大学物理(II)下册教学课件：第九章_振动2
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《力学》第九章振动ppt课件
第九章 振动
则： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
因此，
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
x Acos cos0t Asin sin0t Acos0t
（1）
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
l g
0
因此，
d 2
dt 2
02
0，
02
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
第九章 振动 nˆ
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第九章 振动
3. 复摆（物理摆）
任何刚体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴垂
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动 是围绕平衡位置的周期运动。
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二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2 0
第九章 振动
对弹簧振子： T 2 2 k
0
m
2. 频率（ ）
单位时间内完成的全振动的次数：
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2之间。
同方向同频率简谐振动的合成，在光波、声波等的 干涉和衍射中很有用。
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第九章 振动
二、同方向不同频率简谐振动的合成
大学物理振动课件讲义
物理学
第五版
物理学
第五版
振动
2021/10/10
第九章 振 动
1
物理学
第五版
物理学
第五版
本章目录
9-0 教学基本要求 9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
2021/10/10
第九章 振 动
2
物理学
第五版
物理学
第五版
本章目录
9-5 简谐运动的合成 *9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 9-7 电磁振荡
*9-8 简述非线性系统
2021/10/10
第九章 振 动
3
物理学
第五版
物理学
第五版
9-0 教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量 （特 别是相位）的物理意义及各量间的关系.
二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图 线表示法，并会用于简谐运动规律的讨 论和分析.
2021/10/10
第九章 振 动
4
物理学
第五版
物理学
第五版
9-0 教学基本要求
三 掌ห้องสมุดไป่ตู้简谐运动的基本特征，能建立一
维简谐运动的微分方程，能根据给定的初
始条件写出一维简谐运动的运动方程，并
理解其物理意义.
四 理解同方向、同频率简谐运动的合成
规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的
特点.
五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生
条件及规律.
2021/10/10
第九章 振 动
END 5
第五版
物理学
第五版
振动
2021/10/10
第九章 振 动
1
物理学
第五版
物理学
第五版
本章目录
9-0 教学基本要求 9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
2021/10/10
第九章 振 动
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物理学
第五版
物理学
第五版
本章目录
9-5 简谐运动的合成 *9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 9-7 电磁振荡
*9-8 简述非线性系统
2021/10/10
第九章 振 动
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物理学
第五版
物理学
第五版
9-0 教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量 （特 别是相位）的物理意义及各量间的关系.
二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图 线表示法，并会用于简谐运动规律的讨 论和分析.
2021/10/10
第九章 振 动
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物理学
第五版
物理学
第五版
9-0 教学基本要求
三 掌ห้องสมุดไป่ตู้简谐运动的基本特征，能建立一
维简谐运动的微分方程，能根据给定的初
始条件写出一维简谐运动的运动方程，并
理解其物理意义.
四 理解同方向、同频率简谐运动的合成
规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的
特点.
五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生
条件及规律.
2021/10/10
第九章 振 动
END 5
大学物理振动课件
大学物理振动课件•振动基本概念与分类•简谐振动特性分析•非简谐振动处理方法目录•波动现象与波动方程•光学中振动与波动应用•声学中振动与波动应用•总结回顾与拓展延伸01振动基本概念与分类振动定义及特点振动的定义物体在平衡位置附近所做的往复运动称为振动。
振动的特点周期性、重复性、稳定性。
振动分类方法自由振动、受迫振动。
按振动系统分类简谐振动、非简谐振动。
按振动规律分类直线振动、扭转振动。
按振动方向分类物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐振动。
简谐振动的定义回复力与位移成正比，且方向相反；加速度与位移成正比，且方向相反；速度与位移成反比。
简谐振动的特点不满足简谐振动条件的振动称为非简谐振动。
非简谐振动的定义回复力不满足与位移成正比的规律；加速度与位移的关系不满足简谐振动的规律；振动图像不是正弦或余弦曲线。
非简谐振动的特点简谐振动与非简谐振动02简谐振动特性分析简谐振动方程建立与求解建立简谐振动方程通过受力分析和牛顿第二定律，建立简谐振动的微分方程。
对于一维简谐振动，方程形式为$mfrac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$，其中$m$ 为振子质量，$k$ 为弹性系数。
方程的求解通过求解微分方程，得到简谐振动的通解为$x(t) = Acos(omega t + varphi)$，其中$A$ 为振幅，$omega$ 为角频率，$varphi$ 为初相位。
1 2 3表示振动物体离开平衡位置的最大距离，反映了振动的强弱程度。
振幅$A$表示振动物体完成一次全振动所需的时间，反映了振动的快慢程度。
周期$T$表示单位时间内振动物体完成全振动的次数，与周期互为倒数关系，即$f = frac{1}{T}$。
频率$f$振幅、周期、频率等参数意义相位差与波动传播关系相位差的概念两个同频率的简谐振动之间存在的相位之差。
当两个振动的相位差为$2npi$（$n$为整数）时，它们处于同相；当相位差为$(2n+1)pi$ 时，它们处于反相。
大学物理知识点总结(振动及波动)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
2、波旳干涉（含驻波）。 3、波旳能量旳求法。 4、多普勒效应。
相位、相位差和初相位旳求法： 解析法和旋转矢量法。
1、由已知旳初条件求初相位：
①已知初位置旳大小、正负以及初速度旳正负。
[例1]已知某质点振动旳初位置
y0
A 2
且v0
0
。
y A cos(t ) y Acos(t )
3
3
2
1
2
r2 r1
干涉加强： 2k (k 0,1,2,...)
若1 2 r2 r1 k
干涉减弱： (2k 1) (k 0,1,2,...)
若1 2
(2k 1)
2
3）驻波（干涉特例） 能量不传播
波节：振幅为零旳点 波腹：振幅最大旳点
多普勒效应： （以媒质为参照系）
所以y
2cos(πt 2
π3 );
(2)u
T
1,y
2cos[π(t 2
-
x)π3 ]
t(s)
[例2] 一平面简谐波在 t = 0 时刻旳波形图，设此简谐波旳频率
为250Hz，且此时质点P 旳运动方向向下 , 200m 。
求：1）该波旳波动方程；
2）在距O点为100m处质点旳振动方程与振动速度体现式。
动能势能相互转化
简谐振动旳描述
一、描述简谐振动旳物理量
① 振幅A：
A
x02
v02
2
② 角频率 ： k
ห้องสมุดไป่ตู้
2
m
T
③ 相位( t + ) 和 初相 ：
tg v0 x0
旳拟定！！
④相位差 ： (2t 2 ) (1t 1 )
⑤周期 T 和频率 ν ： T 2
相位、相位差和初相位旳求法： 解析法和旋转矢量法。
1、由已知旳初条件求初相位：
①已知初位置旳大小、正负以及初速度旳正负。
[例1]已知某质点振动旳初位置
y0
A 2
且v0
0
。
y A cos(t ) y Acos(t )
3
3
2
1
2
r2 r1
干涉加强： 2k (k 0,1,2,...)
若1 2 r2 r1 k
干涉减弱： (2k 1) (k 0,1,2,...)
若1 2
(2k 1)
2
3）驻波（干涉特例） 能量不传播
波节：振幅为零旳点 波腹：振幅最大旳点
多普勒效应： （以媒质为参照系）
所以y
2cos(πt 2
π3 );
(2)u
T
1,y
2cos[π(t 2
-
x)π3 ]
t(s)
[例2] 一平面简谐波在 t = 0 时刻旳波形图，设此简谐波旳频率
为250Hz，且此时质点P 旳运动方向向下 , 200m 。
求：1）该波旳波动方程；
2）在距O点为100m处质点旳振动方程与振动速度体现式。
动能势能相互转化
简谐振动旳描述
一、描述简谐振动旳物理量
① 振幅A：
A
x02
v02
2
② 角频率 ： k
ห้องสมุดไป่ตู้
2
m
T
③ 相位( t + ) 和 初相 ：
tg v0 x0
旳拟定！！
④相位差 ： (2t 2 ) (1t 1 )
⑤周期 T 和频率 ν ： T 2
大学物理学(下册)第9章 机械振动-PPT课件-精选文档
因此在角位移很小的情况下，单摆的振动是简谐振动.
例2 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。 今将物体向下拉一段距离后再放开， 证明物体将作简谐振动。 弹簧原长 解：求平衡位置 l0
k x g 0 m
mg x0 k
以平衡位置O为原点
F mg k ( x0 x ) mg kx0 kx kx
挂m后伸长 平衡位置
受弹力
x0
o
x x
伸 长
某时刻m位置
f m
因此 , 此振动为简谐振
动。
9.1.2 简谐振动的描述 (1) 振幅 定义：作简谐运动的物体离开平 衡位置的最大位移的绝对值称为 振幅。 A xmax
x
T
A
t
(2) 周期、频率与角频率 定义：物体作一次完全振动所经历的时间为振动的周期T。 定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数称为振动的 1 频率ν。
振动发声的乐器
9.1.1 简谐振动的特征
(1) 以弹簧振动系统为例 弹性系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的 物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为弹簧振子。 把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。 设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点 为平衡位置。
(2) 动力学特征
F mg sin t
当θ很小时（θ<50），sinθ≈θ，所以
F mg t
由牛顿第二定律，在切线方向上
2 d F m a m l m l 2 m g t t d t d 2 g 即 0 2
dt
l
g 2 设 l
d 2 2 0 2 dt
F
m
大学物理第九章振动
⼤学物理第九章振动第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述⽅法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在⼀定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，⼼脏的跳动，⽓缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是⼀种普遍⽽⼜特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在⼀定的空间范围内往返运动，故这种振动⼜被称为机械振动。
除机械振动外，⾃然界中还存在着各式各样的振动。
今⽇的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，⽆线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
⼴义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，⼀切复杂的振动都可以看作是由若⼲个简谐振动合成的结果。
在忽略阻⼒的情况下，弹簧振⼦的⼩幅度振动以及单摆的⼩⾓度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振⼦质量为m的物体系于⼀端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的⾃由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振⼦。
如将弹簧振⼦⽔平放置，如图9-1所⽰，当弹簧为原长时，物体所受的合⼒为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产⽣了指向平衡位置的弹性⼒，在弹性⼒的作⽤下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性⼒减⼩到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩⽽出现向右的指向平衡位置的弹性⼒，该弹性⼒将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减⼩直到为零。
之后物体⼜将在弹性⼒的作⽤下向右运动。
在忽略⼀切阻⼒的情况下，物体便会以平衡位置O为中⼼，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正⽅向。
大学物理第九章
A = A1 − A2
3）一般情况
相互削弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
第二节 两个简谐振动的合成 第九章 振动和波动 9.2.2 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
第九章 振动和波动
第二节 两个简谐振动的合成
x/ m
o
0.05
第九章 振动和波动 解 1）ω =
第一节 简谐振动
−1
k 0.72 N ⋅ m = m 0.02kg
= 6.0s −1
A= x +
2 0
v
− v0 tan ϕ = =0 ωx0
ω
2 0 2
= x0 = 0.05m
o
A
x
ϕ =0 或 π ϕ =0 x = A cos( ω t + ϕ ) = (0.05m) cos[(6.0s −1 )t ]
o
x0 = A cos ϕ
x0
x
x
第九章 振动和波动
第一节 简谐振动
ω v
t =t 时
ωt + ϕ
A
以 o为 原点旋转矢
v 量 A 的端点
o
x = A cos(ωt + ϕ )
x
在 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动.
x
第九章 振动和波动
第一节 简谐振动
x = A cos( ω t + ϕ )
v 矢量 A的
第九章 振动和波动
一、简谐振动 二、两个简谐振动的合成 三、阻尼振动 受迫振动 共振 四、简谐波 五、惠更斯原理 六、波的叠加 干涉 驻波 七、多普勒效应
大学物理B2_第9章_1
19
第九章 振动1
二阶常系数齐次微分方程的解：
2 2 s 2Ce st 2Ce st 0 s 0 s j 其中 j 1
d 2x 2 x0 2 dt
st 设解为： x Ce 代入微分方程
jt jt x C1e s1t C2 es2t x C1e C2 e
mg kl
d 2x m 2 kx dt d 2x 2 x0 2 dt
k m
2
所以该系统是作简谐振动
11
2014年10月15日星期三
第九章 振动1
-2kg x 如图 9.8cos(10 t10 ) ,弹簧的静止形变为 cm 例2. m=2× l=9.8cm，t=0 时, t 0, x0 0, 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； v0 0 (2) x 。⑴ 0=-9.8cm,v0=0
7
第九章 振动1
简谐振动图象表示：
x
A
x t v t
图
t
x A cos(t )
图
A
v
t
dx v Vm cos(t ) dt 2
dv a Am cos(t ) dt
2014年10月15日星期三
a t
图
A
2
a
t
8
第九章 振动1
四、简谐振动的特征物理量
A x (
2 0
mg l 解： v0 A k sin 0
2
-5
-10
10
5
O
-5 -10
0.2
l
FS
0.6 0.8 1
0.4
v0
2019-2020年高二物理 (人教大纲版)第二册 第九章 机械振动 二、振幅、周期和频率(第一课时)
2019-2020年高二物理（人教大纲版）第二册第九章机械振动二、振幅、周期和频率(第一课时)从容说课本节课讲述描述简谐运动的振幅、周期和频率等几个物理量.它是上节课对简谐运动研究的延续,在上节课的基础上引进振幅用来直接反映简谐运动中的最大位移,间接反映简谐运动的能量,引进周期和频率用来反映简谐振动重复运动的快慢.只有切实理解了本节所学的几个物理量,才能更好地、更全面地反映出简谐运动的运动特征.尤其对以后的学习会起到很重要的作用.例如：对交变电流、电磁振荡等知识的学习.结合本节内容的特点,对本节教学的目标定位于：1.知道周期、振幅、频率三个物理量的定义,并理解其物理意义.2.理解周期与频率的关系，并能对二者进行换算．3.知道物体振动固有周期和固有频率．本节课的教学重点在于对周期、频率、振幅的认识和理解．本节课的教学难点是理解振幅与简谐运动能量的定性关系.以及振幅与位移的区别.为了突出重点、突破难点。
使学生能更好地接受知识，本节课采用先学后教、实验演示、讨论总结等方法。
以加深学生的理解,同时采用多媒体辅助教学,以激发学生的学习兴趣，达到圆满完成教学任务的目的．本节课的教学顺序确定如下：复习提问→新课导人→指导自学→归纳总结→强化练习→小结．一、知识目标 _1.知道描述简谐运动的周期、振幅、频率三个物理量．2.理解周期与频率的关系,并能进行两者间的换算．3.了解物体振动的固有周期和固有频率．二、能力目标1.培养学生对知识的归纳、总结能力.2.提高学生对实验的观察、分析能力.三、德育目标通过对简谐运动周期性的学习,使学生理解社会新旧更替.螺旋前进的道理。
教学重点对简谐运动周期、频率、振幅的认识和理解．教学难点1.理解振幅间接反映振动能量的理论依据．2.区分振幅与位移两个物理量．教学方法指导性自学、实验演示、多媒体辅助相结合的综合教学法．教学用具投影片、弹簧振子、秒表、CAI课件课时安排l课时教学过程一、新课导入1.复习提问①什么叫机械振动?②什么叫简谐运动?2.导人通过上节的学习,我们知道了什么是简谐运动,但如何对简谐运动来进行定性的描述和定量的计算呢?这就需要我们引进一些能反映简谐运动特性的物理量——周期、频率和振幅，本节我们就共同来学习这些物理量．二、新课教学(一)振幅、周期和频率．基础知识请学生阅读课文第一部分，同时思考下列问题：[投影片出示]1.什么叫振幅?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?2.什么叫周期?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?3.什么叫频率?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?学生阅读后,得出以上问题的结论：1.a.振动物体离开平衡位置的最大位移叫振幅．b.振幅用来反映振动物体振动的强弱．c.振幅的单位是：米(m)．d.振幅的符号是：A．2.a.做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期．b.周期是用来反映物体振动快慢的物理量．c.周期的单位是：秒(s)．d.周期常用符号：T．3.a.做简谐运动的物体，在单位时间内完成全振动的次数叫频率．b.频率是用来反映物体振动快慢的物理量．c.频率的单位是：赫兹(Hz)．d.频率的常用符号：f．深入探究请同学们结合前面所学，考虑以下问题：[投影出示]1.振幅与位移有何区别，有何联系?2.周期与频率有何区别，有何联系?3.试以弹簧振子为例描述一次全振动．学生经过思考、讨论、归纳总结后得出上述问题的结论：1.振幅与位移的区别：a.物理意义不同．振幅是用来反映振动强弱的物理量；位移是用来反映位置变化的物理量．b.矢量性不同.振幅是一标量,只有大小,没有方向；位移是一矢量,既有大小又有方向．振幅与位移的相同点：a.都是反映长度的物理量.振幅是偏离平衡位置的最大距离；位移是偏离平衡位置的距离．其单位都是长度单位．b.位移的最大值就是振幅．2.周期与频率的区别：a.物理意义不同.周期是完成一次全振动所需要的时间；频率是单位时间内完成的全振动的次数．b.单位不同.周期的国际单位是秒；频率的国际单位是赫兹．周期与频率的联系：a.都是用来反映振动快慢的物理量.周期越大,振动得越慢；频率越大,振动得越快.1．b.周期与频率互成倒数关系．即：T=f①O→A→O→A′→O②A→O→ A′→O→A③A′→O→A→O→A′④O→A′→O→A→O教师总结通过上面的学习，我们对描述简谐运动的三个物理量：振幅、周期、频率，已有了一定的认识.下面我们简单应用一下．基础知识应用1.弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，B→C运动时间为1 s，如图所示.则 ( )A ．从O →C →O 振子做了一次全振动B.振动周期为1s,振幅是10cmC.经过两次全振动．通过的路程是 20cmD.从B 开始经3s ，振子通过路程是30cm2.一个弹簧振子.第一次把弹簧压缩x 后开始振动.第二次把弹簧压缩2x 后开始振动,则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比为（ ）A.1：2，1：2B.1:1,1:1C.1:2,1:2D.1:2,1:13.一个做简谐运动的质点,先后以同样大小的速度通过相距10 cm 的A 、B 两点，历时0.5 s.如图所示,经过B 点后再经过t=0.5 s 质点以方向相反、大小相同的速一次通过B 点．则质点振动的周期是( )A.0.5 s ，B.10sC.2.O sD.4.0s[参考答案]1.解析：振子从0→C →0时位移虽然相同,但速度的方向不同,振动只是半次全振动故A 错.振子从B →c 是半次全振动，故周期T=2 s ，振幅A=OB=2BC =5 cm ．故B 错．由全振动的定义知：振子由B →C →B 为一次全振动,振子路程s=4 A ＝4× 5＝20cm,所以两个全振动的路程中2×20cm=40cm,故C 错。
大学物理第九章振动
第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述方法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。
除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。
今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。
在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振子质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。
如将弹簧振子水平放置，如图9-1所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零。
之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。
在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置O为中心，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正方向。
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典型例题
例1、质量为m的平底木船模型， 其平均截面积为 S ，竖直高度H 25cm
静浮在水中，若不计阻力，将其竖直再向
下压入 5cm后，静止释放模型，求船模型
的运动和运动方程（设水的密度为 木船模型 0.8103kg m3） 0 1.0103kg m3
H
h
ox
(a) x
(b)
解：取平衡时模型底部为坐标 原点，取图示ox轴，当模型底 部在图(b)位置时，其受的合力
mvC2
1 2
J C 2
mg(R
r)(1
cos
)
vC (R r) r
JC
2 5
mr 2
E 7 m(R r)22 mg(R r)(1 cos )
10
7 (R r) g sin 0
5
3、运动学特征 物理量(x)是时间的余弦 (或正弦)的函数
x Acost
m cos(t )
Q Q0 cos(t )
x0
0
则振动方程
x 0.05cos 7t
例题2、图示一轻质绳一端连接
轻质弹簧，其劲度系数为 k ，绳 另一端绕过一转动惯量为J 的薄
o m
x
圆盘与物体m相连，圆盘半径为R
开始时，使弹簧处于原长，然后静止释放
物体，求物体运动方程
解：取物体、弹簧和圆盘为研
究对象，分析它们受力，其动
力学方程分别为
物体
（3）复摆 ( 5 )
E 1 J2 mgl(1 cos )
2 mgl sin 0
J
mgl
J
2 0
m cos(t )
转动正向
O
l
*C
P
（C点为质心）
(4) 无阻尼自由电磁振荡
L
LC
ε
S
B
LC 电磁振荡电路 L
C + Q0
E
L
Q0
A
C Q0
E
+ Q0
C
C
L C
B
B
D
在无阻尼自由电磁振荡过程中，电场能量 和磁场能量不断的相互转化，其总和保持不变.
d2x dt 2
(m
J R2
)
kx
则物体作简谐运动，
d2x dt 2
(
m
k
J R2
)x
0
其周期为 T 2 2
J mR2 kR2
用能量方法研究系统的运动
该系统（ m, J , k 和地球）的
机械能守恒，则有
E 1 mv2 1 J2 mgx 1 k( A x)2
2
2
2
两边求导
o
mv dv J d mgv k( A x)v 0
m
k J
/
R2
1
)2
t
]
m x
dt
dt
式中
kA
mg,
v R
1 R
dx dt
,
d
dt
1 R
d2x dt 2
mv
d2x dt 2
J R2
v
d2x dt 2
kxv
0
d2x dt 2
(m
J R2
)
kx
0
与上结果相同
注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路， 对研究非机械运动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分重要，因为此时已不 宜用受力分析的方法了！
x
mg k
cos[(
mg
T1
ma
m
d2x dt 2
⑴
圆盘 T1 T2 R J
⑵
弹簧 T2 kA x
⑶
且 a
R
将 T1 T1
1 d2x R dt 2
mg
kA
m d2x dt 2
mg
T2 T2
o
T1 T1
mg
和T2 T2 kA x mg kx
代入式⑵得
(mg
m
d2x dt 2
mg
kx)R
J R
d2x dt 2
E 1 LI 2 1 Q2
2
2C
Q 1 Q 0 LC
0 LII Q Q C
1
LC
Q Q0 cos(t )
i
dq dt
Q0
sin(t
)
I0
cos(t
π) 2
简谐运动的动力学特征
x 2x 0
弹簧振子 k m
单摆
g l
复摆
mglCO JO
LC自由电磁振荡 1
LC
E
1 2
F合 mg 0gSh x
0gSx kx (mg 0gSh)
∴模型作简谐运动
H
h
ox
(a) x
(b)
其角频率为
k 0gS 0g 7.0rad s1 m SH H
由初始条件确定 A 和
（t 0时 x0 5.0cm, v0 0）
A
x02
v02
2
0.05m
tg 1
v0
Ep
C
E
B
Ek
Ep
A
Ox
A x
单摆的势能Ep = mgl(1-cos) mgl2/2
保守系统/简谐振子的能量特征
保守系统： 无内部耗散（阻尼）无外界驱动
能量守衡
E
E = Ek + Ep H=T+V
o
E Ek Ep
Ek Ep
t
势能形式 Ep = (1/2)kx2
2、动力学特征
(1)弹簧振子:
第九章
振动
一、简谐运动
1、能量特征: 简谐振子的势能
Ep(x) V(x) = V(0) + V(0)x + (1/2) V(0)x2 +....
平衡位置: x = 0, V(0) = 0 平衡条件: V(0)=0 稳定平衡: V(0)>0
弹簧振子势能Ep(x) =(1/2)kx2
弹簧振子势能曲线
mm
ox x
E 1 mv2 1 kx2 常量 22
x 2x 0
k m
x Acost
（2）单摆
E 1 m(l)2 mgl(1 cos )
2
1 J2 mgl(1 cos )
转
A
动
l
正 向
2
FT m
g sin 0
l 5 时，sin
2 0
o
J
ml 2
P
g l
m cos(t )