2017-2018学年高中物理必修2教学案：第四章 第1节 匀速圆周运动快慢的描述 含解析 精品

第1节匀速圆周运动快慢的描述一、匀速圆周运动 1．定义在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。

2．性质匀速圆周运动速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动，也是最简单的一种圆周运动。

二、描述圆周运动的物理量1．匀速圆周运动的特点：任意相等时间内通过的弧长(或角度)相等；线速度方向沿圆周的切线方向。

2．描述匀速圆周运动的物理量有线速度(v )、角速度(ω)、周期(T )[或频率(f )]、转速(n )，其关系式是v ＝2πr T ，ω＝2πT，v ＝ωr ，ω＝2πn 。

3．利用关系式分析线速度、角速度或周期的变化时，要用控制变量的思想，在皮带传动或齿轮传动的情况下，各轮边缘线速度相等，同一轮子上各点角速度相等。

1．自主思考——判一判(1)匀速圆周运动是速度不变的运动。

(×) (2)匀速圆周运动的加速度等于零。

(×)(3)线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。

(×) (4)角速度是标量，没有方向。

(×)(5)匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同。

(√) 2．合作探究——议一议(1)匀速圆周运动中的“匀速”与以前所学的匀速直线运动中的“匀速”含义相同吗？ 提示：不相同。

匀速圆周运动中的“匀速”是指“匀速率”。

(2)“由v ＝ωr 可得v ∝r ，由ω＝v r 可得ω∝1r 。

”这样理解对吗？ 提示：不对，应用控制变量方法讨论。

(3)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。

如图4-1-1所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？图4-1-1提示：篮球上各点的角速度是相同的。

但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v ＝ωr 可知不同高度的各点的线速度不同。

1．描述圆周运动的各物理量间的关系2．物理量之间关系的理解(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2πT ＝2πn 知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确 定了。

(2)线速度与角速度关系的理解：由v ＝ωr 知，r 一定时，v ∝ω；v 一定时，ω∝1r ；ω一定时，v ∝r 。

[特别提醒](1)角速度ω、线速度v 、半径r 之间的关系是瞬时对应关系。

(2)公式v ＝ωr 适用于所有的圆周运动；关系式T ∝1n适用于具有周期性运动的情况。

[典例] 做匀速圆周运动的物体，在10 s 内沿半径为20 m 的圆周运动了100 m ，试求该物体做匀速圆周运动时：(1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小。

[思路点拨] 明确线速度的定义及线速度与角速度、角速度与周期的关系是解决本题的关键。

[解析] (1)由线速度的定义式得v ＝s t ＝10010 m/s ＝10 m/s 。

(2)由v ＝ωr 得ω＝v r ＝1020 rad/s ＝0.5 rad/s 。

(3)由ω＝2πT 得T ＝2πω＝2π0.5 s ＝4π s 。

[答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s物体在做匀速圆周运动时(设其轨道半径为r )，我们可以用多个物理量如线速度v (速率)、角速度ω、周期T 等来描述物体运动的快慢。

这些物理量之间有如下关系：v ＝ωr ，ω＝2πT＝2πf 。

1．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是( )A ．线速度大的角速度一定大B ．线速度大的周期一定小C ．角速度大的半径一定小D ．角速度大的周期一定小解析：选D 由v ＝ωr 得ω＝vr ，故只有当半径r 一定时，角速度ω才与线速度v 成正比；只有当线速度v 一定时，角速度ω才与半径r 成反比，选项A 、C 错误；由v ＝2πrT 知，只有当半径r 一定时，线速度v 才与周期T 成反比，选项B 错误；由ω＝2πT 知，角速度ω与周期T 成反比，即角速度大的周期一定小，选项D 正确。

2．(多选)A 、B 两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比s A ∶s B ＝2∶3，转过的角度之比φA ∶φB ＝3∶2，则下列说法正确的是( )A ．它们的半径之比r A ∶rB ＝2∶3 B ．它们的半径之比r A ∶r B ＝4∶9C ．它们的周期之比T A ∶T B ＝2∶3D ．它们的频率之比f A ∶f B ＝2∶3解析：选BC A 、B 两个质点，在相同的时间内通过的路程之比s A ∶s B ＝2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以v A ∶v B ＝2∶3；相同的时间内转过的角度之比φA ∶φB ＝3∶2，由ω＝ΔφΔt ，得ωA ∶ωB ＝3∶2，又v ＝rω，所以r A ∶r B ＝v A ωA ∶v B ωB ＝v A v B ×ωB ωA ＝23×23＝4∶9，故A 错误，B 正确；由T ＝2πω，得T A ∶T B ＝ωB ∶ωA ＝2∶3，故C 正确；又T ＝1f，所以f A ∶f B ＝T B ∶T A ＝3∶2，故D 错误。

3．地球绕太阳公转的运动可以近似地看做匀速圆周运动。

地球距太阳约1.5×108 km ，地球绕太阳公转的角速度是多大？线速度是多大？解析：地球绕太阳公转周期为T ＝1年＝1×365×24×3 600 s ≈3×107 s故角速度ω＝2πT ＝2×3.143×107 rad ≈2×10－7rad/s 线速度v ＝ω·r ＝2×10－7×1.5×1011 m/s ＝3×104 m/s 。

答案：2×10－7 rad/s 3×104 m/s[典例] 如图4-1-2所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A 、B 、C 三轮的半径关系为3r A ＝2r C ＝4r B ，设皮带不打滑，求三轮边缘上的点A 、B 、C 的线速度之比、角速度之比、周期之比。

图4-1-2[思路点拨] 解答本题时应注意以下两点： (1)皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等； (2)同轴转动的两轮上所有点的角速度相等。

[解析] 由题意可知，A 、B 两轮由皮带传动，皮带不打滑，故v A ＝v B ，B 、C 在同一轮轴上，同轴转动，故ωB ＝ωC 。

由v ＝ωr 得v B ∶v C ＝r B ∶r C ＝2∶4＝1∶2，所以v A ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2；由ω＝v r 得ωA ∶ωB ＝r B ∶r A ＝3∶4，所以ωA ∶ωB ∶ωC ＝3∶4∶4；由ω＝2πT 可知，周期与角速度成反比，即T A ∶T B ∶T C ＝4∶3∶3。

[答案] v A ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2 ωA ∶ωB ∶ωC ＝3∶4∶4 T A ∶T B ∶T C ＝4∶3∶3求解传动问题的方法(1)分清传动特点：传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点。

①皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)； ②同轴转动(各点角速度相等)；③齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)。

(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。

(3)用“通式”表达比例关系。

①绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n 和周期T 相等，而各点的线速度v ＝ωr ，即v ∝r ；②在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝v r ，即ω∝1r ；③齿轮传动与皮带传动具有相同的特点。

1．(多选)如图4-1-3所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。

已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑。

下列说法正确的是( )图4-1-3A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n解析：选BC 由于皮带是交叉传动，所以主动轮做顺时针转动时，从动轮做逆时针转动，选项A 错误，B 正确；皮带轮边缘上各点的线速度大小相等，又v 1＝ω1r 1＝2n πr 1，v 2＝ω2r 2＝2n ′πr 2，则由v 1＝v 2得n ′＝r 1r 2n ，选项C 正确，D 错误。

2.图4-1-4是一个玩具陀螺。

a 、b 和c 是陀螺上的三个点。

当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )图4-1-4A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等B ．a 、b 和c 三点的角速度相等C ．a 、b 的角速度比c 的大D ．c 的线速度比a 、b 的大解析：选B a 、b 、c 三点为共轴转动，故角速度相等，B 正确，C 错误；又由题图知，三点的转动半径r a ＝r b ＞r c ，根据v ＝rω知，v a ＝v b ＞v c ，故A 、D 错误。

3．如图4-1-5所示，A 、B 两个齿轮的齿数分别是z 1、z 2，各自固定在过O 1、O 2的轴上。

其中过O 1的轴与电动机相连接，此轴转速为n 1，求：图4-1-5(1)A 、B 两齿轮的半径r 1、r 2之比； (2)B 齿轮的转速n 2。

解析：(1)在齿轮传动装置中，各齿轮在相同时间内转过的“齿”是相同的，因此齿轮的齿数与周长成正比，故r 1∶r 2＝z 1∶z 2。

(2)在齿轮传动进行时，每个啮合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足齿轮转速与齿数成反比，即n 2n 1＝z 1z 2，所以n 2＝n 1z 1z 2。

答案：(1)r 1∶r 2＝z 1∶z 2 (2)n 2＝n 1z 1z 21．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是 ( ) A ．速度 B.速率 C.角速度D.周期解析：选BCD 物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项B、C、D正确。

2．关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法正确的是()A．若r一定，则v与ω成正比B．若r一定，则v与ω成反比C．若ω一定，则v与r成反比D．若v一定，则ω与r成正比解析：选A根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比。

故只有选项A正确。

3．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的线速度之比为()A．1∶4 B．2∶3C．4∶9 D．9∶16解析：选B由题意知甲、乙两物体的角速度之比ω1∶ω2＝60°∶45°＝4∶3，故两物体的线速度之比v1∶v2＝(ω1r)∶(ω2·2r)＝2∶3，B项正确。