例谈抽象函数的周期性

对抽象函数周期性的认识麻城实验高中 阮 晓 锋对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。

几种特殊的抽象函数的周期：设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。

（2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。

(3）()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（5）1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（6）()+1(+)=()-1f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（7）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（8）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例 1.设是上的奇函数，当时，，则等于（）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2．已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。

2、比较函数值大小例 3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.3、求函数解析式例4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.9、解“立几”题例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。

白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）；（C）；（D）0.例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值。

例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？例8、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称例9、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。

抽象函数的周期性研究山东济宁市育才中学272100陈维华强海萍关于抽象函数的周期性研究，多见于报刊，但都不够全面，现将常见的类型归结于下，供参考.1.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（x+ b），则f（x）（x∈R）是周期为a－b的函数.证明令x'=x+b，则x+a=x+b+（a－b）=x'+（a－b），由已知条件f（x+a）=f（x+b）得f（x'）=f（x'+（a－b）），即a－b为函数f（x）的一个周期.2.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（－x +a），f（x+b）=f（－x+b），则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明由f（x+a）=f（－x+a）得f（x+2a）=f（－x），同理f（x+2b）=f（－x），即f（x+2a）= f（x+2b）.由1，得2（a－b）是函数f（x）（x∈R）的一个周期.3.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=－f（x +b），则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明方法同1，略.4.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=－f（－x+a），f（x+b）=－f（－x+b），则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明方法同2，略.5.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（－x +a），f（x+b）=－f（－x+b），则函数f（x）（x∈R）是周期为4（a－b）的函数.证明易得f（2a+x）=－f（2b+x），由3，知4（a－b）为函数f（x）（x∈R）的一个周期.6.若函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x+a）+ f（x－a），则f（x）（x∈R）是周期为6a的函数.证明由f（x）=f（x+a）+f（x－a），有f（x+ a）=f（x+2a）+f（x），两式相加得，f（x－a）=－f（x+2a），即有f（x）=－f（x+3a）.由3知，6a为函数f（x）（x∈R）的一个周期.7.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）f（x+b）=1，则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明令x'=x+b，则x+a=x+b+（a－b）=x'+（a－b），由已知得f（x'）f（x'+（a－b）= 1，f（x'+（a－b））f（x'+2（a－b）=1，两式相除得f（x'）=f（x'+2（a－b）），即（2a－b）是函数f（x）（x ∈R）的一个周期.注当函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）f（x+ b）=－1时，其周期亦为2（a－b）．8.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=11－f（x），则f（x）（x∈R）是以2a为周期的函数.证明将f（x+a）=11－f（x）代入f（x+2a）=11－f（x+a），即可得f（x+2a）=f（x）．即2a是函数f（x）（x∈R）的一个周期.9.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）= 1－f（x）1+f（x），则f（x）（x∈R）是以2a为周期的函数.证明方法同8.10.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）= 1+f（x）1－f（x），则f（x）（x∈R）是以4a为周期的函数.证明方法同8.11.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x）+1f（x）－1，则f（x）（x∈R）是以2a为周期的函数.证明方法同8.12.若函数f（x）（x∈R）是可导的周期函数，则其导函数f'（x）也是周期函数，且与f（x）有相同的周期.证明设T为f（x）（x∈R）的周期，则f（x+ T）=f（x），得f'（x+T）（x+T）'=f'（x），即f'（x +T）=f'（x）．14中学数学杂志2011年第5期ZHONGXUESHUXUEZAZHI。

抽象函数的周期抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。

本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。

1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。

证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T叫函数f x ()的周期。

2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。

证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。

3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。

证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则f (.)20055等于（ ）A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.54. f x a f x ()()+=-1型：f x ()的周期为2a 。

证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=-+=--=2111。

5. f x a f x ()()+=1型：f x ()的周期为2a 。

证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=+==2111。

6. f x a f x f x ()()()+=+-11型：f x ()的周期为4a 。

证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()()+=++=++-+211 =++--+-=-1111111f x f x f x f x f x ()()()()()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=-+=--=4221211。

例谈一类抽象函数的“周期性”作者：李超来源：《中学数学杂志(高中版)》2019年第04期函数是高中数学的重要知识，也是高考考察的重要内容.抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，综合考察了函数基本概念、各类性质以及数形结合的数学思想，所以在高考中不断出现.通过调查发现，现阶段对于抽象函数的研究多集中以下几个方面：1.通过赋值（数值、代数式），求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性以及周期性;2.采取“模型函数”，将抽象函数具体化，并借助“模型函数”猜测函数所具有的性质，来研究函数相应性质;3.构造可导抽象函数，利用导数来研究抽象函数的单调性，解决抽象不等式问题;4.通过几类常见的抽象函数模型，研究抽象函数的周期性和对称性.上述研究基本涵盖了抽象函数的各个知识点.但在今年高考中，出现了一类抽象函数，其表达形式与周期性的抽象表达形式相似但又不同.我们又该如何处理呢？下来我们先欣赏一下题目：上述变换过程，与我们所熟知的“左加右减”，“上加下减”有所不同.我们“左加右减”，“上加下减”的变换法则是针对于两个不同函数之间的图象关系，而我们上述变换法则针对的是同一个函数之间内部函数值的关系，是函数f（x）在不同的点处的函数值的关系，两者截然不同.以上通过对一道高考题的深入研究，层层递进，从特殊到一般探究出一类抽象函数“周期性”，综合考察了函数基本的定义域、值域、周期性以及数形结合的数学思想，这也体现出高考试题凝聚了众多专家的心血，其每一道题都有着自己的独特的背景意义.这就要求我们在平时的教学过程中，深入研究，才会有意想不到的收获.参考文献[1];赵春祥. 赋值法在抽象函数中的应用[J].中学数学，2003，10.[2];龍志明. 联想“模型函数”破解抽象函数题[J]. 中学数学杂志（高中）， 2007，1.[3];虞懿. 例析构造可导抽象函数解题[J]. 中学数学教学， 2016，1.[4];严循跃. 例谈抽象函数的周期性[J].中学数学教学， 2015，3.。

抽象函数的周期问题的探讨一、知识点：1.对于定义域内任意的x ，存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+成立，那么T 是)(x f 的一个周期。

2.若)(x f 满足)()(b x f a x f +=+恒成立，其中b a ,均为常数，且b a ≠，则b a T -=是函数)(x f 的一个周期。

3.)(1)(x f a x f ±=+，则T=a 2 二、典型例题：1、已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，它的图像关于1=x 对称（1）求)0(f 的值（2）证明：函数)(x f 是周期函数（3）若)1()(≤<=x o x x f ，求R x ∈时，函数)(x f 的解析式2、设)(x f y =是定义在R 上的函数，且满足等式)10()10(x f x f -=+，),20()20(x f x f +-=-则)(x f y =是（ ）A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数3、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线1=x 对称，对于任意的,1x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,02x ，都有)()()(2121x f x f x x f =+ （1）设,2)1(=f 求)41(),21(f f（2）证明)(x f 是周期函数推广：1.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于)0(≠=a a x 对称，证明)(x f 是周期函数，且a 2是它的一个周期2. 设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于直线b x a x == (a b ≠)对称，证明)(x f 是周期函数，且)(2a b -是它的一个周期3. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图像关于直线1=x 对称，证明)(x f 是周期函数，且4是它的一个周期4. 设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于)0,(a M 中心对称，且其图像关于)(b a b x ≠=对称，证明)(x f 是周期函数，且)(4a b -是它的一个周期5. 设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于 )0,(a M 和)0,(b N 对称，证明)(x f 是周期函数，且)(2a b -是它的一个周期。

周期性1、已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x) 所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] ＝－f(x ＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.2、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m ),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()1()1()11()f x f x m f x f x m f x ---++==++++＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()11()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x -+-++=-=-=-++-+ 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2) 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2) 即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004习题:1、f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有： f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2、f(x)是定义在T 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有： f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数, 求证:4m 是f(x)的一个周期.周期性的应用1、函数)(x f 在（0，2）上是增函数，且)2(+x f 是偶函数，那么下列不等式成立的是（ ）2、设f x x R ()()∈是以3为周期的奇函数， 且f f a ()()112>=，，则（ ）3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 2)1(=f ，且)6()1(+=+x f x f ，求)4()10(f f +的值4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于直线2=x 对称，且x ∈[-2，2]时，1)(2+-=x x f ， 求：当x ∈[-6，-2]时，)(x f 的解析式5、)(x f 定义域为R ，)()2(x f x f -=+。

例析抽象型周期函数的周期求法
抽象型周期函数是在线性代数、几何等领域的基本概念，是指由其他种类的有限长度无穷循环复制而成的函数。

在这里，我们来谈谈抽象型周期函数的周期求法。

通常，在线性代数中有把多项式表示为域上相同的形式。

那么，抽象型周期函数的周期就可以从多项式的系数和步长来求得。

具体的求法如下：
1、首先，要用基向量（也就是把多项式的系数用v1、v
2、v3……表示）来表示多项式形式的抽象型周期函数；
2、把所有v1、v2、v3……的向量的夹角的最小值求出来，他就是该抽象函数的周期；
3、最后，将求出的最小值乘以多项式的步长，就是抽象型周期函数的周期。

以上就是抽象型周期函数的周期求法，它首先要用基向量来表示多项式形式的抽象函数，然后求出向量夹角的最小值，最后再乘以多项式的步长，就可以得到抽象型周期函数的周期了。

由此可见，抽象型周期函数的周期是一种很有用的求法，有助于我们研究和解决线性代数以及几何等领域的问题。

抽象函数的周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号T=2|a-b| ；(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| ；(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| ；(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2ab x -=对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2(ab-对称。

（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（）A. –1 B. 0 C. 1 D. 2解：②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。

练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 对称。

2、函数)(x f y =满足)(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f 。

3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果。

小结：此方法为数形结合法；法二：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ； 小结：此方法为抽象函数具体化法。

4.设f(x)是R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x ≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.55.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)=6、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A.4B.5C.6D.77、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.。

周期函数一、 周期函数的定义1、 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意：① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。

理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。

例题：sin (010)y x x π=≤≤ 是周期函数吗？② 变的只能是xT 的变化只能发生在x 上。

例如()sin(38)f x x =+ 是周期函数，则()sin[3()8]f x T x T +=++，不能写成()sin(38)f x T x T +=++。

例题：sin 2sin 33x x π⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么2π 是sin ()3x 的周期吗？③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。

例如：()[]f x x x =-（33x -≤≤ ）（[]x 是取整函数，表示不超过x 的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。

二、 周期函数问题的相关题型及解答。

核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T ，即将题目里各种()f x 的等式往()()f x T f x +=方向化简。

化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意()f x 本身的对称性和奇偶性。

三、抽象函数的周期总结1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。

证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数f x ()的周期。

2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。

1抽象函数，即没有给定具体解析式的函数，我们往往直接研究函数的性质：奇偶性，单调性，周期性。

今天我们何研究，抽象函数的周期性。

因为没有解析式，所以要牢牢抓住周期函数的定义，从定义出发，合理使用题目条件，研究问题。

先看例题：例：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足(5)()f x f x +≥，(1)()f x f x +≤，则(2015)f = 首先，对于该函数，不知道解析式，只能由奇函数的性质得知f(0)=0，这是题目唯一可知的函数值，不妨猜测，所求的(2015)f 与其有没有关系？ 我们充分利用题目给出的不等关系。

由(1)()f x f x +≤，令x =x +1，则有(1)(2)f x f x +≥+，以此类推，可知()(1)(2)(3)(4)(5)f x f x f x f x f x f x ≥+≥+≥+≥+≥+即()(5)f x f x ≥+又因为(5)()f x f x +≥所以有：()=(5)f x f x +，即函数以5为周期。

由此很容易解得(2015)(0)0f f ==2注意：1.没有明确给出解析式的函数，称为抽象函数。

2.根据已知条件，逻辑推理得到抽象函数的周期()=()f x f x T +，关键是将函数整理为周期函数的形式，找到T 的值。

练：设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且(1)0f =，()()()22f x f x f +-=，则f (x )是以2为周期的周期函数由奇函数的性质：()()f x f x -=-()()()22f x f x f +-=()()()1112,x f f f =---=令，得结合着题目条件，进行合理赋值，找到函数中的关键值。

()()()()()112,2210f f f f f +===得：()()()()22f x f x f f x +=+=则可知，原函数是以2为周期的周期函数。

注意：赋值时要合理，要注意使用题目条件，进而达到预计目标。

浅谈抽象函数的对称性，周期性问题作者：姜志勇来源：《新教育时代·学生版》2019年第14期一、专题透视抽象函数的对称性，周期性问题是函数中常见问题，是高考中试题的重点和难点所在，该类问题以函数对称性，周期性的判断以及相互转化为考查目标，对学生的综合分析能力，转化能力，数形结合能力有较高的要求，主要以选择题，填空题的形式出现，重点解决函数求值、函数不等式、函数零点等问题。

解决此类问题必须利用对称性，周期性进行转化处理，把“无定义”转化为“有定义”，函数零点一般转化为两函数交点，利用数形结合解决问题。

二、高考题呈现1.（2016年全国理科数学10）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（A）0 （B）m （C）2m （D）4m[解析]试题分析：（一）由于，不妨设，其圖像与函数的图像的交点为，故，故选B.（二）图像关于（0，1）对称，图像关于（0，1）对称，则与交点关于（0，1）对称，，.[点评]（1）如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；（2）如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心；对称中心；（3），函数周期2.（2017年文科数学山东卷14）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x-2）。

若当x∈[-3，0]时，f（x）=6，则f（919）=____________。

[解析]由f（x+4）=f（x-2）可知，是周期函数，且，所以 .故填6.三、例题例1.已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则（）A.0B.C.D.[解析]由已知，所以即，0.故选A。

[点评]若函数是定义在R上的奇函数，且有周期，则例2、已知定义为R的函数f（x）满足，且函数f（x）在区间上单调递增.如果x1A. 恒小于0B. 恒大于0C. 可能为0D. 可正可负[解析]图象关于点对称.f（x）在区间上单调递增，在区间上也单调递增.∵2[点评]，函数对称中心为，我们可以认为把奇函数向右平移2个单位，对比奇函数单调性性质（奇同偶反），得函数在R上单调递增。

例析抽象函数周期的求法抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。

下面举例说明求周期的常用方法及技巧。

一、仅含抽象关系式的周期函数例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足，则的一个正周期是____________。

解：设，则，依题意有，由周期函数的定义，是的一个周期所以期例2 已知函数满足，求证：函数为周期函数。

证明：因为对有（2）代入（1）得这样所以为周期函数，且为它的一个周期。

例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有，且存在常数，使。

试证：是周期函数，且有一个周期为4a。

证明：设，则所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。

说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。

下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。

例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有，又，求的值。

解：又所以可知是以2为一个周期的周期函数所以二、图象中有两条对称轴的抽象函数例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。

证明：因为的图象关于直线和（a<B）都对称< span>所以且这样所以是周期函数，且是它的一个周期。

例6 设是定义在R上的偶函数，且它的图象关于x=2对称，已知时，，求时，的表达式。

解：由题设知：有两条对称轴和所以为周期函数，且为它的一个周期又当时，所以三、图象关于两点成中心对称的抽象函数例7 设函数的图象关于相异两点A（a,0），B（b，0）都对称，则是一个周期为的周期函数。

证明：由题设有，这样故原命题得证例8 定义在R上的函数f(x)是奇函数，又也是奇函数，求的值。

解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)关于O（0，0）对称，且f(0)=0又是奇函数，所以f(x)关于点（-1，0）对称所以是f(x)的一个周期所以四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数例10 设函数的图象关于点A（a，0）与直线都对称，则f(x)为周期函数，且是它的一个周期。