个内角的度数是[(5－2)×180°]÷5＝108°，正六边形的每个内角的度数是[(6－2)×180°]÷6＝120°，则∠3＋∠1－∠2＝(90°－60°)＋(120°－108°)－(108°－90°)＝24°.3. (2015，河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的．她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.第3题图(2)按嘉淇的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形的对边相等 ．(1)解：CD 平行(2)证明：如答图，连接BD .∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB .∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴四边形ABCD 是平行四边形．(3)解：平行四边形的对边相等第3题答图4. (2012，河北)如图，在▱ABCD 中，∠A ＝70°.将平行四边形折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E 处(点F ，E 都在AB 所在的直线上)，折痕为MN ，则∠AMF 的度数为(B )第4题图A. 70°B. 40°C. 30°D. 20°【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD.根据折叠的性质，可得MN ∥AE ，∠FMN ＝∠DMN.∴AB ∥CD ∥MN.∵∠A ＝70°，∴∠FMN ＝∠DMN ＝∠A ＝70°.∴∠AMF ＝180°－∠DMN －∠FMN ＝180°－70°－70°＝40°.5. (2012，河北)如图①，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．如图②，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接．若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 6 .第5题图【解析】 因为正六边形的每个内角都是120°，所以拼成的正多边形的每个内角的度数为360°－120°－120°＝120°.列方程，得()n －2×180°n＝120°.解得n ＝6.借助多边形边与角的性质解决问题例1 (2019，徐州)如图，A ，B ，C ，D 为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则∠OAD ＝ 30° .例1题图【解析】 如答图，连接OB ，OC.正多边形的每个外角相等，且其和为360°.据此可得该正多边形的边数为360°40°＝9.∴∠AOB ＝360°9＝40°.∴∠AOD ＝40°×3＝120°.∴∠OAD ＝180°－∠AOD 2＝30°.例1答图针对训练1 (2019，枣庄)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图①所示)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE .图中，∠BAC ＝ 36° .训练1题图【解析】 ∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°，△ABC 是等腰三角形，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°.针对训练2 (2019，铜仁)如图所示的是矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a ＋b 不可能是(C )训练2题图A. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【解析】 一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个选项，只有630不能被180整除，所以a ＋b 不可能是630°.借助平行四边形的性质求边和角例2 (2019，邯郸模拟)如图，在▱ABCD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ，BD 的垂直平分线分别交AB ，CD 于点E ，F ，垂足为O .(1)求tan ∠ABD 的值；(2)求证：OE ＝OF ；(3)连接DE ，BF .若AD ＝6，求四边形DEBF 的周长．例2题图(1)解：∵∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4AD 2－AD 2＝3AD .∴tan ∠ABD ＝AD BD ＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .∴∠OBE ＝∠ODF .∵EF 是BD 的垂直平分线，∴OB ＝OD .在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)．∴OE ＝OF .(3)解：由(2)得OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．∵EF ⊥BD ，∴四边形DEBF 是菱形．∴DE ＝BE ＝BF ＝DF .由(1)得BD ＝3AD ＝63，∴OB ＝3 3.∵sin ∠ABD ＝AD AB ＝12， ∴∠OBE ＝30°.∴BE ＝OB cos 30°＝6. ∴四边形DEBF 的周长为6×4＝24.针对训练3 (2019，遂宁)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于点E ，连接BE .若▱ABCD 的周长为28，则△ABE 的周长为(D )训练3题图A.28B.24C. 21D. 14【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC.∵▱ABCD 的周长为28，∴AB ＋AD ＝14.∵OE ⊥BD ，∴OE 是线段BD 的垂直平分线．∴BE ＝ED.∴△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋AD ＝14.平行四边形的判定和性质例3 (2019，河池)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是(B )例3题图A. ∠B ＝∠FB. ∠B ＝∠BCFC. AC ＝CFD. AD ＝CF【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE 綉12AC.根据∠B ＝∠F 不能判定CF ∥AB ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项A 错误．根据∠B ＝∠BCF 可以判定CF ∥AB ，即CF ∥AD.由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故选项B 正确．根据AC ＝CF 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项C 错误．根据AD ＝CF 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项D 错误．针对训练4 (2019，唐山古冶区一模)顺次连接平面上A ，B ，C ，D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ，②BC ＝AD ，③∠A ＝∠C ，④∠B ＝∠D 四个条件中任取其中两个，不一定能得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的是(A )A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④【解析】 当①AB ∥CD ，③∠A ＝∠C 时，四边形ABCD 为平行四边形．当①AB ∥CD ，④∠B ＝∠D 时，四边形ABCD 为平行四边形．当③∠A ＝∠C ，④∠B ＝∠D 时，四边形ABCD 为平行四边形．当①AB ∥CD ，②BC ＝AD 时，四边形ABCD 可能为等腰梯形，也可能是平行四边形．针对训练5 (2019，遂宁)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，延长BC 到点E ，使CE ＝BC ，连接AE 交CD 于点F ，F 是CD 的中点．求证：(1)△ADF ≌△ECF ；(2)四边形ABCD 是平行四边形．训练5题图证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠E .∵F 是CD 的中点，∴DF ＝CF .在△ADF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ，∠AFD ＝∠EFC ，DF ＝CF ，∴△ADF ≌△ECF (AAS)．(2)∵△ADF ≌△ECF ，∴AD ＝EC .∵CE ＝BC ，∴AD ＝BC .∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．一、 选择题1. (2019，白银)如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是(C )第1题图A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【解析】 正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°.2. (2019，湘西州)已知一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边形是(D )A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形【解析】设这个多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.3. (2019，福建)已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为(B)A. 12B. 10C. 8D. 6【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形的边数为10.4. (2019，邯郸一模)如图，P为▱ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB的面积分别为S，S1，S2.若S＝2，则S1＋S2的值为(C)第4题图A. 4B. 6C. 8D. 不能确定【解析】∵E，F分别是PB，PC的中点，∴EF为△PCB的中位线．∴EF∥BC，EF ＝1∶S△PBC＝1∶4.∵S△PEF＝2，∴S△PBC＝8.∵四2BC.∴△PEF∽△PBC，且相似比为1∶2.∴S△PEF边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴S1＋S2＝S△PBC＝8.5. (2019，石家庄模拟)证明：平行四边形的对角线互相平分．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.求证：AO＝CO，BO＝DO.以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是(C)①∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形．③∴AB∥CD，AB＝DC.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA＝OC，OB＝OD.第5题图A. ②①③④⑤B. ②③⑤①④C. ②③①④⑤D. ③②①④⑤【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC.∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.∴△AOB≌△COD.∴OA＝OC，OB＝OD.∴正确的顺序为②③①④⑤.6. (2019，邯郸模拟)如图，在▱ABCD中，E，F分别在BC，AD上．若想要使四边形AECF 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是(B)第6题图A. AF ＝ECB. AE ＝CFC.∠BAE ＝∠FCDD. ∠BEA ＝∠FCE【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AF ∥EC.∵AF ＝EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项A 不符合题意．根据AE ＝CF ，四边形AECF 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．故选项B 符合题意．由∠BAE ＝∠FCD ，∠B ＝∠D ，AB ＝CD ，可以推出△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF.∵AD ＝BC ，∴AF ＝EC.∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项C 不符合题意．∵∠BEA ＝∠FCE ，∴AE ∥CF.∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项D 不符合题意．7. (2019，盘锦大洼区一模)已知▱ABCD ，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论不一定成立的是(C )第7题图A. ∠DAE ＝∠BAEB. ∠DEA ＝12∠DAB C. DE ＝BE D. BC ＝DE【解析】 由作法可知AE 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠BAE.故选项A 不符合题意．∵CD∥AB ，∴∠DEA ＝∠BAE ＝12∠DAB.故选项B 不符合题意．无法证明DE ＝BE ，故选项C 符合题意．∵∠DAE ＝∠DEA ，∴AD ＝DE.∵AD ＝BC ，∴BC ＝DE.故选项D 不符合题意．8. (2019，葫芦岛连山区一模)如图，一个平行四边形被分成面积为S 1，S 2，S 3，S 4的四个小平行四边形．当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1S 4与S 2S 3的大小关系为(C )第8题图A. S 1S 4＞S 2S 3B. S 1S 4＜S 2S 3C. S 1S 4＝S 2S 3D. 无法确定【解析】 如答图，设直线CG 到EF 的距离为h 1，EF 到AB 的距离为h 2.根据平行四边形的性质知，S 1＝AD·h 1，S 4＝BD·h 2，S 2＝AD·h 2，S 3＝BD·h 1，∴S 1S 4＝AD·BD·h 1·h 2，S 2S 3＝AD ·BD ·h 1·h 2.∴S 1S 4＝S 2S 3.第8题答图 9. (2019，广州)如图，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是(B )第9题图A. EH ＝HGB. 四边形EFGH 是平行四边形C. AC ⊥BDD. △ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍【解析】 ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，∴EH ＝12AD ＝2，HG ＝12CD ＝12AB ＝1.∴EH ≠HG .故选项A 错误．∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，∴EH ＝12AD ＝12BC ＝FG ，EH ∥AD ，FG ∥BC.∵AD ∥BC ，∴EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．故选项B 正确．由题目中的条件，无法判断AC和BD 是否垂直，故选项C 错误．∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF ＝12AB ，EF ∥AB.∴△EFO ∽△ABO.∴S △EFOS △ABO ＝⎝⎛⎭⎫EF AB 2＝14，即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍．故选项D 错误．10. (2019，威海)如图，E 是▱ABCD 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE 交CD 于点F .添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是(C )第10题图A. ∠ABD ＝∠DCEB. DF ＝CFC. ∠AEB ＝∠BCDD. ∠AEC ＝∠CBD【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴DE ∥BC ，∠ABD ＝∠CDB.∵∠ABD ＝∠DCE ，∴∠DCE ＝∠CDB.∴BD ∥CE.∴四边形BCED 为平行四边形．故选项A 不符合题意．∵DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠CBF.在△DEF 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEF ＝∠CBF ，∠DFE ＝∠CFB ，DF ＝CF ，∴△DEF ≌△CBF(AAS )．∴EF ＝BF.∵DF ＝CF ，∴四边形BCED 为平行四边形．故选项B 不符合题意．∵AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBF.∵∠AEB ＝∠BCD ，∴∠CBF ＝∠BCD.∴CF ＝BF.同理，EF ＝DF.∴不能判定四边形BCED 为平行四边形．故选项C 符合题意．∵AE ∥BC ，∴∠DEC ＋∠BCE ＝∠EDB ＋∠DBC ＝180°.∵∠AEC ＝∠CBD ，∴∠EDB ＝∠BCE.∴四边形BCED 为平行四边形．故选项D 不符合题意．二、 填空题11. (2019，济宁)如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 140°.第11题图【解析】 该正九边形的内角和为180°×(9－2)＝1 260°，则每个内角的度数＝1 260°9＝140°.12. (2019，百色)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成▱A ′B ′C ′D ′.当变形后图形面积是原图形面积的一半时，∠A ′＝ 30°.第12题图【解析】 ∵S ▱A ′B ′C ′D ′＝12S 矩形ABCD ，∴▱A ′B ′C ′D ′的底边A′D′上的高等于AB 的一半．∵A ′B ′＝AB ，∴∠A′＝30°.13. (2019，广安)如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE ＝ 72 °.第13题图【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠EAB ＝∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°.∵BA ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°.同理∠ABE ＝36°.∴∠AFE ＝∠ABF ＋∠BAF ＝36°＋36°＝72°.14. (2019，梧州)如图，在▱ABCD 中，∠ADC ＝119°，BE ⊥DC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，BE 与DF 相交于点H ，则∠BHF ＝ 61 °.第14题图【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝119°，∴∠C ＝61°.∵BE ⊥DC ，DF ⊥BC ，∴∠C ＋∠CBE ＝∠FBH ＋∠BHF ＝90°.∴∠BHF ＝∠C ＝61°.15. (2019，达州)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为 16 .第15题图【解析】 ∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴BO ＝DO ＝12BD.∴BD ＝2OB ，O为BD 的中点．∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2BE ，BC ＝2OE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD.∴CD ＝2BE.∵△BEO 的周长为8，∴OB ＋OE ＋BE ＝8.∴BD ＋BC ＋CD ＝2OB ＋2OE ＋2BE ＝16.∴△BCD 的周长是16.16. (2019，株洲)如图，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角∠EAB 的平分线相交于点P ，且∠ABP ＝60°，则∠APB ＝ 66 °.第16题图【解析】 ∵五边形ABCDE 为正五边形，∴∠EAB ＝108°.∵AP 是∠EAB 的平分线，∴∠PAB ＝54°.∵∠ABP ＝60°，∴∠APB ＝180°－60°－54°＝66°.17. (2019，武汉)如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，AE ＝EF ＝CD ，∠ADF ＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE 的度数为 21° .第17题图【解析】 设∠ADE ＝x.∵AE ＝EF ，∠ADF ＝90°，∴DE ＝12AF ＝AE ＝EF.∴∠DAE ＝∠ADE ＝x.∵AE ＝EF ＝CD ，∴DE ＝CD.∴∠DCE ＝∠DEC ＝2x.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠BCA ＝x.∴∠DCE ＝∠BCD －∠BCA ＝63°－x.∴2x ＝63°－x.解得x ＝21°，即∠ADE ＝21°.18. (2019，宜宾)如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，AD ∥BC ，则∠DAB ＝ 60° .第18题图【解析】 六边形ABCDEF 的内角和为(6－2)×180°＝720°.∵六边形ABCDEF 的内角都相等，∴∠B ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠DAB ＝180°－∠B ＝60°.三、 解答题19. (2019，安徽)如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE . (1)求证：△BCE ≌△ADF ；(2)设▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求ST的值．第19题图(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°.∵AF ∥BE ，∴∠EBA ＋∠BAF ＝180°. ∴∠CBE ＝∠DAF . 同理∠BCE ＝∠ADF .在△BCE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠DAF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠ADF ，∴△BCE ≌△ADF (ASA)．(2)解：∵点E 在▱ABCD 内部， ∴S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD .由(1)知△BCE ≌△ADF ，∴S △BCE ＝S △ADF . ∴S 四边形AEDF ＝S △ADF ＋S △AED ＝S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD . ∵▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ， ∴S T ＝S12S ＝2. 20. (2019，保定二模)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 的中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF ＝EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF .(1)求证：四边形DBCF 是平行四边形；(2)若∠A ＝30°，BC ＝4，CF ＝6，求CD 的长．第20题图(1)证明：∵E 为CD 的中点， ∴CE ＝DE . ∵EF ＝BE ，∴四边形DBCF 是平行四边形．(2)解：∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴CF ∥AB ，DF ∥BC .∴∠FCG ＝∠A ＝30°，∠CGF ＝∠ACB ＝90°.∴∠CGD ＝90°. 在Rt △FCG 中，CF ＝6， ∴FG ＝12CF ＝3，CG ＝3 3.∵DF ＝BC ＝4， ∴DG ＝1.在Rt △DCG 中，由勾股定理，得CD ＝27.21. (2019，唐山丰润区二模)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD .求证：(1)△ABC ≌△DEF ； (2)AD 与BE 互相平分．第21题图证明：(1)∵FB＝CE，∴FB＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF.∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE.∴△ABC≌△DEF.(2)如答图，连接BD，AE.∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE.又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AD与BE互相平分．第21题答图22. (2019，邢台二模)如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC.(1)求证：△ADE≌△BDC；(2)若∠AEB＝36°，求∠EDC的度数；(3)若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．第22题图(1)证明：∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ADE＝∠BDC.∵DA＝DB，DE＝DC，∴△ADE≌△BDC.(2)解：∵△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠C.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.∵∠AEB＝36°，∴∠AED＝∠DEC＝∠C＝72°.∴∠EDC＝36°.(3)证明：∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠DAE＝∠OBE.∴∠OEB＝∠DAE.∴DA∥BC.∴∠ADB＝∠OBE.∴∠ADB＝∠DAE.∴OA＝OD.∴AE＝BD.∴AE＝AD.∴AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．1. (2019，云南)在▱ABCD 中，∠A ＝30°，AD ＝43，BD ＝4，则▱ABCD 的面积为( 163或83 ).【解析】 过点D 作DE ⊥AB 于点E.在Rt △ADE 中，∵∠A ＝30°，AD ＝43，∴DE ＝12AD ＝23，AE ＝32AD ＝6.在Rt △BDE 中，∵BD ＝4，∴BE ＝BD 2－DE 2＝42－（23）2＝2.如答图①，AB ＝8.∴▱ABCD 的面积为AB ·DE ＝8×23＝16 3.如答图②，AB ＝4，∴▱ABCD 的面积为AB·DE ＝4×23＝8 3.综上所述，▱ABCD 的面积为163或8 3.第1题答图2. (2019，秦皇岛海港区模拟)如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2.过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E .设OD ＝a ，OE ＝b ，则a ＋2b 的取值范围是 2≤a ＋2b ≤5 .第2题图【解析】 如答图①，过点P 作PH ⊥OY 于点H.∵PD ∥OY ，PE ∥OX ，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP ＝∠XOY ＝60°.∴EP ＝OD ＝a.在Rt △HEP 中，∠EPH ＝30°，∴EH ＝12EP＝12a.∴a ＋2b ＝2⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＝2(EH ＋EO)＝2OH.当点P 在AC 边上时，点H 与点C 重合，此时OH 的最小值为OC ＝12OA ＝1，即a ＋2b 的最小值是2.当点P 在点B 时，如答图②，OC ＝1，AC ＝BC ＝ 3.在Rt △CHP 中，∠HCP ＝30°，∴CH ＝32.∴OH 的最大值是OC ＋CH ＝1＋32＝52，即a ＋2b 的最大值是5.∴2≤a ＋2b ≤5.第2题答图3. (2019，玉林)如图，在正方形ABCD 中，分别过顶点B ，D 作BE ∥DF 交对角线AC所在直线于E，F两点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH.(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；(2)已知AB＝22，EB＝4，tan∠GEH＝23，求四边形EHFG的周长．第3题图(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA.∵∠BAC＝∠BEA＋∠ABE，∠DCA＝∠CFD＋∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∵BH＝DG，∴EH＝GF.∵EH∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形．(2)解：如答图，连接BD，交EF于点O，过点F作FM⊥EH，交EH的延长线于点M.∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB.∴∠AOB＝∠COD＝90°.∵AB＝22，∴OA＝OB＝2.在Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°.∴EO＝2 3.∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∠FDO＝∠EBO.∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴OF＝OE＝2 3.∴EF＝4 3.∴FM＝23，EM＝6.∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH.∴tan∠GEH＝tan∠FHM＝FMHM＝2 3.∴23HM＝2 3.∴HM＝1.∴EH＝EM－HM＝6－1＝5，FH＝FM2＋HM2＝（23）2＋12＝13.∴四边形EHFG的周长为2EH＋2FH＝2×5＋2×13＝10＋213.第3题答图。

第四篇图形的性质专题20 多边形与平行四边形☞解读考点知识点名师点晴多边形多边形的内角和理解多边形的内角和，并会求一个多边形的内角和多边形的外角和掌握多边形的外角和，并能来解决相关问题平行四边形平行四边形的性质理解并掌握平行四边形的性质，并能熟练地应用平行四边形的性质来解答有关线段和角的计算平行四边形的判定理解并掌握平行四边形的判定，并会用判定方法证明一个四边形是平行四边形☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017云南省）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】C．【解析】考点：多边形内角与外角．2．（2017北京市）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B．【解析】试题分析：设多边形为n边形，由题意，得：（n﹣2）•180°=150n，解得n=12，故选B．考点：多边形内角与外角．3．（2017四川省阿坝州）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选C．考点：多边形内角与外角．4．（2017临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C．【解析】考点：多边形内角与外角．5．（2017湖北省宜昌市）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B．【解析】试题分析：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°，∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，故选B．考点：多边形内角与外角．6．（2017上海市）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【答案】C．【解析】考点：1．矩形的判定；2．平行四边形的性质．7．（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：D C=3：1．若函数kyx（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（）A．33B．32C．233D．3【答案】D．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），∴BC=4，∵DB：D C=3：1，∴B（﹣3，OD），C（1，OD），∵∠BAO=60°，∴∠COD=30°，∴OD=3，∴C（1，3），∴k=3，故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．平行四边形的性质．8．（2017四川省广安市）下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C．【解析】考点：1．中点四边形；2．平行四边形的性质；3．菱形的判定；4．矩形的判定与性质；5．正方形的判定． 9．（2017山东省东营市）如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若BF =8，AB =5，则AE 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．12 【答案】B ． 【解析】试题分析：连结EF ，AE 与BF 交于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OB =12BF =4，OA =12AE ．∵AB =5，在Rt △AOB 中，AO =2516 =3，∴AE =2AO =6．故选B ．考点：1．作图—基本作图；2．平行四边形的性质．10．（2017山东省青岛市）如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，AB =3，AC =2，BD =4，则AE 的长为（ ）A ．23 B ．23C ．721D ．7212【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．11．（2017广东省广州市）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF 的周长=18，故选C．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质．12．（2017广西河池市）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B．【解析】考点：1．作图—基本作图；2．平行四边形的性质．13．（2017江苏省常州市）如图，已知▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，连接AC ．若EF =2，FG =GC =5，则AC 的长是（ ）A ．12B ．13C ．65D ．83 【答案】B ． 【解析】试题分析：如图，设AC 与DF 交于M ，AC 与EH 交于N ．∵四边形ABCD 是平行四边形，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，∴易证四边形EFGH 是矩形，△ABE ≌△CDG ，△AEN ≌△CGM ，∴FG =EH =CG =5，EF =GH =2，CH =7，EN =GM ，CM =AN ，∵EH =FG ，∴FM =NH ，设GM =EN =x ，则HN =FN =5﹣x ，∵GM ∥HN ，∴MG CG HN CH =，∴557x x =-，∴x =2512，在Rt △CMG 中，CM =AN 22255()12+6512，在Rt △CNH 中，CN 22357()12+9112，∴AC =AN +CN =6512+9112=13，故选B ． 考点：1．平行四边形的性质；2．压轴题．14．（2017辽宁省辽阳市）如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（）A．2 B．1 C．3D．2【答案】B．【解析】考点：平行四边形的性质．15．（2017黑龙江省绥化市）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AFFD；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③【答案】D．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．二、填空题16．（2017湖南省益阳市）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．【答案】108°．【解析】试题分析：∵五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案为：108°．考点：多边形内角与外角．17．（2017湖南省邵阳市）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为．【答案】90°．【解析】考点：多边形内角与外角．18．（2017福建省）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．【答案】108．【解析】试题分析：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．考点：多边形内角与外角．19．（2017四川省资阳市）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC=________度．【答案】24°．【解析】考点：1．多边形内角与外角；2．等腰三角形的性质．20．（2017内蒙古通辽市）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= ．【答案】8或3．【解析】试题分析：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD．∵EF=5，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，∴AB=8；②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：A B的长为8或3．故答案为：8或3．考点：1．平行四边形的性质；2．分类讨论．21．（2017四川省凉山州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC．AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为．【答案】12．【解析】考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．22．（2017四川省南充市）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH= ．【答案】4．【解析】试题分析：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，∴S△PEB=S△BGP，同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，即S四边形AEPH=S四边形PFCG．∵CG=2BG，S△BPG=1，∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；故答案为：4．考点：平行四边形的性质．23．（2017四川省成都市）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．【答案】15．【解析】考点：1．作图—基本作图；2．平行四边形的性质．24．（2017江苏省南通市）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为．【答案】（8，152）．【解析】试题分析：∵反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过点A（5，12），∴k=12×5=60，∴反比例函数的解析式为60yx=，设D（m，60m），由题可得OA的解析式为y=125x，AO∥BC，∴可设BC的解析式为y=125x+b，把D（m，60m）代入，可得125m+b=60m，∴b=60m﹣125m，∴BC的解析式为y=125x+60m﹣125m，令y=0，则x=m﹣25m，即OC=m﹣25m，∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣25m，如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，∴DB AODE AF=，而AF=12，DE=12﹣60m，OA=22512+ =13，∴DB=13﹣65m，∵AB=DB，∴m﹣25m=13﹣65m，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m＞5，∴m=8，∴D的坐标为（8，152）．故答案为：（8，152）．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．平行四边形的性质；3．方程思想；4．综合题．25．（2017怀化）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是cm．【答案】10．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．三角形中位线定理．26．（2017甘肃省兰州市）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．【答案】①③④．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的性质．27．（2017贵州省六盘水市）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= ．【答案】169．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．28．（2017辽宁省锦州市）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：A B=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：A D= ．【答案】3：5．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．29．（2017青海省西宁市）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=6，则AE的长为．【答案】194．【解析】试题分析：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，在△D′CF与△ECB中，∠D′=∠EBC，D′C=BC，∠D′CF=∠ECB，∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF．设AE=x，则EB=6﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=12BC=2，由勾股定理可知：C G=23，∴EG=EB+BG=6﹣x+2=8﹣x，在△CEG中，由勾股定理可知：（8﹣x）2+（23）2=x2，解得：x=AE=194．故答案为：194．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质；3．综合题．三、解答题30．（2017吉林省）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．等边三角形的性质；4．平行四边形的判定．31．（2017四川省乐山市）如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：A E=CF．【答案】证明见解析．【解析】考点：平行四边形的性质．32．（2017四川省凉山州）如右图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，且BE=DF，连接EF交AD．BC于点G、H．求证：FG=EH．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：由平行四边形的性质证出∠EBH=∠FDG，由ASA证△EBH≌△FDG，即可得出FG=EH．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A=∠C，∴∠E=∠F，∠A=∠FDG，∠EBH=∠C，∴∠EBH=∠FDG，在△EBH与△FDG中，∵∠E=∠F，BE=DF，∠EBH=∠FDG，∴△EBH≌△FDG（AAS），∴FG=EH．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．33．（2017山东省淄博市）已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：B E=DF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：证明△AEB≌△CFD，即可得出结论．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠DCF．在△AEB和△CFD中，∵AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴BE=DF．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．34．（2017滨州）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=43，求∠C的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】试题解析：（1）在△AEB和△AEF中，∵AB=AF，BE=FE，AE=AE，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）如图，连结BF，交AE于G．∵菱形ABEF的周长为16，AE=43，∴AB=BE=EF=AF=4，AG=12AE=23，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，∴cos∠BAG=23AGAB=3，∴∠BAG=30°，∴∠BAF=2∠BAE=60°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAF=60°．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．作图—基本作图．35．（2017江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ABE=30°．【解析】试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=12∠ABD，∠FDB=12∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．考点：1．矩形的性质；2．平行四边形的判定与性质；3．菱形的判定；4．探究型．36．（2017江西省）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．考点：1．作图—复杂作图；2．平行四边形的性质；3．菱形的性质．37．（2017浙江省宁波市）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，∴BE=BF，∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，∴AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，tan∠AEH=2，∴AH=2AE，∴2+x=2x，解得：x=2，∴AE=2．考点：1．矩形的性质；2．勾股定理的证明；3．平行四边形的判定与性质；4．解直角三角形．38．（2017四川省德阳市）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF与CE相交于点G．（1）证明：ΔCFG≌ΔAEG；（2）若AB＝4，求四边形AGCE的对角线GD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）83．【解析】试题解析：（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB=AC，AC=BC，∴AB=AC=BC，∴∠B=60°，∴∠BAF=∠BCE=30°，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE=CF，在△CFG≌△AEG中，∵∠CFG=∠AEG=90°，CF=AE，∠FCG=∠EAG，∴△CFG≌△AEG；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =BC ，∴▱ABCD 是菱形，∴∠ADC =∠B =60°，AD =CD ，∵AD ∥BC ，CD ⊥AB ，∴AF ⊥AD ，CE ⊥CD ，∵△CFG ≌△AEG ，∴AG =CG ，∴DG 平分∠ADC ，∴∠ADG =30°，∵AD =AB =4，∴DG =cos30AD =833． 考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．39．（2017四川省攀枝花市）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，垂足分别为E ，F ，AE ，CF 分别与BD 交于点G 和H ，且AB =25． （1）若tan ∠ABE =2，求CF 的长； （2）求证：B G =DH ．【答案】（1）4；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质，结合三角函数的定义，在Rt △CFD 中，可求得CF =2DF ，利用勾股定理可求得CF 的长；（2）利用平行四边形的性质结合条件可证得△AGD ≌△CHB ，则可求得BH =DG ，从而可证得BG =DH ． 试题解析：（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDF =∠ABE ，DC =AB =25，∵tan ∠ABE =2，∴tan ∠CDF =2，∵CF ⊥AD ，∴△CFD 是直角三角形，∴CFDF=2，设DF =x ，则CF =2x ，在Rt △CFD 中，由勾股定理可得（2x ）2+x 2=（25）2，解得x =2或x =﹣2（舍去），∴CF =4；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴AE ⊥AD ，CF ⊥BC ，∴∠GAD =∠HCB =90°，∴△AGD ≌△CHB ，∴BH =DG ，∴BG =DH ． 考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．解直角三角形．40．（2017四川省遂宁市）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，连接AF 、CE ．求证：A F =CE ．【答案】证明见解析．【解析】考点：平行四边形的性质．41．（2017江苏省镇江市）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】考点：1．平行四边形的判定与性质；2．多边形与平行四边形．【2016年题组】一、选择题1．（2016北京市）内角和为540°的多边形是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：设它是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．故选C．考点：多边形内角与外角．2．（2016山东省临沂市）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C．【解析】考点：多边形内角与外角．3．（2016广西来宾市）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6 B．11 C．12 D．18【答案】C．【解析】试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C．考点：多边形内角与外角．4．（2016广西柳州市）四边形ABCD中，如果∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．40°【答案】C．【解析】试题分析：∵四边形内角和360°，∠A+∠B+∠C=260°，∴∠D=360°﹣（∠A+∠B+∠C）=360°﹣260°=100°．故选C．考点：多边形内角与外角．5．（2016湖北省十堰市）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米B．150米C．160米D．240米【答案】B．【解析】试题分析：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米．故选B．考点：多边形内角与外角．6．（2016山东省日照市）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A．103B．92C．133D．4【答案】A．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．探究型．7．（2016山东省泰安市）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C．【解析】考点：平行四边形的性质．8．（2016广西贵港市）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD=30°；②S▱ABCD=AC•BC；③OE：A C=3：6；④S△OCF=2S△OEF成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=3BC，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=12BC，∴OE：A C=123BCBC，∴OE：A C=3：6；故③正确；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴CF BCEF OE=12，∴S△OCF：S△OEF=CFOE=12，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确；故选D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．9．（2016江苏省盐城市）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C．【解析】考点：1．相似三角形的判定；2．平行四边形的性质．10．（2016河北省）关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形【答案】C．【解析】试题分析：∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；∵▱ABCD中，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；∵▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误；故选C．考点：平行四边形的性质．11．（2016河北省）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【答案】C．【解析】考点：平行四边形的性质．12．（2016浙江省宁波市）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3【答案】A．【解析】试题分析：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=12（a+c）（a﹣c）=221122a c，∴S2=S1﹣12S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．考点：平行四边形的性质．13．（2016湖北省孝感市）在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（）A．3 B．5 C．2或3 D．3或5【答案】D．【解析】试题分析：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，∴AB=3；综上所述：A B的长为3或5．故选D．考点：1．平行四边形的性质；2．分类讨论．14．（2016湖南省株洲市）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=12DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．15．（2016福建省福州市）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【答案】A．【解析】试题分析：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D 和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选A．考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质．16．（2016湖北省襄阳市）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB．B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．17．（2016湖南省湘西州）下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D．【解析】试题分析：A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选D．考点：平行四边形的判定．18．（2016辽宁省丹东市）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B．【解析】考点：平行四边形的性质．二、填空题19．（2016四川省资阳市）如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ．【答案】36°．【解析】试题分析：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为：36°．考点：多边形内角与外角．20．（2016内蒙古呼和浩特市）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为．【答案】（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．【解析】试题分析：当点A、B在y轴异侧时，如图1，∵AB与x轴平行且AB=2，A（a，b），∴B（a+2，b），∵对角线AC的中点在坐标原点，∴点A、C关于原点对称，∵四边形ABCD为平行四边形，∴点B、D关于原点对称，∴D（﹣a﹣2，﹣b）；当点A、B在y轴同侧时，如图2，同理可得B（a﹣2，b），则D（﹣a+2，﹣b）．故点D的坐标为（﹣a﹣2，﹣b）或（﹣a+2，﹣b）．故答案为：（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质；3．分类讨论．21．（2016宁夏）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD 的周长是16，则EC等于．【答案】2．【解析】考点：平行四边形的性质．22．（2016四川省巴中市）如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．【答案】1＜a＜7．【解析】试题分析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC=4，OD=12BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．考点：1．平行四边形的性质；2．三角形三边关系．23．（2016山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．【答案】4．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．垂线段最短；3．三角形中位线定理；4．最值问题．24．（2016广东省梅州市）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= ．【答案】4．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴EF DECF BC=，2ΔDEFΔBCF()S DES BC=，∵E是边AD的中点，∴DE=12AD=12BC，∴EF DECF BC==12，∴△DEF的面积=13S△DEC=1，∴ΔDEFΔBCF14SS=，∴S△BCF=4；故答案为：4．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．25．（2016广东省深圳市）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．【答案】2．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的判定；3．作图—复杂作图；4．操作型．26．（2016江苏省常州市）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是．【答案】1． 【解析】试题分析：延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB =90°，∠AOE =∠BPC =60°，∴∠EPC =150°，∴∠CPF =180°﹣150°=30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB =PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP =a ，BP =b ，则 C F =12CP =12b ，224a b +=，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE =AP ，AD =AB ，∠EAP =∠DAB =60°，∴∠EAD =∠PAB ，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED =PB =CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP =AP =CP ，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积=EP ×CF =a ×12b =12ab ，又∵222()2a b a b ab -=+-≥0，∴2ab ≤224a b +=，∴12ab ≤1，即四边形PCDE 面积的最大值为1．故答案为：1．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的性质；4．最值问题． 27．（2016江苏省无锡市）如图，已知▱OABC 的顶点A 、C 分别在直线x =1和x =4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为 ．【答案】5． 【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质．28．（2016江西省）如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．【答案】50°．【解析】考点：平行四边形的性质．29．（2016河南省）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为．【答案】110°．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．考点：平行四边形的性质．30．（2016浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD 互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为．【答案】（﹣5，﹣3）．【解析】考点：1．关于原点对称的点的坐标；2．平行四边形的判定与性质．31．（2016浙江省衢州市）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．【答案】4或﹣2．【解析】试题分析：根据题意画图如下：以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），则x=4或﹣2；故答案为：4或﹣2．考点：1．平行四边形的判定；2．坐标与图形性质．。

考点17.多边形与平行四边形（精讲）【命题趋势】多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。

中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。

【知识清单】1：多边形的相关概念（☆☆）1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n边形的对角线条数为()32n n-。

4）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）。

5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。

如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。

2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行四边形复习考点攻略考点一 多边形的相关概念1．多边形：在平面内.由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2. 多边形对角线： 从n 边形的一个顶点可以引(n –3)条对角线.并且这些对角线把多边形分成了(n –2)个三角形；n 边形对角线条数为()32n n -． 3．多边形的内角和：n 边形内角和公式为(n –2)·180°； 4 . 多边形的外角和：任意多边形的外角和为360°. 5．正多边形：各边相等.各角也相等的多边形叫正多边形. （1）正n 边形的每个内角为()2180n n-⋅.每一个外角为360n︒． （2）正n 边形有n 条对称轴.（3）对于正n 边形.当n 为奇数时.是轴对称图形；当n 为偶数时.既是轴对称图形.又是中心对称图形．【例1】若一个多边形的内角和为1080°.则这个多边形的边数为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】设这个多边形的边数为n.由n 边形的内角和等于180°（n ﹣2）.即可得方程180（n ﹣2）=1080.解此方程即可求得答案：n=8．故选C【例2】一个多边形截去一个角后.形成另一个多边形的内角和为2520°.则原多边形的边数是（ ） A ．17B ．16C ．15D ．16或15或17【答案】D【解析】多边形的内角和可以表示成()2180n -⋅︒(3n ≥且n 是整数).一个多边形截去一个角后.多边形的边数可能增加了一条.也可能不变或减少了一条.根据()21802520,n -⋅︒=解得：n =16.则多边形的边数是15.16.17．故选D ．【例3】一个凸多边形共有230条对角线.则该多边形的边数是______．【答案】23【解析】解：设多边形有n 条边.由题意得：()n n 32-=230.解得：n 1=23.n 2=-20（不合题意舍去）. 故答案是：23．考点二 平行四边形的性质1．平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用表示.2．平行四边形的性质：（1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等.邻角互补． （3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称． 【例4】在ABCD 中.∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是（ ）A ．3∶4∶3∶4B ．5∶2∶2∶5C ．2∶3∶4∶5D ．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形.∴∠A =∠C .∠B =∠D .∴在ABCD 中.∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A ．【例5】如图.四边形ABCD 是平行四边形.点E .B .D .F 在同一条直线上.请添加一个条件使得ABE CDF △≌△.下列不正确．．．的是（ ）A ．AE CF =B ．AEB CFD ∠=∠C ．EAB FCD ∠=∠ D ．BE DF =【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AB=CD.AB ∥CD.∴∠ABD=∠BDC. ∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF.∴∠ABE=∠CDF.A.若添加AE CF =.则无法证明ABE CDF △≌△.故A 错误；B.若添加AEB CFD ∠=∠.运用AAS 可以证明ABE CDF △≌△.故选项B 正确；C.若添加EAB FCD ∠=∠.运用ASA 可以证明ABE CDF △≌△.故选项C 正确；D.若添加BE DF =.运用SAS 可以证明ABE CDF △≌△.故选项D 正确．故选：A ．考点三 平行四边形的判定1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【例6】如图.在ABC ∆中.D 是AC 的中点．作//BE AC .且使12BE AC =.连接DE .DE 与AB 交于点F ．（1）求证四边形BCDE 是平行四边形；【答案】见解析 【解析】（1）证明：D 是AC 的中点.12CD AC ∴=. 12BE AC =. CD BE ∴=. //BE AC .∴四边形BCDE 是平行四边形考点四 三角形的中位线1.三角形两边中点的连线叫中位线。

2020年中考数学专题《四边形》复习综合训练及答案解析2020年中考数学总复习《四边形》专题一、选择题1.下列命题中，不正确的是（）.A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直且平分C. 菱形的对角线互相垂直且平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A. 6B. 5C. 8D. 73.如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（）A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°4.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A. 13B. 15C. 13或15D. 15或16或175.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD6.如下图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB 的周长多10，则AB长为（）A. 20B. 15C. 10D. 57.如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）A. 7 个B. 8个C. 9个D. 11个8.如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于O点.若图中∠1,∠2,∠3,∠4的角度和为220°,则∠BOD的度数为( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,则与该菱形面积相等的正方形的边长是（）A. 6cmB. 5cmC. cmD. 7.5cm10.能够铺满地面的正多边形组合是（）A. 正三角形和正五边形B. 正方形和正六边形C. 正方形和正五边形D. 正五边形和正十边形二、填空题11.一个多边形对角线的数目是边数的2倍，这样的多边形的边数是________ ．12.如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是________13.已知平行四边形ABCD中，AB=5，AE平分∠DAB交BC所在直线于点E，CE=2，则AD=________．14.如图：矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则AD=________ cm．15.八年级（3班）同学要在广场上布置一个矩形花坛，计划用鲜花摆成两条对角线．如果一条对角线用了20盆红花，还需要从花房运来________盆红花．如果一条对角线用了25盆红花，还需要从花房运来________盆红花．16.在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中不能镶嵌成一个平面图案的是________ ．17.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3:4，则菱形面积为________cm2．18.梯形ABCD的底AB的长度等于底CD的2倍，也等于腰AD 的2倍，设对角线AC的长为3，腰BC的长为4，则梯形ABCD的高为________．19.如图，在?ABCD中，AD=4，AB=8，∠A=30°，以点A为圆心，AD 的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是________ ．（结果保留π）20.如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE 和等边△ADF，分别连接CE、CF和EF，则下列结论中一定成立的是________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF=∠EAF；④EF ⊥CD．三、解答题21.如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．22.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．23.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O ，E ，F分别为OB ，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB ，CD 于点G ，H.试说明：GF∥EH.24.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE ∥AB，EF∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．25.如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．26.如图，四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．（1）如果∠B+∠C=120°，则∠AED的度数=________．（直接写出结果）（2）根据（1）的结论，猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系，并证明．27.如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形。

第19讲 平行四边形(含多边形)1．平行四边形(1)性质：①平行四边形两组对边分别__相等__；②平行四边形对角相等，邻角__互补__；③平行四边形对角线互相__平分__；④平行四边形是__中心__对称图形．(2)判定方法：①定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；④两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．2．多边形及其性质(1)多边形：①内角和定理：n 边形的内角和等于 (n －2)·180° ；②外角和定理：n 边形的外角和为 360°；③对角线：过n 边形的一个顶点可引n －3条对角线，n 边形共有 n （n －3）2条对角线． (2)正多边形：①正多边形各边相等，各内角相等，各外角相等；②正n 边形的每一个内角为（n －2）180°n (n≥3)，每一个外角为360°n； ③对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正n 边形有_n__条对称轴；当n 是奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n 是偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形.考点1：多边形内角和计算【例题1】在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由．【解析】：(1)设这个外角的度数是x °.由题意，得(5－2)×180－(180－x)＋x ＝600.解得x ＝120.故这个外角的度数是120°.(2)存在．设这个多边形的边数为n ，这个外角的度数是x °.由题意，得(n －2)×180－(180－x)＋x ＝600.整理，得x ＝570－90n.∵0＜x ＜180，即0＜570－90n ＜180.解得413<n<613. 又∵n 为正整数，∴n ＝5或n ＝6.当n ＝6时，x ＝30.故这个多边形的边数是6，这个外角的度数为30°.归纳：本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为180°及凸多边形的一个内角是小于平角的角．考点2：平行四边形的性质与判定【例题2】(2017·大庆)如图，以BC 为底边的等腰△ABC ，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且EG ∥BC ，DE ∥AC ，延长GE 至点F ，使得BE ＝BF .(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；(2)当∠C ＝45°，BD ＝2时，求D ，F 两点间的距离．【解析】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C.∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C＝∠AEG.∵BE＝BF，∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE.又∵EG∥BC，即FE∥BD，∴四边形BDEF为平行四边形；(2)解：∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形，∴BF＝BE＝22BD＝ 2.过点F作FM⊥BD交DB的延长线于点M，连接DF，如解图所示．则△BFM是等腰直角三角形．∴FM＝BM＝22BF＝1，∴DM＝3.在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝12＋32＝10.即D，F两点间的距离为10.考点3：关于平行四边形的综合探究问题【例题3】(2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC 中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.【答案】（1）证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵M为BC中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∴∠ABC+∠MAB=90°,∵AC⊥BD，在Rt△CBE中，∴∠ACB+∠EBC=90°,∴∠MAB=∠EBC,又∵MB=MN，AM⊥BC，∴△NBM为等腰直角三角形，∴∠MBN=∠MNB=45°,∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,∵∠MAB=∠EBC,∴∠NBE=∠ABN,∴BN平分∠ABE.（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵∴△ABN≌△DBN中（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，∵BD=1，AB=AC=BD，∴AB=1，∴AM2+BM2=AB2，∴（2a+a）2+a2=1，解得：a= .∴BC=2a= .（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，∴MN=MB= BC，又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，在Rt△ABM中，∴MF=AF=BF= AB= BD，∴∠MAB=∠FMN,由（1）知∠MAB=∠EBC,∴∠FMN=∠EBC,又∵,∴△MFN∽△BDC.一、选择题：1. （2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．2. 在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60° B．∠A=120°C．∠C+∠D=180°D．∠C+∠A=180°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，而∠B=60°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．所以D是错误的．故选D．3. （2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】B【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．4. （2018·浙江省台州·4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN 交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．【答案】B【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE﹣AB=1，故选：B．5. （2018•陕西•3分）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E.F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是（）. A．2S1＝3S2. B．2S1＝S2. C． S1＝3S2. D．3S1＝2S2.【答案】A【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，∴AB•ON=BC•OM，∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，∴2S1＝3S2，故答案为：2S1＝3S2.故选A.二、填空题：6. （2018·湖南省衡阳·3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是．【答案】16【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CDM的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．7. （2018•十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为．【答案】14【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为14．8. （2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.【答案】6【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．详解：∵BD=CD，AB=CD，∴BD=BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN=AM=3，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，∴∠P=∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP=AM=6，故答案为：6．9. （2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是．【答案】2≤a+2b≤5．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．三、解答题：10. 已知n 边形的内角和θ＝(n －2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由；(2)若n 边形变为(n ＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解析】：(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n －2)×180＝360.解得n ＝4.∵θ＝630°，∴(n －2)×180＝630.解得n ＝112. ∵n 为整数，∴θ不能取630°.∴甲对，乙不对．(2)依题意，得(n －2)×180＋360＝(n ＋x －2)×180.解得x ＝2.11. (2017·河北模拟)看图回答问题：(1)内角和为2 018°，佳佳为什么说不可能？(2)音音求的是几边形的内角和？【解析】：(1)∵n 边形的内角和是(n －2)·180°，∴内角和一定是180°的倍数．∵2 018÷180＝11……38，∴内角和为2 018°不可能．(2)设漏加的内角为x °，依题意，得(n －2)·180＝2 018＋x ，∴x ＝180n －2 378.∵90＜x ＜180，∴90＜180n －2 378＜180.解得133245＜n ＜141990，且n 为整数． ∴多边形的边数是14.故音音求的是十四边形的内角和．12. 如图，在▱ABCD 中，E ，F 在对角线AC 上．(1)若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的中线，求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线，四边形BEDF 还是平行四边形吗？若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的高线时，四边形BEDF 还是平行四边形吗？【点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF 是平行四边形；(2)BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线和高线时，可得到△BOE ≌△DOF ，仍有OE ＝OF ，则有四边形BEDF 是平行四边形．【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的中线，∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ∥CD.∴∠ABO ＝∠CDO.∵BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线，∴∠OBE ＝∠ODF.又∵∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA)．∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形．同理可证得BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的高线时，仍有四边形BEDF 是平行四边形．13. 正方形ABCD 的边长是5，点M 是直线AD 上一点，连接BM ，将线段BM 绕点M 逆时针旋转90°得到线段ME ，在直线AB 上取点F ，使AF ＝AM ，且点F 与点E 在AD 同侧，连接EF ，DF.(1)如图1，当点M 在DA 延长线上时，求证：△ADF ≌△ABM ；(2)如图2，当点M 在线段AD 上时，求证：四边形DFEM 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段AM 与线段AD 有什么数量关系时，四边形EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最大值．图1图2 【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAF ＝∠BAM ＝90°，AD ＝AB.在△ADF 和△ABM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，AD ＝AB ，∴△ADF ≌△ABM(SAS)．(2)证明：延长BM 交DF 于K.∵△ADF ≌△ABM ，∴DF ＝BM ，∠ABM ＝∠ADF.∵EM ＝BM ，∴EM ＝DF.∵∠ABM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＝∠DMK ，∴∠ADF ＋∠DMK ＝90°.∴∠BKD ＝90°.∵∠EMB ＝90°，∴∠EMB ＝∠BKF ＝90°.∴EM ∥DF.∴四边形EFDM 是平行四边形．(3)设DM ＝x ，则AM ＝AF ＝5－x ，S ▱EFDM ＝DM ·AF ＝x(5－x)＝－(x －52)2＋254. ∵－1＜0，∴x ＝52时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254， 即当AM ＝12AD 时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254. 14. 正方形ABCD 的边长是5，点M 是直线AD 上一点，连接BM ，将线段BM 绕点M 逆时针旋转90°得到线段ME ，在直线AB 上取点F ，使AF ＝AM ，且点F 与点E 在AD 同侧，连接EF ，DF.(1)如图1，当点M 在DA 延长线上时，求证：△ADF ≌△ABM ；(2)如图2，当点M 在线段AD 上时，求证：四边形DFEM 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段AM 与线段AD 有什么数量关系时，四边形EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最大值．图1 图2解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAF ＝∠BAM ＝90°，AD ＝AB.在△ADF 和△ABM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，AD ＝AB ，∴△ADF ≌△ABM(SAS)．(2)证明：延长BM 交DF 于K.∵△ADF ≌△ABM ，∴DF ＝BM ，∠ABM ＝∠ADF.∵EM ＝BM ，∴EM ＝DF.∵∠ABM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＝∠DMK ，∴∠ADF ＋∠DMK ＝90°.∴∠BKD ＝90°.∵∠EMB ＝90°，∴∠EMB ＝∠BKF ＝90°.∴EM ∥DF.∴四边形EFDM 是平行四边形．(3)设DM ＝x ，则AM ＝AF ＝5－x ，S ▱EFDM ＝DM ·AF ＝x(5－x)＝－(x －52)2＋254. ∵－1＜0，∴x ＝52时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254， 即当AM ＝12AD 时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254.。