1．2.3空间几何体的直观图
课前自主预习
知识点一斜二测画法
斜二测画法的步骤和规则
知识点二空间几何体直观图的画法
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比□1多了一个z轴，直观图中与之对应的是□2z′轴．
(2)画底面：□3平面x′O′y′表示水平平面，□4平面y′O′z′和□5x′O′z′表示竖直平面．
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中□6平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画
法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直
观图还原为原图形．两者之间关系为：S直
S原＝
2
4.
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
1．(教材改编，P19，T2)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等的角，在直观图中仍相等．()
(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．()
(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．()
答案(1)×(2)×(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6 cm，则在直观图中线段A′B′＝______cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4 cm，则在直观图中线段C′D′＝______cm.
(2)在空间几何体中，平行于z轴的线段AB＝10 cm，则在直观图中对应的线段A′B′＝________cm.
(3)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.
答案(1)62(2)10(3)45°或135°
3．(教材改编，P19，T1)利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的()
答案 C
课堂互动探究
探究2 平面图形的直观图画法
例1 画水平放置的正五边形的直观图．
解 (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy ，再建立如图②所示的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)在图①中作BG ⊥x 轴于G ，EH ⊥x 轴于H ，在坐标系x ′O ′y ′
中作O ′H ′＝OH ，O ′G ′＝OG ，O ′A ′＝12OA ，O ′F ′＝12OF .
过F ′作C ′D ′∥x ′轴且C ′D ′＝CD ，C ′F ′＝F ′D ′.
(3)在平面x ′O ′y ′中，过G ′作G ′B ′∥y ′轴，且G ′B ′＝12GB ，过H ′作H ′E ′∥y ′轴，且H ′E ′＝12HE .
连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′，得五边形A ′B ′C ′D ′E ′为正五边形ABCDE 的直观图．
拓展提升
画平面图形直观图的技巧
(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．
(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶
点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
【跟踪训练1】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
解(1)如下图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝1
2OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如上图②所示．
探究2空间几何体的直观图画法
例2画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
解画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如下左图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如上右图．
拓展提升
画空间几何体的直观图应遵循的原则
(1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z 轴，表示竖直方向．
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．
(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．
【跟踪训练2】如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接P A′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
探究3直观图还原平面图形
例3(1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．
解(1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x 轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
③连接AB，BC,
则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．
(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.
又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，
∴|BD|＝3，|AC|＝2.
∴S△ABC＝1
2·|BD|·|AC|＝3.
[结论探究]若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积S′为多少？
解设原图形的高为h，则直观图的高为
2 4h.
又∵平行于x轴的线段长度不变，
∴S′＝2
4S.
拓展提升
直观图还原平面图形的策略
还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
【跟踪训练3】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是()
A．14 B．102
C．28 D．142
答案C
解析∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，
A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝1
2×(2＋5)×8＝28.
【跟踪训练4】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．
答案
6 2a2
解析如图，延长C′B′到D′，使∠A′D′B′＝45°，B′C′＝A′C′＝a.
过A′作A′E′⊥B′C′于E′，
则A′E′＝3
2a＝D′E′，A′D′＝
6 2a.
在原△ABC 中，∠ADB ＝90°，AD ＝2A ′D ′＝6a ，BC ＝a ，
S ＝12·6a ·a ＝62a 2.
1.直观图与三视图的联系与区别
(1)三视图能帮助人们从不同侧面和不同角度认识几何体的结构特征，直观图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象，同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也能够由几何体的直观图得到它的三视图．
(2)区别：三视图在工程制图中被广泛采用，且线段的长度有严格的规定．主要是平行投影中的正投影的直观性较差，而绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影，可以显示空间几何体的直观形象，但作图复杂，且线段的长度不如三视图要求严格．
2.利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则
(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．
(2)画图时要紧紧把握一斜——在已知图形中垂直于x 轴的线
段，在直观图中与x 轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原长度的一半．
3.若一个平面多边形的面积为S 原，斜二测画法得到的直观图的
面积为S 直，则有S 直＝24S 原．
课堂达标自测
1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )
A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变
B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长
度变为原来的12
C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°
D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 答案 C
解析 ∠x ′O ′y ′也可以是135°.
2．如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )
A ．A
B B ．AC
C ．BC
D ．AD
答案 B
解析 由直观图可知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，所以斜边AC 最长．
3．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
答案 D
解析 根据平面图形直观图的斜二测画法知③④可能是△ABC 的直观图．
4．如图，一个三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，则原△AOB 的面积是________．
答案 2
解析 由题意得O ′B ′＝B ′A ′＝1，O ′A ′＝2，且∠B ′O ′A ′＝45°，∴△AOB 是以∠O 为直角的三角形，且OB ＝1，OA
＝22，∴S △AOB ＝12OB ·OA ＝12×1×22＝ 2.
5．画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．
解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)如图②所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，
O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′
作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC .
(3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图．
课后课时精练
A 级：基础巩固练
一、选择题
1．水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．任意三角形
答案 C
解析 如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．
2．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )
A ．2
B ．4
C ．2 2
D ．42
答案 D
解析 由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直
观图，即12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.
3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，直观图中有一边长为4，则此正方形的面积是( )
A ．16
B ．64
C ．16或64
D ．都不对
答案 C
解析 直观图中一条边长为4，此边可能在x ′轴上，也可能在y ′轴上．若在x ′轴上，则原正方形的边长为4，面积为16；若在y ′轴上，则原正方形的边长为8，面积为64.故选C.
4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()
答案A
解析在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为22，所以A正确．
5.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
答案D
解析两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，与z轴平行(或在z轴上)的线段在直观图中长度不变，仍为5 cm.故选D.
二、填空题
6．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy 中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为_________．
答案
2 2
解析点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d，而
O′A′＝1
2OA＝1，∠C′O′A′＝45°，∴d＝
2
2O′A′＝
2
2.
7.如图是水平放置的△ABC在坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
答案2
解析△ABC为直角三角形，因为D为AC的中点，所以BD＝AD＝CD，所以与BD的长相等的线段有两条．
8．如图，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等
腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，在直观图中梯形的高为________．
答案 22
解析 由原图形可知OA ＝6，BC ＝2，∠COD ＝45°，则CD ＝2，
则直观图中的高h ′＝C ′D ′sin45°＝1×22＝22.
三、解答题
9．如图，是用斜二测画法得到的某个四边形的直观图，其中四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，且对角线 A ′C ′在水平位置，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解 四边形ABCD 的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.
B级：能力提升练
10．如图所示，由几何体的三视图画出其直观图．
解由几何体的三视图可知该几何体是一个五棱柱，其直观图的画法如下：
(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都等于正视图的高．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．