向量数量积定义和运算律(学习资料)
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向量的数量积的运算律
A E C D B
作业：练习册P92全部
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的出来的糙汉子。”“本王也就除了长的一张祸国妖民的脸之外，其余都是堂堂的七尺男儿，你说我糙我也认了，就当你是在夸我 吧！”“你这个人怎么听不出好赖话呢，我这是在讥讽。”“我知道，但只要是你说的话，我都想听。”“你没喝糊涂吧?真是受不了 你，快点喝完了就回去吧，我可不负责当你们天香楼的解语花。”“呵呵，解语花，你行吗？”“你„„”纪雪芙生来第一次被人怼， 心中甚是闷闷不平，将面前酒杯里的酒一饮而尽，萧煜痕见她先喝了杯中酒，这才端起酒杯喝了下去。“怎么样，这酒不错吧？”“呜 哇，好辣。”第017章 浇愁酒更愁“你倒是慢点喝，没人跟你抢。”纪雪芙白了萧煜痕一眼，“谁说没人抢，你坐在这里跟我喝酒，难 道你不是人啊？”“这有什么好生气的，就说你们女人小家子气，还不信。我国舅府多得是这‘桃花醉’，想喝到时候我叫人送几坛给 你不就得了吗？”“此话当真？”“当真。”“那我还是不要了。”“为什么？”“我怕你下毒毒死我。”“毒死你对我有什么好 处？”“好处可多了，这样你就能觊觎我雪城的财富。”“喔？听你这么一说，这倒是个好主意，不然我现在下毒还来得及吗？”萧煜 痕接着纪雪芙的话茬说下去，不知道是酒精的作用还是纪雪芙真的气急了，脸上神色通红，可爱极了。“雪芙姑娘，我能问你个问题 吗？”“请说。”“对你来说，朋友和亲情哪个更重要？”“对我而言，亲情就像天上的太阳一样，每天都能见到，早就习惯了，虽然 有时还会埋怨太阳太热太毒，有耀斑，有焦灼，有烦热。但是没有了太阳会怎么样呢？一生就会像是从未见过太阳的树苗，不会长大， 也不会成长为参天大树，亲情是相辅相成的必然。而友情就像是火，一把烧完了就没有了。玩火的后果就是有可能自食其果。如果被友 情的火灼烧了，肯定会很疼，有很深刻的记忆，或许也是一辈子的伤痕。 ” “如果曾经照耀过你的太阳突然消失在人海里，你还会相 信这个世界依然光明吗？”“信，你不信吗？”“我本可以容忍黑暗，如果我不曾见过太阳。而然阳光已经使我荒凉，成为更新的荒 凉。”“每一个人都可以是太阳，也可以是把火，但是如果太阳不是常常照耀着我的那个太阳，不是我的守护者，可能我并不会很难过。 如果离开的人是曾经用火烧过我，可能我会刻有鲜明的记忆，既然什么都无法改变，为什么不顺其自然？”纪雪芙说完这句话，才发现 眼前的酒坛早就空空如也，萧煜痕的脸上鼻尖也微微泛红。但他如鹰钩般的眼睛像是一口枯井，又像是一把冰刃，直戳纪雪芙的心底， 盯着她久久不肯离去。“或许你说得对。”萧煜痕苦涩的挤出一个笑容，笑的很是勉强，或许他自己心里的痛苦也就只有他自己知道吧。 “雪芙姑
向量数量积的定义
向量数量积与角度的关系
对于任意两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$cos{langlevec{a}, vec{b}rangle} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$。
证明
向量数量积的坐标表示的证明
利用向量的坐标表示和点积的定义，通过代数运算 证明。
向量数量积与模的关系的证明
利用向量的模的定义和点积的性质，通过代数运算 证明。
向量数量积与角度的关系的证明
利用向量的点积的性质和三角函数的性质，通过代 数运算证明。
04
向量数量积的应用
在物理中的应用
描述速度和加速度
向量数量积可以用来描述物理中 的速度和加速度，通过计算速度 和加速度的向量数量积，可以得 出物体运动的方向和速度变化的 快慢。
02
向量数量积的计算
计算公式
定义
两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积定义为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
几何意义
向量长度和夹角
向量的数量积可以用来计算向量的长度和夹角，从而确定两个向量 的相似性和关系。
向量投影
在数学中，向量的投影是一个重要的概念，可以通过向量的数量积 来计算，从而确定一个向量在另一个向量上的投影。
在其他领域的应用
计算机图形学
在计算机图形学中，向量的数量积可以用来描述二维图形和三维模型的方向和旋转，从而实现图形的旋转、缩 放和平移等变换。
定理
向量数量积的坐标表示
对于任意两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$cos{langlevec{a}, vec{b}rangle} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$。
证明
向量数量积的坐标表示的证明
利用向量的坐标表示和点积的定义，通过代数运算 证明。
向量数量积与模的关系的证明
利用向量的模的定义和点积的性质，通过代数运算 证明。
向量数量积与角度的关系的证明
利用向量的点积的性质和三角函数的性质，通过代 数运算证明。
04
向量数量积的应用
在物理中的应用
描述速度和加速度
向量数量积可以用来描述物理中 的速度和加速度，通过计算速度 和加速度的向量数量积，可以得 出物体运动的方向和速度变化的 快慢。
02
向量数量积的计算
计算公式
定义
两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积定义为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
几何意义
向量长度和夹角
向量的数量积可以用来计算向量的长度和夹角，从而确定两个向量 的相似性和关系。
向量投影
在数学中，向量的投影是一个重要的概念，可以通过向量的数量积 来计算，从而确定一个向量在另一个向量上的投影。
在其他领域的应用
计算机图形学
在计算机图形学中，向量的数量积可以用来描述二维图形和三维模型的方向和旋转，从而实现图形的旋转、缩 放和平移等变换。
定理
向量数量积的坐标表示
向量的数量积
向量长度
数量积可以用于计算向量的长度或模长，即$|vec{A}| = sqrt{vec{A} cdot vec{A}}$。
向量投影
数量积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度，即 $text{Proj}_{vec{B}} (vec{A}) = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{B}|}$。
定义
向量可以用箭头表示，箭 头的长度代表模长，箭头 的指向代表方向。
表示方法
在平面上，向量可以用有 方向的线段表示；在空间 中，向量可以用有方向的 箭头表示。
注意事项
向量表示法直观易懂，但 无法直接计算数量积，需 要转换为代数法或几何法 进行计算。
03
CHAPTER
向量数量积的坐标表示
坐标表示
定义
积和向量的模。
05
CHAPTER
向量数量积的物理意义
力的合成与分解
力的合成
向量数量积可以用于表示力的合成效果，当两个力同时作用于一个物体时，其效果可以由这两个力的 向量数量积来描述。
力的分解
在物理中，一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力的大小和方向可以通过向量数量积来计算。
动量与冲量
动量
物体的动量定义为质量与速度的向量数 量积，即质量乘以速度的大小和方向。
THANKS
谢谢
标量积
数量积的结果是一个标量，而不是向量。
无方向性
数量积不具有方向性，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
性质
交换律
数量积满足交换律，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
分配律
数量积可以用于计算向量的长度或模长，即$|vec{A}| = sqrt{vec{A} cdot vec{A}}$。
向量投影
数量积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度，即 $text{Proj}_{vec{B}} (vec{A}) = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{B}|}$。
定义
向量可以用箭头表示，箭 头的长度代表模长，箭头 的指向代表方向。
表示方法
在平面上，向量可以用有 方向的线段表示；在空间 中，向量可以用有方向的 箭头表示。
注意事项
向量表示法直观易懂，但 无法直接计算数量积，需 要转换为代数法或几何法 进行计算。
03
CHAPTER
向量数量积的坐标表示
坐标表示
定义
积和向量的模。
05
CHAPTER
向量数量积的物理意义
力的合成与分解
力的合成
向量数量积可以用于表示力的合成效果，当两个力同时作用于一个物体时，其效果可以由这两个力的 向量数量积来描述。
力的分解
在物理中，一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力的大小和方向可以通过向量数量积来计算。
动量与冲量
动量
物体的动量定义为质量与速度的向量数 量积，即质量乘以速度的大小和方向。
THANKS
谢谢
标量积
数量积的结果是一个标量，而不是向量。
无方向性
数量积不具有方向性，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
性质
交换律
数量积满足交换律，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
分配律
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.向量的数量积定义：对于两个向量u和v，它们的数量积表示为u·v，即：u·v = ，u，，v，cosθ其中，u，和，v，分别表示向量u和v的长度（或模），θ表示向量u和v之间的夹角。
2.向量的数量积性质：(a)u·v=v·u（交换律，数量积满足交换律）(b)u·u=，u，^2（自身与自身的数量积等于向量的长度的平方）(c) (ku)·v = k(u·v)（数量积与标量的乘积等于标量与数量积的乘积）(d)(u+v)·w=u·w+v·w（数量积的分配律）3.向量的数量积的计算公式：(a)对于二维向量u=(u₁,u₂)和v=(v₁,v₂)：u·v=u₁v₁+u₂v₂(b)对于三维向量u=(u₁,u₂,u₃)和v=(v₁,v₂,v₃)：u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃4.向量的数量积的几何解释：(a)两个向量u和v之间的数量积u·v等于向量u在向量v方向上的投影长度乘以向量v的长度。
(b)如果u和v之间的夹角θ等于0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果u和v之间的夹角θ等于90度，则u·v=0（数量积的最小值）5.向量的数量积与向量的垂直性：(a)如果u·v=0，则向量u和v垂直（正交）。
(b)如果u·v≠0，则向量u和v不垂直。
6.向量的数量积与向量的夹角的关系：(a) u·v = ，u，，v，cosθ(b)如果θ=0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果θ=90度，则u·v=0（数量积的最小值）这些公式是向量的数量积运算的基本公式和性质，可用于求解向量的数量积问题，以及在几何和物理等领域中的应用。
向量的数量积定义与性质
向量的数量积定义与性质向量是线性代数中的重要概念之一，用于描述方向和大小。
在向量运算中，数量积是一种常见的运算，也被称为点积或内积。
数量积不仅有其定义，还具有一系列重要的性质和应用。
一、数量积的定义给定两个n维向量A = [a1, a2, ..., an]和B = [b1, b2, ..., bn]，它们的数量积（点积）记作A·B，表示为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn二、数量积的性质1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k是一个标量三、数量积的几何意义数量积在几何中有重要的几何意义。
对于两个向量A和B，它们的数量积A·B等于向量A在向量B方向上的投影乘以向量B的模长，即：A·B = |A||B|cosθ其中θ为向量A与向量B之间的夹角。
四、数量积的应用1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。
2. 计算向量的模长：向量A的模长|A|可以由数量积求解，即|A| = √(A·A)。
3. 判断两个向量的夹角：通过数量积的几何意义，可以利用数量积求解夹角的余弦值，再通过反余弦函数得到夹角的度数。
4. 判断线性相关性：如果两个向量的数量积为0，它们是线性无关的；反之，它们是线性相关的。
5. 计算向量的投影：根据数量积的几何意义，可以利用向量的投影公式求解向量在另一向量上的投影。
五、例题演示假设向量A = [3, -1, 2]，向量B = [2, 4, 1]。
我们来计算A·B并应用数量积进行判断：A·B = 3*2 + (-1)*4 + 2*1 = 6 - 4 + 2 = 4根据数量积的性质和应用：1. 由于A·B不为0，所以向量A和向量B不是垂直的。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，也是向量运算中的一种常用运算。
它可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质以及应用。
一、定义在二维空间或三维空间中，我们可以用向量来表示有方向和大小的量。
设有两个向量A和B，向量A的坐标表示为（A1，A2，A3），向量B的坐标表示为（B1，B2，B3），则向量A和向量B的数量积定义为：A·B=|A||B|cosθ，其中|A|表示向量A的长度，|B|表示向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
二、性质1. 交换律：A·B=B·A2. 结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k为实数3. 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C三、计算方法1. 若向量A和向量B的坐标分别为（A1，A2，A3）和（B1，B2，B3），则A·B=A1B1+A2B2+A3B3。
2. 若向量A和向量B的坐标形式为A=a1i+a2j+a3k和B=b1i+b2j+b3k，其中i，j，k分别是坐标轴上的单位向量，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
四、应用1. 判断向量是否垂直：如果向量A·B的结果为0，则向量A和向量B垂直；如果向量A·B的结果大于0，则向量A和向量B之间的夹角为锐角；如果向量A·B的结果小于0，则向量A和向量B之间的夹角为钝角。
2. 计算向量的模长：|A|=√(A·A)3. 计算向量的夹角：cosθ=(A·B)/(|A||B|)4. 计算向量的投影：向量A在向量B上的投影记作projBA=(A·B)/|B|总结：本文详细介绍了向量的数量积的定义、性质和应用。
向量的数量积是一种常用的向量运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
《向量的数量积》 讲义
《向量的数量积》讲义一、向量的基本概念在我们开始探讨向量的数量积之前，先来了解一下什么是向量。
向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示。
比如，一个力就是一个向量，它不仅有大小（力的强度），还有方向（力的作用方向）。
在数学中，我们通常用字母来表示向量，比如向量 a 、向量 b 。
向量的大小称为向量的模，记作｜a| 、｜b| 。
二、向量数量积的定义向量的数量积，也称为点积，是向量运算中的一个重要概念。
对于两个非零向量 a 和 b ，它们的数量积定义为： a·b ＝｜a|×｜b|×cosθ ，其中θ 是 a 和 b 的夹角。
需要注意的是，数量积的结果是一个标量（也就是一个数值），而不是向量。
如果两个向量中有一个是零向量，那么它们的数量积为 0 。
三、数量积的几何意义从几何角度来看，向量 a·b 等于向量 a 的模与向量 b 在向量 a 方向上的投影的乘积。
假设向量 b 在向量 a 方向上的投影为｜b|cosθ ，那么 a·b ＝｜a|×（｜b|cosθ) 。
这一几何意义有助于我们更好地理解和计算数量积。
四、数量积的性质1、交换律： a·b ＝ b·a这意味着两个向量的数量积与它们的顺序无关。
2、分配律： a·（b ＋ c) ＝ a·b ＋ a·c即一个向量与两个向量之和的数量积，等于这个向量分别与这两个向量的数量积之和。
3、若 a 与 b 垂直，则 a·b ＝ 0 ；反之，若 a·b ＝ 0 ，则 a 与 b 垂直。
五、数量积的坐标运算在平面直角坐标系中，如果向量 a ＝（x₁, y₁) ，向量 b ＝（x₂,y₂) ，那么它们的数量积可以通过坐标来计算：a·b ＝ x₁×x₂＋ y₁×y₂这一公式为我们在具体计算数量积时提供了很大的便利。
空间向量数量积
A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面 内旳垂线、斜线， AO是PA在平面 内旳射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线， 如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能 不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2
数量积与向量积知识点梳理
数量积与向量积知识点梳理数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将对数量积和向量积的定义、性质和应用进行梳理。
一、数量积1. 数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
设有两个向量A和B，它们的数量积用点号表示为A·B或AB。
2. 数量积的计算公式数量积的计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A与B之间的夹角。
3. 数量积的性质数量积具有以下性质： - 交换律：A·B = B·A - 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C - 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数 - 零向量的数量积为0：0·A = 04. 数量积的几何意义数量积的几何意义是向量A在向量B方向上的投影与向量B的模长的乘积。
具体而言，如果A与B之间的夹角为锐角，数量积为正；如果夹角为钝角，数量积为负；如果夹角为直角，数量积为零。
5. 数量积的应用数量积在物理学和几何学中有广泛的应用，如： - 计算力的功和功率：功等于力和位移的数量积，功率等于功和时间的数量积。
- 判断向量的正交性：若两个向量的数量积为零，则它们互相垂直。
- 计算夹角的余弦值：夹角的余弦等于两个向量的数量积除以它们的模长的乘积。
二、向量积1. 向量积的定义向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
设有两个向量A和B，它们的向量积用叉号表示为A×B。
2. 向量积的计算公式向量积的计算公式为：|A×B| = |A| |B| sinθ，其中|A×B|表示向量积的模长，θ表示A与B之间的夹角。
3. 向量积的性质向量积具有以下性质： - 反交换律：A×B = -B×A - 分配律：A×(B + C) = A×B +A×C - 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k为常数 - 零向量的向量积为零：0×A = 04. 向量积的几何意义向量积的几何意义是一个与向量A和B都垂直的向量，它的模长等于A、B构成的平行四边形的面积，方向由右手法则确定。
向量积 数量积
向量积数量积向量积，也称为数量积或点积，是线性代数中的一个重要概念。
它是两个向量的乘积，得到的结果是一个标量。
本文将深入探讨向量积的定义、性质和应用。
一、向量积的定义向量积是两个向量的乘积，表示为A·B，读作A点乘B。
对于二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2。
对于三维向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。
二、向量积的性质1. 向量积满足交换律：A·B = B·A。
这意味着两个向量的顺序对结果没有影响。
2. 向量积不满足结合律：(A·B)·C ≠ A·(B·C)。
这意味着向量积不具备结合性质。
3. 向量积与向量的夹角：A·B = |A||B|cosθ，其中θ是A和B 之间的夹角。
4. 向量积与正交性：如果两个向量的向量积为0，即A·B = 0，那么它们是正交的，也就是说它们的夹角为90度。
三、向量积的应用1. 计算力矩：在物理学中，力矩是指力对物体产生旋转的效果。
对于一个力F作用在位置矢量r上，其力矩M定义为M = r × F，其中×表示向量积。
通过向量积可以方便地计算力矩的大小和方向。
2. 判断向量的方向：通过向量积可以判断两个向量的相对方向。
如果A·B > 0，那么A和B的夹角小于90度；如果A·B < 0，那么A和B的夹角大于90度；如果A·B = 0，那么A和B是正交的。
3. 计算平面的法向量：对于一个平面上的两个非零向量A和B，它们的向量积A·B可以得到平面的法向量。
法向量垂直于平面，可以用来描述平面的性质和方程。
4. 计算三角形的面积：对于三角形的两条边A和B，它们的向量积的大小的一半可以表示三角形的面积。
《两个向量的数量积》 知识清单
《两个向量的数量积》知识清单一、向量数量积的定义如果两个非零向量a和b，它们的夹角为θ（0≤θ≤π），那么数量|a|·｜b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b ＝｜a|·｜b|cosθ。
规定：零向量与任一向量的数量积为 0。
需要注意的是，数量积是一个数量，而不是向量。
二、向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或者等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积。
如果设向量a，b的起点均为 O，终点分别为 A，B，则a·b ＝｜OA|·｜OB|cos∠AOB。
三、向量数量积的性质1、如果e是单位向量，则a·e ＝ e·a ＝｜a|cosθ （其中θ为a与e 的夹角）。
2、当a，b同向时，a·b ＝｜a|·｜b|；当a，b反向时，a·b ＝｜a|·｜b|。
特别地，a·a ＝｜a|²。
3、若a⊥b，则a·b ＝ 0 ；反之，若a·b ＝ 0，则a⊥b。
4、对于任意向量a，b，都有|a·b| ≤ ｜a|·｜b|，当且仅当a∥b时，等号成立。
四、向量数量积的运算律1、交换律：a·b ＝ b·a2、分配律：（a ＋ b)·c ＝ a·c ＋ b·c3、数乘结合律：（λa)·b ＝λ(a·b) ＝ a·（λb) （其中λ为实数）五、向量数量积的坐标运算设a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则1、 a·b ＝ x₁x₂＋ y₁y₂2、｜a| ＝√（x₁²＋ y₁²)3、若a⊥b，则 x₁x₂＋ y₁y₂＝ 04、向量的夹角公式：cosθ ＝（a·b）／（｜a|·｜b|）＝（x₁x₂＋ y₁y₂）／（√（x₁²＋ y₁²)·√（x₂²＋ y₂²)）六、向量数量积在几何中的应用1、求长度已知向量a，则|a| ＝√（a·a）2、求角度设两个非零向量a，b的夹角为θ，则cosθ ＝（a·b）／（｜a|·｜b|）3、证明垂直若a·b ＝ 0，则a⊥b4、求距离例如，求点到直线的距离，可以通过向量的数量积来求解。
向量的数量积、向量积、混合积
混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。
向量的数量积运算律
03
向量数量积在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据向量加法的平行四边形法则，两个力可以合成一个合力。合力的方向和大小可以通过向量的加法 运算得出。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，分力的方向和大小可以通过向量的减法运算和数乘运算得出。
速度和加速度的研究
速度
速度是一个向量，表示物体在单位时间内移动的距离和方向。速度的大小表示物体运动的快慢，方向表示物体 运动的方向。
02
向量数量积的运算律
交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，则有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$，无论$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的顺序如何。
结合律
总结词
向量数量积的结合律是指三个向量的数量积的结合顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$，则有$(mathbf{a} cdot mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot (mathbf{b} cdot mathbf{c})$，无论$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的组合顺序 如何。
通过代数式展开，可以将复杂的 向量运算转化为简单的标量运算， 提高计算效率。
坐标系法
01
坐标系法是一种常用的向量运 算技巧，通过在坐标系中表示 向量，可以将向量运算转化为 坐标运算。
02
在二维坐标系中，任意向量 $vec{A}$可以表示为$(x, y)$， 在三维坐标系中可以表示为$(x, y, z)$。
高中数学向量的数量积与向量积
高中数学向量的数量积与向量积高中数学中，向量是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也称为内积或点积，是两个向量的一种运算，通常用点号（·）表示。
设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积的计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
从计算公式可以看出，数量积的结果是一个标量（即一个实数），而不是一个向量。
数量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a·b = b·a，即交换律成立。
2. 对于任意向量a，有a·a = |a|^2，即自身与自身的数量积等于向量的模的平方。
3. 若两个向量的数量积为0，即a·b = 0，则称这两个向量垂直或正交。
4. 若两个非零向量的数量积为正数，则它们的夹角为锐角；若数量积为负数，则夹角为钝角。
数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以利用数量积来判断两个向量是否垂直；在物理学中，可以利用数量积计算功、力等物理量。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的一种运算，通常用叉号（×）表示。
设有两个向量a和b，它们的向量积表示为a×b。
向量积的计算公式为：a×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角，n为一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a×b = -b×a，即对换律成立。
2. 对于任意向量a，有a×a = 0，即自身与自身的向量积等于零向量。
3. 向量积不满足交换律，即a×b ≠ b×a。
向量数量积的运算
计算向量的长度
已知一个向量的数量积和另一 个向量的模长，可以计算出该 向量的长度。公式为：|a| = (a·b) / |b|。
判断向量是否共线
计算向量的投影
如果两个向量共线，则它们的 夹角为0度或180度，此时它们 的数量积分别为正无穷大和负 无穷大。因此，通过计算两向 量的数量积，可以判断它们是 否共线。
表示两个向量的夹角或方向关 系
$vec{a} cdot frac{vec{b}}{|vec{b}|}$ 表示向 量 $vec{a}$ 在向量 $vec{b}$ 上的投影长度
$cos < vec{a}, vec{b} > = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$，表 示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的夹角的余弦值
分配律表明向量数量积满足线性性质， 可以将向量的加法与数量积分开进行。
结合律
结合律是指向量数量积满足结合律， 即对于任意三个向量$vec{a}$、 $vec{b}$和$vec{c}$，有$(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$。
该性质表明，向量的加法与数量积运算的结合顺序可以任意交换。
数乘结合律
向量数量积满足数乘结合律，即对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$(kvec{a}) cdot vec{b} = k(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (kvec{b})$。
该性质表明，数乘与数量积运算的结合顺序可以任意交换。
计算步骤
首先确定两个向量的坐标，然后直接使用代数法进行计算。
向量模长与夹角法
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4|a|2－4a·b－3|b|2＝64－4a·b－27＝61.
所以a·b＝－6，所以cosθ＝ ＝ ＝－ ，
因为0≤θ≤π，所以θ＝ ，所以a与b的夹角θ为 .
11．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，求|2a－b|.
(2)已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求a与a＋b的夹角．
即2＝25－ · － ×64，解得 · ＝22.
借助 · 表示出 · 是解决本题的关键所在．
答案：22
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a·b的值及a与b的夹角θ.
解：由(2a－3b)(2a＋b)＝61，得
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝ ＝ .
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
课时作业
向量数量积的运算律
时间：
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝()
A．－3 B．－6
C．6 D．12
解析：∵a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×(－ )＝－6 .
答案：B
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：本题考查向量的夹角公式．
由(2a＋b)·b＝0得2a·b＋b2＝0，从而a·b＝－ ，
所以cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，〈a，b〉＝120°.
答案：C
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于()
A．1B．2
＝ ＝－ .
∴ ＝ .∴ ＝ .
答案：
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5， ＝3 ， · ＝2，则 · 的值是________．
解析：本题考查向量的线性运算及向量的数量积．
由题意， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ，
所以 · ＝( ＋ )·( － )＝ 2－ · － 2，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为 ＝ ＝ .
∴ · ＝( ＋ )·( － )
＝－ | |2＋| |2＝－ ×22＋22＝2.
答案：2
8．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则 ＝________.
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝ ，|a－2b|＝ .
∴cos120°＝ ＝
C．4D．5
解析：|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5.
答案：D
4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()
A．4B．3
C．2D．0
解析：∵a⊥c，∴a·c＝0.∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0.
∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
答案：D
5．如图，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是()
解：(1)∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2 .
(2)∵|a|＝|a－b|，
∴|a|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
又|a|＝|b|，∴a·b＝ |a|2，
又|a＋b|＝ ＝ ＝ |a|，
设a与a＋b的夹角为θ，
则cosθ＝ ＝ ＝ ＝ ，
又θ∈[0，π]，∴θ＝ ，即a与a＋b的夹角为 .
又∵a⊥b，且|a|≠|b|，
∴f(x)＝(|b|2－|a|2)x(|b|2－|a|2≠0)
故f(x)为一次函数且为奇函数，选A.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · ＝________.· ＝0，而 ＝ ＋ ， ＝ － ，
答案：D
6．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
解析：本题考查了向量的数量积运算及一、二次函数及其奇偶性的判断．
∵f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b
A. ∥
B．( ＋ )⊥( ＋ )
C．( － )·( － )＝0
D. · ＝ ·
解析：A显然正确；
B： ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，∵菱形对角线互相垂直，
∴ ⊥ .∴B正确．
C： － ＝ ， － ＝ ，同B一样，正确．
D： · ＝| || |cos∠BAD， · ＝| || |cos(π－∠BAD)＝－| || |cos∠BAD.
所以a·b＝－6，所以cosθ＝ ＝ ＝－ ，
因为0≤θ≤π，所以θ＝ ，所以a与b的夹角θ为 .
11．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，求|2a－b|.
(2)已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求a与a＋b的夹角．
即2＝25－ · － ×64，解得 · ＝22.
借助 · 表示出 · 是解决本题的关键所在．
答案：22
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a·b的值及a与b的夹角θ.
解：由(2a－3b)(2a＋b)＝61，得
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝ ＝ .
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
课时作业
向量数量积的运算律
时间：
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝()
A．－3 B．－6
C．6 D．12
解析：∵a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×(－ )＝－6 .
答案：B
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：本题考查向量的夹角公式．
由(2a＋b)·b＝0得2a·b＋b2＝0，从而a·b＝－ ，
所以cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，〈a，b〉＝120°.
答案：C
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于()
A．1B．2
＝ ＝－ .
∴ ＝ .∴ ＝ .
答案：
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5， ＝3 ， · ＝2，则 · 的值是________．
解析：本题考查向量的线性运算及向量的数量积．
由题意， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ，
所以 · ＝( ＋ )·( － )＝ 2－ · － 2，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为 ＝ ＝ .
∴ · ＝( ＋ )·( － )
＝－ | |2＋| |2＝－ ×22＋22＝2.
答案：2
8．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则 ＝________.
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝ ，|a－2b|＝ .
∴cos120°＝ ＝
C．4D．5
解析：|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5.
答案：D
4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()
A．4B．3
C．2D．0
解析：∵a⊥c，∴a·c＝0.∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0.
∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
答案：D
5．如图，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是()
解：(1)∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2 .
(2)∵|a|＝|a－b|，
∴|a|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
又|a|＝|b|，∴a·b＝ |a|2，
又|a＋b|＝ ＝ ＝ |a|，
设a与a＋b的夹角为θ，
则cosθ＝ ＝ ＝ ＝ ，
又θ∈[0，π]，∴θ＝ ，即a与a＋b的夹角为 .
又∵a⊥b，且|a|≠|b|，
∴f(x)＝(|b|2－|a|2)x(|b|2－|a|2≠0)
故f(x)为一次函数且为奇函数，选A.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · ＝________.· ＝0，而 ＝ ＋ ， ＝ － ，
答案：D
6．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
解析：本题考查了向量的数量积运算及一、二次函数及其奇偶性的判断．
∵f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b
A. ∥
B．( ＋ )⊥( ＋ )
C．( － )·( － )＝0
D. · ＝ ·
解析：A显然正确；
B： ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，∵菱形对角线互相垂直，
∴ ⊥ .∴B正确．
C： － ＝ ， － ＝ ，同B一样，正确．
D： · ＝| || |cos∠BAD， · ＝| || |cos(π－∠BAD)＝－| || |cos∠BAD.