2014高考真题+模拟新题 文科数学分类汇编：F单元 平面向量 纯word版解析可编辑

新课标I （第03期）-2014届高三名校数学（文）试题分省分项汇编
专题05 平面向量（解析版）Word 版含解析
一．基础题组
1.【某某省某某市第四高级中学2014届高三综合测试一】已知向量a 的模为1，且b a ,满足2||,4||=+=-b a b a ，则b 在a 方向上的投影等于 .
2. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】已知||=2a ，(cos ,sin ),()3b a a b αα=⋅+=，则向量a 与b 的夹角为.
3.
4.
二．能力题组
1. 【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】已知0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60a b 3=，则〉〈b a ,cos 等于.
2.
3.
三．拔高题组
1. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知向量a 是与单位向量b 夹角为0
60的任意向量，则对任意的正实数t ，||ta b 的最小值是（ ） A ．0 B ．12
C ．32
D ．1。

仿真模拟(二)————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)只有一项是符合题目要求的)1．已知集合S ＝{1,2}，集合T ＝{a }，∅表示空集，如果S ∪T ＝S ，那么a 的值是( ) A ．∅ B ．1 C ．2D ．1或22．如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为( )A.ma n B ．na mC ．ma 2nD ．na 2m3．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )A ．2B ．3C ．12D ．134．已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π65．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于( )A.4π3 B ．8π3C ．16π3D ．32π36．已知常数a ，b ，c 都是实数，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．57．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，如果|z |＋z ＝8－4i ，那么z 等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．4＋3iD ．3＋4i8．已知⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线y 2＝8x 的焦点，经过点M (1，－2)的直线l 将⊙P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．x －2y －5＝0C ．2x ＋y ＝0D ．2x －y －5＝09．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 3－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋410．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0.如果f ⎝⎛⎭⎫13＝34，4f (log 18x )＞3，那么x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，2 C ．⎝⎛⎦⎤12，1∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 11．已知函数①f (x )＝x 2；②f (x )＝e x ；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝cos x ．其中对于f (x )定义域内的任意一个x 1都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)＝1成立的函数是( )A ．①B ．②C ．②③D ．③④12．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n ＋T ＝a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T .已知数列{a n }满足a 1＝m (m ＞0)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n－1，a n ＞1，1a n ，0＜a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A ．若m ＝45，则a 5＝3B ．若a 3＝2，则m 可以取3个不同的值C ．若m ＝2，则数列{a n }是周期为3的数列D ．∃m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.13．如果执行下列程序框图，那么输出的S ＝________.14．一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x 人，成绩为8环、9环的人数情况见下表：那么x ＝________.15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，cb ＝12＋3，则tan B 的值等于________． 16．已知F 1，F 2是双曲线x 2a2－y 2＝1的两个焦点，点P 在此双曲线上，PF 1→·PF 2→＝0，如果点P 到x 轴的距离等于55，那么该双曲线的离心率等于________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＋3cos ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195,205)，第二组[205,215)，……，第八组[265,275)．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)从这2 000名学生中，任取1人，求这个人的分数在255～265之间的概率约是多少？ (2)求这2 000名学生的平均分数；(3)若计划按成绩取1 000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？19．(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，BA ＝BC .把△BAC 沿AC 折起到△P AC 的位置，使得点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示．点E 、F 分别为棱PC ，CD 的中点．(1)求证：平面OEF ∥平面APD ； (2)求证：CD ⊥平面POF ；(3)在棱PC 上是否存在一点M ，使得M 到P ，O ，C ，F 四点距离相等？请说明理由．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－2x －ln(x ＋1)2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数F (x )＝f (x )－x 2＋3x ＋a 在⎣⎡⎦⎤－12，2上只有一个零点，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)过椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B两点，F 1为其左焦点，已知△AF 1B 的周长为8，椭圆的离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ，Q ，且OP →⊥OQ →？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，EA 是⊙O 的切线，CB 的延长线与EA 相交于点E ，AB ＝AD .求证：AB 2＝BE ·CD .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ是参数)，P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程．24． (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知x ≥－13，关于x 的不等式|x －3|－|2x ＋10|＋x ＋15－2|a ＋13|≥0的解集不是空集，求实数a 的取值范围．详解答案 一、选择题1．D 依题意得T ⊆S ，因此a ＝1或a ＝2，故选D.2．C 由几何概率的意义可知，图形Ω面积的估计值为m n ×a 2＝ma 2n ，故选C.3．A 记题中的等比数列的公比为q .依题意有S 6＝9S 3，∴S 6－S 3＝8S 3，∴S 6－S 3S 3＝8，即q 3＝8，得q ＝2，故选A.4．B 记向量a ，b 的夹角为θ.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·(a －2b )＝0，b ·(b －2a )＝0，即|a |2＝|b |2＝2a ·b ＝2|b |2cos θ，cos θ＝12，θ＝π3，即向量a ，b 的夹角为θ＝π3，故选B.5．C 依题意得，该几何体是一个半球，其体积等于12×43π×23＝16π3，故选C.6．C 依题意得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集是[－2,3]，于是有3a ＞0，－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ，解得b ＝－3a2，c ＝－18a ，函数f (x )在x ＝3处取得极小值，于是有f (3)＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115，－812a ＝－81，a ＝2，故选C.7．D 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＋a －b i ＝8－4i ，⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a ＝8，b ＝4，由此解得a ＝3，b ＝4，z ＝3＋4i ，故选D.8．A 依题意得，要使两弧之差最大，注意到这两弧的和一定，因此就要使其中的一弧长最小，此时所求直线必与MP 垂直，又点P (2,0)，因此直线MP 的斜率等于2，因此所求的直线方程是y ＋2＝－12(x －1)，即x ＋2y ＋3＝0，故选A.9．C 依题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2，故选C.10．B 依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f (log 18x )＞3等价于f (log18x )>34，f (|log 18x |)＞f ⎝⎛⎭⎫13，|log 18x |＜13，即－13＜log 18x ＜13，由此解得12＜x ＜2，故选B. 11．B 对①，当x 1＝0时，x 2不存在；对②，任意的x 1，存在唯一一个x 2(x 2＝－x 1)使得f (x 1)f (x 2)＝1成立；对③，当x 1＝1时，x 2不存在；对④，当x 1＝π2时，x 2不存在．12．D 对于A ，当a 1＝m ＝45时，a 2＝54，a 3＝a 2－1＝14，a 4＝4，a 5＝3，因此选项A 正确．对于B ，当a 3＝2时，若a 2＞1，则a 3＝a 2－1＝2，a 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m －1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m ≤1，1m＝3，由此解得m ＝4或m ＝13；若0＜a 2≤1，则a 3＝1a 2＝2，a 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m －1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ≤1，1m ＝12，由此解得m ＝32，因此m 的可能值是13，32，4，选项B 正确．对于C ，当m ＝2时，a 1＝2，a 2＝2－1，a 3＝2＋1，a 4＝2，a 5＝2－1，a 6＝2＋1，…，此时数列{a n }是以3为周期的数列，因此选项C 正确．综上所述，故选D.二、填空题13．解析： 依题意，执行题中的程序框图，最后输出的S ＝2×(1＋2＋3＋…＋20)＝2×20×(1＋20)2＝420.答案： 42014．解析： 依题意得7x ＋8×7＋9×8＝(x ＋7＋8)×8.15，由此解得x ＝5. 答案： 515．解析： 依题意得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，cos A ＝12，A ＝60°.c b ＝sin C sin B ＝sin (B ＋60°)sin B ＝12＋32·1tan B ＝12＋3， 因此tan B ＝12.答案： 1216．解析： 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，(|PF 1|2＋|PF 2|2)－(|PF 1|－|PF 2|)2＝2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2－4a 2＝4b 2，|PF 1|·|PF 2|＝2b 2＝2.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|×55，因此|F 1F 2|＝25，a ＝(5)2－1＝2，该双曲线的离心率是|F 1F 2|2a ＝52.答案：52三、解答题17．解析： (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3.∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可得π3≤x ＋π3≤56π， ∴当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，g (x )取得最大值g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2； 当x ＋π3＝5π6，即x ＝π2时，g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 5π6＝1. 18．解析： (1)设第i (i ＝1,2，…，8)组的频率为f i ，则由频率分布图知f 7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12，∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.(2)这2 000名学生的平均分数为200×0.04＋210×0.1＋220×0.1＋230×0.2＋240×0.2＋250×0.16＋260×0.12＋270×0.08＝237.8.(3)从第一组到第四组，频率为0.04＋0.1＋0.1＋0.2＝0.44，而0.5－0.44＝0.06，将第五组[235,245)，按以下比例分割：0.060.2－0.06＝37，∴中位数为235＋3＝238，∴应将分数线定为238分．19．解析： (1)证明：因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，所以PO ⊥平面ADC ，所以PO ⊥AC .因为AB ＝BC ，所以O 是AC 的中点， 所以OE ∥P A . 同理OF ∥AD .又OE ∩OF ＝O ，P A ∩AD ＝A ， 所以平面OEF ∥平面PDA .(2)证明：因为OF ∥AD ，AD ⊥CD ， 所以OF ⊥CD .又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC ， 所以PO ⊥CD .又OF ∩PO ＝O ，所以CD ⊥平面POF . (3)存在，事实上记点E 为M 即可． 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF ， 所以CD ⊥PF .又E 为PC 的中点，所以EF ＝12PC ，同理，在直角三角形POC 中，EP ＝EC ＝OE ＝12PC ，所以点E 到四个点P ，O ，C ，F 的距离相等． 20．解析： (1)f (x )的定义域为{x |x ≠－1}． ∵f (x )＝x 2－2x －ln(x ＋1)2， ∴f ′(x )＝2x －2－2x ＋1＝2(x 2－2)x ＋1，解⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，f ′(x )＞0得－2＜x ＜－1或x ＞2， ∴f (x )的单调递增区间是(－2，－1)和(2，＋∞)． (2)由已知得F (x )＝x －ln(x ＋1)2＋a ，且x ≠－1， ∴F ′(x )＝1－2x ＋1＝x －1x ＋1.∴当x ＜－1或x ＞1时，F ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，F ′(x )＜0.∴当－12＜x ＜1时，F ′(x )＜0，此时，F (x )单调递减；当1＜x ＜2时，F ′(x )＞0，此时，F (x )单调递增． ∵F ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋2ln 2＋a ＞a ，F (2)＝2－2ln 3＋a ＜a ， ∴F ⎝⎛⎭⎫－12＞F (2)． ∴F (x )在⎣⎡⎦⎤－12，2上只有一个零点⇔⎩⎪⎨⎪⎧F ⎝⎛⎭⎫－12≥0，F (2)＜0或F (1)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧F ⎝⎛⎭⎫－12≥0，F (2)＜0得12－2ln 2≤a ＜2ln 3－2；由F (1)＝0得a ＝2ln 2－1.∴实数a 的取值范围为12－2ln 2≤a ＜2ln 3－2或a ＝2ln 2－1. 21．解析： (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝8，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1. (2)假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜1)．当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2.① ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，∴x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝0.②将①代入②得(1＋k 2)(4t 2－4)1＋4k 2－8k 2t 21＋4k2＋t 2＝0， 即t 2＝45(1＋k 2)． ∵直线PQ 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，∴r ＝|t |1＋k 2＝45(1＋k 2)1＋k 2＝255∈(0,1)， ∴存在圆x 2＋y 2＝45满足条件． 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2＋y 2＝45. 综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝45满足条件． 22．证明： 连接AC ，∵EA 是⊙O 的切线，∴∠EAB ＝∠ACB .∵AB ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ACB ，∴∠ACD ＝∠EAB .∵⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，∴∠D ＝∠ABE ，∴△CDA ∽△ABE ，∴CD AB ＝DA BE，即AB ·DA ＝BE ·CD . ∵AB ＝AD ，∴ AB 2＝BE ·CD .23．解析： 把曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ是参数)化为普通方程得(x －3)2＋y 2＝25，∴曲线C 是圆心为P 1(3,0)，半径等于5的圆．∵P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点，∴P (0,4)．根据已知得直线l 是圆C 经过点P 的切线，∵kPP 1＝－43，∴直线l 的斜率k ＝34， ∴直线l 的方程为3x －4y ＋16＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0.24．解析： 设f (x )＝|x －3|－|2x ＋10|＋x ＋15(x ≥－13)，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋28， －13≤x ≤－5，－2x ＋8， －5＜x ≤3，2， x ＞3，∴当－13≤x ≤－5时，2≤f (x )≤18；当－5＜x ≤13时，2≤f (x )＜18；当x ＞3时，f (x )＝2.∴f (x )＝|x －3|－|2x ＋10|＋x ＋15(x ≥－13)的最大值为18.∵关于x 的不等式|x －3|－|2x ＋10|＋x ＋15－2|a ＋13|≥0的解集不是空集的充要条件是f (x )≥2|a ＋13|的解集不是空集，而f (x )≥2|a ＋13|的解集不是空集的充要条件是f (x )的最大值≥2|a ＋13|，即18≥2|a ＋13|.解18≥2|a ＋13|得－22≤a ≤－4，∴实数a的取值范围为－22≤a≤－4.。

2014届高三高考模拟题数学试卷（文科）（含答案）一、选择题（每题5分，共8题）1.已知复数12z i =-，那么1z =( )A．55i +B.55-C.1255i +D.1255i - 2. “1x >”是“1x >” 的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.设变量x,y 满足,x y 1x y 1x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y +2的最大值和最小值分别为( )A ． 1，-1 B. 2，-2 C. 1，-2 D.2，-14. 方程03log 4=-x x 的根所在区间为（ ）A ．)25,2( B. )3,25( C.)4,3( D.)5,4(5.已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都 时，)2013(f 的值为（ ） A ．－2 B. 2 C.4 D.－46. 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A ． [3,1]-- B. [1,3]- C. [3,1]- D. (,3][1,)-∞-+∞ 7. 在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ． 3B ．2 3C ．3 3 D. 4 38．则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，2）B. (,1][2,)-∞⋃+∞C.(,1)(2,)-∞⋃+∞D. (,2]-∞-二、填空题（每小题5分，共6小题）9．已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = 。

10．已知(2,0),(2,2),(2,1)OB OC CA ===，则OA 与OB 夹角的正弦值为_____.11．如图,PT 切圆O 于点T ,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，6,3,2===BD AD CD ，则=PB 。

数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算2．F1 设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．B 由向量a ，b 共线，得2×6－4x ＝0，解得x ＝3，选B.2．F1、F2 已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)2．A AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 2．F1 设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．B 由向量a ，b 共线，得2×6－4x ＝0，解得x ＝3，选B.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算6．F2 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．6．－3 因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.2．F1、F2 已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)2．A AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 4．F2、F3 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．C 2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1.9．F2、F4 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B 方法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|PA →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7，故最大值为7，选B.方法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，令A (cos x ，sin x )，B (cos (x ＋α)，sin (x ＋α))，C (－cos x ，－sin x )，0<α<π，则PA →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))，|PA →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7，故选B.F3 平面向量的数量积及应用4．F2、F3 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．C 2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1.6．A2，F3 设a ，b 是非零向量．“a·b ＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．A 根据数量积的定义，a ·b ＝||a ·||b cos θ，由a ·b ＝||a ·||b 可得cos θ＝1，根据向量所成角的范围得到θ＝0，所以a ∥b ；若a ∥b ，可得向量a 与向量b 共线，即所成的角为0或π，所以a ·b ＝±||a ·||b ，故选A.13．H4、F3 过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________．13.32 如图所示，|PA |＝|PB |＝3，|OP |＝2，|OA |＝1，且PA ⊥OA ，∴∠APO ＝π6，即∠APB ＝π3，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos ∠APB ＝3×3×cos π3＝32.8．F3 对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b|≤|a||b| B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b|2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 28．B 根据数量积的定义知a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a ，b 〉|≤|a||b |，选项A 中的关系式一定成立；如果选项B 中的关系式成立，则|a －b|2≤||a|－|b||2，可得a·b≥|a||b|，此式只可能在a ，b 共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知，选项C ，D 中的关系式是恒成立的．20．F3，H5，H8 如图1­3，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．图1­320．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.13．F3 已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．13.233 令b ＝x e 1＋y e 2(x ，y ∈R )，b ·e 1＝x e 1·e 1＋y e 2·e 1＝x ＋12y ＝1，b ·e 2＝x e 1·e 2＋y e 2·e 2＝12x ＋y ＝1，解得x ＝y ＝23，则b ＝23(e 1＋e 2)，所以b 2＝49(e 1＋e 2)2＝49(e 21＋2e 1·e 2＋e 22)＝43，故|b |＝2 33.7．F3 已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π67．C 由已知得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－2a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2a 24a 2＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3. 9．F3 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．29．A 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5，故选A.11．F3 已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________． 11．9 根据题意作出图形，如图所示．设向量OA →，OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝||OA →||OB →cos θ.因为OA →⊥AB →，所以||OB →cos θ＝||OA →，所以OA →·OB →＝||OA→2＝9.14．C7、F3 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k＋1)的值为________． 14．93 因为a k ·a k＋1＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6 ＝2cosk π6cos（k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，所以k ＝011(a k ·a k ＋1)＝12×334＋12k ＝011cos （2k ＋1）π6＋k ＝011sin （2k ＋1）π6＝9 3.F4 单元综合7．F4 设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.327．A c ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝3＋2k ＝0，所以k ＝－32.9．F2、F4 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B 方法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|PA →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7，故最大值为7，选B.方法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，令A (cos x ，sin x )，B (cos (x ＋α)，sin (x ＋α))，C (－cos x ，－sin x )，0<α<π，则PA →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))，|PA →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7，故选B.13．F4 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．13.2918 根据题意，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝AB →＋23BC →·AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋16AB →·DC →＋23BC →·AD →＋19BC →·DC →＝1＋13＋13－118＝2918. 15．F4 △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.15．①④⑤ 由AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，得a ＝12AB →，b ＝AC →－2a ＝BC →，④正确；|a |＝12|AB→|＝1，①正确；|b |＝|BC →|＝2，②错误；且a 与b 的夹角为120°，故a ·b ＝1×2×cos 120°＝－1，③错误；(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2＝－4＋4＝0，⑤正确．10． 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝3，点M 是梯形ABCD 内(包括边界)的一个动点，点N 是CD 边的中点，则AM →·AN →的最大值是________．10．6 以A 为原点，分别以AB →，AD →所在的方向为x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，可得A (0，0)，B (3，0)，C (2，2)，D (0，2)，N (1，2)，则直线BC 的方程为y ＝－2x ＋6.由题易知，当AM →·AN →取得最大值时，点M 在线段BC 上，故设M (λ，－2λ＋6)(2≤λ≤3)，可得AM →＝(λ，－2λ＋6)，AN →＝(1，2)，∴AM →·AN →＝λ＋2×(－2λ＋6)＝12－3λ.∵2≤λ≤3，∴当λ＝2时，AM →·AN →取得最大值6.7． 已知P 是边长为2的正方形ABCD 内的点，若△PAB ，△PBC 的面积均不大于1，则AP →·BP →的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(－1，1)C ．0，12 D.12，327．B以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系(如图所示)，则B (2，0)，C (2，2)．设P (x ，y )，0<x <2，0<y <2.由△PAB ，△PBC 的面积均不大于1，得0<y ≤1，1≤x <2，则AP →·BP →＝x (x －2)＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1.又(x －1)2＋y 2表示平面区域0<y ≤1，1≤x <2内的点P (x ，y )与点(1，0)间的距离的平方，所以AP →·BP →的取值范围是(－1，1)．9． 已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是________．9．[2－1，2＋1] 由a ，b 是单位向量，且a·b ＝0，可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )．∵向量c 满足|c －a －b|＝1，∴（x －1）2＋（y －1）2＝1，即(x －1)2＋(y －1)2＝1.该方程表示圆心为(1，1)，半径为1的圆，∴2－1≤|c |＝x 2＋y 2≤2＋1，∴|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．4． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3，1)，b ＝(1，3)．若OC →＝λOA →＋μOB →，且0≤λ≤μ≤1，则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )图K22­24．D 当λ＝μ＝1时，OC →＝λa ＋μb ＝a ＋b ＝(4，4)，故可以排除C.当λ＝μ＝0时，OC →＝λa ＋μb ＝(0，0)，故可以排除B.当μ＝13，λ＝12时，OC →＝λa ＋μb ＝12a ＋13b ＝116，32，故可以排除A.故选D.。

F 单元 平面向量1．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →2．[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC →4．[2014·北京卷] 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9) 5．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( )A ．(－2，1)B ．(2，－1)C ．(2，0)D ．(4，3)6．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 7．[2014·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．28．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 9．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B. 3C ．0D ．－ 310．[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定11．[2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．012．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 13．[2014·山西大同一中四诊] 如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B.BE →C.AD →D.CF →14．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．15．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．16．[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．17．[2014·江苏卷] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．18．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝______.19．[2014·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________． 20．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________． 21．[2014·长沙一中月考] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝________． 22．[2014·湖南师大附中月考] 如图X19-2所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB →＝4AC →，则OC →·(OB →－OA →)＝____________．23．[2014·温州十校联合体期末] 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为____________．24．[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．25．[2014·常德期末] 已知向量a ＝cos )32(π-x ，cos )4(x +π，b ＝1，－2sin )4(x +π，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若A 为等腰三角形ABC 的一个底角，求f (A )的取值范围．。

一、选择题1.（2014北京文3）已知向量()2,4=a ，()1,1=-b ，则2-=a b （ ）. A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,92.（2014大纲文6）已知，a b 为单位向量，其夹角为60，则(2)-⋅=a b b （ ）.A ．1-B ．0C ．1D ．23.（2014福建文10）设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）.A.OMB.2OMC.3OMD. 4OM4.（2014广东文3）已知向量()()1,2,3,1==a b ，则-=b a （ ）. A.()2,1- B.()2,1- C.()2,0 D. ()4,35.（2014新课标Ⅱ文4）设向量，a b 满足+=a b -=a b ⋅=a b （ ）A.1B.2C.3D.56. （2014山东文7）已知向量((),3,m ==a b . 若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）.A. B. C. 0 D.7.（2014新课标Ⅰ文6）设F E D ,,分别为ABC △的三边AB CA BC ,,的中点，则=+（ ） A. B. 21 C. D. 21 8.（2014浙江文9）设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，t +b a 的最小值为1.（ ）.A ．若θ确定，则a 唯一确定B ．若θ确定，则b 唯一确定C ．若a 确定，则θ唯一确定D ．若b 确定，则θ唯一确定9. （2014安徽文10）设，a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234，，，x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344⋅+⋅+⋅+⋅x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）. A.23π B.3π C.6π D.010.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ，()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）.A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦11.（2014四川文10）已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）.A.2B.3C.8二、填空题12.（2014重庆文12）已知向量60(26)||=--=⋅=与的夹角为，且，，a b a b a b _________.13.（2014江西文12）已知单位向量12，e e 的夹角为α，且1cos 3α=，若向量1232=-a e e ，则||=a . 14.（2014陕西文13）设π02θ<<，向量()()sin2cos 1cos θθθ==，，，-a b ， 若0⋅=a b ，则=θtan _______.15.（2014四川文14）向量()1,2=a ，()4,2=b ，m =+c a b ()m ∈R ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________.16．（2014湖北文12）若向量()1,3OA =-，OA OB =，0OA OB ⋅=， 则AB = .17.（2014江苏12）如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 ．18. （2014天津文13）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为________.三、解答题19.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ，点(),P x y 在ABC △三边围成的区域（含边界）上，且()OP mAB nAC m n =+∈R，.A（1）若23m n ==； （2）用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.。

2014高考平面向量汇编1.（辽宁）.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ A ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝2..（新课标二3.）设向量a,b 满足|a+b|a-ba ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a 故选联立方程解得，==+=++==+3.（大纲卷4）.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ B ） A ．2 B．1 D．24.（北京9）已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=____5____.5.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=_+3或-3______. 6.（陕西）设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a //，则=θtan _______. 答案：.21t θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a 7. （江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .（第12题）8.（陕西）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上（1）若=++；（2）设),(R n m AC n AB m OP ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【解析】（1）22||22||,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A （2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=9.（天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712解：C 因为120BAD ?，所以cos1202AB AD AB AD ?鬃=-.因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+，AF AB AD m =+.因为1AE AF ?，所以()()1AB AD AB AD l m +?=，即3222l m l m +-= ①同理可得23l m l m --=- ②，①+②得56l m += 10.（重庆4）.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=C9.2A - .0B C.3 D. 15211.（广东5）已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22BB =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选。

2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x |2x -x -20=﹜，则A I B=(A) ∅ （B ）{}2 （C ）{}0 (D) {}2- (2)131ii+=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i -（3）函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则（A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（4）设向量a ,b 满足a ·b=（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5（5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱 体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为（A ）1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 13（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为（A ）3 （B ）32（C ）1 （D ）（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S=（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A（B ）6 （C ）12 （D）（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ （12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算7．F1、F3 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B 如图所示，AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.13．F1、F3 如图1­3，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．图1­313.78 设BD →＝a ，DF →＝b ，则由题意得BA →＝a ＋3b ，CA →＝－a ＋3b ，BF →＝a ＋b ，CF →＝－a ＋b ，BE →＝a ＋2b ，CE →＝－a ＋2b ，所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4，BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1， 解得b 2＝58，a 2＝138，于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算13．F2 已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a∥b ，则m ＝________． 13．－6 因为a∥b ，所以－2m －4×3＝0，解得m ＝－6. F3 平面向量的数量积及应用7．F1、F3 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B 如图所示，AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.12．C4，F3 如图1­1，已知点O (0，0)，A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则OP →·BA →的取值范围是________．图1­112． 由题意，设P (cos α，sin α)，α∈，则OP →＝(cos α，sin α)．又BA →＝(1，1)，所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈．13．F3 已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．13．－5 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，且a ⊥(t a ＋b )，∴a ·(t a ＋b )＝0，即2t＋10＝0，解得t ＝－5.15．F3 已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2，a·b ＝1.若e 为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．15.7 由|a|＝1，|b|＝2，得a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝2cos 〈a ，b 〉＝1，得cos 〈a ，b 〉＝12，则〈a ，b 〉＝π3.不妨设a ＝(1，0)，e ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(1，3)，则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|.当θ为锐角时，才能取得最大值，此时|a·e|＋|b·e|＝2cos θ＋3sin θ＝7sin(θ＋φ)≤7，故|a·e|＋|b·e|的最大值是7.13．F1、F3 如图1­3，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．图1­313.78 设BD →＝a ，DF →＝b ，则由题意得BA →＝a ＋3b ，CA →＝－a ＋3b ，BF →＝a ＋b ，CF →＝－a ＋b ，BE →＝a ＋2b ，CE →＝－a ＋2b ，所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4，BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1， 解得b 2＝58，a 2＝138，于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.9．F3 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 9.π6根据题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a ·b ＝3＋3＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ ＝a ·b |a |·|b |＝232×2＝32，因为θ∈，所以θ＝π6.13．F3 设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a⊥b ，则x ＝________． 13．－23 由题意，a·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，∴x ＝－23.F4 单元综合9．F4 已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634 D.37＋23349．B 方法一：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，则B ，C 两点的坐标分别为(3，－3)，(3，3)．由|AP →|＝1，设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，CO →＝λ()AB →＋AD →，则实数λ＝( )A. －12B. 12C. －2D. 21. A 根据向量平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2OC →，因为CO →＝λ()AB →＋AD →，所以λ＝－12.1. 如图K22­1所示， 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )图K22­1A. 12B. －12C. 1D. －1 1. A 因为E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋()DE →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB →＋AC →，又AE →＝λAB →＋μAC →，所以μ＝1，λ＝－12，故λ＋μ的值为12.15. 如图K23­1所示，已知等边三角形ABC 的边长为2，若BC →＝3BE →，AD →＝DC →，则BD →·AE →＝________．图K23­115. －2 ∵AD →＝DC →，∴D 为AC 的中点，即AD →＝12AC →，∴BD →＝BA →＋12AC →.∵BC →＝3BE →，∴AE →＝AB →＋13BC →，∴BD →·AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫BA →＋12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝BA →·AB →＋13BC →·BA →＋12AC →·AB →＋16AC →·BC →＝－4＋13×4×cos 60°＋12×4×cos 60°＋16×4×cos 60°＝－2.。

2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- 2.131i i +=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.2717B.95C.2710D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.2 8.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）A.4B.5C.6D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）A. B.6 C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n n ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O e 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈. （1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =I ，选B ．考点：集合的运算．2．B【解析】 试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i i i ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件．4．A【解析】 试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=r r r r ，2226a a b b -⋅+=r r r r ，两式相减得，44a b ⋅=r r ，故1a b ⋅=r r ．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+． 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和．6．C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图．7．C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =I ，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==． 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．8．D【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图．9．B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122z y x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划．10．C【解析】 试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．11．D【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。

F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算10．F1[2013·江苏卷] 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B， 所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.12．F1[2013·四川卷] 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.1－612．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．14．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算14．F2[2013·北京卷] 已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．14．3 [解析] 设P(x ，y)，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B(5，1)到直线x－2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3. 8．F2[2013·湖南卷] 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋28．C [解析] 由题可知a ·b ＝0，则a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，且|c －a －b |＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又|c |＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知|c |max＝12＋12＋1＝1＋2，选C.12．F2[2013·天津卷] 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →， 所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)． 14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.1－621．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．错误!21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.F3 平面向量的数量积及应用12．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．212．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝2.14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.图1－62．F3[2013·陕西卷] 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．02．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m2，解得m ＝2或－ 2.15．F3[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．15．5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO ＝90°，∴OB →·AB →＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5. 9．F3[2013·辽宁卷] 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋b －a 3－1a＝09．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角，当∠OAB 为直角时b ＝a 3，当∠OBA 为直角时，OB →·AB →＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b)＝0，所以b －a 3－1a ＝0，所以(b －a 3)b －a 3－1a＝0，故选C.7．F3[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152C ．－3 22D ．－3 1527．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22.3．F3[2013·全国卷] 已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－13．B [解析] (m ＋n )⊥(m －n )(m ＋n )·(m －n )＝0m 2＝n 2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.13．F3[2013·安徽卷] 若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．13．－13 [解析] 设|b |＝1，则|a |＝3，|a ＋2b |＝3，两端平方得a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，即9＋12cos 〈a ，b 〉＋4＝9，解得cos 〈a ，b 〉＝－13.16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.13．F3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．13．2 [解析] b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t)b ]＝t a ·b ＋(1－t)b 2＝12t ＋(1－t)＝1－12t ＝0，即t ＝2.21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．14．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F4 单元综合10．F4[2013·福建卷] 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．1010．C [解析] ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →，面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×12＋22×（－4）2＋22＝5，故选C.10．F4[2013·广东卷] 设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．B [解析] ①作OA →＝a ，OB →＝b ，如图(1)，连接AB ，只要c ＝BA →即可，故①对；②是对的，因为b 和c 不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量； ③是错的，如图(2)，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝μc ，则|OC →|＝μ，即点C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，过点A 作OB 的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a 沿OB →，OC →方向分解；④不一定对，如图(3)，作OA →＝a ，OB →＝λb ，OC →＝μc ，则点B ，C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，但不一定有a ＝λb ＋μc .综上，选B.17．F4[2013·浙江卷] 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于________．17．2 [解析] |x||b |＝|x|2|b |2＝x 2x 2e 21＋2xy e 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy ×32＋y 2＝11＋3y x ＋y x2＝1y x ＋322＋14≤错误!＝2.1．[2013·延安期末] 已知点M(5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2，0)B ．(－3，6)C ．(6，2)D ．(－2，0)1．A [解析] MN→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3，6)．设N(x ，y)， 则MN →＝(x －5，y －(－6))＝(－3，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A. 2．[2013·襄阳一检] 如图K17－1所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A.13OA →－43OB →B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB →D ．－13OA →－43OB →2．C [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C.3．[2013·武汉部分学校联考] 已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－23．C [解析] 由题可设OC →＝(x ，－3x)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋λ，－3x ＝0＋3λ，解得λ＝1.故选C.4．[2013·衡阳期末] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．4.3 [解析] 由AB →＝DC →＝(1，1)，可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝ 2.因为1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，四边形为菱形，其边长为2，且对角线BD 是边长的3倍，即BD ＝3×2＝ 6.设AC 与BD 相交于E ，则CE 2＝(2)2－⎝⎛⎭⎫622＝12，即CE ＝22.所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD 的面积为2×32＝ 3.5．[2013·上饶月考] 已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．35．D [解析] 因为()a －mb ⊥a ，所以(a －m b )·a ＝0，即|a |2－m a ·b ＝0，所以|a |2－m|a ||b |cos 60°＝0，解得m ＝3，选D.6．[2013·三门峡一练] 在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D．x－2y－5＝06．C[解析] 由题意知－5＝OP→·OA→|OA→|＝x＋2y5，所以点P的轨迹方程是x＋2y＋5＝0，故选C.。

2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：A单元集合与常用逻辑用语.doc 2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：B单元函数与导数.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：C单元三角函数.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：D单元数列.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：E单元不等式.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：F单元平面向量.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：G单元立体几何.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：H单元解析几何.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：I单元统计.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：J单元计数原理.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：K单元概率.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：L单元算法初步与复数.doc 2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：M单元推理与证明.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：N单元选修4系列.doc数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}1．C[解析] A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．16．201[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100³2＋10³0＋1＝201.1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()A．{0，2} B．{2，3}C．{3，4} D．{3，5}1．B[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A＝{2，4，7}．故选C.2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．C[解析] 由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B ＝________．11．{3，5，13}[解析] 由集合交集的定义知，A∩B＝{3，5，13}．1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．1．{－1，3}[解析] 由题意可得A∩B＝{－1，3}．2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)2．C[解析] ∵A＝(－3，3)，∁R B＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴A∩(∁R B)＝(－3，－1]．1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}1．D[解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为()A．2 B．3C．5 D．71．B[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}1．B[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝()A．(－2，1) B．(－1，1)C．(1，3) D．(－2，3)1．B[解析] 利用数轴可知M∩N＝{x|－1<x<1}．2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0，2] B．(1，2)C．[1，2) D．(1，4)2．C[解析] 因为集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选C.1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)1．D[解析] 由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}1．D[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B ＝{－1，0，1，2}．故选D.20．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2²2＋x3²22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.1．[2014·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2，5) D．[2，5]1．D[解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5] ，故选D.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．D[解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7．A[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2R sin A，b＝2R sin B．故选A.∵sin≤A sin B，∴2R sin A≤2R sin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β6．D [解析] 对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错． 对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确． 5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ²b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3．C [解析] 函数在x ＝x 0处有导数且导数为0，x ＝x 0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0 ，所以p 是q 的必要不充分条件．4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.8．[2014·陕西卷] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假8．A [解析] 由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q6．A [解析] 由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．A3 基本逻辑联结词及量词 2．[2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 5．[2014·福建卷] 命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05．C [解析] “∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C.3．[2014·湖北卷] 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∈/R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x 0∈/R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 03．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”. 故选D.1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤01．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 3．[2014·天津卷] 已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B. ∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C. ∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D. ∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤13．B [解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．A4 单元综合4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，d }，N ＝{a ，c ，e }，则N ∩(∁U M )＝( )A ．{c ，e }B ．{a ，c }C ．{d ，e }D ．{a ，e }4．A [解析] 因为∁U M ＝{b ，c ，e }，所以N ∩(∁U M )＝{a ，c ，e }∩{b ，c ，e }＝{c ，e }． 7．[2014·宁德质检] 已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．17．B [解析] ∵A ⊆B ，∴a ＋2＝1，解得a ＝－1. 8．[2014·蚌埠质检] 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－1≥0}，B ＝{x |x －1≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |－1<x ≤1}8．B [解析] ∵集合A ＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤－1}，∴∁U A ＝{x |－1<x <1}．又集合B ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－1<x <1}． 4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．B [解析] 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.7．[2014·济南模拟] 已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，a ＋1a≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题7．C [解析] 依题意可知，命题p 为真，命题q 为假，故选C.12．[2014·长沙联考] 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是__________．12．2≤m ≤6 [解析] 由题意可知，命题“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119. 3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.B2 反函数5．[2014·全国卷] 函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R )5．D [解析] 因为y ＝ln(3x ＋1)，所以x ＝(e y －1)3.因为x >－1，所以y ∈R ，所以函数y ＝ln(3x ＋1)(x >－1)的反函数是y ＝(e x －1)3(x ∈R )．B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对．19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确21．、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.B4 函数的奇偶性与周期性 4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x4．D [解析] A 中，f (－x )＝－x －1，f (x )为非奇非偶函数；B 中，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ，f (x )为非奇非偶函数；C 中，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数；D 中，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )为偶函数．故选D.14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －12x B ．x 3sin xC ．2cos x ＋1D ．x 2＋2x5．A [解析] 对于A 选项，令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域是R ，f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以A 正确；对于B 选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x 3sin x 是偶函数；C 显然也是偶函数；对于D 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解． 当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．15．－32[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32.19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．112．D [解析] 因为f (x ＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x ＝0，所以函数f (x )的图像的对称轴为直线x ＝2.又因为函数f (x )是奇函数，其定义域为R ，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝0＋f (－5)＝－f (5)＝－f (－1)＝f (1)＝1.15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，又函数为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，故f (－1)＝3.5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数5．C [解析] 因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 13．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 13．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.B5 二次函数 10．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．10.⎝⎛⎭⎫－22，0 [解析] 因为f (x )＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，解得⎩⎨⎧－22＜m ＜22，－32＜m ＜0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－22，0.14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32.B6 指数与指数函数 5．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b . 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋15．A [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．故选A. 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D. 12．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．12.10 [解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝1012＝10.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.4．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a4．C [解析] ∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0，c ＝1π2<1，∴b <c <a .B7 对数与对数函数 12．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．12．(－∞，0) [解析] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．11．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54³45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．13．5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 39．D [解析] 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b ＝(a＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ²3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3a b ，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.B8 幂函数与函数的图像 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．图1-415.⎝⎛⎭⎫0，16 [解析] “∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝f (x －1)的图像的上方”，函数y ＝f (x －1)的图像是由函数y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，16.13．、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．13.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图像可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.B9 函数与方程6．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)6．C [解析] 方法一：对于函数f (x )＝6x －log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x 与g (x )＝log 2x 的大致图像，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2，4)．7．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞97．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3，∴6<c ≤9，故选C.10．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 10．A [解析] 作出函数f (x )的图像，如图所示．函数g (x )＝f (x )－mx －m 的零点为方程f (x )－mx －m ＝0的根，即为函数y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)图像的交点．而函数y ＝m (x ＋1)。

2014届预测汇编数学试题一1.已知{}n a 是等差数列,且345610a a a a +++=,则{}n a 的前8项和为 ( ) A.40B.20C.10D.81.【答案】B 【解析】由345610a a a a +++=可得452()10a a +=,即455a a +=,所以,{}n a 的前8项和为184588()8()2022a a a a S ++===. 试题二2.已知i 是虚数单位,1(1)1i z i i+-=-,则2z = ( ) A.112i -B. 1i +C.12i -D.14i -2.【答案】C 【解析】由1(1)1iz i i +-=-可得211(1)11(1)2222i i i i z i i i +++====-+--,故2z =211()22i -+12i =-.试题三3.已知角α是第二象限角,且3sin 5α=,且()sin 2cos cos 2sin f x x x αα=+的图像关于直线0x x =对称,则0tan x = .3.【答案】724-【解析】由条件可得4cos 5α=-, 则24sin 22sin cos 25ααα==-,27cos 212sin 25αα=-=,由()sin 2cos cos 2sin f x x x αα=+sin(2)x α=+关于直线0x x =对称可得022x k ππα=+-()k Z ∈,则0tan x =tan(2)tan(2)22k πππαα+-=-17tan 224α==-. 试题四1.（理）已知四面体P ABC -中, PA=4，AC=PB= BC=PA ⊥平面PBC,则四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比（ ）APCB1.【答案】C 【解析】PA⊥平面PBC, AC=, PA=4,∴,PBC ∴∆为等边三角形，设其外接圆半径为R ，四面体P ABC -内切球半径为r，则∴2R=4，∴外接球半径为，PAB PAC S S ∆∆===，1sin 60332PBC S ∆=⨯=，过A 点作AD 垂直于BC 于D，5AD ∴==，152ABC S ∆∴=⨯=，11433P ABC PBC V S PA -∆=⨯⨯=⨯=1()3P ABC PBC ABC PAC PAB V S S S S r -∆∆∆∆=⨯+++⨯13r =⨯34r ∴=∴内切球半径与C APCBD试题五2.已知四面体P ABC -中, PA=4，AC=,PB= BC=,PA ⊥平面PBC,则四面体P ABC-外接球体积为（）D.125 6π2.【答案】C【解析】PA⊥平面PBC, AC=, PA=4,∴,PBC∴∆为等边三角形，设其外接球半径为R，，则∴2R=4，∴外接球半径为，其外接球的体积为343Vπ==试题六3.若椭圆1M：2222111x ya b+=11(0)a b>>和椭圆2M2222221x ya b+=22(0)a b>>共长轴，且12()b b>，给出下列四个命题正确的是.①设椭圆的离心率为e,则12e e>；②22221221-=c-cb b；③2112b c b c>④椭圆1M的焦点12F F、1P为椭圆1M上的任意一点，椭圆2M的焦点34F F、，2P为椭圆2M上的任意一点，则当112324F P FF PF∠∠和都取最大角时，112324F P FF PF∠<∠⑤两椭圆中，椭圆1M的最短的焦半径比椭圆2M的最短的焦半径长;3.【答案】②④⑤【解析】由于两椭圆共长轴，所以12=a a，又因为12b b>，所以12c c<12e e∴<，故①错.由于长轴相等，所以22221122+c=+cb b22221221-=c-cb b∴成立，②正确.对于③由于12b b>，12c c<所以12211212c cb c b cb b<∴<，所以③错误.P点在椭圆短轴顶点时，张角最大.由于两椭圆长轴相同，所以谁焦距长谁张角大，所以④正确.椭圆1M的最短的焦半径长为11-a c最短的焦半径22a c-，12c c<所以⑤正确.试题七1.已知函数()sin2xf x x=∈R，，将函数()y f x=图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x的图象，则关于()()f xg x⋅有下列命题，其中真命题的个数是( )①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④函数()()y f x g x =⋅. A.1B.2C.3D.41.【答案】A 【解析】()()()h x f x g x =⋅sin sin 2x x =22cos sin 22x x=，①错误，()h x 是偶函数；②错误，4π即为()h x 的一个周期； ③正确，可以验证()(2)0h x h x π+-=恒成立，故(π，0)是()y h x =的图像的一个对称中心；④错误，令t ＝cos 2x，t ∈[－1，1]，则m (t )＝2t (1－t 2)＝2( t －t 3)，令m ′(t )＝2( 1－3t 2)＝0，得=t .当t ＝±1时，函数值为0；当t =时，函数值为t =∴m (t )max ，即()h x 试题八2.函数f （x ）＝xx k ||sin -（k ＞0）有且仅有两个不同的零点θ，ϕ（θ＞ϕ），则以下有关两零点关系的结论正确的是( )A ．sin ϕ＝ϕcos θB ．sin ϕ＝－ϕcos θC ．sin θ＝θcos ϕD ．sin θ＝－θcos ϕ2.【答案】D 【解析】由f （x ）＝xx k ||sin -（k ＞0）有且仅有两个不同的零点θ，ϕ（θ＞ϕ）知，sin ||x =kx 有且仅有两个不同的解θ，ϕ，即y =sin ||x 与y kx =有且仅有两个不同的交点，由图像知，y kx =与y =sin ||x 相切于A （ϕ，sin ||ϕ），相交于B （θ，sin θ），且ϕ＜0＜θ，∴k =cos ϕ-，k θ=sin θ，∴sin θ=cos θϕ-，故选D.试题九3.设函数a ae x x f x-++=-)1ln()(，R a ∈．（Ⅰ）当1=a 时，证明)(x f 在),0(+∞是增函数；（Ⅱ）若),0[+∞∈x ，0)(≥x f ，求a 的取值范围．3.【解析】（1）)1()1(11)('x e x a e e a x x f x x x ++-=-+=，当1=a 时, )1()1()('x e x e x f x x ++-=,……2分令x e x g x --=1)(，则1)('-=x e x g ，当),0(+∞∈x 时，01)('>-=x e x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数，因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，则)(x f 在),0(+∞是增函数．---------6分（2）由)1()1()('x e x a e x f xx ++-=,由（1）知,,1x e x+≥当且仅当0=x 等号成立． 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f xx ++-=++-+≥,从而当01≥-a ,即1≤a 时,对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f ．由),0(1≠+>x x e x 得)0(1≠->-x x e x ,从而当1>a 时,2'22()(1)(1)x x x x x x e a ae a e ae a f x e x e x --+--+<==++故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)('<x f ,于是当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f ,综上, a 的取值范围是]1,(-∞．---------12分。

浙江省2014年普通高等学校招生全国统一考试（一）数学(文科)非选择题部分(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设偶函数满足()24(0),xf x x =-≥则{}()0x f x >= ( )A.{2x x <-或}4x >B.{0x x <或}4x >C.{2x x <-或}2x > D.{0x <或}6x > 2.已知复数z 满足(1)3,z i i i ⋅-=+为虚数单位，则z = ( )C.5D.33.若a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线23(1)30x a y a a +-+-+=互相 平行”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面 ( )A.若α∥,,,a b βαβ⊂⊂则a ∥bB.若α⊥,a β∥β，则a α⊥C.若,,a a b a α⊥⊥∥,β则b ∥βD.若α⊥,,,a b βαβ⊥⊥则a b ⊥ 5.已知某几何体的三视图（单位：cmA.1cm 2B.3cm 2C.cm 2D.+cm 26.矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，A 点在地面上，AB =a , BC =b ，AB 与地面成)20(πθθ≤≤角（如图）．则点C 到地面 的距离函数()h θ= ( )A.θθsin cos b a +B.θθcos sin b a +C.|cos sin |θθb a -D.|sin cos |θθb a -7.设12,x x 是函数()(1)xf x a a =>定义域内的两个变量，且正视图俯视图（第5题图）12x x <.设122x x m +=，则下列不等式恒成立的是 ( ) A.12()()()()f m f x f x f m ->- B.12()()()()f m f x f x f m -<- C.12()()()()f m f x f x f m -=- D.212()()()f x f x f m > 8.若函数32()(,,0)f x ax bx cx d a b c =+++>在R 上是单调函数，则'(1)f b的取值范围为 ( )A.(4,)+∞B.(2)++∞C.[4,)+∞D.[2)++∞9.过椭圆22222(0)x y c a b a b+=>>的右焦点(,0)F c 作圆222x y b +=的切线FQ (Q 为切点)交椭圆于点P ,当点Q 恰为FP 的中点时，椭圆的离心率为 ( )C.1210.已知函数ln ,0e ()2ln ,e x x f x x x ⎧<≤=⎨->⎩,若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为 ( )A.2(1e,1e+e )++B.21(2e,2+e )e +C.22+e )D.1+2e)e非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编（8）平面向量【2014安徽】0．设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．0 10．B ，解析：11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅有以下三种可能：①222222||2||10||a a b b a b a ⋅+⋅=+=②244||2||cos 8||cos a b a a a θθ⋅=⋅=③223||6||cos a a a b a a θ⋅+⋅=+易知③最小，则有222||6||cos 4||a a a θ+=，所以1cos 2θ=，3πθ=。

3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 解3．A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．10．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OM C OM D OM10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →.在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.3．已知向量，则（ ）A ．B ．C ．D ．解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题.)1,2()21,13(-=--=-.故选C.6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -∙=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2[解析]6．B 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.4.设向量,a b 满足||10a b +=，|6a b -=，则a b ⋅= （ ）A .1B .2C .3D .54．A ． 解析：||10,6|4=41=+=-=∴+⋅+⋅+∴⋅∴⋅=-=2222a b a b a 2a b b a 2a b b a b a b 故选A ． 考点：考查平面向量的数量积，中等题.12．若向量(1,3)OA =-,||||OA OB =,0OA OB ⋅=, 则||AB =________.解析:12． 2222220AB OB OA OA OA OB OB OA =-=++===10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足 1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦[解析]10．D 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，)1,3(),2,1(==b a =-a b )3,4()0,2()1,2(-)1,2(-所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 ▲ .解析：12．【答案】22解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的,AP BP 向量用基底,AB AD 表示，而后实施计算.14AP AD DP AD AB =+=+，34BP BC CP AD AB =+=-. 则2213132()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅==+⋅-=-⋅-. 因为8,5AB AD ==，则3122564162AB AD =-⨯-⋅，故22AB AD ⋅=. （江苏苏州 何睦） 解法二：（坐标法）不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+，(6,)BP a t =-.由2AP BP ⋅=，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =， 所求822AB AD a ⋅==. （江苏苏州 何睦） 【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B)，平面向量的数量积 (C).【答案】22【解析】以,为基底，因为2,3=⋅=，41+=+=，43-=+= 则)43()41(2AB AD AB AD BP AP -⋅+==⋅2216321AB AB AD AD -⋅-= 因为5,8==AD AB 则⋅-⋅-=2164163252，故22=⋅ 【点评】本题主要考查向量，向量的基底表示，向量的运算，本题关键在于选取哪两个向量为基底，根据题目中已知的两条边长，选为基底最为合适。

2014年高考真题——文科数学(浙江卷)精校版 Word版含答案2014年浙江省普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题1.设集合 $S=\{x|x\geq2\}$，$T=\{x|x\leq5\}$，则 $ST=$（）A。

$(-\infty,5]$B。

$[2,+\infty)$C。

$(2,5)$D。

$[2,5]$2.设四边形 $ABCD$ 的两条对角线为 $AC$、$BD$，则“四边形 $ABCD$ 为菱形”是“$AC\perp BD$”的（）A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A。

$72\text{cm}^3$B。

$90\text{cm}^3$C。

$108\text{cm}^3$D。

$138\text{cm}^3$4.为了得到函数 $y=\sin^3x+\cos^3x$ 的图象，可以将函数$y=2\cos3x$ 的图象（）A。

向右平移 $\pi$ 个单位长B。

向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长C。

向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长D。

向左平移 $4$ 个单位长5.已知圆 $x^2+y^2+2x-2y+a=0$ 截直线 $x+y+2=0$ 所得弦的长度为 $4$，则实数 $a$ 的值为（）A。

$-2$B。

$-4$C。

$-6$D。

$-8$6.设 $m$、$n$ 是两条不同的直线，$\alpha$、$\beta$ 是两个不同的平面，则（）A。

若 $m\perp n$，$n\parallel \alpha$，则 $m\perp \alpha$ B。

若 $m\parallel \beta$，$\beta\perp \alpha$，则 $m\perp \alpha$C。

若 $m\perp \beta$，$n\perp \beta$，$n\perp \alpha$，则$m\perp \alpha$D。

数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算10．F1 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →10．D 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.12．F1 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．12．3 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a |＝3.5．F1、A2 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )5．A 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．F1 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.12BC → D.BC → 6．A EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD .14．F1、F2 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c|b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算3．F2 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)3．A 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．3．F2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)3．B b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)． 12．F2、F3 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．2 5 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝25.12．F2、F3 如图1­3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1­312．22 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .7．F2，F3 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B 由题意得cos π6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝ 3.13．F2 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝______.13.12 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝12.18．F2 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解： (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．F1、F2 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c|b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F3 平面向量的数量积及应用 12．F2、F3 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．2 5 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝25.12．F2、F3 如图1­3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1­312．22 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .6．F3 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．26．B 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.4．F3 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．54．A 由已知得|a ＋b |＝10，|a －b |2＝b ，两式相减，得a ·b ＝1.12．F3 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________． 12．10 ∵|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝210×10×12＝10.7．F2，F3 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B 由题意得cos π6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝ 3.13．F3 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．13．2 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由BC →＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3λ.∵AE ·AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.F4 单元综合9．F4 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定9．B |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）24a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1.若|b |确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.10．F4 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3 B.π3 C.π6D ．0 10．B 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2a 2＋2b 2，S 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈，所以θ＝π3.10．F4 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．B ．[19－1，19＋1]C ．D ．[7－1，7＋1]10．D 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．1． 如图X19­1所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →图X19­11．D 由图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CF →.13． 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝____________．13.13 ∵a ＝m b ＋n c ⇒(3，2)＝(－m ，2m )＋(4n ，n )＝(－m ＋4n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝2，－m ＋4n ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89，∴n －m ＝13.14． 如图X19­2所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB →＝4AC →，则OC →·(OB →－OA →)＝____________．图X19­214．－12 由已知得|AB →|＝2，|AC →|＝24，则OC →·(OB →－OA →)＝(OA →＋AC →)·AB →＝OA →·AB→＋AC →·AB →＝2cos 3π4＋24×2＝－12.15． 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为____________．15.12由CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO →|的最小值为AB 边上的高．又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，即点A 到BC 边的距离为32，所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO →|的最小值为错误!. 6． 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |等于( )A ．1 B. 3 C. 5 D ．36．C 由已知得|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉．又|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.1． 已知向量a ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，b ＝1，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若A 为等腰三角形ABC 的一个底角，求f (A )的取值范围．1．解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝cos2x －π3－2sin π4＋x cos π4＋x ＝cos2x －π3－sin π2＋2x ＝cos2x －π3－cos 2x ＝cos 2x ·cos π3＋sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x＝sin2x －π6，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵A 为等腰三角形ABC 的一个底角， ∴0<A <π2，∴0<2A <π，∴－π6<2A －π6<5π6，∴－12<sin2A －π6≤1，即－12<f (A )≤1.。