《北大清华高考状元易错题数学》

新《推理与证明》专题解析一、选择题1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.3．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.4．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.5．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R -C ．21232kcq x x RD ．21232kcq x x R -【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.7．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ） A ．d B ．bC ．cD ．a【答案】A 【解析】 【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可. 【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.8．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A 3B ．23C 65D 5【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =--=，所以5c e a ==， 故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙 【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12xf x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516xf x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nxx -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103nn ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.13．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.14．数列{}1212:1,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ） A ．33 B ．34C ．49D ．50【答案】B 【解析】 【分析】根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .故选：B. 【点睛】本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.15．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.16．用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．k【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解.【详解】用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边11112321k =+++⋅⋅⋅+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：111122121k k k +++⋯++-， 共()121212k k k +--+=项.故选：A 【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.17．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ）A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 【答案】D【解析】【分析】 根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求．【详解】 当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB． CD．【答案】A【解析】【分析】 根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =，由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A ．②④B ．①③C ．①④D ．①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确； 对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确； 对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.20．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．。

我的高考数学错题本第10章 概率统计易错题易错点1、重复计算或漏算导致错误【例1】4名考生在三道选做题中任选一道进行做答、则这三道题都有人选做的概率为 ( )A 、49B 、827C 、29 D 、427【错解】【错因分析】 第一种做法在计算的过程漏掉了“先选的三个人也可以有两个人同时做同一个题”这种情况；第二种做法在计算过程中出现了重复计算、【正解】4个人做三道题目、每题至少一人、则必有一个题目有两个人做、因此要先将四个人分成三组、然后再排列、方法数为234336C A =、所求概率为364819=、选A 【巩固练习1】 从1,2,3、…、9这9个数中任取5个不同的数、则这5个数的中位数是5的概率等于 （ ）A 、57 B 、59 C 、27 D 、49【答案】C易错点2、超几何分布与二项分布混淆【例2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况、将所得的数据整理后、画出了频率分布直方图如图所示、已知图中从左到右的前组的频率之比为1:2:3、 其中第组的频数为12、（1）求该校报考飞行员的总人数；（2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据、若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人、设X 表示体重超过60公斤的学生人数、求X 的分布列和数学期望、 【错解展示】【错因分析】（1）对随机变量的含义不清楚、不能区分超几何分布与二项分布；（2）对于何时可以样本的频率代替总体的概率不清楚； 【纠错提醒】（1）超几何分布的本质是“不放回抽样”、是一种古典概型、而二项分布的随机实验是“独立重复实验”、强调每次实验的结果发生的概率相同、可认为是“有放回抽样”、本题中、“若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人”、特别强调人数很多、意味着实验可以看做是“有放回抽样”、所以是一个二项分布；（2）本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据”、其意思是：用频率来代替概率、即16个人中每个人的体重超过60公斤的概率是105=168、也是说、全省每个学生的体重超过60公斤的概率为58、 【正解】（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为321,,p p p 、则由条件可得：213112323(0.0370.013)51p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩、解得、1230.125,0.25,0.375.p p p === 又因为2120.25p n==、故48=、 （2）由（1）可得、一个报考学生体重超过60公斤的概率为35(0.0370.013)58p p =++⨯=、故X 服从二项分布、()335388k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 随机变量X 的分布列为：则271352251251501235125125125128EX =⨯+⨯+⨯+⨯=、或515388EX np ==⨯=、【巩固练习2】盒子里装有大小相同的个球、其中个号球、个号球、个号球、（1）若第一次从盒中任取一个球、放回后第二次再任取一个球、求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；（2）若从盒中一次取出个球、记取到球的号码和为随机变量X 、求X 的分布列及期望、 【答案】记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件A 、 则3223123()88886416P A =⨯+⨯== （Ⅱ）X 可能取的值是6,5,4,3,2 23283(2)28C P X C ===、1133289(3)28C C P X C ===、112323289(4)28C C C P X C +===、11322863(5)2814C C P X C ====、 22281(6)28C P X C ===∴X234562828281428284EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==、故所求的数学期望为154、易错点3、几何概型与古典概型混淆【例3】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关、某数学兴趣小组为了验证这个结论、进行了测试、经过多次测试后、甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟、乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟、现甲、乙各解同一道几何题、求乙比甲先解答完的概率、 【错解】【错因分析】误认为时间是离散度的、将其看成了一个古典概型【纠错提醒】时间是一个连续性随机变量、在求解时应建立几何概率模型、【例3】解析：（1）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟、则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示) 、设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >、∴ 由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯、即乙比甲先解答完的概率为18、【巩固练习3】已知函数()223f x x x =-++、若在区间[]4,4-上任取一个实数0x 、则使()00f x ≥成立的概率为（ ）A 、425B 、12C 、23D 、【答案】B 、易错点4、忘记回归直线过样本中心致错【例4】某单位为了了解用电量（度）与当天平均气温（°C ）之间的关系、随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）、由数据运用最小二乘法得线性回归方程2y x a =-+、则a =___、 【错解】【错因分析】不理解回归直线过样本中心点(,)x y 、随便带入数据导致结果错误、 【纠错提醒】求出样本的中心点(,)x y 、代入回归方程、即可求得、【正解】解析：1813101104x ++-==、25353763404y +++==、样本中心为(10,40)、回归直线经过样本中心、所以4021060a a =-⨯+⇒=、【巩固练习4】已知变量与y 正相关、且由观测数据算得样本平均数3x =、 3.5y =、则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A 、ˆ0.4 2.3y x =+B 、ˆ2 2.4y x =-C 、ˆ29.5y x =-+D 、ˆ0.3 4.4yx =-+ 【答案】A 、易错点5、对正态分布的性质及意义不熟悉致错【例5】设随机变量X 服从正态分布()1,4N 、若()()125a a P X >+=P X <-、则a = 、【错解展示】【错因分析】（1）对正态分布2(,)N μσ中的2,μσ的意义不清；（2）对正态分布的性质及意义不熟悉、【纠错提醒】由题意1x a =+与25x a =-关于1x =对称、1252a a ++-=、解得2a =、 【正解】 解析：由()()125a a P X >+=P X <-、由正态分布的性质知、1x a =+与25x a =-关于1x =对称、1251a a ++-=、解得2a =【巩固练习5】设随机变量()2~,N ξμσ、且()()1=2=0.3P P ξξ<->、则()20=P ξ-<<______、【巩固练习5】0.2、。

【最新】数学《推理与证明》高考知识点一、选择题1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.4．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（ ） A ．1个 B ．5个C ．7个D ．9个【答案】B 【解析】 【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 因此这样的点有且只有5个. 故选：B 【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.6．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =①22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22ABFC r r a =-=-，又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.7．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.8．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A 【解析】 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

高考状元总结：高考数学易错知识点高考数学易错知识点，供参考，祝大家高考大捷~集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因剖析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，关于集合B高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种状况，在解题中假设思想不够缜密就有能够无视了B≠φ这种状况，招致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集分解绩时，更要充沛留意当参数在某个范围内取值时所给的集合能够是空集这种状况。

空集是一个特殊的集合，由于思想定式的缘由，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，招致解题错误或是解题不片面。

易错点2 无视集合元素的三性致误错因剖析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实践上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再详细处置效果。

易错点3 四种命题的结构不明致误错因剖析：假设原命题是〝假定 A那么B〞，那么这个命题的逆命题是〝假定B那么A〞，否命题是〝假定┐A那么┐B〞，逆否命题是〝假定┐B那么┐A〞。

这外面有两组等价的命题，即〝原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价〞。

在解答由一个命题写出该命题的其他方式的命题时，一定要明白四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否认一个命题时，要留意全称命题的否认是特称命题，特称命题的否认是全称命题。

如对〝a，b都是偶数〞的否认应该是〝a，b不都是偶数〞，而不应该是〝a ，b都是奇数〞。

易错点4 充沛必要条件颠倒致误错因剖析：关于两个条件A，B，假设A=>B成立，那么A是B的充沛条件，B是A的必要条件;假设B=>A成立，那么A 是B的必要条件，B是A的充沛条件;假设AB，那么A，B互为充沛必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充沛性与必要性，所以在处置这类效果时一定要依据充要条件的概念作出准确的判别。

易错点5 逻辑结合词了解不准致误错因剖析：在判别含逻辑结合词的命题时很容易由于了解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判别方法，希望对大家有所协助：p∨q真p真或q真，命题p∨q假p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真p真且q真，p∧q假p假或q假(概括为一假即假);┐p真p假，┐p假p真(概括为一真一假)。

高考数学常错题集2019-7-9我国的高考经历了艰难的历程，在这些历程中，出现了许许多多成功、优秀的试题，这在国家公布的“评价报告”、“分析报告、“试题分析”等文中已祥有阐述阐述，同时各地的期刊也不时发表许多专家对优秀试题的领悟与见解，这些都对中学教学及考试起了不可忽视的作用另一方面，对于命题者而言，纵观高考试题，可以发现，每换一帮人命题，总有一些“重蹈历史覆辙”的不尽人意的试题，这说明仅仅知晓什么样的试题优秀而去照着这个方向模拟、研究是不够的，还必须知道“有哪些经验教训”；同时由于教师职业正在由单纯的教书向教书育人及身兼研究者进行转化，因此对于中学教师及应试的考生而言，考的内容重在把握命题的“度”，不考的内容也需要一清二楚，而这些又得通过一定的教训及得出的一些经验来启示因此，笔者对历年高考试题进行了分析，搜集而成高考数学败题集高考数学试题随着国家政策的调整几度沉浮，而试题的成败又取决于考后的评价，就评价而言，高考试题走过了越来越受社会关注、越来越受社会评价影响的轨迹：原来的高考试题，社会关注评价比较少，因而试题评价形式以批评与自我批评为主，这一情况延续到1983年，虽然因为文化大革命而中断了些年；之后的1984――1993年，试题评价有了社会人员的参议，但仍然以国家公布的为主；1994年后，由于社会评价的参议，许多评价指标进行了量化（如：难度、标准分、区分度、信度等），又随着社会参与评价幅度的增大， 1999年，国家将评价报告改成“分析报告”，2002年定下“自主招生”的政策；2003年，高考试题进入以省市为主的自主招生阶段，并逐步向“高校自主招生”转移，相应的评价中心也在逐步向参加高考的高中转移，其中的师生逐步成为评价的主角，而这些评价无疑也会影响今后命题方向，同时更直接的影响着平时教学的检测方向及力度 这样，我们就更有必要对高考试题中的败题加以留意总结了一、1983年前的高考数学败题【说明】这一阶段高考数学试题评价是以批评与自我批评为主，因此，我们也就国家公布的没有提及优秀的试题来说明（1951一、13．）系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个 【评析】该题根据实系数复数方程虚数根成对出现得到的结论，但这一结论在当时并没有在大范围的教材中出现（1952二、1 ）解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0可得原方程的四根为：.231,231,2,64321i x i x x x --=+-==-= 【评析】该题分解因式的技巧性过强，多数学生不能完成，竞赛性质太浓1963―5．根据对数表求10123.28-的值解：3670.110128.23lg 10128.23lg 101⨯-=-=-570.8,9330.0lg 9330.1390670.011390670.138________===-+=-=x x .10570.8570.81028.23139139101---⨯=⨯=∴ 【评析】对数值中的139符号，当时是否应该、有必要引入中学还在讨论当中，高考就出现了这样符号 结论：研究及有争议的内容不能在试题中出现1965附加题（1）已知,,a b c 为实数，证明,,a b c 均为正数的充要条件是 000a b c ab bc ca abc ++>⎧⎪++>⎨⎪>⎩（2）已知方程320x px qx r +++=的三根,,αβγ都是实数，证明,,αβγ是一个三角形的三边的充要条件是30,0,048.p q r p pq r <><⎧⎨>-⎩证明：（1）条件的必要性是显然的，因为已知,0,0,0>>>c b a所以立即可得0>++c b a ，0>++ca bc ab ，.0>abc下面证明条件的充分性：设c b a ,,是三次方程023=+++r qx px x 的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有,0,0,0>=->++=>++=-abc r ca bc ab q c b a p此即.0,0,0<><r q p 由此即可知三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由0>abc 可知，方程无零根，故.0,0,0>>>c b a（2）由（1）的证明可知，γβα,,均为正数的充要条件是.0,0,0<><r q p 于是问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843-> 条件的必要性：若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有.,,βαγαγβγβα>+>+>+于是.0,0,0>-+>-+>-+βαγαγβγβα由此可得))()((βαγαγβγβα-+-+-+84)842(]8)(4)(2[)2)(2)(2()2)(2)(2(33323>+-=-+--=αβγ+αβ+γα+βγ+γ+β+α+-=γ+β+α+-=γ--β--α--=r pq p r pq p p p p p p p p p p p即r pq p 843-> 条件的充分性：若r pq p 843->，则,0843>+-r pq p .0))()((,0])()[(,0)()()(,0))(()()(,08])(2)()][([,08)222)((,08))((4)(22222223222223>+--+++->--++->---+++->-+--+++->--++--++>----++++>-+++++++-γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβγβααγβγβγβαγβαααβγαγβαγβγβααβγγβαγαβγαβγβααβγγαβγαβγβαγβα此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有.0))((>+--+γβαγβα如果,0,0<+-<-+γβαγβα两式相加得02<a ，即0<α，此与0>α相矛盾 故有,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα此即⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ此即γβα,,可作为一个三角形的三条边综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是⎩⎨⎧-><><.840,0,03r pq p r q p 【评析】这个试题以附加题形式出现，难度较大，但也不能大到无一人（甚至参加国际数学竞赛的学生）能作上程度 结论：试题不能无线拔高（1977北京文4）不查表求sin1050的值 解：.462)4530sin(75sin 105sin +=︒+︒=︒=︒ 【评析】当时，并没有要求记特殊角三角函数值，所以题虽然不难，但会的人不多（1977年福建理科2（2）题）证明：22cos sin 290().2cos sin 22tg θθθθθ-︒-=+ .)290(tg )90cos(1)90cos(1sin 1sin 1)sin 1(cos 2)sin 1(cos 2:2右边左边证=θ-︒=θ-︒+θ-︒-=θ+θ-=θ+θθ-θ= （1977年河北试题第3题）．证明：sin 2111.1cos2sin 222tg αααα+=+++ 证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边 （1977年上海理科第1（4）题）求证：sin()cos()244cos2sin()cos().44ππθθππθθθ+++=--.2cos 22cos 211)4cos()4sin(2sin )4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin(:右边左边证=θ=θ=θ-πθ-ππ=θ-πθ-πθ-πθ+π+θ-πθ+π= 【评析】这些该题本身不难，但三角证明题几地都出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度 结论：三角证明一般不作为证明题出现（1977年福建理科第3题）在半径为R 的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n 个正六边形的周长之和S n;（2）所有这些正六边形的周长之和S解：如图，半径为R 的圆内接正六边形的周长为6R ，设C 为AB 的中点，连结OC ，OB ，则OC ⊥AB ∴OC=CD=.2360sin R R =︒⋅ 第二个正六边形的周长.236⋅=R 同理可得,)23(62⋅=R 第四第三个正六边形的周长个正六边形的周长,)23(63⋅=R ………… 于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：6R ，.236⋅R ,)23(62⋅R ,)23(63⋅R …,)23(61-⋅n R … BE D O①前n 个正六边形周长的和12)23(6)23(62366-⋅++⋅+⋅+=n n R R R R S ])23()23(231[612-++++=n R .])23(1)[32(12231)23(16R R n n -+=--⋅= ②所有这些正六边形周长的和.)32(1232122316R R RS +=-=-=【评析】从题本身上看，该题是一个好题，但是其答案在全国引起争议——归纳出的结论到底是否要证明是等比数列？即使不证明也要体现有等比数列的过程 从该题对以后影响是，出现了用式子表达等比、等差数列热潮（1977年福建文科第4题）．求抛物线29y x =和圆2236x y +=在第一象限的交点处的切线方程解：解方程组⎩⎨⎧=+=)2(36)1(9222 y x x y （1）代入（2）得,03692=-+x x x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1），得33=y （仅取正值）， ∴在第一象限的交点为（33,3）从抛物线x y 92=得.29=p∴过点（33,3）的抛物线的切线方程是.09323),3(2933=+-+=y x x y 即 过点（33,3）的圆的切线方程是,36333=+y x 即.0123=-+y x【评析】该题的问题是表述不清：有人认为只求抛物线的切线方程，也有人认为只求圆的切线方程，答案倒认为是求圆和抛物线的方程（1977年黑龙江第2题第（1）问）．计算下列各题：解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时当.2,22m a a ma m a m -=+-<时【评析】该题引发了分段表示法的争论，结论，如果是分段出现的，结果一般用分段函数形式给出（1977年江苏第1（5）题）把直角坐标方程22(3)9x y -+=化为极坐标方程解：原方程可展开为θ=ρθ=ρ=ρ∴=θρ⋅-ρ=+-cos 6cos 60,0cos 6,06222即或y x x【评析】该题从一般情况下考虑（直角坐标系的原点为极点，x 轴为极轴且长度单位不变），但没有交代清楚一般情况下，以致于该题出现的情况是：一般的学生答的好，程度很高的如参加竞赛的学生反倒没有答好！属于交代不明出现的失误（1977年上海理科第6题）已知两定点A （-4，0）、B （4，0），一动点P （x,y ）与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率的乘积为4-P 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、PB 的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意,14161644144.4,4222221=+=+-=-⋅+-=+=y x y x x y x y x y k x y k 【评析】该题解答有误，应该加上条件(x≠±4，相应曲线为以（±）为焦点、以8为长轴的椭圆，去掉长轴的两个端点)结论：说明轨迹、图形的问题要保证惟一及等价（1979年文科理科第四题）叙述并证明勾股定理 证：略【评析】这个题当时答案是用坐标法的距离公式证明的，但是距离公式是由勾股定理推导出的，因而形成“因为A……所以A”的循环论证错误，而得出一般用拼图法得到；拼图法能否算作证明还在争论中，但当年多数省市按错对待 结论：数形结合的方法得到的结论不能以证明题的形式出现（1980年理科第八题）已知0＜α＜π，证明：2sin 2ctgαα≤并讨论α为何值时等号成立 解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα 而 2sinαsin2α=4sinαcos 2α=4(1-cos 2α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα所以问题又化为证明不等式 (1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤0（1+cosα)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cosα-21=0 即α=600【评析】这些该题本身不难，但三角证明题出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度 另一方面，这一答案给出的分析法证明格式也不对，一般分析法证明题格式“要证A ，只要证B”形式，B 是A 的充分不必要条件即可，而不是由A 导出B（1982年文科第七题）已知定点A ，B 且AB=2a ，如果动点P 到点A 的距离和到点B 的距离之比为2∶1，求点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：选取AB 所在直线为横轴，从A 到B 为正方向，以AB 中点O 为原点，过O 作AB 的垂线为纵轴，则A 为（-a ，0），B 为（a ，0），设P为（x,y) .033103],)[(4)(.2)()(,1222222222222=++-∴+-=++∴=+-++∴=a y ax x y a x y a x ya x y a x PB PA 因为x 2,y 2两项的系数相等，且缺xy 项，所以轨迹的图形是圆（1983年文科第九题）如图，已知两条直线L 1:2x-3y+2=0,L 2:3x-2y+3=0 有一动圆（圆心和半径都在变动）与L 1，L 2都相交，并且L 1，L 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M解：设圆心M 的坐标为(x,y)，圆的半径为r ，点M 到L 1，L 2的距离分别为d 1,d 2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有.5.)224(,)226(2212222222221=-=+=+d d r d r d 得根据点到直线的距离公式，得.16565)1(.651225)13323(13232(,13|323|,13|232|22222221=-+=-++=+--+-+-=+-=y x y x x y x y x y x d y x d 即化简得得方程代入上式轨迹是双曲线【评析】答案说法有误：说圆应为以…为圆心，以…为为半径的圆,说双曲线说明以…为焦点…为实轴长的双曲线二、1984――1993年高考数学败题【说明】这段时间，考试的目的是考察中学数学的基础知识、基本技能，命题的人员以中学教师为主，为减少败题的出现机率，采取了科研测试方法（科研测试题从1988年暂停,1992年恢复），因此，这一阶段的败题多是不复合教学大纲的试题（1984年理二2）函数20.5log (44)x x ++在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2【评析】该题用到了复合函数单调性，但这一内容在当时教学大纲中明确不要求（1984年理五）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程()log 1d cx xx +=- Y L 1MO X在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c≠0，可得.12c dx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =【评析】该题即从两个层次考查了等价转化，中间又涉及了分类讨论，难度比较大，是一个考查能力的试题，与当时考查“双基”要求不符；结论：考查数学思想从深度及广度同时考查时，不能在某一思想上究得太深（1984年理六2）求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程解：因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即【评析】该题在当时一改习惯于教材上直接法求轨迹方程的步骤，被认为是对教学大纲的偏执理解，没有考查基础知识与基本技能，所以当作一种研究性的材料还可以，并最终诞生了相关点法的应用 至于到了考查能力时，它则又成为一道好题，那是十年之后的事情了！（1984年理七）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，cos 4cos 3A bB a ==，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++= α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72【评析】该题是对知识的大综合，对于学生而言难度较大，而且就1984E O ＇ P （x,y) XO C （0，0） A （8，0）年的高考试题，解答题基本上是题题设防、题题堡垒，从整体上脱离了中学教学的实际（1984年文五）把22411sin 2sin cos 4αβα---化成三角函数的积的形式(要求结果最简）)-)sin(sin( )2sin 2sin 2()2cos 2(2cos)cos )(cos cos (cos cos cos )cos (sin cos cos cos cos sin cos cos 2sin 41)sin 1(:2222224222422βαβ+α=α-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α-β=α+αα-β=α-αα-β=α-α-β-=原式解【评析】当时三角式最简没有明确什么什么样算最简，这一名次的提出具有超前性，对于文科生更感不易，但它引领了一个各种化简结果最简的研究方向 结论：研究方向不能替代仅仅那么一点时间高考试题！（1985年全国文科第四题）证明三角恒等式424232sin sin 25cos cos3cos 2(1cos )4x x x x x x ++-=+证：x x x x x x x cos )cos 3cos 4(cos 5cos sin 3sin 224224--++=左边x x x x x 24224cos 3cos cos sin 3sin 2+++=右边=+=++=+++=x x x x x x x x x 222222222cos 22cos 3cos sin 2cos 3)cos )(sin cos sin 2(【评析】三角证明题不宜作为大题考查，这是几年前的经验，该题重蹈了历史覆辙 1988年的文科数学试题第三题是“证明α-α=αcos 3cos 43cos 3”，1989年全国理科19文、科20题“证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=-”继续重蹈历史覆辙！ （1986年理文科一（6）题）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 答案D【评析】该题仅仅说了甲是乙的充分条件，没有说是否必要，因此该题的叙述不严格 这一不足，在以后命题中加以了改进，并渗透到平时教学中（1988年全国理科、文科一14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ ）（A ）233197C C 种 （B ）233231973197C C C C +种（C ）55200197C C -种 （D ）5142003197C C C -种 答案B【评析】该题不难，但是用符号而不用数值表示过多的限制了考试的思维，当年引起专家争议随后的再实验，用事实说明了“这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！”（1989年全国理22、文23）已知,1a ,0a ≠>试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解【评析】该题从题本身而言是一个好题，但是该题在当年许多学校已经练习过，作为高考试题，照搬原题是不适当的（1989年上海14）两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同的坐法种数为（ ）A,C 58C 38 B,153288P C C C,5388P C D,38P答案：D【评析】该题是对1988年全国214题的延续再实验，事实说明 “排列组合问题结果这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！而且这种命题从方式上也限制了学生的思维”（1990年全国理科第9题、文科11题）设全集I={(x,y)|x,y ∈R },集合M={(x,y)|312y x -=-, x 、y ∈R },N={(x,y)|y≠x+1, x 、y ∈R }，那么M N ⋃＝（ ）A, ∅ B,{(2,3)} C,(2,3) D,{(x,y)|y=x+1} 【答案】B【评析】该题基本上照搬了1986年上海理科第20题：若全集U={(x,y)|x 、y ∈R },A={(x,y)|123=--x y , x 、y ∈R },B={(x,y)|y=x+1, x 、y ∈R },则U A∩B是（ ）A,U AB,B C,∅ D,{(2,3)}，高考试题照搬应该不是件好事（1991年全国理23题） 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离．∵ BD ⊥AC ， ∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ，∴ EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． 作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离．∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC=2， ∴ AC=42，HO=2，HC=32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG=()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ．∴ OK=111122222=⨯=⋅HG GC HO ． 即点B 到平面EFG 的距离为11112． 【评析】该题作辅助线太多，难度过大，是历年立体几何题少见的难度；但它的出现，将中学教学的“距离”引向以点面距为核心的研究上，就当年而言，此题与考查双基的思想不符（1991年全国理科25题）已知n 为自然数，实数a>1，解关于x 的不等式log a x －log 2a x ＋12log 3a x ＋…＋n (n －2)1n -log n a x>1(2)3n--log a (x 2－a)解：利用对数换底公式，原不等式左端化为 log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n(－2)n －1·na a ax log log =[1－2＋4＋…＋(－2)n－1]log a x =3)2(1n--log a x 故原不等式可化为3)2(1n--log a x>3)2(1n--log a (x 2－a)． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于 log a x>log a (x 2－a)． ②因为a>1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a x x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411ax a a x 因为2411a +-<0， 2411a ++>24a=a ，所以，不等式②的解集为{x|a <x<2411a++}． 当n 为偶数时，3)2(1n--<0，不等式①等价于log a x>log a (x 2－a)． ③因为a>1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x a x x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax 因为，，a aa a =>++<+-24241102411 所以，不等式③的解集为{x|x>2411a++}． 综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}； 当n 为偶数时，原不等式的解集是{x|2411ax ++>} 【评析】该题照搬了当年湖北黄冈、河北辛集中学及北京海淀区的模拟试题，包括数值都没有变化（1991年三南高考数学第24题）设函数f(x)=x2+x+1的定义域是[n,n+1]2（n是自然数），那么在f(x)的值域中共有_____________个整数【答案】2n+2【评析】这是当年希望杯数学竞赛的一道数学试题，在高考中出现而且仍然以填空题出现，有照抄之嫌（1992年三南第14题）设数列{a n}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2……a30=230,那么a3a6a9…a30=（）A,210B,220C,216D,215【答】B【评析】该题运算量比较大，也是希望杯竞赛中一个非常类似的题，在还没有将运算能力当作一种能力考查时，出此题显然违背了考查“双基”的初衷三、1994――－2002年高考数学败题【说明】该阶段，高考内容上以《考试说明》为准绳，目的逐步变化成“为大学选拔新生服务的选拔性能力考试”，命题的人员也逐步变化为以高校为主，出台了许多量化指标，该阶段的败题，主要体现为预估难度（考试说明的规定难度）与实际难度（实际分数）不符，这一原因现在多数专家认为是高校教师不了解中学教学的实际所致（1994年全国理文23题）如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点．(1)证明AB1∥平面DBC1；(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC 1为面的二面角α的度数．【解答】(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形．连结B 1C交BC 1于E ，则B 1E=EC ．连结DE ．在△AB 1C中，∵AD=DC ，∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影．∵AB 1⊥BC 1，由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角α的平面角．设AC=1，则DC=21．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中，DF=DC·sinC=43，CF=DC·cosC=41．取BC 中点G ．∵EB=EC ，∴EG ⊥BC ．在Rt △BEF 中，EF 2=BF·GF ，又BF=BC －FC=43，GF=41，∴EF 2=43·41，即EF=43．∴tg ∠DEF=14343==EF DF ．∴∠DEF=45°．故二面角α为45°．【评析】该题作辅助线太多，难度过大；与当年的大环境有关：一、当年出台《考试说明》，明确数学高考考查的第一能力是计算能力；二、当年形成了立体几何的研究热潮但一次性将能力拔高到这种程度，是考生难于适应的 结果出现与《考试说明》要求不符的实际情况（1994年上海18）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排列一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A,4545P P ∙ B,33P ∙ 4545P P ∙ C,13C ∙4545P P ∙ D,22P ∙4545P P ∙【答】D【评析】这种排列组合用符号表示的试题在全国1988年已经有了不宜出的结论，它再次重蹈了历史覆辙（1996年全国理22、文23）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1． (Ⅰ)求证：BE=EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足．① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG ，④ ∵∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ，⑤ ∵ ∴111122FG AA BB ==，即111,2BE BB BE EB ==故【解答】①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1， ②∵面ABC ⊥侧面AC 1，③∵BE ∥侧面AC 1 ④∵BE ∥AA 1， ⑤∵AF=FC ， (Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ．∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==， ∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A ∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°【评析】以这种填空题形式出现，过多地限制了学生思维，出现了实际结果与预估难度非常大的反差立体几何试题这样出不当；通过该题，也使近年立体几何的研究开始了降温同时也使不少专家反省：高考试题与研究热点及竞赛试题还是当有区别的同时，也确定了从1997年开始高考试题的进行量化评价（1997年全国理15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( ) (A) 150种 (B) 147种(C) 144种 (D) 141种【解答】D【评析】该题无论从直接还是间接思路，都要进行三级分类讨论，体现为试题很难 难度为0 18，按照当年《考试说明》，难度低于0 2的，应该算作废题 结论：考查单一的知识与思想，层数不能超过三级（1997年全国理24）设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1a ． I ．当x ∈(0, x 1)时，证明x<f (x)<x 1； II ．设函数f(x)的图像关于直线x=x 0对称，证明x 0<12x 【解析】证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a>0，得F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)>0，即x<f(x)． )](1)[())(()]([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=- 因为a x x x 1021<<<<所以x 1－x>0，1+a(x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0．得 x 1－f(x)>0．由此得f(x)<x 1．(Ⅱ)依题意知a b x 20-= 因为x 1，x 2是方程f(x)－x=0的根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x+c=0的根．∴ab x x 121--=+， a ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-= 因为ax 2<1，所以22110x a ax x =<【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚 实际难度为0 09,也属于废题（1997年全国理25）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．【解析】解法一:设圆的圆心为P(a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b│， │a│．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P(a ，b)到直线x －2y=0的距离为52ba d -=，所以5d 2=│a －2b│2 =a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2) =2b 2－a 2=1，当且仅当a=b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 解法二:同解法一，得52ba d -=∴db a 52±=-得2225544d bd b a +±=①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得 01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r 2=2．由b a 2-=1知a ，b 同号．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚 实际难度为0 20,属于废题 通过1997年高考数学试题，专家们得出这样结论：竞赛试题要对某一知识应用中强调技巧，高考试题不能过多地偏重于技巧（1999年全国文理16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）【解答】12【评析】该题的愿意是选垄并种播，但是题目没有明确叙述清楚，而只是笼统的说有多少种选法（1999年全国文理23，广东20）右图为一台冷轧机的示意图 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出Ⅰ 输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ Ⅱ 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）【解答】Ⅰ 解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10n r a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-n r a 01即().10a r n β≤- 由于(),0,010>>-a r n β对比上式两端取对数，得().lg 1lg 0a r n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r a n --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a --β的整数对轧辊Ⅱ 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅k r a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅k r a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r 即.8.016004-⋅=k k L 由此得(),20003mm L =(),25002mm L =()mm L 31251=填表如下轧锟序号k 1 2 3 4。

清华大学附中2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π2．函数()3sin 3xf x xπ=+的图象的大致形状是（）A．B．C．D．3．231+=-ii（）A．15i22-+B．1522i--C．5522i+D．5122i-4．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a，2a，3a，，50a为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg106．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ．(2,3) B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)7．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．88．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 9．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2210．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+11．已知函数3sin ()(1)()x xx xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．312．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

我的高考数学错题本第1章 集合易错题易错点1 遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B =∅这种情况，导致解题结果错误．【例 1】 设2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，B A ⊆，求的值．【错解】 {3,1}A =-,1{}B a =，从而13a =或1-． 【错因】忽略了集合B =∅的情形【正解 】当B ≠∅时，得13a =或1-；B =∅时，得0a =．所以13a =或1a =-或0a =． 【纠错训练】已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|15}B x x x =<->或，若=AB ∅，求a 的取值范围． 【解析】由=A B ∅，（1）若A =∅，有23a a >+，所以3a >．（2）若A ≠∅，则有213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩，解得122a -≤≤． 综上所述，的取值范围是1{|23}2x a a -≤≤>或． 易错点2 忽视集合元素的三要素致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求．【例2】已知集合{1,4,}A a =,2{1,,}B a b =，若A B =，求实数，的值．【错解】由题意得，24a a b ⎧=⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩． 【错因】本题误认为两个集合相等则对应项相同，这显然违背了集合的无序性．【正解】∵A B =，由集合元素的无序性，∴有以下两种情形：（1）24a a b ⎧=⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩； （2）24a a b ⎧=⎨=⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩，经检验12a b =⎧⎨=-⎩与元素互异性矛盾，舍去．∴22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩或04a b =⎧⎨=⎩．【例3】 已知集合{1,4,}A a =,集合2{1,}B a =，若B A ⊆，求的值．【错解】24a =或2a a =，解得2a =±或0a =或1a =．【错因】没有将计算结果代回到集合中检验，忽略了集合中元素的互异性，导致出现了增解．【正解】24a =或2a a =，解得2a =±或0a =或1a =，经检验当1a =时，{1,4,1}A =，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去，所以2a =±或0a =．【纠错训练】已知集合{1,2}A =，{|30}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数的值是（ ）A ．30,,32B ．0,3C ． 3,32D ．【解析】若B A ⊆，则集合B 是集合A 的子集，当B =∅，显然0a =；当B ≠∅时，解得3B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则有31a=或32a =，解得3a =或32a =，即的值为30,,32，选A ．易错点3 弄错集合的代表元【例4】已知{}| 1 A y y x ==+，{}22(,)|1B x y x y =+=，则集合A B 中元素的个数为________．【错解】 1个或无穷多个【错因】没有弄清集合B 的代表元的含义【正解】集合A 是一个数集，集合B 是一个点集，二者的交集为空集，所包含的元素个数为0．【例5】已知函数()y f x =，[,]x a b ∈，那么集合{(,)|(),[,]}{(,)|2}x y y f x x a b x y x =∈=中元素的个数为（ ）A ．1 A ．0 C ．0或1 D ．1或2【错解】不知题意，无从下手，蒙出答案D【错因】没有弄清两个集合打代表元，事实上，{|()}x y f x =、{|()}y y f x =、{(,)|()}x y y f x =分别表示函数()y f x =的定义域、值域、函数图象上的点的坐标组成的集合．【正解】本题中集合的含义是两个图象交点的个数，从函数值的唯一性可知，两个集合的交中之多有一个交点，故选C ．【纠错训练】1．已知集合2{|1}A y y x ==+，{|2}B x y =，则A B =_______________． 【解析】{|1}A y y =≥，{|0}B x x =≥，所以{|1}A B x x =≥．【纠错训练】2．设集合{(,)|25}A x y x y =+=，{(,)|23}B x y x y =-=-，则A B =______．【解析】由2523x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，从而{(1,2)}A B =．易错点4 忽略了题目中隐含的限制条件。

数学《推理与证明》复习知识点一、选择题1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学D．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学【答案】D【解析】【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】f n个部分,设画n条直线,最多可将面分成()1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=;3,(3)(2)37n f f ==+=;,4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=;6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.3．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y += B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C【解析】 【分析】 先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程.【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上， 故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y +=. 故选：C.【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.4．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ）A ．228617430x x ++=B ．4227841630x x x +++=C ．2174328610x x ++=D ．43163842710x x x +++=【答案】C【解析】【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果.【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C.【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.5．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】【分析】 由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a , 所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.6．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（ ）A ．1个B ．5个C ．7个D ．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.7．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =①22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】D【解析】【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④.【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22AB FC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D.【点睛】 本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.8．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A．甲B．乙C．丙D．无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

高考状元总结的高考数学易错知识点大全易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B≠φ这种情况，导致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。

这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。

在解答由一范文工作总结个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。

易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A 是B的必要条件，B是A的充分条件;如果AB，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真p真或q真，命题p∨q假p 假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真p真且q真，p∧q 假p假或q假(概括为一假即假);┐p真p假，┐p假p真(概括为一真一假)。

错题集3．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：由凸n 多边形到凸(n ＋1)边形增加了一个顶点，这个顶点与其余n 个顶点连结形成对角线n －2条，原来的一条边成为对角线，故共增加n －1条对角线，∴f (n ＋1)＝f (n )＋n －1. 答案：C8．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13.a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上． 9．若n 大于1的自然数，求证： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1324. 证明：(1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712＞1324.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＞1324， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 ＞1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2＝1324＋12(2k ＋1)(k ＋1)＞1324.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立．B 组 能力突破1．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 解析：∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1.答案：C3．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12(k ＞1)，则当n＝k ＋1时，左端应乘上________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是________．解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1，最后一个是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有(2k ＋1－1)－(2k ＋1)2＋1＝2k －2k －1＝2k －1项．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋3…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1－1 2k －14．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118， 所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216， 所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2， 那么，当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3， 因为12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2 ＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0，所以f (k ＋1)＜32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *， 都有f (n )≤g (n )成立．2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案：D4．(2014·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个． 答案：C6．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”． 答案：a ，b ，c ，d 全是负数7．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线． 解析：根据线面关系定理判定． 答案：①③④8．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ， 即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．B 组 能力突破1．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：可以根据图象直观观察；对于C 证明如下： 欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222.即证(x 1＋x 2)2＜2x 21＋2x 22. 即证(x 1－x 2)2＞0.显然成立．故原不等式得证． 答案：C2．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a() A．都不大于－2 B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2解析：因为a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.答案：C3．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x n)n≤f⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x2＋…＋x nn，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．解析：∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴f(A)＋f(B)＋f(C)3≤f⎝⎛⎭⎪⎫A＋B＋C3＝f⎝⎛⎭⎪⎫π3，即sin A＋sin B＋sin C≤3sin π3＝332，所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为33 2.答案：33 24．已知常数p＞0且p≠1，数列{a n}的前n项和S n＝p1－p·(1－a n)，数列{b n}满足b n＋1－b n＝log p a2n－1且b1＝1.(1)求证：数列{a n}是等比数列；(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k 时，b n≥(1－λ)(3n－2)恒成立，求k的最小值．解：(1)证明：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p1－p(1－a n)－p1－p(1－a n－1)，整理得a n＝pa n－1.由a1＝S1＝p1－p(1－a1)，得a1＝p＞0，则恒有a n＝p n＞0，从而a na n－1＝p.所以数列{a n}为等比数列．(2)由(1)知a n＝p n，则b n＋1－b n＝log p a2n－1＝2n－1，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝n 2－2n ＋2，所以n 2－2n ＋2≥(1－λ)(3n －2)，则(3n －2)λ＋n 2－5n ＋4≥0在λ∈[0,1]时恒成立．记f (λ)＝(3n －2)λ＋n 2－5n ＋4，由题意知，⎩⎨⎧f (0)≥0f (1)≥0，解得n ≥4或n ≤1.又n ≥2，所以n ≥4.综上可知，k 的最小值为4.1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确． 答案：C2．(2014·石家庄模拟)已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715解析：通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.故选A.3．(2014·焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是() A．0 B．1C．2 D．3解析：①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．8．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3 3.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3(3＋3x)＝3＋3x3(3＋3x)＝33.1．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4·a6＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是() A．b4＋b8＞b5＋b7B．b4＋b8＜b5＋b7C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8D ．b 5·b 8＜b 4·b 7解析：b 4＋b 8－(b 5＋b 7)＝b 4＋b 4q 4－b 4q －b 4q 3＝b 4(1－q )＋b 4q 3(q －1)＝b 4(q －1)(q 3－1)，∵q ＞1，∴q 3＞1，∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.4．(理科)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求a 1、d 和T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)在a 2n ＝S 2n －1中，分别令n ＝1，n ＝2， 得⎩⎨⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎨⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. (2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ＜(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立． ∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得， ∴此时λ需满足λ＜25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ＜(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立． ∵2n －8n 是随n 的增大而增大， ∴n ＝1时2n －8n 取得最小值－6，∴此时λ需满足λ＜－21.综合①②可得λ＜－21， 2．(2013·陕西)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是() A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析：A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2成立．B中，z1＝z2，则z1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋3i，z2＝2，2则|z1|＝2＝|z2|，但z21＝－2＋23i，z22＝4，z21≠z22.答案：D3．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝() A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析：由M∩N＝{4}知4∈M，所以z i＝4，z＝－4i，选C. 3．(2013·江西)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()A．S<8 B．S<9C．S<10 D．S<11解析：由框图及输出i＝4可知循环应为：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S ＝9，输出i＝4，所以应填入的条件是S<9，故选B.8．(2013·湖北)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.解析：从题中程序框图知，a ＝10，i ＝1；a ＝5，i ＝2； a ＝16，i ＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5.故输出i ＝5. 答案：59．(2013·浙江)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析：第一步，S ＝1＋12＝32，k ＝2； 第二步，S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三步，S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四步，S ＝74＋14×5＝95，k ＝5，结束循环．输出S ＝95.2．(2013·重庆)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A．k≤6 B．k≤7C．k≤8 D．k≤9解析：第一步，s＝s·log k(k＋1)＝log23，k＝2＋1＝3；第二步，s＝s·log k(k＋1)＝log23·log34＝log24，k＝3＋1＝4；第三步，s＝s·log k(k＋1)＝log24·log45＝log25，k＝5；…；第n步，s＝log2(n＋1)·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)，k＝n＋2，若输出s＝3，则log2(n＋2)＝3，n＋2＝8，n＝6，k＝n＋2＝8，说明k＝8时结束，故应填k≤7.选B.1．(2013·福建)已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝b x＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.b^>b′，a^>a′B.b^>b′，a^<a′C.b^<b′，a^>a′D.b^<b′，a^<a′解析：x＝216＝72，y＝136，代入公式求得b^＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎪⎫722＝57，a^＝b^x－y＝57×72－136＝13，而b′＝2，a′＝－2，∴b^<b′，a^>a′，故选C.4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．A．①B．①③C．③D．②解析：①推断在100人吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B；③正确．3．(2013·重庆)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6解析：由茎叶图知落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因为共有10个数据，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.4．(2013·山东)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367 C ．36D.677解析：由题意知90＋－3＋4＋0＋1＋0＋x ＋17＝91，得x ＝4，所以方差s 2＝17[(－4)2＋32＋(－1)2＋02＋(－12)＋32＋02]＝367，故答案为B. 9．甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．1．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83解析：由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d ，则有6×0.27＋15d ＝1－0.01－0.03－0.09，解得d 然后可求得各组频率(也可用排除法)．2．(2013·湖南)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析：从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．故选D.3．(2013·课标全国Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是() A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解析：因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C.3．(2014·舟山模拟)为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是________．解析：无论高几，每一位学生被抽到的概率都相同，故高一年级每一位学生被抽到的概率为25500＝120.4．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x0.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P (120－x 0＜X ＜x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10＜X ＜60＋2×10)＝0.954 4. ∴x 0＝60＋2×10＝80(分)．5．(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 解析：设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4, x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必有0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4.由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.8．为了某大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A 能够入选的概率．(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．解：(1)设A 通过体能、射击、反应分别记为事件M 、N 、P ，则A 能够入选包含以下几个互斥事件：MN P ，M N P ，M NP ，MNP . ∴P (A )＝P (MN P )＋P (M N P )＋P (M NP )＋P (MNP ) ＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23. 所以，A 能够入选的概率为23. (2)P (没有入选任何人)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234＝181，P (入选了一人)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881，P (入选了两人)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481，P (入选了三人)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝3281，P (入选了四人)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为E (ξ)＝3 000×881＋6 000×2481＋9 000×3281＋12 000×1681＝8 000(元) 所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．9．某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．解：(1)法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827.法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为 P 4(2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝127，P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427⎝ ⎛⎭⎪⎫或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427，P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49.综上知，ξ的分布列为从而有E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.1．(2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 解析：A 、B 不正确，无法确定采用的是哪种抽样方法． 男生的平均成绩为90，女生的平均成绩为91，但这只能反映这五名男生和五名女生的情况，不能准确反映全班的成绩．又男生成绩的方差为8，大于女生成绩的方差6，故C 正确．4．(2013·天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望EX ＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.7．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率是________． 解析：第一步求出，第1次抽到理科题的概率是P 1＝35. 第二步求出第1次和第2次都抽到理科题的概率P 2＝310. ∴第2次抽到理科题的概率是31035＝12.9．(2014·云南丽江调研)甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为45，乙投进的概率为12，求： (1)甲投进2球且乙投进1球的概率；(2)在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率． 解：(1)甲投进2球的概率为C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫452·15＝48125， 乙投进1球的概率为C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·12＝38， 甲投进2球且乙投进1球的概率为48125×38＝18125.(2)在甲第一次投篮未进的条件下，甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进(记为A )，或甲后两投一进且乙三投零进(记为B )，P (A )＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫452·⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1625×12＝825，P (B )＝C 12·45·15·C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝825×18＝125.∴甲最终获胜的概率为P (A )＋P (B )＝925.4．(创新题)(2014·丹东模拟)如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A 投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是12，记小球遇到第n 行第m 个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P (n ，m )． (1)求P (4,1)，P (4,2)的值，并猜想P (n ，m )的表达式(不必证明)；(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧4－x ，1≤x ≤3，x －3，3＜x ≤6，设小球遇到第6行第m 个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f (m )，试求ξ的分布列及数学期望． 解：(1)P (4,1)＝C 03(12)3＝18， P (4,2)＝C 13(12)3＝38， 猜想P (n ，m )＝C m －1n －1·(12)n －1. (2)ξ＝3,2,1，P (ξ＝3)＝P (6,1)＋P (6,6)＝116，P (ξ＝2)＝P (6,2)＋P (6,5)＝2C 15(12)5＝516， P (ξ＝1)＝P (6,3)＋P (6,4)＝58Eξ＝3×116＋2×516＋1×58＝2316.3．(2014·河南三市三模)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4 C ．1－π2D ．1－3π4解析：函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2的点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4，故选B.8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M —ABCD 的体积小于16的概率．解：如图，正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1. 设M —ABCD 的高为h ， 则13×S △ABCD ×h ＜16， 又S △ABCD ＝1，∴h ＜12， 即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.9．(2014·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}； 画出图形如下图， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b ＜0的概率为2125.1．(原创)向边长为2米的正方形木框ABCD 内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P 点，则P 点到A 点的距离大于1米，同时∠DPC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的概率为( )A ．1－3π16 B ．1－π16 C.3π16D.π16解析：由题意，易知：(1)点P 在以A 点为圆心，1为半径的圆外；(2)若点P在以DC 为直径的圆上，则∠DPC ＝π2，若点P 在以DC 为直径的圆内，则∠DPC ＞π2，故只有点P 在以DC 为直径的圆外时满足∠DPC 为锐角．因此，点P 落入图中的阴影部分，故所求概率为4－π4－π24＝1－3π16，选A.2．(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( )A.12B.14C.32D.74解析：矩形ABCD 如图所示，在点P 从D 点向C 点运动过程中，DP 在增大，AP 也在增大，而BP 在逐渐减小，当P 点到P 1位置时，BA ＝BP 1，当P 点到P 2位置时，AB ＝AP 2，故点P 在线段P 1P 2上时，△ABP 中边AB 最大，由题意可得P 1P 2＝12CD .在Rt △BCP 1中，BP 21＝916CD 2＋BC 2＝916AB 2＋AD 2＝AB 2. 即AD 2＝716AB 2，所以AD AB ＝74，故选D.4．(2014·江西宜春模拟)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数．若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x .(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率． 解：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时，ax ＋b x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x 在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ， 故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8， ∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.。