211二重积分概念

二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。

本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。

一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。

其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。

将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。

当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。

二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。

根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。

可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。

步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。

根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。

根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。

2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。

根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。

步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。

第二十一章 二重积分§1 二重积分概念教学目的与要求：1.掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的可积条件.2.了解有界闭区域上的连续函数的可积性.3.了解平面点集可求面积的充要条件.教学重点：二重积分的定义和性质.教学难点：二元函数可积条件.教学过程一、平面图形的面积（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念直线网T 分割平面图形P ，T 的网眼中小闭矩形i ∆的分类：（ⅰ）i ∆含的全是P 的内点,（ⅱ）i ∆含的全是P 的外点（不含P 的点）,（ⅲ）i ∆内含有P 的边界点,记()T s P 为T 的第ⅰ类i ∆的面积的和．记()T S P 为T 的第ⅰ和第三类i ∆的面积的和．记P I =(){}T s P T sup ，称为P 的内面积． 记P I =(){}T S P T inf ，称为P 的外面积．定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P I =P I =P I 为P 的面积（约当，黎曼测度）定理21.1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，总存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P . （2）证明 [必要性]设平面有界图形P 的面积为P I ．由定义1，有P I =P I =P I ．对任给的ε，由P I 及P I 的定义知道，分别存在直线网1T 与2T ，使得记T 为由1T 与2T 这两个直线网合并的直线网，可证得()()T s T s P P ≤1，()()T S T S P P ≥2， (3)于是由（3）可得从而得到对直线网T 有 ()()ε<-T s T S P P ，[充分性]对任给的0>ε，存在直线网T ，使得（2）式成立．但所以 ()()ε<-≤-T s T S I I P P P P ，由ε的任意性，因此P I =P I ，因而平面图形P 可求面积．推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0=P I ，即对任给的0>ε，存在直线网T ，使得，或对任给的0>ε，平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖． 定理21.2 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为零．证明 由定理21．1，P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P ．由于所以也有()ε<T S K ．由上述推论，P 的边界K 的面积为零．定理21.3 若曲线K 为由定义在[]b a ,上的连续函数()x f 的图象，则曲线K 的面积为零证明 由于()x f 在闭区间[]b a ,上连续函数，从而一致连续．因而对任给的0>ε，总存在0>δ，当把区间[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-()n i ,,1 =并且满足{}n i x x x i i i ,,1max 1 =-=∆-δ<时，可使在每个小区间[]i i x x ,1-上的振幅都成立a b i -<εω．现把曲线K 按自变量n x x x x ,,,10 =分成n 个小段，这时每一个小段都能被以i x ∆为宽，i ω为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为 所以由定理21．1的推论即得曲线K 的面积为零．还可证明得到：由参量方程()()()βαψϕ≤≤==t t Y t x ,所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零．二、 二重积分的定义及其存在性背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域：,,,,21n σσσ∆∆∆ 以i σ∆表示i σ∆的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i d 表示i σ的直径，称{}i n i d T ≤≤=1max 为分割T 的细度，在每一个i σ上任取一点（i i ηξ,），作和式： ∑=∆n i i i i f 1),(σηξ，称之为函数在上属于分割的一个积分和． 定义2 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度δ<T 时，属于T 的所有积分和都有则称()y x f ,在D 上可积，数J 称为函数()y x f ,在D 上的二重积分，记作其中()y x f ,称为二重积分的被积函数，y x ,称为积分变量，D 称为积分区域．几何意义：当()y x f ,0≥时，二重积分()⎰⎰D d y x f σ,在几何上表示以=z ()y x f ,为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D ，则面积元素为dxdy d =σ直角坐标系下可表示为： ()⎰⎰D d y x f σ,=()⎰⎰D dxdy y x f ,.可积的必要条件：()y x f ,在可求面积的区域D 上有界函数()y x f ,在可求面积的区域D 上有界时，T 是D 的一个分割，把D 分成个可求面积的小区域n σσ,,1 ，令()y x f , 关于分割T 的上和与下和：定理21.4 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：定理21.5 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得()()ε<-T s T S ．定理21.6 有界闭区域D 上的连续函数必可积．定理21.7 设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数．若()y x f ,的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则()y x f ,在D 上可积.证明 不失一般性，可设()y x f ,的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上．记L 的长度为l ，于是对任给的ε>0，把L 等分成1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εl n 段： 在每段i L 上取—点i P ，使段与其一端点的弧长为n l2，以i P 为中心作边长为ε的正方形i ∆，则i L ⊂i ∆，从而有n i i L 1=∆⊂记 n i i 1=∆⊂∆，则∆为一多边形．设∆的面积为W ，那么 现在把区域D 分成两部分．第一部分∆= D D 1．第二部分121D D D -=．由于()y x f ,在2D 上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在2D 的分割2T ，使得()()ε<-22T s T S ．又记()()y x f M y x ,sup ,∆∈∆=，()()y x f m y x ,inf ,∆∈∆=，以T 表示由2T 与多边形∆的边界所组成的区域D 的分割，则有其中ω是()y x f ,在D 上的振幅．由于()y x f ,在D 上有界，故ω是有限值．于是由定理21，5就证明了()y x f ,在上可积.三、二重积分的性质二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：1. 若()y x f ,在区域D 上可积，k 为常数，则k ()y x f ,在D 上也可积，且2．若()y x f ,,()y x g ,在D 上都可积，则()y x f ,±()y x g ,在D 上也可积，且()()[]⎰⎰±D d y x g y x f σ,,=()⎰⎰D d y x f σ,±()⎰⎰D d y x g σ,.3. 若()y x f ,在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则()y x f ,在1D 2D 也可积，且()⎰⎰21,D D d y x f σ=()⎰⎰1,D d y x f σ+()⎰⎰2,D d y x f σ.4．若()y x f ,与()y x g ,在D 上可积，且()y x f ,≤()y x g ,，()∈y x ,D ，则5．若()y x f ,在D 上可积，则函数()y x f ,在D 上也可积，且6. 若()y x f ,在D 上可积．且 m ≤()y x f ,≤M ， ()∈y x , D则这里D S 是积分区域D 的面积．7．(中值定理) 若()y x f ,在有界闭区域D 上连续，则存在()∈ηξ,D ，使得 这里D S 是积分区域D 的面积．中值定理的几何意义：以D 为底，()())0,(,,≥=y x f y x f z 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在()y x f ,区域D 中某点()ηξ,的函数值()ηξ,f ．作业2，4，5.。

二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。

下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。

二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。

上述就是二重积分的几何意义。

如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。

二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。

也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。

为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。

二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。

本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。

一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。

通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。

二重积分的结果是一个实数。

二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。

具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。

得到一个关于x的函数。

步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。

得到最终的结果。

2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。

常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。

以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。

具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。

步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。

三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。

对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。

2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。

质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。

二重积分的概念和计算二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。

在本文中，我将详细介绍二重积分的概念和计算方法。

首先，我们来介绍二重积分的概念。

在平面上，一个闭区域可以被划分为无数个面积微元，每个微元的面积可以表示为dA。

如果我们想要求解整个闭区域的面积，我们可以将每个微元的面积相加。

这个过程可以用二重积分来表示。

二重积分的一般形式为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是一个定义在闭区域上的函数。

我们将f(x,y)称为被积函数，表示在闭区域上特定点(x,y)处的函数值。

而dA则表示面积微元，可以视为一个小矩形的面积。

在实际计算中，二重积分的计算可以通过累加的方式进行。

首先，我们需要确定闭区域的边界，并确定积分的次序。

闭区域的边界可以通过给出的条件或图形来确定，而积分的次序可以根据被积函数的性质来确定。

一般来说，二重积分有两种次序，即x先变化后y变化的次序和y先变化后x变化的次序。

根据被积函数的性质，我们可以选择合适的次序来进行积分。

在计算中，我们通常采用迭代的方法，将二重积分转化为两个单变量的积分来计算。

接下来，我们来介绍二重积分的计算方法。

对于一般的二重积分，我们可以将闭区域划分为无数个小矩形，并计算每个小矩形的面积。

然后，我们将每个小矩形的面积与被积函数在相应点上的函数值相乘，并将所有小矩形的面积乘以函数值的乘积相加，即可得到二重积分的值。

对于x先变化后y变化的次序，我们可以将闭区域划分为n个子区域，并将每个子区域划分为m个小矩形。

然后，我们可以选择子区域的边界上的两个点，分别为(xi,yj)和(xi+1,yj+1)，其中i的取值范围为1到n，j的取值范围为1到m。

接下来，我们可以通过计算每个小矩形的面积和被积函数在相应点上的函数值来求得二重积分的近似值。

最后，我们将这些近似值相加，并取极限得到二重积分的精确值。

对于y先变化后x变化的次序，我们的计算方法类似。