2014届高三一轮数学(理)复习第60讲直线与圆锥曲线的位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。

直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。

2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。

高考数学第一轮复习：《直线与圆锥曲线的位置关系》最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.【教材导读】若直线和圆锥曲线只有一个公共点，则直线和圆锥曲线相切吗？ 提示：不一定相切，如图(1)、(2)所示．即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点；与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，但此时它们的位置关系是相交而不是相切．1．直线和圆锥曲线的位置关系已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，圆锥曲线M ：f (x ，y )＝0. 联立方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＋c ＝0，f (x ，y )＝0，消去y ，整理得Ax 2＋Bx ＋C ＝0.(1)若A ＝0且B ≠0，则直线l 和圆锥曲线M 只有一个公共点． ①当曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行； ②当曲线为抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行． (2)若A ≠0，则Δ＝B 2－4AC①当Δ>0时，直线和圆锥曲线M 有两个不同的公共点；②当Δ＝0时，直线和圆锥曲线M相切，只有一个公共点；③当Δ<0时，直线和圆锥曲线M没有公共点．2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋1k2[(y1＋y2)2－4y1y2](k为直线斜率)3．直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法(1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求，利用弦长公式计算弦长．(2)涉及弦中点的问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标，弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化．(3)特别注意利用公式求弦长时，是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式，判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据．【重要结论】1．直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．2．直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线．3．直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点，两条切线和两条与渐近线平行的直线；(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点，一条切线和两条与渐近线平行的直线；(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，两条与渐近线平行的直线．1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( ) (A)相交 (B)相切 (C)相离(D)不确定A 解析：y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1， 显然直线恒过点A (1,1)，而点A 在椭圆内， 故直线和椭圆总相交．2．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立方程组，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，故OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .3．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )(A)4 (B)8 (C)12 (D)16答案：D4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两条曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D 解析：两曲线有相同的焦点F ，则c ＝p2. 又AF ⊥x 轴．不妨设点A 在第一象限．可得A (c,2c )． 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得c 2a 2－4c 2b 2＝1， 整理化简可得：b 2a 2－4a 2b 2－4＝0，双曲线经过一三象限的渐近线方程为y ＝ba x ， 令k ＝b a ，则：k 2－4k 2－4＝0， 解得：k 2＝2＋22＞3，即k ＞ 3.故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.故选D.5.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12.点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l 1：x ＋3y ＋3＝0相切．则椭圆的方程为________．解析：由已知F (－c,0)，B (0，3c )， ∵k BF ＝3，k BC ＝－33，C (3c,0) 且圆M 方程为(x －c )2＋y 2＝4c 2. 圆M 与直线l 1：x ＋3y ＋3＝0相切 |1×c ＋3×0＋3|1＋3＝2c ，解得c ＝1.∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝1考点一 直线与圆锥曲线的位置关系在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .①求轨迹C 的方程；②设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解析：①设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1， 即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )，故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x ＜0②在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)，C 2：y ＝0(x ＜0)． 依题意，可设直线l 的方程为 y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ① 当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点(14，1)． 当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k .③ (ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＜0，x 0＜0，，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． (ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0＜0，或若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k ＜0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0＜0，由②③解得－1＜k ＜－12，或0＜k ＜12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．【反思归纳】 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．【即时训练】 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )(A)－153，153 (B)0，153 (C)－153，0(D)－153，－1D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 考点二 弦长问题已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值． 解析：(1)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63带入方程，可得m ＝12，n ＝1故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎨⎧y ＝kx ＋m x 22＋y 2＝1⇒(1＋2k 2)y 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＞0⇒2k 2＋1－m 2＞0 x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2 x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 21＋2k28(2k 2＋1－m 2)∵原点到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2|m |1＋2k 22k 2＋1－m 2＝21＋2k 2m 2(2k 2＋1－m 2)由Δ＞0得2k 2＋1－m 2＞0又m ≠0由基本不等式 S △AOB ≤21＋2k 2·m 2＋2k 2＋1－m 22＝22当且仅当m 2＝2k 2＋12时，不等式取“＝”号． 【反思归纳】 求弦长的方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题过程． (2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(3)弦长公式法：根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．【即时训练】 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 考点三 中点弦问题抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )(A)y ＝2x 2 (B)y 2＝2x (C)x 2＝2y (D)y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1， ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . 答案：B【反思归纳】 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．【即时训练】 在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－y 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因为a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533＜n ＜3)， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3.4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.直线与圆锥曲线的综合应用已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．审题点拨关键点所获信息线段AB 中点为M (1，m )(m ＞0) 可用点差法求k 与m 的关系式 |F A →|，|FP→|，|FB →|，成等差数列可用x 1，x 2表示|F A →|，|FB →|解题突破：利用已知条件，将|F A →|，|FB →|用x 1，x 2表示，求出公差.解答：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .① 由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12.(2)证明：由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32，于是|F A →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB→|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得 7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.答题模板：第一步：用点差法求出k 与m 的关系式；第二步：用点M 在椭圆内求出m 的范围，从而得出k 的范围； 第三步：利用点P 在椭圆上，求M 值； 第四步：用x 1，x 2表示|F A →|，|FB→|；第五步：求出l 方程并代入椭圆方程，求出公差．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b ＝( ) (A)－12 (B)12 (C)±12 (D)±1答案：B2．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn ＝( )(A)22 (B)322 (C)1 (D)2 答案：A3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )(A)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 (B)[－2,2] (C)[－1,1](D)[－4,4] C 解析：易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题意可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1(k ≠0)，综上所述有－1≤k ≤1.4．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) (A)π6或5π6 (B)π4或3π4 (C)π3或2π3(D)π2B 解析：由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ(θ为倾斜角)，得6sin 2θ＝12，所以sin θ＝22. 又因为θ∈[0，π)，所以θ＝π4或3π4.5．已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4答案：D6．F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，第一象限内的点M 在椭圆上，若MF ⊥x 轴，直线MN 与圆x 2＋y 2＝1相切于第四象限内的点N ，则|NF |等于( )(A)213 (B)45 (C)214(D)35 A 解析：因为F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点， 所以F 点的坐标为(2,0)，因为MF ⊥x 轴，M 在椭圆上且在第一象限， 所以M 点的坐标为2，55， 设直线MN 的斜率为k (k >0)，则直线MN 的方程为y －55＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋55＝0，所以直线MN 与圆x 2＋y 2＝1相切， 所以原点到直线MN 的距离等于半径1， 即－2k ＋55k 2＋1＝1解得k ＝255或k ＝－2515(舍)，所以直线MN 的方程为255x －y －355＝0， 联立圆的方程x 2＋y 2＝1可得 N 点坐标为23，－53， 所以|NF |＝2－232＋－532＝213.7．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有________条．解析：设该抛物线焦点为F ，则AB ＝AF ＋FB ＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2，所以符合条件的直线有且仅有两条．答案：28．已知P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1截得线段的中点，则直线l 的方程为________． 解析：线段两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)36＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9.∵x 1≠x 2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 故填x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝09．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)上两点，O 为坐标原点．若OA ⊥OB ，则△AOB 面积的最小值为________．解析：设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，则点A (x 1，y 1)满足⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2a 2－y 2b 2＝1，∴x 21＝a 2b 2b 2－a 2k2，y 21＝a 2b 2k2b 2－a 2k2，∴|OA |2＝x 21＋y 21＝(1＋k 2)a 2b 2b 2－a 2k 2， 同理|OB |2＝(1＋k 2)a 2b 2k 2b 2－a2，∴|OA |2·|OB |2＝(1＋k 2)a 2b 2b 2－a 2k 2·(1＋k 2)a 2b 2k 2b 2－a 2 ＝a 4b 4－a 2b 2＋(a 2＋b 2)2·k 2(k 2＋1)2.∵k 2(k 2＋1)2＝1k 2＋1k 2＋2≤14(当且仅当k ＝±1时，取等号)， ∴|OA |2·|OB |2≥4a 4b 4(b 2－a 2)2.又b ＞a ＞0，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |的最小值为a 2b 2b 2－a 2.答案：a 2b 2b 2－a 210．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求椭圆E 的方程．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为(23a ，13b )，又k OM＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b＋yb ＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b ，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72， 则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3， 所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.11．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值． 解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长a ＝1，焦半距c ＝2， 所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|DF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号． 因为|GF 2|＝(1－2)2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2. 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.能力提升练(时间：15分钟)12．已知x ＝x 1，x ＝x 2是函数f (x )＝13ax 3－12ax 2－x 的两个极值点，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2，则直线AB 与椭圆x 22＋y 2＝1的位置关系为( )(A)相切 (B)相交 (C)相离(D)不确定B 解析：依题得，f ′(x )＝ax 2－ax －1，显然Δ＝a 2＋4a ＞0，故a ＜－4或a ＞0，故x 1，x 2是方程ax 2－ax －1＝0的两根，故x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－1a ，故k AB ＝1x 2－1x 1x 2－x 1＝a ，则直线AB 的方程为y －1x 1＝a (x －x 1)，即y ＝ax ＋x 1＋x 2x 1x 2，即y ＝a (x －1)，显然直线过定点(1,0)，在椭圆x 22＋y 2＝1内，故直线与椭圆相交，故选B.13．已知双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交T 于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若T 的离心率为2，则( )(A)θ∈(0，π2) (B)θ＝π2 (C)θ∈(3π4，π)(D)θ＝3π4B 解析：∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y ＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故B 正确． 14．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且AB ⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2的最大值为________．解析：不妨设椭圆上的点A (m ，n )(m ＞0，n ＞0)， 由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )， 则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB ||BC |2＝2m ·2n 4(m 2＋n 2)＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝12(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)．答案：1215．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12. 所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x ＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ). 消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。

高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系【本讲主要内容】直线与圆锥曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系、直线与抛物线的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 直线与椭圆的位置关系：（1）位置关系： ⎧⎪⎨⎪⎩　相交 （割线）相切 （切线）　相离（2）判定方法：将直线的方程与椭圆的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程。

若方程有两个不同解（0∆>），则直线与椭圆相交； 若方程有一个解（0∆=），则直线与椭圆相切； 若方程无解（0∆<），则直线与椭圆相离。

2. 直线与双曲线的位置关系： （1）位置关系：①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。

②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。

③相离：直线与双曲线无公共点。

（2）判定方法：用直线的方程与双曲线的方程联立的方程组的解的个数描述直线与双曲线的位置关系如下：①方程有一组解⇔直线与双曲线相切或相交（一个公共点）；②方程组有二组解⇔直线与双曲线相交（两个交点交于一支或二支）； ③方程组无解⇔直线与双曲线相离。

3. 直线与抛物线的位置关系： （1）位置关系： ①相交：直线与抛物线交于两个不同点，或直线与抛物线的对称轴平行与抛物线交于一个点。

②相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，且直线不平行于抛物线的对称轴。

③相离：直线与抛物线无公共点。

（2）判定方法：把直线的方程与抛物线的方程联立起来得到一个方程组，于是 ①方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切（一个公共点）； ②方程组有两组解⇔直线与抛物线相交（两个公共点）； ③方程组无解⇔直线与抛物线相离。

4. “设而不求”、韦达定理和弦长公式： （1）“设而不求”的方法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般地，首先设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ，其中有四个参数1122x y x y 、、、，它们的作用，只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线关系中的常用方法。