全等三角形做辅助线-倍长中线,截长补短课程教案

几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE 作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 结论2、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （二）截长补短法于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.DABCMTEC图2-2APN证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PDPE上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。

作业：1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE .求证：BE +DF =AE .2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE F EDCBAC（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

全等三角形常见辅助线的作法一倍长中线法倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长××到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后__构造全等三角形_，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问题【例题精讲】例1、如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．分析：①因为AD为中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE；②进而利用全等三角形的判定（SAS）△ABD≌△ECD；③由全等可得_AB=EC__；证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC∵AD是中线∴DC=DBDC=DB∴△CDE≌△BDA（SAS）∴CE=AB在△AEC中CE+AC>AE，CE=AB∴AB+AC>AE ∵DE=AD∴AE=2AD ∵AB+AC>AE ∴AB+AC>2AD例2如图CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．例3、 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．例4、如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于点F ．求证：AF ＝EFBCB C二、截长补短法截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

【例题精讲】例1.如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2 求证：AB＝AC＋CD证法一：（补短法）延长AC至点F，使得AF＝AB在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B＝∠F∵∠ACB＝2∠B∴∠ACB＝2∠F而∠ACB＝∠F＋∠FDC∴∠F＝∠FDC∴CD＝CF而AF＝AC＋CF∴AF＝AC＋CD∴AB＝AC＋CD证法二：（截长法）在AB上截取AE＝AC，连结DE在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD（SAS）例2、如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠B=2∠C.求证：CD=AB+BD.例3、如图，AD//BC ，BE 、AE 分别是∠ABC 、∠BAD 的平分线，点E 在CD 上，求证：AB=AD+BC例4、如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，P 是线段AD 上任一点除A 、D 外的任意一点。

证明举例教案（提高）1)等变换中的“旋转”．2)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．3)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）4)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶常见辅助线的作法有以下几种：．手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60(4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

《倍长中线法与截长补短法》教学设计教学目标：知识与技能：掌握运用倍长中线法与截长补短法构造全等三角形、解决几何图形问题的方法。

过程与方法：通过学生的自主合作探究，灵活运用倍长中线法与截长补短法解决问题。

情感态度与价值观：通过学生间的合作交流，增强学生的学习信心。

教学重点：倍长中线法与截长补短法的应用。

教学难点：如何运用倍长中线法与截长补短法构造全等三角形解决问题。

教学准备：多媒体课件教学过程：一、问题导入课前互动：同学们，想想我们这段时间学习全等三角形的过程中，遇到的难点是什么呢？（辅助线）课件出示初中几何常见辅助线做法口诀（让学生读，体会其中的含义）问：在三角形中常见的辅助线有哪些？课件展示。

教师引入本节学习内容：倍长中线法与截长补短法（板书课题）二、探究活动，解决问题活动一：倍长中线法在三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

出示例题：已知：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：2AD<AB+AC教师引导学生分析解题思路，出示辅助线做法，学生合作解决问题。

课件展示完整解题过程：证明：延长AD至E，使DE=AD,连接CE.∵AD为BC边的中线∴BD=CD在△ADB和△EDC中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴△ADB≌△EDC (SAS)∴AB=CE∵AD+DE<CE+AC∴2AD<AB+AC练习巩固：在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角形△ABD和△ACE，F为BC边的中点，FA的延长线与DＥ交于点Ｇ．求证：（１）ＤＥ＝２AF （２）ＦＧ⊥ＤＥ教师引导学生画出辅助线，学生讨论解决问题。

活动二：截长补短法课件出示截长补短法的辅助线做法与应用：要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。

截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段线段。

所谓补短，即把两短线段补成一条线段，再证它与长线段相等。

第六讲 全等三角形辅助线之倍长中线与截长补短一、全等三角形知识点复习 1．判定和性质② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3、当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采取逆思维的方式。

来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

12.2 三角形全等的判定（五）基础版【教学目标】1．理解并掌握中线倍长法作辅助线构造全等三角形推导线段数量关系的原理和步骤，熟练解题．2．理解并掌握中线作垂法作辅助线构造全等三角形推导线段数量关系的原理和步骤，熟练解题．3．理解并掌握截长补短法作辅助线构造全等三角形推导线段数量关系的原理和步骤，熟练解题．【重点难点】1．中线倍长法；2．中线作垂法；3．截长补短法．【基本图形】中线倍长法：中线作垂法：重难点1中线倍长法♀例一♀．（△三边关系）如图，已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围．♂巩固练习♂1．求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半．♀例二♀．（平行线＋角平分线＝等腰△）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，△BAE ＝△EAF，AF与DC的延长线交于点F，求证：AF＋CF＝AB．1．如图，CD为△ABC的角平分线，E、F分别在CD、BD上，且DA＝DF，EF＝AC，求证：EF∥BC．2．如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF＝AC，求证：△DFE＝∠DAC．♀例三♀．如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE＝AC，AF＝AB．求证：AD＝12 EF．1．如图，已知CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC，△ACB＝△ABC，求证：CD＝2CE．♀例四♀．（1）阅读理解：如图△，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE、DF、EF之间的数量关系，并加以证明．①△ △♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E为AB上一点，DF⊥DE交AC于F，求证：BE＋CF＞EF．♀例五♀．如图，在△ABC中，AD是△A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点．（1）求证：PB＋PC＞AB＋AC；（2）若P是△A的角平分线上一点，且AC＞AB，画出图形，分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系．♂巩固练习♂1．如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE．重难点2中线作垂法♀例六♀．如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）在图中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分别为M、N；（2）求证：DM＝DN；（3）若AD＝3，求AM＋AN的值．♂巩固练习♂1．如图所示，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF、CE．下列说法：△CE＝BF；△△ABD和△ACD面积相等；△BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有个．2．如图，CD为△ABC的中线，M、N分别为直线CD上的点，且BM∥AN．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：CM＋CN＝2CD．♀例七♀．如图，△ABC中，△ABC＝90°，AC＝CE，BC＝CD，△ACE＝△BCD＝90°，BC的延长线交DE于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）求证：S△ABC＝S△DCE．♂巩固练习♂1．如图，DA＝DE，△ADE＝90°，C为DE延长线上一点，AB⊥AC，且AB＝AC，延长AD交BE于F．（1）求证：EF＝BF；（2）求DFCE的值．2．如图，△C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F．（1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．重难点3截长补短法♀例八♀．如图，△ABC中，△CAB＝△CBA＝45°，CA＝CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N．（1）求证：△1＝△2；（2）求证：AE＝CN＋EN（请用多种方法证明）（一）直接截长法（2）间接截长法（3）直接补短法（4）间接补短法♂巩固练习♂1．如图，已知在△ABC内，∠BAC＝60°，△C＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．2．如图，正方形ABCD中，∠GBH的两边分别与直线AD、CD相交于G、H两点，且GH＝AG＋CH，求证：△BEH为等腰直角三角形．。