【精品】五年级下册数学试题-竞赛专题：第3讲-质数和合数(含答案)全国通用

知识概述质数：1个大于1的数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数，显然，在自然数范围内，最小的质数是2，2也是唯一的偶质数。

最小的合数是4。

要判断a是否为质数，如果自然数n n a⨯≤，1)(1)n n a+⨯+>（，那么我们只要从最小的质数2开始试除a，直到不大于n的最大质数，如果都不能整除a，那么a 为质数。

我们可以按照一个数约数的个数，把自然数分成三类：0和1，质数和合数，因此，0和1外的自然数，不是质数就是合数。

求一个数N所有的约数的个数：用分解质因数形式表示为312123npp p pnN a a a a=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯（123na a a aL、、、、为合数N的质因数）。

所求的约数的个数123(1)(1)(1)(1)nA p p p p=+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯+。

例如33504237=⨯⨯，那么它有约数(31)(21)(11)24+⨯+⨯+=（个）。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，例如，12=2×2×3，分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

同学们必须熟练掌握100以内及其他常用合数的分解质因数。

常用的小于100的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97质数和合数自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的两位自然数有________个。

【解析】个位数只可能是3、7，十位数可能是2、3、5、7，这样的自然数有4个，23、37、53、73。

一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数。

【解析】依题意知，构成这个两位质数的数字只能为奇数，经检验，如下质数满足题意：11、13、17、31、37、71、73、79、97。

两个质数的和是2001，那么这两个质数的乘积是多少？【解析】只有一个奇数和一个偶数的和才为奇数，所以其中必然有一个偶数，即唯一的偶质数2，所以这两个质数的乘积为2×1999=3998。

请把下面的数分解质因数（1）420=________________________ （2）550=________________________【解析】（1）420=2×2×3×5×7 （2）550=2×5×5×11【巩固拓展】1.（全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图，有三张卡片，在它们上面各写有一个数字，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。

请将其中的质数都写出来。

例3例4例2例1质数与合数的概念是数论知识的基础，在历年杯赛中质数与合数的性质以及利用分解质因数的方法解决相关的整数问题一直也是数论方面考核的热点，所以掌握好质数和合数方面有关的性质和结论对竞赛很有帮助。

名师点题321【解析】因为这三张卡片上的数字分别为1、2、3。

这三个数字的和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，因此不可能是质数。

再看两张卡片的情形。

因为1+2=3，根据同样的道理，用1、2组成的两位数也能被3整除，因此也不是质数，这样剩下要讨论的两位数只有13、31、23、32这四个了，其中13、31和23都是质数，而32不是质数。

最后，一位数有2和3是质数。

综上所述，满足要求的质数共有五个：2、3、13、23、31。

2.万尼亚想了一个三位的质数，各位数字都不相同。

如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】因为是质数，所以个位数不可能为偶数，也不可能为5。

如果末位数字是3或者9，那么这个数的各位数字之和将是3或者9的倍数，将不是质数，所以末位数字只能是7。

可以是167、257、347、527或617中间的任意一个。

（437、707是合数）3.有三个不同的质数，它们的和是40，这三个质数是多少？【解析】和为40，所以这三个质数应该是两个奇数，一个偶数，即其中一个质数为2，38=7+31，所以这三个质数分别为2、7、31。

4.（2004年走美杯试题）分解质因数20034=_________________________。

【解析】短除法分解质因数：20034=2×3×3×3×7×53。

若p和q为素数，且5p+3q= 101，则p= ________，q=_________。

【解析】因101为奇数，则p，q不可能都为奇数，其中有且只有一个是偶数，而2是唯一的偶素数，若p=2，则q不是整数，与q为素数矛盾，故q=2，p= 19。

【巩固拓展】七个连续质数，从大到小排列为a、b、c、d、e、f、g。

已知它们的和是偶数，那么c=_________。

【解析】容易发现g=2，则根据七个数是连续质数，不难得到c=11。

例1将60拆成10个质数之和，要使最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？【解析】最大的质数一定大于5，否则这10个质数之和将小于60。

要想最大的质数尽可能小，从7开始尝试，607847822=⨯+=⨯++，所以最大的质数是7。

【巩固拓展】将50拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是多少？【解析】要想这个最大的质数尽可能大，那么另外9个质数应该尽可能小，50-2×9=32，而31是质数，所以50=2×8+3+31，即最大的质数是31。

314被一个两位数除，余数是41。

这个两位数是多少？【解析】所求两位数是314-41=273的约数，而273=3×7×13，这个两位数应该大于41，所以这个两位数是91。

【巩固拓展】641除以一个两位数，余数是46。

这个两位数是多少？【解析】所求两位数是641-46=595的约数，而595=5×7×17，而这个两位数应该大于46，所以只有5×17=85满足条件。

已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10。

那么这些自然数共有多少个？【解析】所求自然数必然为2008-10=1998的约数，且大于10。

而319982337=⨯⨯，由乘法原理知1998的约数共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16（个），而不超过10的约数只有1、2、3、6、9，所以满足题意的自然数共有16-5=11（个）。

【巩固拓展】李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分4个小组，总共种树667棵。

如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生多少人？【解析】667=23×29。

师生每人种的棵数只能是667的约数：1、23、29、667。

显然每人667种棵不可能。

若每人种29棵树，全班人数应该是23-1=22，不是4的倍数。

若每人种23棵树，全班人数应该是29-1=28，是4的倍数。

例2例4例3若每人种1棵树，全班人数应该是667-1=666，不是4的倍数。

所以全班共有28名学生。

小张在做两位数的乘法时，把其中一个数的末位7错看成了9，结果得到2009，那么正确的结果应该是__________。

【解析】逆推回来把2009分解质因数：2009=7×7×41=49×41，所以原来的两位数乘法为47×41=1927。

所以正确的结果应该是1927。

【巩固拓展】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一个乘数中的数字5看成8，由此乘积为1872，那么原来的乘积应是__________。

【解析】4218722313=⨯⨯，1872的两位数的约数中只有48和78出现数码8，由394824781872⨯=⨯=，推出原来的乘积应是39×45=1755或者24×75=1800。

有10张标有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29的纸牌从中抽出一张，记住其数字后放回去重洗，再抽出一张记住其数字后又放回重洗……如此进行四次，记住的四个数的积为P，那么136、198、455、1925、2001五个数中不能等于P的是_________和__________。

【解析】13622217=⨯⨯⨯、19823311=⨯⨯⨯、192555711=⨯⨯⨯，上面3个数都可分解为4个质因数的乘积，并且质因数都在10张纸牌中。

4555713=⨯⨯、200132329=⨯⨯，这两个数只能分解为3个质因数的乘积，所以不可能是四个数的积P。

分别很久的两位老朋友相遇，其中一个说：他有三个孩子，他们的年龄的积是36，而他们的年龄和是相遇地点所在房子的窗户数；第二人说，他不能确定这几个孩子的年龄；于是第一人补充说他的第二、第三个孩子是双胞胎；第二人立刻说出了孩子的年龄，试问这三个孩子的年龄各是多少？【解析】先把36分解质因数，36=2×2×3×3。

36写成三个因数的积有下面8种分解式：36113612181312149166229236334=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯。

这8个式子各个因数之和分别是38、21、16、14、13、13、11、10，其实房子窗户数第二人是知道的，这意味着知道年龄和，但第二人不能确定孩子们的年龄，可见至少有两组年龄和是一样的，它们是2、2、9和1、6、6，年龄和与窗户数是13。

在以上两组中1、6、6可以排除，因为两个例5例2例1年龄小的孩子是双胞胎，剩下的是2、2、9，所以三个孩子的年龄分别是9岁、2岁、2岁。

将下列8个数平均分成两组，使这两组的乘积相等。

1.4，3.3，3.5，3，7.5，3.9，14.3，16.9【解析】先将这些数各扩大10倍，使得这些数都成为整数。

再将这些数分别进行分解质因数。

这样：14= 2×7；33= 3×11；35= 5×7；30= 2×3×5；75= 3×5×5；39 = 3×13；143= 11×13；169= 13×13；通过分解质因数，其中质因数2，7，11各有2个，质因数3，5，13各有4个。

这样所分的四个数中应有质因数3，5，13各2个，质因数2，7，11各1个。

75×14×143×39= 35×30×169×33；即为7.5×1.4×14.3×3.9= 3.5×3×16.9×3.3，或者3.5×3×14.3×3.9= 7.5×1.4×16.9×3.3这两组解。