3-4简支梁受均布载荷

一、简支梁的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。

在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。

当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。

二、受力分析的基本原理1. 剪力的定义和计算公式在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。

剪力的大小可以通过以下公式计算：V = wL/2 - 信信其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。

2. 弯矩的定义和计算公式同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。

弯矩的计算公式如下：M = wLx/2 - w*x^2/2其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。

三、剪力和弯矩方程的推导1. 剪力方程的推导根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的剪力方程。

假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。

简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：V = wL/2 - 信信2. 弯矩方程的推导同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程。

假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。

简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程为：M = wLx/2 - w*x^2/2四、结论与应用在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。

在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。

剪力和弯矩方程的推导及其应用具有重要的实际意义和价值。

1．画受力图时，一定要先取分离体，再画受力图。

取分离体实质上是暴露或显示物体间相互作用的一种方式，只有把施力体和受力体分离开来，才能将它们之间的机械作用以力代替。

另外，工程上所要的分析结构或机构一般很复杂，如果不取分离体来画受力图，往往分不清施力体和受力体，分不清内力和外力，容易出错。

因此，根据题目的要求，选定某个或某些刚体作为研究对象后，一定要画出分离体，在分离体上画出受力图，对此不应怕麻烦。

2．如何判别二力刚体。

在工程实际中遇到的二力刚体，有以下特点：（1）刚体不受任何主动力的作用（包括不计自重）；（2）刚体只受两个约束，而且每个约束都可用一个约束反力代替。

凡是满足以上两点的刚体，不论形状如何都为二力刚体。

3．光滑圆柱铰链连接是工程中各构件相互连接的主要形式，因此，认清光滑圆柱铰链的结构及其约束反力的方向特点是顺利进行受力分析的关键一环。

当一个光滑圆柱销钉与两个或两个以上带有相同孔径（其值略比销钉直径大）的构件呈光滑接触时，这种约束即为光滑圆柱铰链约束。

其约束的特点是能完全限制各被连接物体之间沿销钉径向的任何相对位移，而不能限制它们绕销钉轴向的任何相对转动，因此，各连接构件与销钉鞋之间的接触是销钉某条母线的光滑接触，其约束反力经过接触点并沿销钉的径向，被销钉连接的各构件间没有直接的相互作用，它们都分别只与销钉产生相互作用，根据同向平行力系必存在合力，任一被连构件与销钉之间可等效为一对作用与反作用力，且这对相互作用力的作用线必通过销钉中心。

由于接触的销钉母线的位置及其等效的约束反力的大小，都与被连构件的受力相关，故被连构件所受到的销钉约束反力的大小和方向都不能直接确定，通常用过销钉中心，且在销钉横截面内两已知方位的正交分量来表示，即把大小和方向这两个未知因素转化为两个方位已知而其代数值未知的两未知因素。

只有在某些特殊情况，如被连构件为二力刚体或三力平衡或力偶平衡或平行力系平衡时，销钉的约束反力的方向才可直接确定，此时只剩下约束反力的大小未知。

材料力学讲解作业Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】作下图所示梁的剪力图和弯矩图。

2m1m1mm1kN 2kN2kN 2kNA BCD梁分三段，AB 、BC 为空荷载段，CD 段为均布荷载段，均布荷载q=2kN/2m=1kN/m 。

A ，B ，D 三处剪力有突变，说明有集中力作用，在A 截面有向上集中力2kN ，在B 截面有向下集中力2kN ，在D 截面有向上集中力2kN 。

荷载图如图 (b)。

根据荷载图作弯矩图，如图 (c)所示。

如下图所示机构中，1,2两杆的横截面直径分别为cm d 101= ，cm d 202= ，P=10kN 。

横梁ABC ，CD 视为刚体。

求两杆内的应力。

p DCBA122m2m1.5m1m1mCD 杆的D 支座不受力，CD 杆内也不受力，所以p 可视为作用于ABC 杆的C 端。

取ABC 为受力体，受力图如图(b)所示。

MPaMPa A N MPaMPa A N kN N kN N 7.6310204103203.12710104101020210162222623111=⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯====--πσπσ，如图所示的阶梯形圆轴，直径分别为cm d 41=,cm d 72=。

轮上三个皮带轮，输入功率为kW N 171=，kW N 132=，kW N 303=。

轴的转速为n=200r/min ，材料的许用剪应力[τ]=60MPa 。

试校核其强度。

1计算各轮处的扭转外力偶矩。

mkN m kN m m kN m kN n N m m kN m kN n N m ⋅=⋅⨯=⋅=⋅⨯=⋅=⋅⨯==433.12003055.9621.02001355.9255.9812.02001755.9155.9321(c)(b)kN m 31图3 传动轴可简化为图3(b)，⑦扭矩图如图3(c)。

AD 段的最大剪应力为[]τπτ>=⨯⨯⨯==-MPa Pa W M T TAD 6.64104168126311max BC 段的最大剪应力为[]τπτ>=⨯⨯⨯==-MPa Pa W M T TBC 3.211071614326322max AD 段的单位长度扭转角为[]θπθ>=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-m mGI M p TAD /1.23/104108018032812842911BC 段的单位长度扭转角为[]θπθ<=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-m m GIp MINC/44.0/1074108018032143222829由此可知轴的强度与刚度都不够。

第三章平面静定结构受力分析静定结构受力分析之歌内力分析要提升，等效截面法冲锋。

内力标记有新规，杆段截面都分明。

剪力轴力与前无异，弯矩顺时针恒正。

受力图上力已知，叠加绘图分分钟。

一、基本概念和公式1．任意截面x 的内力分量的求法。

图3-1截面x 上的内力分量表示段x 截面(a)(b)2q(c)32qa /2qa /-2e M qa =Cx F qa=Ax F qa=-AB C对于如题图3-1所示的平面力系，平衡截面法可表为N,,,Q,,,()()xA i x i xAxxCxA i y i yAxxCxA C i C i AxxCF F F F F F M M F M F =-==-==-=∑∑∑∑∑∑（3-1）N,,,Q,,,()()xC i x i xxCxAxC i y i yxCxAxC C i C i xCxAF F F F F F M M F M F =-==-==-=∑∑∑∑∑∑（3-2）式（3-1）中的第一个等式表明：Ax 段x 截面的内力分量等于本段上外力在相应方向上投影（或力矩）的代数和的负值—平衡截面法，第二个等式表明：Ax 段x 截面的内力分量等于另段xC 上的外力在相应方向上投影（或力矩）的代数和—等效截面法。

式（3-2）第一个等式表明：xC 段x 截面的内力分量等于本段上外力在相应方向上投影（或关于截面形心C 的力矩）的代数和的负值—平衡截面法，第二个等式表明：xC 段x 截面的内力分量等于另段Ax 上的外力在相应方向上投影（或力矩）的代数和—等效截面法。

式（3-1）的第二个等式更深刻和具体的表述为：Ax 段x 截面的内力的主矢和主矩等于xC 段上所有外力关于x 截面形心的主矢和主矩。

用内力分量表示就是：（1）Ax 段x 截面的轴力N,xA F 等于xC 段上所有外力在轴线方向投影的代数和；（2）剪力Q,xA F 等于xC 段上所有外力在竖直方向投影的代数和；（3）弯矩xA M 等于xC 段上所有外力关于x 截面形心的力矩的代数和。

《工程力学》第6次作业解答（杆件的应力与强度计算）2010-2011学年第2学期一、填空题1．杆件轴向拉压可以作出平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，由此可知，横截面上的内力是均匀分布的。

2．低碳钢拉伸可以分成：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、缩颈阶段。

3．如果安全系数取得过大，许用应力就偏小；需用的材料就偏多而造成浪费；反之，安全系数取得太小，构件的强度就可能不够。

4．延伸率和面积收缩率是衡量材料塑性性能的两个重要指标。

工程上通常把延伸率δ≥5%的材料称为塑性材料，延伸率δ＜5%的材料称为脆性材料。

5．在国际单位制中，应力的单位是帕，1帕=1牛/米2，工程上常以Pa 、MPa 、 GPa 为应力的单位。

6．轴向拉伸和压缩强度条件的表达式是：][max σσ≤=A F N ，用该强度条件可解决的三类强度问题是：校核强度、设计截面、确定许用载荷。

7．二根不同材料的等直杆，承受相同轴力，且它们的截面面积及长度都相等，则：（1）二根杆横截面上的应力相同；（2）二根杆的强度不同；（3）二根杆的绝对变形不相同。

（填相同或不相同）8．在承受剪切的构件中，相对错动发生的截面，称为剪切面；构件在受剪切时，伴随着发生挤压作用。

9．构件在剪切变形时的受力特点是作用在构件上的外力垂直于轴线，两侧外力大小相等，方向相反，作用线平行但相距很近；变形特点是两个反向外力之间的截面发生相对错动。

剪切变形常发生在联接零件上，如螺栓、键、销钉等。

10．剪切面在两相邻外力作用线之间，与外力作用线平行。

11．圆轴扭转时，横截面上的切应力与半径垂直，在同一半径的圆周上各点的切应力大小相等，同一半径上各点的切应力按线性规律分布，轴线上的切应力为零，外圆周上各点切应力最大。

12．圆轴扭转时的平面假设指出：扭转变形后，横截面本身的形状、大小不变，相邻截面间的距离保持不变，各截面在变形前后都保持为平面，只是绕轴线转过一个角度，因此推出：横截面上只存在切应力，而不存在正应力。

材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章5-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?答不一定。

最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。

5-2 矩形截面简支梁承受均布载荷q作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？答若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍；若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。

5-3 由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。

设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量EsEw，则该梁沿高度方向正应力分布为图a，b，c，d中哪一种。

思考题5-3图答(b)5-4 受力相同的两根梁，截面分别如图，图a中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。

从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？思考题5-4图答(a)5-5从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值理性和经济性。

比值请从W来衡量截面形状的合AW较大，则截面的形状就较经济合理。

图示3种截面的高度均为h，A W的角度考虑哪种截面形状更经济合理？A思考题5-5图答(c)5-6 受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。

若各图中阴影部分面积相同，中空部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？思考题5-6图答(b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）*FSSz5-7 弯曲切应力公式τ=的右段各项数值如何确定？Izb答FS为整个横截面上剪力；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力所在位置横截面的宽度；Sz为横截面上距中性轴为y（所求切应力所在位置）的横线以下面积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。

5-8 非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。

材料力学B精选题10能 量 法1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。

证：先加F 1后加F 2，则221212()/(2)/(2)/(2)V F a b EA F a EA F F a EA ε 1=+++先加F 2后加F 1，则222112/(2)()/(2)/(2)V F a EA F a b EA F F a EA ε 2=+++ 所以 V ε 1 = V ε 22. 直杆的支承及受载如图，试证明当F 1=2F /3时， 杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。

解：1AC F F F =- ；1BC F F =-22221111()2/(2)/(2)(23/2)/()V F F l EA F l EA F FF F l EA ε=-+=-+1/0V F ε∂∂=： 1230F F -+= ， 12/3F F =2min /(3)V F l EA ε =3. 图示杆系的各杆EA 皆相同，杆长均为a 。

求杆系内的总应变能，并用功能原理求A 、B 两点的相对线位移∆AB 。

解： 25/(6)V F a EA ε=视CD 相对固定2⨯F ∆AB /4 = 5F 2a /(6EA )∆AB = 5Fa /(3EA ) ( 拉开 )4. 杆AB 的拉压刚度为EA ，求(a) 在F 1及F 2二力作用下，杆的弹性应变能； (b) 令F 2为变量，F 2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？ 答： N 12AC F F F =-， N 2BC F F =-(a) 22122()2/(2)/(2)V F F l EA F l EA ε=-+221122(23/2)/()l F F F F EA =-+(b) 2/0V F ε∂∂=，12230F F -+=，212/3F F =ab1F 2F F 2l l EAB1F CAAFCaD aBFaaa 2llF 1F 2ACB此时 21min /(3)V F l EA ε= 5. 力F 可以在梁上自由移动。