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第3章 连续信号的频谱傅里叶变换

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3章 傅里叶变换

3章 傅里叶变换
（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”;
（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表 示”.
3.2 周期信号的傅里叶分析
三角函数 1 , c o s t , s i n t , c o s 2 t , s i n 2 t ,, c o s k t , s i n k t , 就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
傅里叶级数的 三角展开式
ant2 2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
同上式
另一种形式
f(t)a20n 1cncos(n1tn) t
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
f(t)[cos(n1t)jsin(n1t)]dtT 2 tt12
f(t)ejn1tdt
2. 直接从复变正交函数集推导 将原函数 f ( t )在复变正交函数空间
{ej(n1t) n1,2, }中展开，有
f (t) Fn ej(n1t) n
式中
Fn
t2 f(t)(ejn1t)*dt
t1
t2(ejn1t)(ejn1t)*dt
T0
(t)
1 T0
ejn0t
n
a0
1 T0
又
anT20 T2 T0 20(t)cosn0tdtT20
bn 0
T 0 ( t )
的三角傅里叶级数为：T0(t)T10 T20
cosn0t
n1
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f ( t ) 在 t [0,T0]内的函数记为

第3章连续信号与系统的频域分析

第3章连续信号与系统的频域分析
8
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n

t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )

T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

)
F (j )

/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2

j

2
2 sin(

2
1
gτ (t)
)

Sa(

2
)


2
0

2
t
频谱图
F j

2π
O 2π

F j
4π

幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F

2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

信号与系统 第3章-3

信号与系统 第3章-3

解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0

第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n

x( n)e jnw
X (z)
n


x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n


x ( n) z n
n


x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
华北电力大学自动化系
15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
华北电力大学自动化系
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T

时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t

时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )



T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n

x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
华北电力大学自动化系
8

信号与系统3.7.8傅里叶变换的基本性质

信号与系统3.7.8傅里叶变换的基本性质
2.若f(t)是虚函数 令f(t)＝jg(t)，则：
R()＝ g(t)sin (t)dt －
X ()＝ g(t) cos (t)dt －
在这种情况下，R()为奇函数，X()为偶函数，即满足： R()＝－R(－) X()＝X(－)
而 F() 仍是偶函数，()是奇函数。
第3章 傅里叶变换
此外，无论f(t)为实函数或复函数，都具有以下性质
所以
[F(t)]=2 f(－)
若f(t)是偶函数，式(3 50)变成
[F(t)]=2 f()
(3 50) (3 51)
第3章 傅里叶变换
第3章 傅里叶变换
（二） 线性（叠加性）
若 [fi (t)]＝Fi () （i＝1，2，...，n），则
n
n
[ aifi (t)]＝ aiFi ()
i＝1
f(at)e dt
令x=at
当a 0
[f(at)]＝ 1
f(x)e
j x a
dx=
1
F(
)
a
aa
第3章 傅里叶变换
当a 0
[f(at)]＝ 1
－
f(x)e
j
x a
dx
a ＋
＝－ 1
f(x)e
j
x
a dx＝－ 1
F(
)
a
aa
综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表达式为
[f(at)]＝ 1 F( )
－
－
在这种情况下，显然
R
X
()＝ －
()＝－
f(t) cos (t)dt
f(t) sin (t)dt
－
(3－54)
第3章 傅里叶变换

信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）

第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换

第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换

• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1

0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t

0
E 2
T1 2

033第三章 傅里叶变换

033第三章 傅里叶变换

T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1

信号课件第三章傅里叶变换

信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1

信号与系统第三章 连续信号的正交分解-1

信号与系统第三章 连续信号的正交分解-1

V 1、 2 、 3 V n V V 即 V m V m K m (V m 不为单位矢量） V l V m 0 (l m )
则 A C 1V 1 C 2V 2 C r V r C n V n A V r A V r Cr Kr V r V r
引言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信 号 f ( t ) ，或者说，信号 f ( t ) 用完备的正交函数集来 展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
0
t
t2
1
t2
1
x ( t ) dt
2
满足等式
t
x ( t ) g i ( t ) dt 0
i为任意整数
则此函数集称为完备正交函数集。
这有两层意思： 1，如果x（t）在区间内与 g i ( t ) 正交，则x（t）必属 于这个正交集。 2，若x（t）与 g i ( t ) 正交，但 g i ( t )中不包含x（t）， 则此集不完备。
1 2

( t ) dt f
2

t2 f
1 2
为 f 2的复共轭
(t ) f
2
( t ) dt
两个复变函数 f 1( t )和 f 2 ( t ) 在区间 ( t 1 , t 2 )内互相 正交的条件是：
t
t2 f 1( t ) f
1 2

( t ) dt
t
t2 f
1 1

第3章FT变换

第3章FT变换

(ak
−
jbk )
• 由于
T
T
∫ ak
=
2 T
2
x(t) cos kΩ1tdt
−
T 2
∫ bk
=
2 T
2
x(t) sin kΩ1tdt
−
T 2
所以
T
∫ A&k
=
1 T
2
x(t)(cos kΩ1t
−
T 2
−
j sin kΩ1t)dt
ckϕk − bk ak
T
∫ = 1
2
x(t)e− jkΩ1t dt
T−
2
x (t ) e − jk Ω1t dt
−
T 2
τ
−T
−
τ 2
τ 2
T
t
τ
∫ ∫ = 1
2
Ee − jk Ω 1t dt
=E
2
e − jk Ω 1t dt
=
T−
τ 2
E⋅ 1
T − jk Ω 1
e − jk Ω 1t
T
τ
|2
−
τ 2
−
τ 2
=E T
⋅ e − e jk
Ω1
τ 2
−
jk Ω 1
τ 2
三、周期信号的傅里叶级数（续2）
•令 于是有
a0 = c0
ak = ck cos ϕk bk = −ck sin ϕk
ϕk
=
arctg⎜⎜⎝⎛
− bk ak
⎟⎟⎠⎞
=
−arctg⎜⎜⎝⎛
bk ak
⎟⎟⎠⎞
ck = ak2 + bk2

傅立叶变换

傅立叶变换

第三章连续信号与系统的频域分析1、求图（a ）中所示梯形信号的傅里叶变换解：求信号的频谱有多种解法，可按定义、微分性质等求解，下面列出几种解法（1）用微分性质求解对梯形信号进行微分， 可得：所得波形如图（b ）所示，再利用微分性质和矩形脉冲信号的傅里叶变换■- 11 心厂亠行 F j •二 ESa 12sin 14 ⑷ 4此外，还可对梯形信号进行两次微分，所得波形如图（ 2）所示，再利用微分性质及冲激信号的傅里叶变换可得j F j 小=ESa14Sa'图（1）梯形信号的微分求解图（3）梯形信号的三角形分解（3）利用卷积性质求解可将梯形信号看作两个脉宽不同的矩形脉冲的卷积，如图（4）所示，即:f t = f i t f 2 t般，若两个矩形的脉宽相同，则所得结果为三角形；若脉宽不同，则所得结果为梯形。

此 时，梯形的脉宽等于两个矩形的脉宽和，而梯形的最大幅度等于两个矩形最大重叠区的面积。

2E8Esin（2）用线性性质求解可以将梯形信号看作图（3）中两个三角形信号相减，即:再利用三角形的变换式可求得:2图（2）梯形信号的二次微分这样，利用卷积性质可知F j —F i j. F2 j而两个矩形信号的频谱分别为F i j 1Sa ・2 4-■ . -F "=ESa -4因此，梯形信号的频谱为-■.一十］八「亠〕Sa4 4图（4）利用卷积性质求梯形信号的频谱小结：在计算复杂信号的频谱时，尽量利用傅立叶变换的性质，将复杂信号通过卷积、微分等基本运算转化为简单信号以后再计算这些简单信号的频谱，简化运算过程。

2、系统如下图所示。

pt 二COS st理想低通滤波器的频率特性为已J；—2飞-；—2 I八/t)系统框图⑴冲激响应定义为单位冲激信号激励下的零状态响应。

为求得该系统的冲激响应，可将输入信号设为冲激函数，而所求得的系统响应即冲激响应。

当x t 时，由系统框图可得h t - L t cos ‘0t 1 h| t=g t这里，h , t 为理想低通滤波器的冲激响应。

第三章 傅里叶变换

第三章 傅里叶变换

P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；

信号与系统第3章 傅里叶变换

信号与系统第3章 傅里叶变换

P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1

信号与系统 郑君里 第三章 连续系统频域分析

信号与系统 郑君里 第三章 连续系统频域分析

编辑状态下，图形演示平移T1/2再翻转。
第3章 连续时间信号频域分析
1.三角型傅里叶级数
让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶(Jean
Baptiste Joseph Fourier，1768 –1830)， 法国著名数学家、物理学家，1817年当 选为科学院院士，1822年任该院终身秘 书，后又任法兰西学院终身秘书和理工 科大学校务委员会主席，主要贡献是在 研究热的传播时创立了一套数学理论。 小行星10101号傅里叶星、他是名字被刻在埃菲尔铁塔的七十二位法国 科学家与工程师其中一位、约瑟夫.傅立叶大学 1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方 程，提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
������=−1
������ ������������1 ej������������1������
因此得到指数形式的傅里叶级数
∞
������(������) =
������=−∞
������(������������1 )ej������������1������
第3章 连续时间信号频域分析
2.指数型傅里叶级数
������=1
������ ������ = ������0 +
������0 = ������0 = ������0
������������ = ������������ =
2 2 ������������ + ������������
������������ = ������������ cos ������������ = ������������ sin ������������
第3章 连续时间信号频域分析
（1） 三角型傅里叶级数系数的计算

连续信号的傅里叶变换

连续信号的傅里叶变换

连续信号的傅里叶变换一、引言连续信号的傅里叶变换是信号处理领域中非常重要的一部分。

它可以将时域上的连续信号转换为频域上的频谱，从而方便我们对信号进行分析和处理。

在本文中，我们将详细介绍连续信号的傅里叶变换的相关概念、公式以及应用。

二、连续信号与傅里叶变换1. 连续信号在信号处理领域中，连续信号是指在时间上是连续的函数。

它可以表示为：f(t) = A*cos(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位。

2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域上的函数转换为频域上函数的方法。

对于一个连续信号f(t)，它的傅里叶变换F(ω)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt其中，j为虚数单位。

3. 傅里叶变换公式对于一个实数函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)和反变换f(t)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dtf(t) = (1/2π)∫F(ω)*exp(jωt)dω4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，包括线性性、平移性、卷积定理等。

这些性质使得傅里叶变换在信号处理中得到了广泛的应用。

三、连续信号的频域表示1. 频谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱是指在频域上表示该信号的振幅和相位信息。

通常情况下，我们将频谱表示为F(ω)或S(ω)，其中F(ω)为傅里叶变换结果，S(ω)为傅里叶变换结果的幅度谱。

2. 幅度谱和相位谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱可以分解为振幅和相位两个部分。

振幅谱指的是在不同频率下该信号振动的强度大小，而相位谱则表示不同频率下该信号振动相对于某个参考点所处的相位差。

四、应用举例1. 语音信号处理语音信号是一种典型的连续信号，在语音处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于声学特征提取、语音识别等方面。

通过对语音信号的傅里叶变换，我们可以得到该信号在不同频率下的频谱信息，从而方便我们进行特征提取和分类。

2. 图像处理图像信号也是一种连续信号，在图像处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、图像增强等方面。

第三章 傅里叶变换

第三章 傅里叶变换

τ τ
2 2
其傅里叶变换为 ：
F (Ω ) =
∫
∞
2E Ωτ = ∫ τ Ee dt = sin( ) −2 Ω 2 Ωτ sin( ) 2 = E τ Sa Ω τ = Eτ Ωτ 2 2
τ
2
−∞
f ( t ) e − j Ω t dt
− jΩ t
可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系： 可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系：
傅里叶的两个最主要的贡献—— 傅里叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和” 系的正弦信号的加权和”——傅里 傅里 叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的 加权积分来表示” 加权积分来表示”——傅里叶的第 傅里叶的第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换
E f (t) = 0 | t |<
f(t) E
τ
2 T 2
-T -τ
2
τ
< | t |<
0
τ
2
T
t
τ：脉冲宽度， E：幅度， T：重复周期。 ：脉冲宽度， ：幅度， ： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数：
f (t ) =
n = −∞
π ϕ (Ω ) = 2 π − 2 Ω < 0 Ω > 0
-
-α
0
α
Ω
ϕ(Ω) π
2
π
2
Ω
４ 单位冲激函数
其傅里叶变换为： 其傅里叶变换为： ∞ F (Ω ) = ∫ δ (t )e − ∞ 根据冲激函数的定义， 根据冲激函数的定义，有

第三章傅里叶变换90页PPT

第三章傅里叶变换90页PPT

• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。
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• 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中， 而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关 数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。
• 本章讨论的路线：
• 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概念；
• 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分 析方法的应用。
第3章 连续信号的频谱 傅里叶变换
2020年4月22日星期三
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
例子
以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对 原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差 解：其傅。里叶级数表达式为 ：
只取基 波分量 一项
取基波分量和 三次谐波分量
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
从上面例子看出：
（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。
作业
P160 3-1，3-2，3-3，3-8
第三节 典型周期信号的
傅里叶级数
典型周期信号的傅里叶级数
•典型周期信号的频谱分析可利用： 傅里叶级数 或傅里叶变换 •介绍的典型周期信号有如下： 1、周期矩形脉冲信号 2、周期锯齿脉冲信号 3、周期三角脉冲信号 4、周期半波余弦信号 5、周期全波余弦信号
1、周期矩形脉冲信号 (1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
a0 = 0
例子 例如：奇谐函数
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。 显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数 。
2.傅里叶级数的系数求解 (1)偶函数信号
例如：周期三角波信号
是一偶函数
其傅里叶级数表达式为：
（2）奇函数信号
例如：周期锯齿波信号
是一奇函数
其傅里叶级数表达式为：
（3）奇谐函数信号（半波对称函数 ）
• 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变 换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。
• 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定 理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。
第二节 周期信号的傅里
叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
幅度谱与相位谱合并 正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性 —时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
帕塞瓦尔定理
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1.函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实 函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶 级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比 较简单。
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波 器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。
• 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。
• 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。
(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波 形一般要发生失真。
五、吉布斯（Gibbs）现象
当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常 数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡 的形式逐பைடு நூலகம்衰减下去。此现象称为吉布斯现象。
举例3.1：
解：
举例3.2：
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅 度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
No Image
周期信号的主要特点：
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
3.指数形式表示的信号频谱--复数频谱
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产
生的。 • 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 • 1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究
热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 • 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 • 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
• 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
• 但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方 法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里 叶分析这一数学工具增添了新的生命力。
为了积分方便，通常取积分区间为： 三角函数集是一组完备函数集。
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
3、傅里叶级数展开的充分条件
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
4、基波、谐波
通常把频率为：
称为基波。
频率为 ：
频率为 ：
称为二次谐波。 称为三次谐波。